多元函数的极值与最值总结
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
多元函数极值和最值知乎
多元函数极值和最值
多元函数的极值和最值是在数学中研究多元函数的重要概念。
在多元函数中，有多个自变量，因此需要使用多元微积分的方法来求解极值和最值。
以下是对多元函数极值和最值的基本概念和求解方法的解释：
1.极值：在多元函数中，极值是指函数取得的最大值或最小
值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最
小值。
极值点是函数极值所对应的自变量的取值。
在数学
中，通过求解函数的偏导数或海森矩阵，可以找到函数的
极值点。
2.最值：最大值是函数取得的最大值，最小值是函数取得的
最小值。
最值点是函数最值所对应的自变量的取值。
在多
元函数中，求解最值需要考虑函数的取值范围和约束条件。
求解多元函数的极值和最值通常需要以下步骤：
a. 求解函数的偏导数：对于多变量函数，需要求取每个自变量的偏导数，然后令其等于零，得到极值点的一组可能解。
b. 检查偏导数的零点：对于求得的极值点，需要检查哪些是临界点，即是否是真正的极值点。
这可以通过进行二阶偏导数测试或观察局部整体性质进行判断。
c. 检查边界条件：如果多元函数的定义域是有界的，需要检查定义域的边界上是否存在可能的极值点。
d. 比较和确定最大值和最小值：通过比较各个候选的极值
点的函数值，确定多元函数的最大值和最小值。
需要注意的是，求解多元函数的极值和最值是一个复杂的过程，并且在实践中可能会遇到各种难题。
合理使用数学工具和技巧，以及仔细分析问题的特性和约束条件，能够有效地求解多元函数的极值和最值。
大学数学多元函数的极值与最值
大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。
在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。
对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。
二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。
该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。
2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。
其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。
3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。
该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。
三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。
以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。
2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。
3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。
通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。
四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。
多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。
因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是指含有多个变量的函数。
在数学中，多元函数的极值和最值是研究函数在定义域内取得的最大值或最小值的问题。
本文将探讨多元函数的极小值与极大值，以及如何确定极值的方法。
1. 极值的定义和判断方法多元函数的极大值和极小值定义如下：对于函数f(x1, x2, ..., xn)，若存在一个点P(x1, x2, ..., xn)使得在点P的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点P取得极小值；若存在一个点Q(x1, x2, ..., xn)使得在点Q的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≥ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点Q取得极大值。
判断函数极值的方法常用的有以下几种：- 一阶导数法：求出函数的所有一阶偏导数，并解方程组求出所有临界点，再通过二阶偏导数或利用一阶导数的符号变化判断临界点的性质（极大值或极小值）。
- 二阶导数法：计算函数的所有二阶偏导数，并判断二阶导数的符号确定临界点的性质。
- 极值判别法：利用Hessian矩阵来判断函数的极值，若Hessian矩阵是正定的，则函数取得极小值；若Hessian矩阵是负定的，则函数取得极大值。
2. 寻找多元函数的最值寻找多元函数的最值的方法有以下几种：- 符号法：将函数在定义域边界上的取值代入函数，通过比较得到最大值和最小值。
- 拉格朗日乘数法：当函数的自变量受到一定的限制条件时，可以利用拉格朗日乘数法来求解函数的最值。
- 最优化算法：通过迭代计算的方式，利用数值优化算法来求解函数的最值，例如梯度下降法、牛顿法等。
第六节多元函数的极值与最值
(2)求偏导
F f 0
x x x
令
F f 0
y y y
解得 (x, y) 及
F
0
(3)判断求出的点(x, y) 是否为条件极值点,
通常都是根据问题本身的实际意义确定.
例6 设长方体三边长度之和为a,试问三边
各取什么值时所得长方体的体积最大?
解 设三边长度各为 x, y, z 体积为V
A f xx ( x0 , y0 ) B fxy ( x0 , y0 ) C f yy( x0 , y0 ) D B2 AC
(1)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极大值点 (2)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极小值点 (3)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不是极值点
D B2 AC 9 36xy
对 (0,0) D 9 0 不是极值点
对 (1,1) D 27 0 且 A 6 0是极小值点
此时极小值为 f (1,1) 1.
补充 求 f (x, y) x2(2 y2 ) y ln y 的极值.
(2009年考研真题9分)
解 zx 2x(2 y2 ) zy 2x2 y ln y 1
(4)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不确定.
例1 求 z x3 y3 3xy 的极值.
解 zx 3x2 3 y zy 3 y2 3x
令
zx 3x2 3 y 0
zy 3 y2 3x 0
解得 (0,0) (1,1)
A zxx 6x B zxy 3 C zyy 6 y
令
zx
2x(2
y2)
0
zy 2x2 y ln y 1 0
解得 (0, 1 )
e
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题，而当函数的自变量不止一个时，就会涉及到多元函数的极值与最值问题。
本文将对多元函数的极值与最值进行探讨和讲解。
1. 极值的概念在一元函数中，我们知道极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
而在多元函数中，极值的概念与一元函数类似，也是指函数在某一点或某一区域内取得的最大值或最小值。
2. 极值的判定条件对于一元函数，我们通过导数的正负性来判断极值点。
而对于多元函数，判断极值点更加复杂。
我们需要利用偏导数和二阶导数的信息来进行判定。
a. 偏导数的判定方法偏导数是多元函数在某个自变量上的变化率，可以用来判断极值点的存在与否。
当偏导数为零时，可能存在极值点，但不一定。
我们需要进一步利用二阶偏导数的信息来判定。
b. 二阶偏导数的判定方法二阶偏导数是多元函数的偏导数再次求导得到的结果。
通过对二阶偏导数的判断，我们可以判定极值点的性质。
- Hessian矩阵的判定方法Hessian矩阵是由二阶偏导数组成的矩阵，通过判断Hessian矩阵的正定性、负定性或不定性，可以判断极值点的类型。
正定矩阵对应极小值点，负定矩阵对应极大值点，而不定矩阵则表示没有极值点。
3. 最值的概念除了极值点外，多元函数还有最值概念。
最值表示在给定区域内使函数取得最大值或最小值的点。
4. 最值的判定方法对于多元函数的最值问题，我们需要考虑两个因素：极值点和区域边界。
a. 极值点的判定方法和极值判定类似，我们利用偏导数和二阶偏导数的信息来判断极值点的存在与性质。
b. 区域边界的判定方法当给定区域为有界闭区域时，我们需要考虑边界上的点是否为最值点。
这一判断方法需要将边界上的点代入函数进行求值比较。
5. 实例分析接下来，我们通过一个实例来具体分析多元函数的极值与最值问题。
假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5，我们要求函数的极值与最值。
多元函数的极值与最值
z
该函数在原点处连续，但有
f xy (0,0) 1
f yx (0,0) 1
问题：曲面在点(0,0)附近 的形状是怎样的呢 ？
在Dxy: x y 1 上考虑
2 2
.
o
曲面过x轴 ，过y轴 曲面关于x轴对称，
.
x
y
曲面关于y轴对称 y x y x 曲面关于直线 对称,关于直线 对称 z0 z0
函数在D内只有唯一的驻点 3 2 , 3 2 ), ( 因此可断定当x 3 2 , y 3 2时，A取得最小值。
3 3
2 当水箱的长为 2m、宽为 2m、高为3 3 2m时，水箱 2 3 2 所用的材料最省。 (即体积一定的长方体中 立方体的表面积最小 )
例5
有一宽为24cm的长方形铁板，把它两 多元函数最值举例 边折起来做成一断面为 等腰梯形的水槽。问怎 样的折法才能使断面的 面积最大？
一、多元函数极值
2. 引例 引例1
z (0, y ) x0
z
z ( x,0) y0
o
δ
y
z
1 4 1 2
2
e
x2 y2 2
x
( 1、 2 0, 常数) (( x, y ) )
2
z (0,0) 1 /(2 1 2 ) z 故z (0,0)
设f ( x, y) x y 3x 3 y 9 x的极值。
3 3 2 2
3 x 2 6 x 9 0且f y 3 y 2 6 y 0 解：f x P ( 3,0), P2 (3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 1 A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
大学四年级多元函数的极值与最值
大学四年级多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的情况下，由一个或多个变量决定的函数。
在大学四年级的高等数学课程中，我们学习了多元函数的极值与最值问题。
本文将探讨多元函数的极值与最值的概念、求解方法以及一些典型例题。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数的极值与最值是指函数在一定自变量范围内取得的最大值或最小值。
与一元函数类似，多元函数的极值与最值也是通过求导数来确定的。
对于一个二元函数f(x, y)，其极大值和极小值的定义如下：1. 极大值：如果对于函数f(x, y)的定义域中的每一个点(x0, y0)，在其邻域内，f(x0, y0)都小于或等于f(x, y)，则称f(x0, y0)为f(x, y)的极大值；2. 极小值：如果对于函数f(x, y)的定义域中的每一个点(x0, y0)，在其邻域内，f(x0, y0)都大于或等于f(x, y)，则称f(x0, y0)为f(x, y)的极小值。
类似地，可以将极值和最值的概念推广到三元函数、四元函数等更高维度的函数中。
二、多元函数的极值与最值求解方法1. 求取极值的方法之一是利用一元函数的方法进行转化。
首先可以将多元函数转化为含有一个变量的函数，然后对该一元函数进行求导、化简等操作，最后得到极值点的坐标。
2. 可以通过对多元函数的所有自变量进行求偏导数，并令偏导数等于零，解方程组求得极值点。
需要注意的是，求得的极值点可能是真正的极值点，也可能是鞍点，需要进一步判断。
3. 当多元函数的定义域是一个闭区域时，可以利用闭区域上的最值定理来确定其最值。
该定理指出，闭区域上的连续函数必然存在最大值和最小值，并且这两个值一定在区域的边界上或者在内部的某个点。
三、典型例题1. 求多元函数f(x, y) = x^2 + y^2 + xy - 2x - 3y + 1 的极值。
解：首先对x和y分别求偏导数，得到：∂f/∂x = 2x + y - 2∂f/∂y = 2y + x - 3令偏导数等于零，解方程组得到极值点(x0, y0)：2x0 + y0 - 2 = 02y0 + x0 - 3 = 0解得(x0, y0) = (1, 1)。
多元函数的极值与最大值最小值
多元函数的极值与最大值最小值多元函数的极值与最大值最小值是数学分析领域中重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在给定条件下的最大值或最小值，这对于优化问题求解、经济学建模、物理学模型等都具有重要的应用价值。
本文将介绍多元函数的极值和最大最小值的概念、求解方法以及一些实际应用。
一、多元函数的极值多元函数是指含有两个或多个自变量的函数，通常表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn为自变量。
对于多元函数来说，极值的概念与一元函数类似，都是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
1.1 局部极值多元函数的局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
对于局部极值点(x1,x2,...,xn)，满足以下条件：1) 在(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内，函数值在该点处达到极值；2) 对于(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内的任一点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)，函数值均小于(或大于)在(x1,x2,...,xn)点处的函数值。
寻找多元函数的局部极值需要使用偏导数的概念。
偏导数是指将多元函数对某一个变量求导时，将其他变量视为常数进行求导。
具体计算方法为在函数中对每个自变量分别求偏导数，然后令偏导数等于零，解方程组找到所有偏导数为零的点，即为可能的极值点。
再通过二阶偏导数的符号确定每个极值点的极值类型。
1.2 全局极值多元函数的全局极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
与一元函数的全局极值类似，全局极值点是指函数在整个定义域中取得最大值或最小值的点。
寻找多元函数的全局极值需要通过计算函数的驻点和边界上的函数值，并比较它们的大小。
驻点是指函数的偏导数为零的点，边界上的函数值可以通过限制条件将多元函数转化为一元函数，然后使用求一元函数的最大值或最小值的方法进行求解。
根据驻点和边界上的函数值，比较它们的大小即可确定全局极值。
二、多元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常需要求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值，这可以通过求解最优化问题来实现。
多元函数的极值
课堂练习 求函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy 的极值 . 解 取到极值的必要条件 : f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3 y = 0, x 2 − y = 0, 定理1 用P110定理 定理 即 2 2 y − x = 0. f y ( x , y ) = 3 y − 3 x = 0, y = x2, y = x2, y = x2, 即 2 2 即 即 3 ( x ) − x = 0 . x ( x − 1 ) = 0 . x = 0 或 x = 1 . 得驻点 (1,1), ( 0,0 ).
又, A = f xx( x, y) = 6x, B = f xy ( x, y) = −3, C = f yy ( x, y) = 6 y.
∵ AC − B2 = 6 ⋅ 6 − (−3)2 > 0, 又 A > 0, 点(1,1 )处 ,
定理2 用P110定理 定理
∴ f (1,1) = − 1是极小值 ;
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 15
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 代入得 z = f [ x , y( x )], 化成了无条件极值 一元函 数 z = f [ x , y ( x )] 在 x 0 处取得极值的 dz 由隐函数求导公式得到 必要条件是 x = x0 = 0, dx dy 即 [ f x ( x , y ( x )) + f y ( x , y ( x )) ⋅ ] x = x 0 = 0, dx dx ϕ x ( x 0 , y0 ) ) = 0, 即 f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 )( − ϕ y ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 令 即 = =− λ, ϕ x ( x 0 , y0 ) ϕ y ( x 0 , y0 )
多元函数极值最值条件极值
因 x 0, y 0, z 0, 由(2)- (1) 得
(x y)(z 2) 0,
若 z 2 0 则由（1）可得 0或者y 0 矛盾。 于是有 x y
同理，y z 于是 x y z.
2x x 2x x 2x x a2 0.
6x2 a2,
解得
x y z 6 a, 6
先构造函数（其中1, 2 均为常数） F ( x, y, z, t) f ( x, y, z, t) 1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z, t )
求解方程组
Fx ( x, y, z, t) 0,
F
y
(
x,
y,
z
,
t
)
0,
Fz ( x, y, z, t ) 0, Ft ( x, y, z, t ) 0,
x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
( x, y, z, t) 0, ( x, y, z, t) 0.
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例7 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2xy 2 yz 2xz a2 0 下， 求函数 V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
大学数学易考知识点多元函数的极值与最值
大学数学易考知识点多元函数的极值与最值大学数学易考知识点：多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值是大学数学中一个重要且常考的知识点。
本文将介绍多元函数的极值与最值的概念、求解方法和相关的应用。
一、多元函数的极值与最值的概念多元函数是包含多个自变量的函数，例如f(x, y)。
在二元函数中，常用的自变量为x和y。
而多元函数的极值与最值则是对于这些自变量的取值范围内，函数所能达到的最大值或最小值。
极值分为两种：极大值和极小值。
对于函数f(x, y)，如果在某个点(x0, y0)处，当邻域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≤f(x0, y0)，则称f(x0, y0)为函数的极大值；如果邻域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≥f(x0, y0)，则称f(x0, y0)为函数的极小值。
最值指的是整个定义域范围内的最大值和最小值。
对于函数f(x, y)，如果在定义域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≤f(x', y')，则f(x', y')为函数的最大值；如果在定义域内的任意点(x, y)满足f(x, y)≥f(x', y')，则f(x', y')为函数的最小值。
二、多元函数的极值与最值的求解方法1. 极值的判定方法为了找到多元函数的极值点，可以利用偏导数进行判定。
对于二元函数f(x, y)，可以分别对x和y求偏导数，得到fx和fy。
然后解方程组fx=0和fy=0，求得所有满足条件的(x, y)，即为极值点。
2. 极值的判定条件为了判断所得到的极值点是极大值还是极小值，可以利用二阶偏导数。
对于二元函数f(x, y)，求fx对x的二阶偏导、fy对y的二阶偏导和fx对y的二阶偏导。
计算得到的二阶偏导数称为Hessian矩阵。
（1）若Hessian矩阵为正定矩阵，则该点为极小值点。
（2）若Hessian矩阵为负定矩阵，则该点为极大值点。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
在约束条件 x y 25
在点 3，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,2) ，取得最大值点。
在点 3，0各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
则原函数在点 (3,0) ，无极值点。
在点1，2各计算值A 12;B 0;C 6。则B2 AC 0
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 B2 AC 的符号，再判定是否是极值.
例4: 求函数f x, y x3 y3 3x2 3y2 9x的极值
拉格朗日函数是
G(x, y,) 40x 20y 25 x y 25
5 x 10 y
解一阶导数为零的方程组：
Gx x,
y
200
5 x2
0
Gy x,
y
200
10 y2
0
x y 25 0
解方程得 15,10
最大利润
x
x
x,
极值与最值
极大值点与极小值点统称为极值点
极大值与极小值统称为极值
如：⑴ z 3x2 4y2在 (0,0)处有极小值（如下图） ⑵ z x2 y2 在 (0,0) 处有极大值（如下图） ⑶ z xy 在 (0,0) 处既无极大值也无极小值
M max{ f (x1, y1),, f (xn , yn )} m min{ f (x1, y1),, f (xn , yn )}
例2：求函数 f (x, y) x2 2xy 2 y在矩形闭区域
D {(x, y) 0 x 4,0 y 3}上的最值.
对于实际问题求最值
Lxx 4 A Lxx (40, 24) 4 0 Lxy 4 B Lxy (40, 24) 4
Lyy 8 C Lyy (40, 24) 8
B2 AC 16 0
A 0
Байду номын сангаас
(x0,y0)=(40,24)为极大值点，就 是最大值点。
最大值点与最小值点统称为最值点
最大值与最小值统称为最值
2、最值的求法
设函数 z f (x, y) 在有界的闭区域 D上连续可微，
则求最值的步骤为：
⑴求函数 z 的所有驻点(xi, yi ), i 1,, n ； ⑵求函数 z 在边界上的最大值点和最小值点 (xm, ym) ⑶求最大值与最小值
解此方程有：
x y
x0
a(ax0 a
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微积分八⑥
2018/12/10
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求最值的一般方法：要求最大值和最小值，必须考 虑函数f(x,y)的所有驻点、偏导不存在的点以及区 域的边界点上的函数值，比较这些值，其中最大者 (或最小者)即为函数在D上的最大值(或最小值)
微积分八⑥
2018/12/10
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例5 求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在x轴、y轴和直线 x+y=6所围成的闭区域D上的最大值与最小值. 解方程组， 解 如图,先求z在D内的驻点， 2 f x ( x , y ) 2 xy(4 x y ) x y 0 2 2 f ( x , y ) x ( 4 x y ) x y0 y D 得区域D内的唯一驻点(2,1), 且f(2,1)=4. 再求f(x,y)在D边界上的最值， y 在边界x=0和y=0上f(x,y)=0， 在边界x+y=6上，即y=6-x上， x y6 于是f(x,y)=x2(6-x)(-2),由fx=4x(x-6)+2x2=0, D 得x1=0, x2=4 y=6-x|x=4=2 f (4,2) 64, o 比较后可知f(2,1)=4为最大值， f(4,2)=-64为最小值.
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求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f x( x, y) 0, 求出实数解 , f y( x, y) 0 得驻点; 第二步 对每个驻点(x0,y0), 求出各二阶偏导数的值 A、B、C; 第三步 定出B2 -AC的符号，再判定是否是极值.
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如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理2(充分条件)设z=f(x,y)在其驻点(x0,y0)的某邻域内连 续且有二阶连续偏导数, 又 f x( x0 , y0 ) 0, f y( x0 , y0 ) 0.
( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 令f xx 则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： ⑴ B2 -AC<0时具有极值,且当 A<0时有极大值, 当A>0时 有极小值； ⑵B2 -AC>0时没有极值; ⑶ B2 -AC=0时极值可能有也可能没有, 还需另作讨论. 列表 B2-AC + 0 如右 + A或C f(x0,y0) 极小值 极大值 非极值 待定
( x0 , y0 ) 0.即有如下的极值存在定 同理有 fy 理.
定理1(必要条件) 设z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数， 且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零： f x( x0 , y0 ) 0, f y( x0 , y0 ) 0.
费马引理的推广
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驻点：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点.
定理1结论：偏导数存在的函数之极值点必是驻点， 但驻点未必是极值点，如(0,0)是z=xy的驻点，但函数 在该点并无极值。 极值点究竟在哪里？ 答：与一元函数类似，二元函数的极值点可能在驻 点取, 也可能在偏导数不存在的点取得.故求极值点 可以到驻点及偏导数不存在的点中去寻找.
进价：1元 售价：x元 收益：x -1元/瓶 进价：1.2元 售价：y 元 收益：y -1.2元/瓶
每天的收益为 f ( x , y ) ( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y ) 求最大收益即为求二元函数的最大值。
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一、问题的提出 二、二元函数的 极值和最值
2.1、二元函数极值的定义 2.2、二元函数取极值条件 2.3、二元函数的最值
四、最小二乘法 五、小结
三、条件极值 拉格朗日乘数法
3.1、无条件极值 与条件极值 3.2、拉格朗日乘数法
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实例：某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1 元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子 的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁, 80+6x-7y 瓶外地牌子的 果汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁 可取得最大利润？
z
x
O
y
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例2 函数 z x 2 y 2 在 (0,0) 处有极大值． z
O
y
x
例3 函数 z xy在 (0,0) 处无极值．
z
z xy
O
1 1
yxLeabharlann 微积分八⑥2018/12/10
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2.2、二元函数取得极值的条件
设点( x0 , y0 )是z f ( x, y )的极值点, 易知x x0 也是一元函数 ( x) f ( x, y0 )的极值点, 故当 ( x) 可导时, 有 ( x0 ) 0, 即f x ( x0 , y0 ) 0.
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2.1、二元函数极值的定义 ⑴实例: 观察二元函数 z
xy e
x2 y2
的图形
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⑵二元函数极值的定义 若二元函数z=f(x,y)对于点(x0,y0)的某空心邻域内的所 有点(x,y)总有f(x,y)<f(x0,y0)，则称(x0,y0)是函数的极大 值点, f(x0,y0)是函数的极大值；若总有f(x,y)>f(x0,y0)， 则(x0,y0)是函数的极小值点, f(x0,y0)是函数的极小值. 极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点 称为极值点. 例1 函数z 3 x 2 4 y 2 在(0,0)处有极小值．
例4求函数f(x, y)= x - y 3x 3y 9x的极值。
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2.3、二元函数的最值
定义：设z f ( x, y )在区域D上有定义， ( x0 , y0 ) D， 若对( x, y ) D，有f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) （或f ( x, y ) f ( x0 , y0 )）， 则称f ( x0 , y0 )为z f ( x, y )在区域D上的最大值 （或最小值）。函数的最大值、最小值统称为极值， 最大值点、最小值点统称为最值点。