高中数学-立体几何-线面角知识点

方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：P
n
cos
AB
AB
AC
AC
AθO
α
（二）线面角
（1）定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA
在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。
P（2）范围：[0,90]
当0时，l或l//；当90时，l
（3）求法：
P
POwk.baidu.com
lOAlPA
l
AO
l
α
方法三：用向量方法：
若向量l和向量m的数量积为0，则lm。
三．夹角问题。
（一）异面直线所成的角：
（1）范围：(0,90]
（2）求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）
余弦定理：
a
c
cos
2
a
2
b
2ab
2
c
θ
b
（计算结果可能是其补角）
2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
l//m
ml//
l
方法二：用面面平行实现。
l
β
//
l //
α
l
方法三：用平面法向量实现。nl
若n为平面的一个法向量，nl且l,则l//。
α
2.面面平行：
方法一：用线线平行实现。
l
//
//
,m
',
m
l
l
且相交
且相交
//
α
l
βm
l'
m'
方法二：用线面平行实现。
l
//
//
m
//
β
l
m
l,m
且相交
α
三．垂直关系：
3.线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
lAC
l
l
AC
AC,
A
l
A
α
C
B
方法二：用面面垂直实现。
β
l
ml
m
lm,l
α
3. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l
β
l
C
θ
l
α
AB
方法二：计算所成二面角为直角。
4.线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l
l
m
lm
α
m
方法二：三垂线定理及其逆定理。
化为直线m与平面之间的距离。
BAm
a
d
n
方法二：直接计算公垂线段的长度。
c
m'
D
b
方法三：公式法。
C
如图，AD是直线m和n的公垂线段，m∥m`，则异面直线m和n的距离为
d
2a2b2ab
c2
cos
θ
AO
α
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
（三）二面角及其平面角
（1）定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和
n的夹角为二面角—l—的平面角。
m（2）范围：[0,180]
l P
n
（3）求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
12
四．距离问题。
P
1．点面距。
AO方法一：几何法。
步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
m
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
n
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
如图，m和n为两条异面直线，n且m//，则异面直线m和n之间的距离可转
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面
角。
βP
步骤2：解三角形，求出二面角。
θ
A
Oα
方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一：计算
cos
nn
12
nn
12
nn
12
θ
n1
n2
步骤二：判断与
nn的关系，可能相等或者互补。
立体几何知识点整理
一．直线和平面的三种位置关系：
1.线面平行2.线面相交3.线在面内
l
l
Alαα
α
二．平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l
l//
ll//m
m
m
方法二：用面面平行实现。
//
l
ll//mβ
mγ
mα
方法三：用线面垂直实现。
若l,m，则l//m。
方法四：用向量方法：
若向量l和向量m共线且l、m不重合，则l//m。