证明毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯勾股定理证明
毕达哥拉斯勾股定理证明毕达哥拉斯勾股定理证明引言毕达哥拉斯勾股定理是数学史上一项重要的发现，它被广泛应用于几何学和物理学中。
本文将深入探讨毕达哥拉斯勾股定理的证明过程，并对其原理和应用进行全面评估。
让我们从简单的几何形状开始，逐步推导出这个定理的深刻意义。
1. 直角三角形的定义我们从直角三角形开始，这是研究毕达哥拉斯勾股定理的基础。
直角三角形是一种具有一个内角为90度的三角形。
我们将其三个边分别称为斜边、邻边和对边。
2. 毕达哥拉斯勾股定理的表述毕达哥拉斯勾股定理可以一句话概括为：直角三角形的斜边的平方等于邻边的平方与对边的平方之和。
用数学表达式来表示就是：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是直角三角形的斜边。
3. 毕达哥拉斯勾股定理的第一个证明：几何方法我们以一个简单的正方形开始推导。
正方形的对角线可以作为两个直角边，那么根据勾股定理，对角线的平方等于两条直角边的平方和。
我们将正方形划分为四个直角三角形，每个直角三角形的两条直角边与两个直角边合并时构成一个直角边。
我们可以得出结论：正方形的对角线的平方等于四个直角三角形的两条直角边的平方和。
进一步，我们可以推广到其他几何形状，如长方形和正三角形。
这个证明方法是以简单的形状为基础，逐步推导出毕达哥拉斯勾股定理的普遍性。
4. 毕达哥拉斯勾股定理的第二个证明：代数方法我们还可以使用代数方法证明毕达哥拉斯勾股定理。
我们令直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理，我们有a² + b² = c²。
接下来，我们将三条边的长度进行变换，假设每条边的长度为一个未知数x。
根据勾股定理，我们有x² + x² = c²，即2x² = c²。
我们可以将c²表示为2x²，并继续化简等式。
我们得到c² = 4(x²/2)，即c² = 4(x²/2)。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
毕达哥拉斯定理的证明
毕达哥拉斯定理的证明侯昕彤南京大学匡亚明学院摘要：欧几里德的毕达哥拉斯定理证明。
包括其中涉及的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题47）。
关键词：毕达哥拉斯定理几何原本欧几里德毕达哥拉斯定理：一个直角三角形斜边的平方，等于其两个直角边的平方和。
欲证明该定理，首先给出下列定义，公设以及公理：●定义：【定义1】当一条直线和另一条直横的直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个被叫做直角。
【定义2】圆是由一条线包围成的平面图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等。
【定义3】在四边形中，四边相等且四个角是直角的，叫做正方形。
【定义4】平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论那个方向它们都不相交。
●公设：【共设1】由任意一点到另外任意一点可以画直线.【共设2】一条有限直线可以继续延长.【共设3】以任意点为心及任意的距离可以画圆。
【共设4】凡直角都彼此相等。
【共设5】同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二自角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交●公理：【公理1】等于同量的量彼此相等。
【公理2】等量加等量，其和仍相等。
【公理3】等量碱等量，其差仍相等。
【公理4】彼此能重合的物体是全等的。
根据给出的上述定义，公设，公理，进行下列命题的证明。
证明段落中出现的【】表示该段证明所用的论据。
【命题1】命题：在一个已知有限直线上作一appear个等边三角形。
命题1设AB是已知有限直线。
那么，要求在线段AB上作一个等边三角形。
以A为中心，且以AB为距离画圆【共设3】再以B为心，且以BA为直为距离画圆ACE；【共设３】由两圆的交点C到A,B连线CA，CB .【共设１】因为，点A是圆CDB的圆心，AC等于BA。
【定义2】又点B是圆CAE的圆心，BC等于BA，【定义2】但是，已经证明CA等于AB;所以线段CA，CB都等于AB。
三角形的毕达哥拉斯定理
三角形的毕达哥拉斯定理三角形的毕达哥拉斯定理，是数学中一项重要的定理，它揭示了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨毕达哥拉斯定理的原理、应用和意义。
一、什么是毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一个定理，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体而言，设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
根据毕达哥拉斯定理，我们有以下关系式：c² = a² + b²这个定理在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
二、毕达哥拉斯定理的应用毕达哥拉斯定理在几何学中有着重要的应用。
我们可以通过该定理来判断一个三角形是否为直角三角形，或者计算一个三角形的边长。
1. 判断直角三角形通过观察三角形的边长关系，我们可以利用毕达哥拉斯定理来判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三边满足a² + b² = c²的关系，那么我们可以确定这个三角形是一个直角三角形。
2. 计算三角形的边长当我们已知一个直角三角形的两条直角边的长度时，可以利用毕达哥拉斯定理来计算斜边的长度。
同样地，如果我们已知一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度，也可以通过毕达哥拉斯定理计算出另一条直角边的长度。
除了在几何学中的应用，毕达哥拉斯定理在物理学中也有广泛的应用。
在物理学中，毕达哥拉斯定理可以用来计算力的合成和分解、质心的定位等问题。
三、毕达哥拉斯定理的意义毕达哥拉斯定理不仅仅是一个数学定理，它还具有一定的意义和启示。
毕达哥拉斯定理为我们提供了解决几何问题的有力工具。
通过运用这个定理，我们可以更加准确和简便地解决涉及直角三角形的计算和判断问题。
毕达哥拉斯定理也强调了数学中重要的思维方式——从简到繁、由浅入深。
毕达哥拉斯定理的证明过程需要运用一些基本的几何推理和运算，这要求我们在学习数学时注重基础知识的掌握和技巧的运用。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理毕达哥拉斯证明方法
勾股定理毕达哥拉斯证明方法勾股定理，是数学领域中的一个基本定理，描述了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一命题在古代已被多个文明所发现和证明，其中最著名的证明方法之一归功于古希腊数学家毕达哥拉斯。
本文将详细介绍毕达哥拉斯的证明方法。
勾股定理的毕达哥拉斯证明，主要基于几何图形的面积关系。
该定理表述如下：在一个直角三角形中，设较短的两条直角边的长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a + b = c。
以下是毕达哥拉斯的证明步骤：1.假设我们有一个直角三角形ABC，其中角C是直角，AB是斜边，AC和BC是两条直角边。
2.我们构建四个与原直角三角形ABC相似的直角三角形，每个三角形的边长都是原三角形边长的一部分。
具体来说，我们在AB上取一点D，使得AD = b，在AC上取一点E，使得AE = a。
3.以AE和AD为直角边，构造一个矩形AFED，其面积是a*b。
然后，我们在矩形AFED的四个角上各取一个与原三角形相似的直角三角形，得到四个小三角形。
4.现在，将这四个小三角形分别移动并放置在原直角三角形ABC的四个顶点上，使得它们与原三角形的相应边对齐。
这样，在三角形ABC的内部和周边就形成了一个大正方形。
5.这个大正方形的边长是a+b（因为矩形AFED的边长分别是a和b，且四个小三角形在原三角形内部的边长总和正好补足了斜边AB的长度），所以大正方形的面积是(a+b)。
6.另一方面，我们可以直接计算原直角三角形ABC的面积。
由于三角形ABC与四个小三角形相似，它们的面积比是1:1，所以原三角形的面积是四个小三角形面积之和，即4*(1/2)*a*b。
7.同时，原直角三角形ABC的面积也可以通过斜边c和直角边a、b计算得出，即面积为(1/2)*a*c 和(1/2)*b*c 之和，即(1/2)*a*c + (1/2)*b*c。
8.比较两种计算方法得到的面积，即：(a+b) = 4*(1/2)*a*b(1/2)*a*c + (1/2)*b*c = 4*(1/2)*a*b简化后得到：a + 2ab + b = 2ab + 2aba +b = 2ab由于2ab在等式两边都存在且相等，我们可以得出：a +b = c这就完成了毕达哥拉斯的证明。
勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2 + b 2= c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
第二章 欧几里得对毕达哥拉斯定理
第二章欧几里得对毕达哥拉斯定理（勾股定理）的证明（公元前约300年）欧几里得的《原本》从希波克拉底到欧几里得，其间经历了150年。
在这150年间，希腊文明发展并臻于成熟，因柏拉图、亚里士多德、阿里斯托芬和修昔底德的著作而光大。
甚至在伯罗奔尼撒战争的动乱中和在亚历山大大帝统治的希腊帝国全盛时期，希腊文明都在发展。
到公元前300年时，希腊文化的发展已跨越地中海，并扩展到更遥远的世界。
在西方，希腊统治至高无上。
在从公元前440年到公元前300年期间，许多伟人都曾为数学的发展作出过不朽的贡献，其中有柏拉图（公元前427—347年）和欧多克索斯（公元前约408—355年），虽然只有后者才是真正的数学家。
柏拉图，雅典的伟大哲学家。
我们之所以提到他，主要不是因为他对数学的创造，而是因为他对数学的热情和高度评价。
柏拉图年轻时在雅典师从苏格拉底，我们对他那位值得尊敬的老师的了解，主要也由此而来。
柏拉图曾漫游世界多年，认识了许多伟大的思想家，并形成了他自己的哲学思想体系。
公元前387年，他返回他的出生地雅典，并在那里建立起学园。
学园聚集了不少饱学之士来此献身于学习和研究。
在柏拉图的引导下，希腊学园成为那个时代一流的思想中心。
在学园众多的学科中，没有一个学科能比数学更受重视。
数学的美感和条理与秩序吸引了柏拉图，代表了他心目中未受单调日常生存需求污染的理想的抽象世界。
柏拉图认为，数学是锻炼思维的最佳途径，其严密的逻辑推理要求人们极度专注、机敏和谨慎。
据说，穿过拱形门楼，进入这一久负盛名的学园，首先映入眼帘的是一行大字：“不懂几何的男子请勿入内”。
尽管这一警句带有明显的性别歧视，但却反映了一种观点，即只有那些首先证明自己在数学上成熟的人才有能力面对学园的智力挑战。
可以说，柏拉图把几何学看作理想的入学要求，看作一种当时那个时代的学术能力测验。
虽然现在人们很少把当初的数学发现归于柏拉图的名下，但希腊学园的确培养了许多颇有才华的数学家，其中一个无可争辩的伟大数学家就是尼多斯的欧多克索斯。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a² + b²= c ²的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。
为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC= 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
毕达哥拉斯弦定律
毕达哥拉斯弦定律
毕达哥拉斯弦定律是一种描述弦长与振动频率的关系的物理定律，它是基于毕达哥拉斯定理的推论。
根据这个定律，弦的振动频率与弦的长度成反比，即当弦长增加一倍时，振动频率减少一倍。
毕达哥拉斯弦定律通过以下公式表示：
f = 1/(2L) * sqrt(T/μ)
其中，
f表示弦的振动频率，
L表示弦的长度，
T表示弦的张力，
μ表示弦的线密度。
这个定律在音乐、乐器制作和声学研究等领域有重要应用。
例如，在乐器制作中，通过调节弦的长度，可以改变乐器的音高。
在声学研究中，可以通过测量弦的长度和振动频率，推导出弦材料的力学性质。
这个定律也对电子乐器、弦乐器和管乐器等的声音产生和控制起到了指导作用。
毕达哥拉斯公式
毕达哥拉斯公式毕达哥拉斯公式是一种代数公式，描述了直角三角形中三边之间的关系。
它是由古希腊数学家毕达哥拉斯（约公元前570-495年）提出的，因此得名为毕达哥拉斯公式。
毕达哥拉斯公式是几何和代数的重要基础之一，广泛应用于众多领域，包括建筑、工程、物理学和计算机图形学等。
毕达哥拉斯公式的表达方式是a² + b² = c²，其中a、b和c代表直角三角形的两条直角边和斜边。
换句话说，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边平方和。
这个公式的证明可以通过几何和代数两种方法。
几何方法是基于直角三角形的几何性质，而代数方法是基于平面或空间中的向量和分量的计算。
首先我们来看几何方法。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠C是直角，a和b是两条直角边，c是斜边。
根据勾股定理，我们可以得到直角边的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²。
这个定理可以通过构造一个正方形来证明。
我们可以将直角三角形放置在一个正方形内，直角边与正方形的一条边对齐。
然后，我们可以观察到剩下的部分正好是一个完整的正方形，其边长为斜边的长度c。
所以直角边的平方和等于斜边的平方。
在代数方法中，我们可以使用向量和分量来证明毕达哥拉斯公式。
我们可以将直角三角形放置在一个坐标系中，其中直角顶点位于原点。
然后使用向量和分量的概念来表示直角边和斜边。
设向量a和b分别表示直角边a和b，向量c表示斜边c。
根据向量的定义，我们可以将向量c表示为向量a和b的和：c = a + b。
然后，我们将向量c的平方展开成(a + b)²，然后进行化简，将乘法展开并合并相似项。
最后，我们得到了a² + b² + 2ab = c²。
由于直角三角形中的两条直角边垂直，所以ab的乘积为0，因此我们可以将公式简化为a² + b² = c²。
毕达哥拉斯公式的应用十分广泛。
几何原本中的毕达哥拉斯定理
几何原本中的毕达哥拉斯定理1. 引言在几何学中，毕达哥拉斯定理是一条著名的定理，它描述了直角三角形中三条边的关系。
这个定理的名字来源于古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras），他是公元前6世纪的数学家和哲学家。
毕达哥拉斯定理是几何学中最重要的定理之一，也是数学中最古老的定理之一。
它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等领域中起着重要的作用。
本文将详细介绍毕达哥拉斯定理及其应用。
2. 毕达哥拉斯定理的表述毕达哥拉斯定理可以用以下方式表述：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
数学表达式为：a^2 + b^2 = c^2其中，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
3. 毕达哥拉斯定理的证明毕达哥拉斯定理的证明可以有多种方法，其中最著名的是几何证明和代数证明。
本文将介绍其中一种几何证明。
3.1 几何证明假设有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。
我们要证明a^2 + b^2 = c^2。
1.作AC上的高CD，延长BC至点E，使得CE = a。
2.由于∠C为直角，所以三角形ACB和CED相似。
3.根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AC/CE = BC/CD。
4.将上述比例关系代入，得到AC/a = BC/CD。
5.进一步整理得到BC = a * CD / AC。
6.由于CD是AC的高，所以CD^2 + AD^2 = AC^2。
7.代入BC = a * CD / AC，得到CD^2 + AD^2 = AC^2 = a^2 + (BC)^2。
8.由于∠C为直角，所以AD = b。
9.代入上述等式，得到CD^2 + b^2 = a^2 + (BC)^2。
10.注意到BC = a * CD / AC，代入得到CD^2 + b^2 = a^2 + (a * CD /AC)^2。
11.进一步整理得到CD^2 + b^2 = a^2 + (a * CD)^2 / AC^2。
几何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明
⼏何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明⼏何学中的瑰宝——毕达哥拉斯定理的证明 ⼏何学中，有着⽆数定理，毕达哥拉斯定理是其中最诱⼈的⼀个。
毕达哥拉斯定理的历史最悠久、证明⽅法最多、应⽤最⼴泛，它是⼈类科学发现中的⼀条基本定理，对科技进步起了不可估量的作⽤。
中世纪德国数学家、天⽂学家开普勒称赞说：“⼏何学中有两件瑰宝，⼀是毕达哥拉斯定理，⼀是黄⾦分割律。
”毕达哥拉斯的百⽜宴 早在公元前2000多年的巴⽐伦的泥版书中，有⼀块泥版上刻着这样⼀个问题：“⼀根长度为30单位的棍⼦靠墙⾓直⽴，当其上端下滑6个单位时，其下端离开墙⾓有多远？”这表明当时的古巴⽐伦⼈已经发现了直⾓三⾓形三边长之间的关系，距今⾄少有4000多年了。
毕达哥拉斯定理揭⽰了⼀条⾃然界简明⽽⼜基本的科学规律：直⾓三⾓形两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。
它最先是如何被发现的，⽆从考证，但其证明的历程依然记录着⼀代⼜⼀代⼈的智慧与⼼⾎。
由于第⼀个给出证明的⼈是古希腊数学家毕达哥拉斯，因此称之为毕达哥拉斯定理。
他于公元前572年出⽣于爱琴海的萨摩斯岛，住在离泰勒斯的故乡⽶利都城不远的地⽅，曾就学于泰勒斯。
毕⽒早年旅⾏于⼩亚细亚⼤陆，⼜到过⾮尼其、埃及。
他⼏乎领略了⼀切希腊及外邦⼈的宗教秘法，并参加过埃及的宗教僧团和教派。
后来定居于意⼤利南部的克罗它岛，在那建⽴了带有神秘性质的著名的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯 毕⽒学派在⼏何学⽅⾯有许多重要的发现，如三⾓形三内⾓和等于两个直⾓、不可通约量（⽆理数）等。
但使毕达哥拉斯最为得意的还是证明毕⽒定理。
当他找到了证明这⼀定理的⽅法以后，欣喜若狂，令⼿下⼈宰了100头⽜来祭神，并⼤摆宴席，以⽰庆贺。
由此，后⼈也将此定理称为“百⽜定理”。
毕达哥拉斯证明这⼀定理的故事，最早是由公元1世纪的希腊学者普鲁塔克讲述的，公元5世纪另⼀位希腊学者普罗克鲁斯⼜把它写在欧⼏⾥得《⼏何原本》评注中。
遗憾的是，毕达哥拉斯是如何证明的，书中却⽆记载。
毕达哥拉斯勾股定理的证明
毕达哥拉斯勾股定理的证明
毕达哥拉斯证明勾股定理的方法如下：
第一步，以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。
第二步，AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。
第三步，证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理。
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
三维毕达哥拉斯定理
三维毕达哥拉斯定理一、什么是毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理是关于直角三角形的一个重要定理，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边平方的和。
在二维空间中，毕达哥拉斯定理可以表述为：设三角形ABC为直角三角形，边a、b和c分别为三角形的三边，其中c为斜边（也就是直角所对的边），那么有a2+b2= c^2。
二、三维毕达哥拉斯定理的推导三维毕达哥拉斯定理是二维毕达哥拉斯定理在三维空间中的推广。
在三维空间中，我们可以定义三个相互垂直的坐标轴x、y和z，表示三个方向上的距离。
设P和Q是三维空间中的两点，其坐标分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)。
我们可以计算出P和Q之间的距离d。
根据勾股定理，我们可以知道 d^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2。
由此可见，三维空间中两点之间的距离也可以用平方和的方式表示，这就是三维毕达哥拉斯定理。
三、三维毕达哥拉斯定理的应用三维毕达哥拉斯定理在很多领域都有广泛的应用，尤其在几何学和物理学中。
1. 几何学中的应用在几何学中，三维毕达哥拉斯定理可以帮助我们计算空间中的距离和角度。
例如，在一个空间立方体中，两个对角线之间的距离可以通过三维毕达哥拉斯定理来计算。
设立方体的边长为a，那么对角线的长度d可以表示为 d = a√3。
2. 物理学中的应用在物理学中，三维毕达哥拉斯定理可以用于计算力的合成和分解。
当我们需要计算两个力合成后的结果时，可以使用三维毕达哥拉斯定理来求得合力的大小和方向。
同样地，当我们需要将一个力分解成平行于坐标轴的分力时，三维毕达哥拉斯定理也可以派上用场。
3. 工程学中的应用在工程学中，三维毕达哥拉斯定理可以用于计算物体的尺寸和形状。
举例来说，当我们需要设计一个立方体容器来储存物体时，可以使用三维毕达哥拉斯定理来确定容器的尺寸是否足够。
四、三维毕达哥拉斯定理的证明三维毕达哥拉斯定理的证明可以通过向量的方法进行。
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证明毕达哥拉斯定理
制作：有丘直方
毕达哥拉斯定理
222BC AC AB =+
或者可以这么说：
直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——是不是很烦？
中国人称这条定理为“勾股定理”，他们把直角三角形的两条直边的长度分别叫做“勾”和“股”，斜边就叫“弦”。
这就简单多了：
直角三角形中的勾乘自己得到的积和股乘自己得到的积相加的和等于弦乘自己得到的积。
甚至可以更简单，因为如果用“勾”、“股”和“弦”的话，就不用画图了。
这又是因为“勾”、“股”和“弦”只在直角三角形中出现。
222弦股勾=+
简单不？中国人就是聪明，因为勾股定理比毕达哥拉斯定理早发现好多年，而且更简单。
证明毕达哥拉斯定理
首先，我们画一幅图：
啊，真乱。
让我们先把重要的部分先择出来。
我们现在需要证明图中用蓝色的线表示的HDEG JAHI ABCD □□□=+（因为ABCD □是2AD 、JAHI □是2AH 、HDEG □是2HD ）。
其中，用蓝色的粗线表示的形状就是我们图中最最重要的部分——直角三角形。
图中用绿色的线表示的诸线段是辅助线，用绿色的虚线表示的线段都是很少时候才用到的辅助线。
根据定理，我们只要证明XDEF ABCD □□=且HXFG JAHI □□=就能证明HDEG JAHI ABCD □□□=+，因为HDEG HXFG XDEF □□□=+（这是肯定的）。
我们先不看JH 、ID 、AG 和HF ，这些线段暂时用不到。
我们先证明XDEF ABCD □□=。
因为ABCD BCD □△21=且XDFE DEF □△2
1=，所以我们只要证明出BCD DEF △△=就可以推出XDEF ABCD □□=。
这又是因为等号两边同时缩小2
1倍，这个等式还是成立。
现在，让我们先岔开一下，看看两个角——你会知道为什么我们要提到它们的。
这两个角是：CDH ∠和ADE ∠。
先看CDH ∠，它被AD 分成了两个角：CDA ∠和ADH ∠；再看ADE ∠，它被HD 分成了两个角：HDE ∠和ADH ∠。
所以，︒+=90∠∠ADH CDH （CDA ∠是直角，所以用︒90代替）且︒+=90∠∠ADH ADE （HDE ∠是直角，所以用︒90代替）。
看看这两条等式，你会发现其实ADE CDH ∠∠=！这很重要！
让我们再看看两个三角形——你会知道为什么我们要提到它们的。
这两个三角形是：CDH △和ADE △。
先看CDH △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （AD 其实是CD 的长度，因为他们标了全等标记，所以CD 可以用AD 表示）；再看ADE △，它的两条蓝色的边的长度分别是AD 和HD （HD 其实是DE 的长度，因为他们标了全等标记，所以HD 可以用DE 表示）。
比较一下CDH △和ADE △，它们有两条对应的邻边相等！因为当两个三角形中有两条对应的边相等且这两条边之间的夹角相等则这两个三角形全等，所以ADE CDH ≌△△（因为它们之间的夹角ADE CDH ∠∠=）。
我们接下来先看看CDH △与BCD △之间的关系。
你发现了没？它们的面积是相等的！因为两个三角形，如果它们的底和高相等，那么它们的面积相等。
如果它们的底的长度都是CD ，那么高的长度就都是BC （因为平行线之间的线段长度相等且CD BH ∥，CD BH ∥又是因为BH 和CD 都垂直于BC ）。
再看看ADE △与DEF △之间的关系。
它们的面积也是相等的！因为它们的底和高相等。
如果它们的底的长度都是DE ，那么高的长度就都是FE （因为平行线之间的线段长度相等且DE AF ∥，DE AF ∥又是因为AF 和DE 都垂直于FE ）。
那么现在……ADE CDH △△=且BCD CDH △△=且DEF ADE △△=。
通过这
三条等式我们就可以推出BCD DEF △△=！那么让它们都被2
1除，就能得到XDEF ABCD □□=了！
接下来我们不看BD 、CH 、AE 和DF ，看JH 、ID 、AG 和HF 。
现在我们就可以开始证明HXFG JAHI □□=了，其过程是完全一样的。
但是我们这次用简练的数学语言来表述：
定理成立□□△△△△△且△△△同底同高
≌△△且□可以推出□△△□且△□△∴=∴=∴===∴∴=∴︒
+=︒+===∴==HXFG
JAHI HGF
JIH AHG
IHD AHG
HGF IHD JIH AHG
IHD AHG
IHD AHD AHG AHD IHD HXFG
JAHI HGF JIH HXFG HGF JAHI JIH ΘΘΘΘ∠∠90∠∠90∠∠2
121
简单吗？
结论
这有什么好说的？搞了半天，结论很简单：
直角三角形的一条直边的长度乘自己得到的积和另一条直边的长度乘自己得到的积相加的和等于斜边的长度乘自己得到的积——这句话是真理。
简单吗？。