浅谈中学几种常用证明不等式的方法
高中数学：不等式题目的七种证明方法
高中数学：不等式题目的七种证明方法压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。
但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。
我就来总结一下不等式的证明方法。
01比较法所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过来确定a,b大小关系的方法。
前者为作差法，后者为作商法。
但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。
02分析法和综合这两个方法我们一般会一起使用。
分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。
如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。
我们来看一个例题，已知如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。
当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。
03反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。
这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。
反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。
04放缩法在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。
放缩法的目的性强,必须恰到好处,。
同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。
证明不等式的三个办法
证明不等式问题常与其他章节的知识相结合，备受出题人的青睐，经常出现在各类试题中.证明不等式的方法很多，如三角代换法、换元法、反证法、放缩法等.本题重点谈一谈如何运用放缩法、换元法和反证法来证明不等式.一、采用放缩法运用放缩法证明不等式的关键在于对不等式进行合理的放缩.运用放缩法证明不等式的一般步骤为：①分析待证不等式的结构特点，②将待证不等式进行整理、放缩，常见的放缩形式有：1n()n+1<1n2<1n()n-1，ba>b+m a+m()b>a>0,m>0；③利用不等式的传递性证明结论.一般地，若a>b,b>c，c>d，则a>d.有时可寻找一个中间量b，使得a>b，从而将问题转化为证明b>c即可.例1.已知an=1×2+2×3+…+n(n+1)，证明：n(n+1)2<a n<(n+1)22(n∈N*).解析：解答本题需分两步，分别证明n(n+1)2<a n和an<(n+1)22，可将n(n+1)放大为n(n+1)2，讨论n(n+1)与an、an与n(n+1)2的大小关系，便可利用不等式的传递性证明结论成立.证明：∵n(n+1)>n2=n，∴an>1+2+3+…+n=n(n+1)2，∵n(n+1)<n(n+1)2，∴a n<1+22+2+32+…+n(n+1)2=32+52+…+2n+12=(n+1)22,综上可知，n(n+1)2<a n<(n+1)22对所有正整数n都成立.二、换元有些不等式较为复杂，为了简化不等式，可将原不等式中的某个代数式用新变量替换，这样就将不等式转化为关于新元的不等式，从新的角度寻找到解题的思路.在换元的前后，要注意确保新旧变量的取值范围一致.例2.已知x+y+z=a，且x,y,z∈R，证明：x2+y2+z2≥a23.证明：由x+y+z=a，可设x=a3+α，y=a3+β，z=a3-(α+β),(α,β∈R),∴x2+y2+z2=æèöøa3+α2+æèöøa3+β2+éëùûa3-(α+β)2=a23+α2+β2+(α+β)2，而α2≥0，β2≥0，(α+β)2≥0，∴x2+y2+z2≥a23，∴不等式x2+y2+z2≥a23成立.解答本题主要采用了换元法，分别令x=a3+α，y=a3+β，z=a3-(α+β)，这样便将目标式转化为关于α、β的式子，再根据完全平方式为非负数的性质证明不等式成立.三、利用反证法运用反证法证明不等式，需首先假设原命题不成立，然后以此为条件，根据相关的公理、定理、公式等进行推理、运算，得出与已知条件、公理等相矛盾的结论，从而说明假设不成立，证明原不等式成立.例3.对于任意a,b,c∈(0,1)，证明：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14.解析：“(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14”包含多种情况，如果从正面求证较为繁琐，其反面情况较少，即(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14，就可采用反证法来进行证明.证明：假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于14，则b-ab>14,c-bc>14,a-ac>14，将上述三式子相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>164，因为(1-a)a≤æèöø1-a+a22=14，同理可得：(1-b)b≤14,(1-c)c≤14，所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤164，因此，假设不成立，原命题(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14成立.放缩法、反证法和换元法都是证明不等式成立的常用方法，其中换元法最简单，放缩法和反证法对同学们分析问题、解决问题的能力有更高的要求.在解题时，可首先考虑运用换元法，再考虑运用放缩法和反证法.（作者单位：云南省曲靖市民族中学）周必辉思路探寻49。
证明不等式的八种方法
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
证明不等式的三种措施
解题宝典不等式证明问题是高考中的高频考点.一般地，不等式证明问题的命题方式多变，求解途径多样.在解题时，通常需根据不等式的结构特征，灵活运用不等式的性质，通过恒等变换，将不等式进行合理的变形，然后构造函数、方程、几何图形等，从而证明不等式.本文主要谈一谈下列三种证明不等式的措施.一、采用函数最值法证明函数最值法是证明不等式的常用方法.在解题时，需首先将不等式进行变形，再根据不等式的结构特征，构造出函数的模型，将问题转化为函数最值问题，若f (x )≥a ；则f (x )min ≥a ，若f (x )≤a ，则f (x )max ≤a ；若f (x )>g (x )，则f (x )min >g (x )max .有时可构造一个函数，有时可构造多个函数.然后根据函数的图象和性质，求得函数的最值.例1.求证：-4≤cos 2x +3sin x ≤178.证明：令f ()x =cos 2x +3sin x ,则f ()x =1-2sin 2x +3sin x =-2æèöøsin x -342+178，当sin x =34时，f ()x 取最大值，f ()x max =178;当sin x =-1时，f ()x 取最小值，f ()x min =-4.因此-4≤cos 2x +3sin x ≤178.令f ()x =cos 2x +3sin x ，便可将不等式证明问题转化为函数最值问题.通过三角恒等变换，将函数式转化为关于sin x 的二次函数问题，利用二次函数和正弦函数的性质便可求得最值，从而证明不等式.运用函数最值法解题的关键在于合理构造函数模型.二、利用函数的单调性证明函数的单调性是证明不等式的有力工具.由函数单调性的定义可知，若函数为增函数，当x 1>x 2时，f (x 1)>f (x 2)；若函数为减函数，当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2).利用函数的单调性证明不等式主要有两种思路：一是将不等式两边的式子构造成同构式，找出其自变量，再利用函数的单调性来比较不等式两边式子的大小；二是构造函数式，对函数式求导，根据导函数与函数单调性之间的关系，来判断出函数的单调性，再运用函数的单调性证明不等式.例2.已知x ∈()0,π，试证明：sin x <x .证明：令f ()x =x -sin x ,∴f ′()x =1-cos x ，当x ∈()0,π时，f ′()x >0，∴f ()x =x -sin x 在()0，π上为增函数，∴f ()x >f ()0=0，即f ()x >0，所以x -sin x >0，因此sin x <x .通过构造函数，讨论导函数在定义域上的单调性，便可根据函数的单调性证明不等式.三、根据中值定理进行证明中值定理：如果函数f ()x 在[a ,b ]上连续，且在开区间(a ,b ）上可导，那么在（a ,b ）内至少有一点ε（a <ε<b ），使得f ()b -f ()a =f ′()ε()b -a .运用中值定理证明不等式，需先判断函数f ()x 在定义域内是否连续，且可导，然后根据不等式,构造f ()b -f ()a =f ′()ε()b -a 或f ′()ε=f ()b -f ()a b -a的形式，便可根据导数的几何意义或函数的单调性来证明不等式.例3.求证：||sin x -sin y ≤||x -y .证明：设f ()x =sin x ，则sin x -sin y =()x -y cos ε，可得||sin x -sin y ≤()x -y cos ε≤||x -y ，所以||sin x -sin y ≤||x -y .解答本题主要运用了中值定理、绝对值不等式的性质以及放缩法.通过上述分析可以看出，利用函数最值法、函数的性质、中值定理来证明不等式，都需构造合适的函数，然后灵活运用函数的性质、最值以及导函数的性质来分析问题.因此在解题时，同学们要学会将不等式与函数、导函数、中值定理关联起来，以快速找到最佳的解题方案.（作者单位：江苏省镇江中学）40。
不等式证明的一般方法
不等式的证明方法在中学，不等式的证明问题，同学们一般都感到较困难，其原因是证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，难度较高，为此，笔者现通过一些例题，提出一套关于不等式的证明方法和常用技巧，供大家参考。
一、比较法由于所以我们可以借助a-b的差值的符号来判断a、b的大小，这样证明不等式的方法，我们称为比较法。
例1 已知a、b、m为正数，且a<b求证：证明：因为而：m>0 b>0 b-a>0所以即故（证毕）用此方法证明，还可以启发学生变更命题的某些条件，而得出一些类似的结论。
例2 已知a、b为实数。
求证：证明：因为，所以（证毕）通过上述各例，不难总结出比较法的步骤是，求差—变形—判断（大于或小于零），其关键是变形，常用的有，因式分解、配方、通分等。
二、综合法从已知条件或已被证明的基本不等式出发，运用不等式的性质，逐步推出结论。
即：“由因导果”这种方法称为综合法。
例3 求证：证明；因为，又所以，同理三式相加得。
例4 设a、b、c为正数，且a+b+c=1求证：证明：因为，同理三式相乘得（证毕）例5 已知求证：证明：由得N个同向不等式相加得即三、分析法欲证原不等式成立，可以利用恒等变形和不等式的性质寻求使该不等式成立的充分条件，逐一进行，直到所求的充分条件成立，则逆推之，不等式得证，这种从结论出发，寻找结论和条件的联系的方法叫做分析法。
例6 已知a、b为整数，且求证：证明：假设不等式成立，两边平方得于是由条件这是显然成立的，因此倒推回去，每步可逆，所以原不等式成立。
例7 已知求证：证明：欲使那么应有因为所以，上式两边约掉得即所以，最后不等式显然成立，以上每一步的证明都可逆，故原不等式成立。
例8 求证：证明：假设不等式成立，于是故这是显然成立的，由此倒推回去，每一步可逆，所以原不等式成立。
四、反证法从否定所求的不等式入手，推出与已知真命题或已知条件相矛盾的结论，从而断定所求的不等式成立，这种证明方法叫做反证法。
浅谈不等式的几种常用证明方法
浅谈不等式的几种常用证明方法
不等式的证明方法有很多种，下面介绍几种常用的证明方法：
1、分类讨论法：将问题分成几类，每类分别分析，最后综合得出结论。
2、数学归纳法：从一般情况出发，逐步推理，最后得出结论。
3、证明反证法：从结论出发，推理出充分条件，如果充分条件不能满足，则得出结论为假，否则得出结论为真。
4、极限法：通过极限的思想，求出不等式的解集。
5、图形法：通过绘制不等式的图形，判断不等式的解集。
6、数学归纳法：从一般情况出发，逐步推理，最后得出结论。
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．一、反证法如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤(2b a )2·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)，综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－32ab ，显然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一个不正确．例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c＞0．证明：反证法由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0，又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0，从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾．∴假设不成立，从而a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2．证明：反证法假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8，∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2．故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)，又p ＞0，q ＞0 p ＋q ＞0，∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．故假设p ＋q ＞2不成立，∴p ＋q ≤2．例4 已知)(x f = x 2＋ax ＋b ，其中a 、b 是与x 无关的常数，求证：|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法一：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21， 由于)1(f = 1＋a ＋b ，)2(f = 4＋2a ＋b ，)3(f = 9＋3a ＋b ，∴)1(f ＋)3(f －)2(f =2，但是，2 = |)1(f ＋)3(f －)2(f |≤|)1(f |＋|)3(f |＋2|)2(f |＜21＋21＋2×21= 2， 即2＜2，矛盾，∴假设不成立，∴|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 反证法二：假设|)1(f |＜21，|)2(f |＜21，|)3(f |＜21，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<.21|)3(|,21|)2(|,21|)1(|f f f ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<++<-<++<-<++<-③b a ②b a ①b a .219321,214221,21121 ①＋③得：－1＜4a ＋2b ＋10＜1，即－21＜2a ＋b ＋5＜21， ∴－23＜2a ＋b ＋4＜－21，④ 显然②与④矛盾，因此，假设是不成立的， 故|)1(f |，|)2(f |，|)3(f |中至少有一个数不小于21． 例4 设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不能同时大于41． 证明：反证法假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 同时大于41，即(1－a)b ＞41，(1－b)c ＞41，(1－c)a ＞41， 则由41＜(1－a)b ≤(21b a +-)2⇒21b a +-＞21， 同理：21c b +-＞21，21a c +-＞21， 三个同向不等式两边分别相加，得23＞23，矛盾，所以假设不成立， ∴原结论成立．例6 若0＜a ＜2，0＜b ＜2，0＜c ＜2，求证：(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a不能同时大于1．证明：反证法假设⎪⎩⎪⎨⎧>->->-.1)2(,1)2(,1)2(a c c b b a 那么2)2(b a +-≥b a )2(-＞1，① 同理2)2(c b +-＞1，② 2)2(a c +-＞1，③ ①＋②＋③，得3＞3矛盾，即假设不成立，故(2－a)b ，(2－b)c ，(2－c)a 不能同时大于1．二、三角换元法对于条件不等式的证明问题，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将复杂的代数问题转化为三角问题．若变量字母x 的取值围与sin θ或cos θ的变化围相同，故可采用三角换元，把所要证的不等式转换为求三角函数的值域而获证．一般地，题设中有形如x 2＋y 2≤r 2，22a x ＋22b y = 1或22a x －22b y = 1的条件可以分别引入三角代换⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (| r |≤1)，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 或⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ，其中θ的取值围取决于x ，y 的取值围，凡不能用重要不等式证明的问题时，一般可以优先考虑换元(代数换元或三角换元)，然后利用函数的单调性最终把问题解决．在三角换元中，由于已知条件的限制作用，根据问题需要，可能对引入的角度有一定的限制，应特别引起注意，否则可能会出现错误的结果．例2 已知1≤x 2＋y 2≤2，求证：21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 证明：∵1≤x 2＋y 2≤2，∴可设x = rcos θ，y = rsin θ，其中1≤r 2≤2，0≤θ＜π2．∴x 2－xy ＋y 2= r 2－r 2sin θ2= r 2(1－21sin θ2)， ∵21≤1－21sin θ2≤23，∴21r 2≤r 2(1－21sin θ2)≤23r 2，而21r 2≥21，23r 2≤3， ∴ 21≤x 2－xy ＋y 2≤3． 例2 已知x 2－2xy ＋y 2≤2，求证：| x ＋y |≤10．证明：∵x 2－2xy ＋y 2= (x －y)2＋y 2，∴可设x －y = rcos θ，y = rsin θ，其中0≤r ≤2，0≤θ＜π2．∴| x ＋y | =| x －y ＋2y | = | rcos θ＋2rsin θ| = r|5sin(θ＋ractan21)|≤r 5≤10．例3 已知－1≤x ≤1，n ≥2且n ∈N ，求证：(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n ． 证明：∵－1≤x ≤1，设x = cos θ2 (0≤θ≤2π)， 则1－x =1－cos θ2= 1－(1－2sin 2θ) = 2sin 2θ，1＋x =1＋cos θ2= 2cos 2θ，∴(1－x)n ＋(1＋x)n = 2n sin n 2θ＋2n cos n 2θ≤2n ( sin 2θ＋cos 2θ) =2n ，故不等式(1－x)n ＋(1＋x)n ≤2n 成立．例4 求证：－1≤21x -－x ≤2．证明：∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，故可设x = cos θ，其中0≤θ≤π． 则21x -－x =θ2cos 1-－cos θ= sin θ－cos θ=2sin(θ－4π)， ∵－4π≤θ－4π≤43π， ∴－1≤2sin(θ－4π)≤2，即－1≤21x -－x ≤2． 三、增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a ＞b ＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．例7 已知a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 证明：∵a ，b ∈R ，且a ＋b = 1，∴设a =21＋t ，b=21－t ， (t ∈R) 则(a ＋2)2＋(b ＋2)2= (21＋t ＋2)2＋(21－t ＋2)2= (t ＋25)2＋(t －25)2= 2t 2＋225≥225． ∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥225． 例8 已知a 1＋a 2＋…＋a n = 1，求证：21a ＋22a ＋…＋2n a ≥n1． 证明：设a 1= t 1＋n 1，a 2= t 2＋n 1，…，a n = t n ＋n1，其中t 1＋t 2＋…＋t n = 0，则21a ＋22a ＋…＋2n a = (t 1＋n 1)2＋(t 2＋n 1)2＋…＋(t n ＋n 1)2= n ·21n＋2×n 1( t 1＋t 2＋…＋t n )＋…＋21t ＋22t ＋…＋2n t =n 1＋21t ＋22t ＋…＋2n t ≥n 1． 四、放缩法放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明不原不等式更强的不等式来代替原不等式的证明．这种证题方法的实质是非等价转化，而它的证题方法没有一定的准则和程序，需按题意适当．．放缩，否则是达不到目的．利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特征及已知条件，采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母、把和式中的某些项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．此类证法要慎审地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩(放的过大或过小)都会导致推证的失败．例5 设n 为自然数，求证：91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41． 证明：∵2)12(1+k =14412++k k ＜k k 4412+=41(k1－11+k )， ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． ∴91＋251＋…＋2)12(1+n ＜41[(1－21)＋(21－31)＋…＋(n 1－11+n ) =41(1－11+n )＜41． 例5 已知a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ，其中n 为自然数， 求证：21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 证明：∵)1(+k k ＜21++k k =212+k 对任意自然数k 都成立， ∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＜23＋25＋27＋…＋212+n =21[3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)] =21(n ＋2n)＜21(n ＋2n ＋1) =21(n ＋1)2． 又)1(+k k ＞2k = k ，∴a n =21⨯＋32⨯＋…＋)1(+n n ＞1＋2＋3＋…＋n =21n(n ＋1)， ∴21n(n ＋1)＜a n ＜21(n ＋1)2． 评析：根据要证不等式的结构特征，应用均值不等式“放大”a n 为一个等差数列的和，求和后再添加一个数1，直到“放大”到要证的右边；而左边是通过“缩小”a n 的方法去根号而转化为等差数列的和．放大或缩小的技巧很多，如添项、减项、分子、分母加或减一个数，或利用函数的单调性、有界性等等，但要注意放缩要适度．11．设a 、b 为不相等的两正数，且a 3－b 3= a 2－b 2，求证：1＜a + b ＜34． 证明：由题意得a 2＋ab ＋b 2= a + b ，于是(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2＞a 2＋ab ＋b 2= a + b ，故a + b ＞1，又(a ＋b)2＞4ab ，而(a ＋b)2= a 2＋2ab ＋b 2= a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋4)(2b a +， 即43(a ＋b)2＜a ＋b ，解得a + b ＜34． ∴1＜a + b ＜34． 例12 已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2． 证明：∵d cb a b +++＜c b a b ++＜ba b +， d c b a c +++＜d c b c ++＜dc c +，d c b a d +++＜a d c d ++＜dc d +， d c b a a +++＜b a d a ++＜ba a +， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜c b a b ++＋d c b c ++＋a d c d ++＋ba d a ++＜2．。
证明不等式的八种方法
利用导数证明不等式的八种方法构造函数法---1研究其单调性2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.181、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
浅谈中学数学不等式证明的常见技巧及方法策略
浅谈中学数学不等式证明的常见技巧及方法策略
中学数学不等式证明一直是学习数学的重中之重，也是很多学生的困扰。
因此，学好证明不等式的技巧和方法，对进行证明有莫大的帮助。
首先，在证明不等式时，有必要充分深刻地理解题目，了解题中涉及的几何图形、线段，以及运用到的充分条件，以及不等式表示的意义，这样才能搞清楚要证明什么，怎么证明才能达到正确的结论。
其次，可以利用不等式推理法来证明不等式，有时只要根据不等式的关系联系式得出，让未知数的值在合法的范围内动态得出，就可以直接证明出结论。
再次，可以利用证明等价性的技巧进行证明，即证明某个不等式相当于另一个不等式，只要通过交换，变换，加减等操作将未知数的值抓住，并得出正确的结论，即可得出结论。
此外，还可以利用对称性进行证明，即，将未知数在合法范围内，按照数学线性规律，进行变换，相互转换，得出正确的结论。
而且，还可以利用逆证法进行证明，即，将未知数在合法的范围内，按照数学的偏微分规律，变换，并配合原来的常数项，推导出正确的结论。
总而言之，在证明中学数学不等式时，可以利用不等式推理法、等价性技巧、对称性、逆证法等多种技巧和方法策略，这些都能为我们节省不少时间，让我们轻松搞定数学不等式证明任务。
不等式证明的基本方法
分析 这是一个整式不等式，可考虑用
比较法，在配方过程中应体现将a或b看 成主元的思想，在这样的思想下变形， 接下来的配方或因式分解相对容易操作.
(证法一)作差法.
a2+b2-ab-a-b+1=a2-(b+1)a+b2-b+1
=(a=(a-
b 1 2 3 2 3 3 ) + 4 b - 2 b+ 4 2 b 1 2 3 ) + 4 (b-1)2≥0. 2
端实行不同的恒等变形，其目的都是为了有 效地利用有关的基本不等式，这是利用基本 不等式证明不等式的一个难点.“变形”的形 式很多，常见的是拆、并项，也可乘一个数 或加上一个数等. (2)常见已证过的不等式有以下几种形式： ①a2≥0(a∈R); ②|a|≥0(a∈R);
③a2+b2≥2ab(a、b∈R)的变形有： a2+b2≥2|ab|≥±2ab,a2+b2≥
综合法的思维过程的全貌可概括为 下面形式：
“ 已 知 → 可 知 1→ 可 知 ２ → …→ 结 论”.
3.分析法是指“执果索因”的思维方法， 即从结论出发，不断地去寻找需知，直至 达到已知事实为止的方法. 分析法的思维全貌可概括下面形式： “结论←需知1←需知2←…←已知”. 4.反证法：从否定结论出发，经过逻辑 推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误 的，从而肯定原结论是正确的证明方法. 5.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大 和缩小，借助一个或多个中间量，使得 B<B1,B1≤B2,…,B1≤A，再利用传递性，达到 欲证的目的，这种方法叫做放缩法.
,
因为a＞b＞0,所以 a ＜1＜ b 成立，
证明函数不等式的六种方法
证明函数不等式的六种方法在高中数学中，函数的不等式是一个重要的主题。
证明函数不等式是一个基本的技能，它可以帮助学生更好地理解函数的性质并提高数学思维能力。
下面我们介绍六种证明函数不等式的方法。
1. 代数法这种方法是最常用的方法之一。
我们可以将不等式两边的函数展开，并进行简单的代数计算，以确定不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)展开，然后将它们相减，得到：f(x) - g(x) = x + 1因此，f(x) > g(x) 当且仅当 x > -12. 消元法这种方法通常适用于含有多个变量的不等式。
我们可以将其中一个变量消去，从而使不等式简化。
例如，我们要证明：f(x, y) > g(x, y)其中f(x, y) = x^2 + y^2g(x, y) = x^2 - y^2我们可以将y消去，得到：f(x, y) - g(x, y) = 2y^2因此，f(x, y) > g(x, y) 当且仅当 y ≠ 03. 极限法这种方法通常适用于连续函数的不等式。
我们可以将不等式两边取极限，以确定不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)的极限计算出来，得到：lim (f(x)) = +∞x→+∞lim (g(x)) = +∞x→+∞因此，f(x) > g(x) 当 x → +∞4. 导数法这种方法通常适用于在区间内单调的函数不等式。
我们可以计算函数的导数，以确定函数的单调性和不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1g(x) = x^2 + 2x + 1我们可以计算f(x)和g(x)的导数，得到：f'(x) = 3x^2 + 6x + 3g'(x) = 2x + 2由于f'(x) > g'(x) 在 [-1, +∞) 上成立，并且f(-1) > g(-1) ，因此，f(x) > g(x) 在 [-1, +∞) 上成立。
证明不等式的常用方法和技巧.
证明不等式的常用方法和技巧一、比较法例1、求证：对任何非负数a 和b ，不等式21(a+b)2+41(a+b)≥a b +b a 成立二、分析法例2、设a b ≤<0, 求证:()()bb a ab b a a b a 2281281-≤-+≤-三、综合法例3、对任意实数x,y,z ，有sinxcosy+sinycosz+sinzcosx ≤23例4、若m 、n ∈N*，求证：n m mn n m n m +≥+2例5、求证：对任意正整数n ，有(1+n 1)n+1＞(1+11+n )n+2＞2例6、已知a 1,a 2,…,a n 都是正数，且a 1+a 2+…+a n =1，求证：(a 1+11a )2+(a 2+21a )2+…+(a n +n a 1)2≥n n 22)1(+例7、设3x 2+2y 2≤6，求p=2x+y 的最大值。
例8、在△ABC 中，A 、B 、C 是三内角，a 、b 、c 为其对应边。
求证：3π≥++++c b a cC bB aA例9、a,b,c ＞0，求证：a+b+c ≤c b a 222++a c b 222++b a c 222+≤bc a 3+ca b 3+abc 3几个古典不等式1、(切比雪夫不等式)若a 1，a 2，…，a n 和b 1，b 2，…，b n 为实数，且a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n (或a 1≥a 2≥…≥a n ，b 1≥b 2≥…≥b n )，则(∑=n i i a n 11)(∑=n i i b n 11)≤∑=ni i i b a n 11 当且仅当a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n 时取等号。
2、(琴生不等式)设f (x)为区间[a ，b]上的严格下凸函数，即对x 1,x 2∈[a,b], x 1≠x 2，总有f (221x x +)＜21[f (x 1)+f (x 2)]，则对于[a ，b]中任意一组不全相同的值x 1,x 2,…,x n ，必有f (n x x x n +++ 21)＜n1[f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n )]3、(Young 不等式)设p,q ＞1,111=+q p ，则对任何x,y ≥0，有xy ≤qy p x qp +。
不等式证明常用方法
不等式证明常用方法不等式是中学数学最基本内容之一,它有着丰富的实际背景，与生产实践联系十分密切；因此，无论普通高考，还是对口高考，不等式,历年都是考试的重点、热点,甚至难点。
下面就不等式的证明，介绍几种常见方法，如有不对，敬请同行、同学们斧正. 一、作差法例1、对于任意实数x ,求证：x x 232>+.证明：∵x x 232-+=2)1(2+-x 0> ∴x x 232>+.评注:1.作差法步骤:作差—变形—判断与0的关系—结论.2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用.二、作商法例2、设a ,b 均是正实数，求证：a b b a b a b a ≥.证明：首先，由条件0>bab a ,0>abb a ， 其次， b a a b b a b aba b a -=)(，⑴当0>≥b a 时，1≥ba，0≥-b a ，∴1)(≥-b a b a .⑵当0>>a b 时，10<<b a ，0<-b a ，∴1)(>-b a ba.综合⑴、⑵：1)(≥-b a ba，∴a b b a b a b a ≥.评注:1.作商法步骤:作商—变形—判断与1的关系—结论.2.作差法是通法，运用较广；作商法，要注意条件，不等式两边必须是正数。
作商法常用于证幂、指数形式的不等式。
三、综合法例3、设a ,b ,c 均是正实数,求证：c b a c ab b ca a bc ++≥++ 证明：∵a ,b ,c 均是正实数,∴a bc ,b ca ,cab也均是正实数.∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a+≥+≥+≥∴2(bc a +)(2c b a c abb ca ++≥+， ∴c b a cab b ca a bc ++≥++ 评注：1.利用某些已经证明过的不等式（例如正数的算术均值不小于几何均数等）和不等式的性质(例如||||||||||b a b a b a +≤+≤-等)推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2.综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.3.运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方法。
初中数学不等式证明方法总结
初中数学不等式证明方法总结初中数学不等式证明方法总结通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。
初中数学不等式证明方法总结，希望可以帮助到大家，我们来看看。
初中数学不等式证明方法总结1知识要点：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
(÷或×1个负数的时候要变号)。
不等式的证明1、比较法包括比差和比商两种方法。
2、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。
3、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
知识要领总结：证明不等式要注意不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。
使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。
2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
证明不等式的几种途径
知识导航不等式证明问题是高考试题中的常见题目.此类问题的综合性较强，常与函数、方程、数列等知识结合在一起.而且此类问题中给出的已知条件一般都比较少，同学们很难快速找到解题的思路.本文重点介绍证明不等式的三种技巧：几何法、函数法、放缩法，以帮助同学们提升解答不等式证明问题的效率.一、几何法几何法是根据不等式中代数式的几何意义构造出几何图形，借助几何图形的性质以及位置关系证明不等式的方法.几何法的本质是借助数与形之间对应的关系来进行构造和转化.运用几何法证明不等式，既直观又简便.例1.证明：a 2+b 2+(1-a )2+b 2+(1-a )2+(1-b )2+a 2+(1-b )2≥22，其中a ∈(0,1),b ∈(0,1).分析：可将上述根式看作两个点之间的距离，构造四边形ABCD ，令A (1,0),B (1,1),C (0,1),D (0,0)，并设P 点的坐标为(a ,b )，再结合三角形的几何性质便可证明不等式.证明：设A (1,0),B (1,1),C (0,1),D (0,0)，则四边形ABCD 为正方形，设P 点的坐标为(a ,b ),那么||PD =a 2+b 2,||AP =(1-a )2+b 2，||PB =(1-a )2+(1-b )2，||PC =a 2+(1-b )2,||BD =2,||AC =2，根据三角形的性质可得：||DP +||BP ≥||BD ,||AP +||CP ≥||AC ，即||DP +||BP +||AP +||CP ≥||BD +||AC 所以a 2+b 2+(1-a )2+b 2+(1-a )2+(1-b )2+a 2+(1-b )2≥22.二、函数法函数法是指结合不等式的特征，构造出合适的函数模型，利用函数的图象和性质解题的方法.在证明不等式时，首先要将不等式进行适当的变形，然后构造函数模型，通过讨论函数的导函数、值域、单调性、最值来证明不等式成立.例2.证明：2x 2+x +3>0.证明：设f (x )=2x 2+x +3，则f ′(x )=4x +1，令f ′(x )=0，则x =-14，①当x >-14时，f (x )>0，所以f (x )在(-14,+∞)上单调递增，②当x <-14时，f (x )<0，所以f (x )在(-∞,-14)上单调递减，因此当x =-14时，函数f （x ）取最小值，最小值为238>0.所以2x 2+x +3>0.这里，首先令f (x )=2x 2+x +3，再通过对函数进行求导，利用导函数与函数单调性之间的关系求得函数的最小值，证明函数的最小值大于0，即可证明原不等式恒大于0.三、放缩法放缩法是是指将不等式放大或者缩小，从而证明不等式成立的方法.在解题时，可首先设出一个中间变量m ，然后利用不等式的传递性，借助这个中间量来对原不等式进行放大或者缩小，如b a >b +m a +m(b >a ,a ,b ,m 属于正整数)，进而证明不等式成立.例3.证明：(1+13)(1+15)……(1+12n -1)>，其中n 为正整数.证明：令A =(1+13)(1+15)……(1+12n -1)=43×54×…×2n 2n -1，而43>54,65>76,…,2n -22n -3>2n -12n -2,2n 2n -1>2n +12n，将上述不等式相乘得A >54×76×…×2n -12n -2×2n +12n，则A 2>43×54×65×76×…×2n 2n -1×2n +12n=2n +13>2n +14，所以A .这里，首先将不等式变形，然后利用不等式乘法的性质，构造出原不等式左边的式子，最后通过放缩不等式证明结论.总而言之，证明不等式的方法多种多样，同学们要掌握每一种证明的方法，学会结合代数式的几何意义、特征，构造几何图形、函数、新的不等式，利用图形、函数、不等式的性质来证明结论.（作者单位：江苏省扬州市邗江区公道中学）证明不等式的几种途径陈伟民36。
浅谈中学几种常用证明不等式方法[五篇材料]
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浅谈中学几种常用证明不等式方法[五篇材料]第一篇：浅谈中学几种常用证明不等式方法成绩：XXXXXX大学毕业论文题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法（外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院（系）：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学生姓名：学号：指导教师：2013年3月20日目录 1引言 1 2放缩法证明不等式 1 2.1放缩法 1 2.2（改变分子分母）放缩法 1 2.3拆补放缩法 2 2.4编组放缩法3 2.5寻找“中介量”放缩法4 3反正法证明不等式 4 3.1反证法定义4 3.2反证法步骤5 4．换元法证明不等式6 4.1利用对称性换元，化繁为简 6 4.2三角换元法7 4.3和差换元法8 4.4分式换元法 8 5．综合法证明不等式9 5.1综合法证明不等式的依据 9 5.2用综合法证明不等式的应用 9 5.3综合法与比较法的内在联系 10 6.分析法 10 6.1分析法的定义 10 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 11 6.3分析法证明不等式的应用 11 7．构造法证明不等式 13 7.1构造函数模型 13 7.2构造数列模型14 8．数学归纳法证明不等式15 8.1分析综合法15 8.2放缩法 16 8.3递推法 16 9.判别式法证明不等式 17 10.导数法证明不等式 18 10.1利用函数的单调性证明不等式 18 9.2利用极值（或最值）19 11比较法证明不等式 20 11.1差值比较法 20 11.2商值比较法 21 11.3比较法的应用范围 21 12结束语：参考文献 22 浅谈中学常用几种证明不等式的方法摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。
因而他是中学数学考试的难点。
不等式的证明的方法很多。
本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比较法。
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
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成绩：江西科技师范大学毕业论文题目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法（外文）：On the method commonly used inMiddle School to prove inequality院（系）：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学生姓名：吴丹学号：20091741指导教师：樊陈2013年3月20日目录1引言 (1)2放缩法证明不等式 (1)2.1放缩法 (1)2.2（改变分子分母）放缩法 (1)2.3拆补放缩法 (2)2.4编组放缩法 (3)2.5寻找“中介量”放缩法 (4)3反正法证明不等式 (4)3.1反证法定义 (4)3.2反证法步骤 (5)4．换元法证明不等式 (6)4.1利用对称性换元，化繁为简 (6)4.2三角换元法 (7)4.3和差换元法 (8)4.4分式换元法 (8)5．综合法证明不等式 (9)5.1综合法证明不等式的依据 (9)5.2用综合法证明不等式的应用 (9)5.3综合法与比较法的内在联系 (10)6.分析法 (11)6.1分析法的定义 (11)6.2分析法证明不等式的方法与步骤 (11)6.3分析法证明不等式的应用 (11)7．构造法证明不等式 (13)7.1构造函数模型 (13)7.2构造数列模型 (14)8．数学归纳法证明不等式 (15)8.1分析综合法 (16)8.2放缩法 (16)8.3递推法 (17)9.判别式法证明不等式 (17)10.导数法证明不等式 (18)10.1利用函数的单调性证明不等式 (18)9.2利用极值（或最值） (20)11比较法证明不等式 (20)11.1差值比较法 (20)11.2商值比较法 (21)11.3比较法的应用范围 (22)12结束语： (22)参考文献 (22)浅谈中学常用几种证明不等式的方法摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。
因而 他是中学数学考试的难点。
不等式的证明的方法很多。
本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、 反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比较法。
关键词：不等式 证明方法 1引言不等式，渗透在中学数学各个分支中。
而不等式的证明在不等式中占有极其重要的地位。
不等式的证明的方法是中学数学的重要知识，也成为了中学数学考试的热点问题。
本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法来和大家一起分享，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用，而且还能够培养分析和解决问题的能力。
2放缩法证明不等式2.1放缩法放缩法的定义：在不等式的证明中，有时可把不等式中的某些项或因式换成数字较大或较小的数或式，以达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。
放缩法的形式：欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 ,,,211A B B B B B i ≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤,,211B A A A A A i ≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥≥，，或再利用传递性，达到欲证的目的。
2.2（改变分子分母）放缩法在不等式有分式时，长放大或缩小分式的分子或分母，从而达到“以小代大”或“以大代小”的目的。
例1：求一切3)11(,<+∈n nN n 证明：nn n n n n n C n C n C n 1111)11(221++++=+ =nn n n n n n n n n n !!!3)2)(1(2)1(232++--+-+ ！ n n1!31!212++++< 122121212-++++<n =)21212121(11210-++++n 2112111--+=n 32131<-=-n∴)(3)11(N n n n ∈<+2.3拆补放缩法在证有些不等式的时候，常将其中某些项拆开和或合并以完成证明。
例2：求证：)7(113121>+>++n n n 证明：k k k 21>++∴121++>k k k∴124323221413121+++++++>+++n n n 2211)21(2-+++=-+=n n n 2211)21(2-+++=-+=n n n 02217>-+⇒>n n∴113121+>++n n2.4编组放缩法证明不等式有时把某项拆开，重新编组，利用基本不等式完成证明。
例3：求证:)1,()1(141312111>∈+>+++++n N n n n nn n . 证明：左)11()311()211()11(n++++++++= nn 14534232++++++= n nn n 14534232+⋅⋅⋅> n n n 1)1(+=∴n n n n n 1)1(14131211+>+++++2.5寻找“中介量”放缩法当两式难以比较大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明。
例4：求证：19log 319log 219log 1log 1log 123552++>+ππ 证明：10log 5log 2log log 1log 152πππππ=+=+ 2log 2=>ππ)895(log 2log 3log 5log 19log 319log 219log 11931921919235⨯⨯=++=++ 2360log 19<=∴19log 319log 219log 1log 1log 123552++>+ππ 小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。
放缩 必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻 找。
3反正法证明不等式3.1反证法定义“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法．3.2反证法步骤1、假设命题的结论不成立；2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．例5：已知：c b a ,,都是小于1的正数；求证：a c a b b a )1(,)1(,)1(---中至少有一个不大于41。
分析 ：采用反证法证明．其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立．对题中“至少有一个不大于41”的否命题是“全都大于41”。
证明：假设41)1(,41)1(,41)1(>->->-a c c b b a c b a ,, 都是小于1的正数∴ 21)1(,21)1(,21)1>->->-a c c b b a （ ∴23)1()1()1>-+-+-a c c b b a （ 又 212121)1()1()1a c c b b a a c c b b a +-++-++-≤-+-+-（ =23故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确说明： 反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．例6：若2,0,033=+>>q p q p ，求证：2≤+q p证明：假设2>+q p ，则8)(3>+q p ，即8)(333>+++q p pq q p 。
因为233=+q p ，所以2)(>+q p pq故2)(>+q p pq 33q p +=))((22q pq p q p +-+=又,0,0>>q p 即0>+q p所以>pq )(22q pq p +-故0)(2<-q p与假设不成立，原命题正确。
总结：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。
反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。
用反证法证明不等式就是最好的应用4．换元法证明不等式4.1利用对称性换元，化繁为简例7:设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.分析:把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令 =-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式等价于：()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则 ()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=21. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x , 0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾), 因此 02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,综上所述,()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥4.2三角换元法三角换元法的基本思想是根据已知条件，引进新的变量---三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。
例8：已知122≤+y x ，求证2222≤-+y xy x分析：由已知122≤+y x ，令ϕαϕαsin ,cos ==y x ，则1≤a证明：令ϕαϕαsin ,cos ==y x ，1≤a 2222≤-+y xy x ϕϕαϕαϕαsin cos 2sin cos 2222+-= 22)42sin(22sin 2cos 222≤≤+∙=+=απϕϕϕa a说明:换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式．常用的换元法有(1)若1≤x ，可设αsin =x ，R ∈α；(2)若122=+y x ，可设ααcos ,sin ==y x ；(3)若122≤+y x ，可设ϕαϕαsin ,cos ==y x ，1≤a 。
4.3和差换元法在题中有两个变量y x ,，可设b a y b a x -=+=,，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式。