与圆有关的最值问题整理.ppt
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与范围问题
第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题一、填空题1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213.答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF→的最小值是________．解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6.答案 64．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离等于2 2，由点到直线的距离公式，得12a2＋b2＝22，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－b22且b∈[－2，2]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝a2＋(b－1)2＝12b2－2b＋2，因此当b＝－2时，d取最大值，此时d max＝3＋22＝2＋1.答案2＋15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由P A＝PB易知四边形P ACB的面积＝12(P A＋PB)＝P A，故P A最小时，四边形P ACB的面积最小．由于P A ＝PC2－1，故PC最小时P A最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝|3＋4＋8|5＝3，P A＝PC2－1＝22，所以四边形P ACB面积的最小值是2 2.答案2 26．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为________．解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 20＋1y 20＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 27．若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－28．过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________．解析 因点P 在圆C 内，所以当AB 长最小时，∠ACB 最小，此时AB ⊥PC .由k PC ＝－2可得k AB ＝12.所以直线l 的方程为2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝09．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)10．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 5 二、解答题11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4,0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152. 则直线FG 被圆C 截得的弦长为216－⎝⎛⎭⎪⎫1522＝7. 故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由|GF ||GP |＝12， 得(x 0＋6)2＋y 20(x 0－s )2＋(y 0－t )2＝12，整理得3(x 20＋y 20)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.①又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，所以x 20＋y 20＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，⎩⎨⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0，解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12,0)，使得结论成立．13．已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ→的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．14. 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴4a ＝8，a ＝2.又∵e ＝12，即c a ＝12，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， ∴m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m ， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ→＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．。
高中数学与圆有关的最值问题
高中数学与圆有关的最值问题
在解决与圆有关的最值问题时，我们可以使用以下方法：
1. 建立坐标系：将问题转化为在坐标系中求最值的问题。
2. 确定变量：确定影响最值的变量，并建立函数关系式。
3. 利用函数的性质：利用函数的单调性、对称性、最值等性质，求出最值。
4. 结合圆的性质：利用圆的性质，如半径、弦长、圆心等，求出最值。
下面是一个例子：
求圆x^2 + y^2 = 4 上一点到原点的距离的最大值和最小值。
解：设圆上的点为(2cosθ, 2sinθ)，则该点到原点的距离为√(4cos^2θ+ 4sin^2θ) = 2。
因此，最大值为2+2=4，最小值为2-2=0。
与圆有关的最值问题K
，
(1 tt)) 1 (1 tt)(1 )(1 2 2 1 令sin 2 t (t 0) 则 tt 则PA PAPB PB 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 tt tt
2 ，即 sin
（当且仅当 t 2 2
2 时取等号） 2
|－a－a＋m| |m－2a| (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ， 2 2 ∵直线 l 是圆 C 的切线， |m－2a| ∴d＝r，即 ＝2 a. 2 ∴m＝2a± 2 2a. ∵直线 l 在圆 C 的下方， ∴m＝2a－2 2a＝( 2a－1)2－1. ∵a∈(0,4]，∴m∈－1，8－4 2.
类型四：向基本不等式转化
例4： 线l1，l2 , l1交圆C与E、F两点，l2交圆C与G、H两点， (1) EF GH的最大值 (2)求四边形EGFH面积的最大值。
E H
M
O
已知圆C： ( x 2) 2 y 2 4, 过点A(1,0)做两条相互垂直的直
y
C
N G
A
F
x
解：（1）令圆心C到弦EF的距离为 d1,到弦GH的距离为 d2
与圆有关的最值问题
一：圆上一点到直线距离的最值问题
二：抓住所求式的几何意义求最值
三：向函数问题转化 四：向基本不等式转化
类型一：圆上一点到直线距离的最值问题
则 | PQ | 的最小值为 最大值为
y
P
M Q
例1：已知P为直线y x 1上任一点，Q为圆C： ( x 3) 2 y 2 1上任一点，
变式2：由直线y x 1上一点向圆C： ( x 3) 2 y 2 1引切线， 则切线长的最小值为
【高考】二轮复习与圆相关的范围与最值问题ppt课件
(x 2)2 y2 25, P是圆M上的动点，PE • PF的最小值 可转化为与PC范围相关的问题
变式：
圆C的方程为(x 2)2 y2 4,圆M的方程为
(x 2 5 cos )2 ( y 5sin )2 1( R).过圆M上
则x 2 y 5 5 cos 2 5 sin 5cos( ) （5 其中 cos 5 ,sin 2 5 ）
5
5
所以当 cos( ) 1时，(x 2 y)max 5 5 0,故x 2 y的最大值为 0
总结：
在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：
几何 与圆相关的范围与最值问题 思想和代数思想。
解：(1)过圆心C作CM EF,CN GH, M , N为垂足
ab 2
设 CM d1, CN d2
a2 b2 2
则EF GH 2(
4 d12
4
d
2 2
),又d12
d22
CA2
1
由： 4 d12
4
d
2 2
8 - (d12 d22 )
81
14
2
2
22
(当且仅当 d1 d2
即
利
用圆
的
参数方
程
（
三角换元）, 将所要
求
的
与圆相关的范围与最值问题
范围(最值)问 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
题转化
到
三
角函数
求范围(最值)的问题,
与圆相关的范围与最值问题
同时，由于 与圆相关的范围与最值问题
与圆相关的范围与最值问题
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
与圆有关的最值问题
变式训练 1 已知点(x，y)在圆x 22 y 32 1 上．
(1)求 2x＋y 的最大值和最小值； (2)求 y 3 的最大值和最小值；
x2
(3)求 x2 y2 2x 4y 5 的最大值和最小值．
变式训练1
解析答案
想一想
例2 已知圆C：x2 y2 2x 4 y 3 0
从圆C外一点P x, y向圆引切线PM，
M 为切点，O为坐标原点，且 PM PO ，
求使
PM
最小的点P的坐标。
P
3 10
,
3 5
变式训练1：已知定点A1,0, B1,0和圆x 32 y 42 4
上的动点P，求 PA 2 PB 2 最值。
解析答案
我总结：
我总结：
与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何
意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
(
2
)
与
圆
上点
y－b
(
x
，
y
)
有
关
代
数
式
的
最
值
的
常
见
类型Leabharlann 及解法.
①形如u＝
型的最值问题，可转化为
；
x－a
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为
x2 y2最小为20 x2 y2最大为100
解析答案
变式训练2 若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过 点Q且与曲线C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0只有一个公共 点M，求QM的最小值.
与圆有关的定点定值问题(共70张PPT )
,
消去参数m，得2 x y 6 0,
圆心在定直线2 x y 6 0上.
Q 直线l经过点(1,1)，对任意实数m, 定直线l被圆C (半径为3)截得的弦长为 定值，则圆心C到直线l的距离为定值. 直线l //圆心C所在直线. 设l方程为2 x y c 0, 将(1,1)代入， 得c 1,故直线l方程为2 x y 1 0.
问题转化为求点D到点O 距离的最大值.
AB 2 3, AC 2,结合垂径定理和勾股 定理可得CD 1.故动点D在 以C(3, 0)为圆心,1为半径的 圆( x 3)2 y2 1上运动. 则ODmax OC 1 4,
uuur uuur OA OB 的最大值为8.
变式：在平面直角坐标系xoy中，圆C的 方程为( x 1)2 y2 4, P为圆C上一点， 若存在一个定圆M，过P作圆M的两条 切线PA，PB,切点分别为A, B，当P 在圆C上运动时，使得APB恒为600， 则圆M的方程为_____________
联立解得
x y
0或 0
பைடு நூலகம்
x y
4 5， 2 5
怎样验证
故猜想定点为(0, 0)，( 4 , 2),下面验证： 55
将点(0, 0)，( 4 , 2)代入 55
x2 y2 2mx (m 2) y 2m 0都符合，
所以圆过两个定点(0, 0)，( 4 , 2). 55
法2.将已知圆方程关于参数m整理 恒等式
右侧，圆M被y轴截得的弦长为 3r.若对 任意正常数r , 定直线l与圆M 相切,则定直 线l的方程为___________________
解析：设圆心M (a, b), 利用M 在线段AB的 垂直平分线上，从而 MA = MB ,结合M 在
与圆有关的最值问题ppt课件
1、求已知圆上点到定点的距离
点P与圆C都是确定的，M是圆上动点， M •
PM何时最小，何时最大？
C•
分析：设PC连线与圆交于A、B， P •
当M在A位置时，PM最小；在B位• A• C•
B•
P•
(2) ∠PMB>∠AMB=90°,所以∠PMB>∠PBM
切线最短
-1 o C
x
所以PC⊥直线x=-1时，PC最短，从而切线最短， 此时m=0
3、其他举例
已知圆C内一定点P，过P的
P•
所有弦中，那一条最短
C•
上式中, r是定值, 所以d最大时，弦最短， 即P为弦的中点时
(3)求ΔCAB面积的最大值
所以PB>PM
y
o
x
2、圆上动点到定直线的距离
M是圆C上动点，什么时候M到L 距离最大或最小？
分析：过圆心作L的垂线交圆于A、B ，则M在A(B)位置时到L距离最小(大)
M到L的距离等于过M与L平行的 直线与L的距离
L
M• C•
L
M• A•
C• B•
y
o
x
y
因为r是定值。所以PC最小时， P•
与圆有关的最值问题
1 AC BD 1 2 3 1 2 3 30
2
2
2
2. 【湖北省黄石市 2017 届高三年级九月份调研，10】圆 x2 y2 2ax a2 4 0 和圆
x2
y2
4by 1 4b2
0
恰有三条公切线，若
a
R,
b
R
，且
ab
0
，则
1 a2
1 b2
1 [5 9
a2 b2
4b2 a2
]
1 [5 2 9
a2 b2
4b2 a2
]1
，当且仅当
a2 b2
=
4b2 a2
时取等
号，所以最小值为 1.[来源:Z#xx#]
考点：两圆位置关系，基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正
2.2 建立函数关系求最值 根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等
进行求解.
例 7 设 P, Q 分 别 为 x2 y 62 2 和 椭 圆 x2 y2 1 上 的 点 ， 则 P, Q 两 点 间 的 最 大 距 离 是
10
一、与圆相关的最值问题的联系点
k
O
1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题
利用公式 k ＝ tan ( ≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图象可以解决已知
斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.
处理方法：利用在正切函数
专题：与圆有关的3类最值问题
与圆有关的3类最值问题1.斜率型最值问题【方法点拨】形如μ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化过定点(a ，b)的动直线斜率的最值问题求解． 【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y x的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝k x . 当直线y ＝k x 与圆相切时(如图)，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝± 3.∴y x的最大值为3，最小值为－ 3.【练习】已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆上任意一点，则y －2x －1的最大值为________． 解析： 设y －2x －1＝k ，即k x －y －k ＋2＝0， 圆心C (－2,0)，r ＝1.当直线与圆相切时，k 有最值，∴|－2k －0－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝3±34. ∴y －2x －1的最大值为3＋34. 答案：3＋34【方法点拨】形如μ＝ax ＋by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解．如本题可令b ＝y －x ，即y ＝x ＋b ，从而将y －x 的最值转化为求直线y ＝x ＋b 的截距的最值问题．另外，此类问题也常用三角代换求解．【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3， 解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.【练习】已知P (x ，y )为圆(x －2)2＋y 2＝1上的动点，则|3x ＋4y －3|的最大值为________．解析：设t ＝3x ＋4y －3，即3x ＋4y －3－t ＝0.由圆心(2,0)到直线3x ＋4y －3－t ＝0的距离d ＝|6－3－t |32＋42≤1， 解得－2≤t ≤8.所以|3x ＋4y －3|max ＝8.答案：8【方法点拨】形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方求最值．【典例】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.【练习】设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A ―→·PB ―→的最大值为________．解析：由题意，知P A ―→＝(2－x ，－y )，PB ―→＝(－2－x ，－y )，所以P A ―→·PB ―→＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A ―→·PB ―→＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A ―→·PB ―→的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：12。
高中数学微专题2与圆有关的最值问题新人教A版选择性必修第一册
意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1 与距离有关的最值问题
【例1】
(1)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线x－y－2＝0的距离
为1，则实数r的取值范围为(
A．(
√
2＋1，＋∞)
C．(0， 2－1)
)
B．( 2－1， 2＋1)
＋|PO|2)，
11
∴以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为 π，最
2
9
小值为 π．最值问题
【例3】 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求 的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离
的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系
式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不
等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形
∴将①代入②，得|PA|2 ＋|PB|2 ＋|PO|2 ＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋
22．
∵P(x，y)是内切圆上的点，∴0≤x≤2，
∴|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18．
又三个圆的面积之和为π
2
2
＋π
2
2
＋π
2
2
π
＝ (|PA|2 ＋|PB|2
直线与圆：与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以和直线方程、圆的方程相联系，我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．一、定点到圆上动点距离例1(1)已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值．解因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆，所以(x＋2)2＋(y－2)2表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2,2)的距离(如图)．连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2.则当M位于A2位置时，(x＋2)2＋(y－2)2取得最大值，为|AC|＋r＝(1＋2)2＋(－2－2)2＋2＝7.当M位于A1位置时，(x＋2)2＋(y－2)2取得最小值，为|AC|－r＝(1＋2)2＋(－2－2)2－2＝3.即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值为49，最小值为9.(2) 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|P A|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．解设P(x，y)，则d＝|P A|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.反思感悟(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．二、可转化为点到直线的距离问题例2 (1)已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．答案 45 解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45. (2)已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值．解 圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|－6＋0＋12|9＋16＝65，大于半径r ＝1， 故P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝115，最小值为d －r ＝15. 反思感悟 圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．三、与斜率、截距有关的最值问题例3 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值．解 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1,2)的圆C 的两条切线的斜率．对上式整理得kx －y －k ＋2＝0，∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1， ∴k ＝3±34. 故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，则u ＝x －2y 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5， 故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.反思感悟 (1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b 的截距的最值问题．。
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（1）3x 4 y
（2）x2 y2
（3）y 2 x 1
解（法31)
可看作圆
x2 ( y 1)2 1上的点与P(1, 2)两点的
连线的斜率最值，结合图形可求解
3 无最大值，最小值是4/3
4
y 1 ox
P(1,2)
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6
例2．若关于x的方程x m 4 x2
解：y x2 2x 表示圆(x+1)2+y2=1(y≥0)在x轴上 方部分，
y=-x+m表示斜率为-1的平行线,如图 y
当直线与半圆相切时, m 2 1
当直线过A(-1,-1),m=0
0 m 2 1 精心整理
x O
8
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题：
例3：已知定点A1,0, B1,0和圆x 32 y 42 4
数解，求m的取值范围.
有两个不同的实
解法
令y 1
x
m,y2
4 x2
方程有两解
y
直线y=x+m曲线 y 4 x2 有两个交点，
注意到曲线 y 4 x2 是半圆
结合图形可知：2 m 2 2
l1 A l l2
o
Bx
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7
练习：已知直线y=-x+m与曲线y x2 2x 有两个 不同的交点，求m的取值范围。
xa
(3)求x 2 y的最大值和最小值；
ax+by形式的最值问题可以转化为动直线截距的最
值问题
令ax+by=m，则精心整y理=(-ax+m)/b=
a b
x
m b
2
例1.已知实数 x, y满足x2 y2 4, 求y x的取值范围.
解：
令y x b,即y x b
y
则b可视为直线y x b的纵截距
x2 y2有最值。
易求得P
9 5
, 12 5
时,x2
y2最小为20
求得P
21 , 5
28 5
时,x2
y2最大为100
精心整理
10
与圆有关的最值问题
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新英学校高中数学组 1
已知实数x、y满足方程x2 y2 6x 4 y 12 0. (1)求x2 y2的最大值和最小值.
x a2 y b2 最值问题可转化为圆上的点到已知定点（a,b）的距离
的最值问题.
(2)求 y 的最大值和最小值； x
y b 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题。 x a 令 y b =k，则y-b=k(x-a)
（1）3x 4 y
（2）x2 y2
（3）y 2 x 1
法解（二2：) x2 y2 ( x2 y2 )2可看作圆 x2 ( y 1)2 1上的点到坐标原点距离 的平方的最值，亦可求解
最大值是4，最小值是0
精心整理
y
1
ox
5
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
又x2 y2 4表示一个圆，
O
x
由图象可知，切线的纵截距最大与最小，
易求得切线的截距为 2 2， y x的最大值为2 2，最小值为 2 2
注：ax+by形式的最值问题可以转化为动直线截距
的最值问题
令ax+by精=心整m理 ，则y=(-ax+m)/bba=x
m 3
b
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：
上的动点P，求使 PA 2 PB 2 最值时点P的坐标。
解：设P x, y
PA 2 PB 2 x 12 y2 x 12 y2
2 x2 y2 1
上式中x2 y2相当于在 x 32 y 42 4
上的点P到原点O的距离精心整的理 平方。
9
作图不难知道，当O0,0, P x, y,3, 4共线时,
（1）3x 4 y
（2）x2 y2
（3）y 2 x 1
解法（二1）：设3x 4 y t,直线与圆相切时取最值
于是 3 0 41 t 5
1, t 4
5,t 9或 1y
3x 4 y的最大值为9，最小值为1
1
精心整理
o
x
4
练习1：求实数x, y满足x2 ( y 1)2 1, 求下列各式的最值：