证明毕达哥拉斯定理

证明毕达哥拉斯定理

制作：有丘直方

毕达哥拉斯定理

222BC AC AB =+

或者可以这么说：

直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？

中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。这就简单多了：

直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。

甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。 222弦股勾=+

简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。

证明毕达哥拉斯定理

首先，我们画一幅图：

啊，真乱。让我们先把重要的部分先择出来。

我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的HDEG JAHI ABCD □□□=+（因为ABCD □是2AD 、JAHI □是2AH 、HDEG □是2HD ）。其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。

根据定理，我们只要证明XDEF ABCD □□=且HXFG JAHI □□=就能证明HDEG JAHI ABCD □□□=+，因为HDEG HXFG XDEF □□□=+（这是肯定的）。

我们先不看JH 、ID 、AG 和HF ，这些线段暂时用不到。我们先证明XDEF ABCD □□=。

因为ABCD BCD □△21=且XDFE DEF □△2

1=，所以我们只要证明出BCD DEF △△=就可以推出XDEF ABCD □□=。这又是因为等号两边同时缩小2

1倍，这个等式还是成立。

现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个角是：CDH ∠和ADE ∠。先看CDH ∠，它被AD 分成了两个角：CDA ∠和ADH ∠；再看ADE ∠，它被HD 分成了两个角：HDE ∠和ADH ∠。所以，︒+=90∠∠ADH CDH （CDA ∠是直角，所以用︒90代替）且︒+=90∠∠ADH ADE （HDE ∠是直角，所以用︒90代替）。看看这两条等式，你会发现其实ADE CDH ∠∠=！这很重要！

让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。这两个三角形是：CDH △和ADE △。先看CDH △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （AD 其实是CD 的长度，因为他们标了全等标记，所以CD 可以用AD 表示）；再看ADE △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （HD 其实是DE 的长度，因为他们标了全等标记，所以HD 可以用DE 表示）。比较一下CDH △和ADE △，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以ADE CDH ≌△△（因为它们之间的夹角ADE CDH ∠∠=）。

我们接下来先看看CDH △与BCD △之间的关系。你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。如果它们的底的长度都是CD ，那么高的长度就都是BC （因为平行线之间的线段长度相等且CD BH ∥，CD BH ∥又是因为BH 和CD 都垂直于BC ）

。再看看ADE △与DEF △之间的关系。它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。如果它们的底的长度都是DE ，那么高的长度就都是FE （因为平行线之间的线段长度相等且DE AF ∥，DE AF ∥又是因为AF 和DE 都垂直于FE ）。

那么现在……ADE CDH △△=且BCD CDH △△=且DEF ADE △△=。通过这

三条等式我们就可以推出BCD DEF △△=！那么让它们都被2

1除，就能得到XDEF ABCD □□=了！

接下来我们不看BD 、CH 、AE 和DF ，看JH 、ID 、AG 和HF 。现在我们就可以开始证明HXFG JAHI □□=了，其过程是完全一样的。但是我们这次用简练的数学语言来表述：

定理成立□□△△△△△且△△△同底同高

≌△△且□可以推出□△△□且△□△∴=∴=∴===∴∴=∴︒

+=︒+===∴==HXFG

JAHI HGF

JIH AHG

IHD AHG

HGF IHD JIH AHG

IHD AHG

IHD AHD AHG AHD IHD HXFG

JAHI HGF JIH HXFG HGF JAHI JIH ΘΘΘΘ∠∠90∠∠90∠∠2

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简单吗？

结论

这有什么好说的？搞了半天，结论很简单：

直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——这句话是真理。

简单吗？