14等效噪声带宽

b (3DB)
①实际系统传递函数的最大值 H() H(0) 1 max
②输入单位白噪声时，实际系统输出的平均功率
N0 2
PY RY (0)
h2 (u)du
0
b2e2budu b e2bu 0 b b
0
2
0
22
e
PY H () 2
b
2
max
P154结论
3DB带宽（复习）
必做题
4-10 4-12 4-14
改题：等效噪声带宽为 XH MHz。
4-18
选做题
4-11 4-16
本来无望的事，大胆尝试，往往能成功。
K
H () max
H (0 )
系统等效噪声带宽的计算
设输入随机信号X(t)为理想白噪声，功率谱密度为 N0 2
①实际系统的输出功率 PY
X (t)
h(t) Y (t)
频域法
PY
1
2
GY
()d
N0
4
| H () |2 d
时域法
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
RX
( )
N0 2
大量的要求 由图可得，求和的数目 n T
i
T ? i n
系统响应时间T与通频带成反比,T 1
信号的相关时间 0与等效噪声带宽e成反比, 0
1
e
频域：e信号 ?
随机信号通过线性系统
线性系统的基本理论 时域法 频域法 色噪声和白噪声的产生 白噪声通过线性系统
习题
XH表示学号的最后两位 例：040420524同学 XH＝24
49 25s2 s4 10s2 9
分解
GY (s) (1 s)(3 s) (1 s)(3 s)
GX (s) (7 5s)
(7 5s)
H (s)
H (s)
零极点在左半平面（不含虚轴）
白化滤波器与色噪声的产 生系统是一对可逆系统。
X (t)
系统的等效噪声带宽
L[] Y (t)
等效
若实际系统用一个频率响应为矩形的理想系统来代替，定义此
输出功率谱为
s
GY ()
j
252 4 10
49 2
9
GY () 的复频域表达式为
GY (s)
49 25s2 s4 10s2 9
GY () H () 2 GX () GY () H ()H () GX ()
分解
GY
(s)
(7 (1
5s)(7 5s) s2 )(9 s2 )
(7 5s) (7 5s) (1 s)(3 s) (1 s)(3 s)
随机信号分析
中国民航大学 焦卫东
色噪声的产生与白化滤波器
利用频域法，解决两类问题：
白噪声
GX () C
色噪声产生系统 H ()
色噪声
GY ()已知
色噪声
GX ()已知
白化滤波器 H ()
白噪声
GY () C
X (t)
L[] Y (t)
举例（色噪声的产生）
设计一稳定的线性系统，使其在具有单G位X谱(的) 白1 噪声激励下
e
N0
2 PY H () 2
max
③等效原则 PI PY
频域法
|
H
()
|2
d
e 0 H () 2
max
K H() max
时域法
h2 (u)du
e
0
H () 2
max
举例（系统等效噪声带宽）
低通系统
R
h(t) bebtU (t)，其中b 1
X (t)
C Y (t)
RC
H () 1 1 j / b
“大量的，独立的随机变量和的分布→趋向高斯分布”。
结论2的证明
时域：T ? i ? 0
“什么条件可以使Y(t)成为大量的，独立的随机变量和？”
独立的要求 对X ( )进行采样 随机变量X (i )
当采样间隔Vi 相关时间0时，状态X (i i )和X (i )近似不相关。
若i ? 0，状态X (i i )和X (i )近似独立。
理想系统的带宽为等效噪声带宽 e。满足以下等效原则：
①输入为同一白噪声时，理想系统与实际系统的输出平均功率
相等。
PI PY
②理想系统的增益与实际系统的最大增益相等。
HI () K H() MAX
系统的等效噪声带宽是系统固有的参数，与输入信号无关。
等效原则
低通系统
等效
带通系统
等效
K H() H(0) max
( )
帕萨瓦尔定理 可互求
RY
( )
N0 2
h( ) h( )
N0 2
h(u)h( u)du
0
PY
RY (0)
N0 2
h2 (u)du
0
系统等效噪声带宽的计算
X (t)
②理想系统的输出功率 PI
hI (t) Y (t)
频域法
PI
1
2
G YI
()d
1
2
N0 2
K2
2e
N0K 2e 2
h( )
X ( i i ) X ( i1)
h(t) Y (t)
h(t )
X ( )
X (i )
o
T
1 2
i
t T
t
t
Y (t) X ( )h(t )d X ( )h(t )d
t
n
t T
X ( )h(t
)d
lim
i 0
i 1
X
(i )h(t
i )i
n
Y(t)是n个随机变量 X ( i ) 的和，据中心极限定理
高斯 分布
结论2：
任意 分布
线性系统
近似为 高斯分布
条件： e信号 ﹥﹥?
在中心极限定理的应用中，一般只要有7～10个独立随机变量 和的分布，就可以近似为高斯分布。由此推出，一般当信号功
率谱的等效噪声带宽 e (7 ~ 10) 系统的带宽时，就可
以将系统输出看作为高斯过程。
结论2的证明 X(t)
GY (s) H (s)H (s) GX (s)
H (s)
H (s)
零极点在左Baidu Nhomakorabea平面（不含虚轴）
举例（白化滤波器） X(t) L[] Y(t)
设计一稳定的线性系统，输出为具有单G位Y 谱(的) 白1 噪声，激励
的功率谱为
s
GX ()
j
252 4 10
49 2
9
GX
( ) 的复频域表达式为
GX (s)
X (t)
h(t) Y (t) 问题的转移：通过求系统等效噪
声带宽来求信号等效噪声带宽。
已GX知(G)Y
()
1
H ()
|
H
()
|2
d
ee 0 H () 2
max
举例
GY
(
)
1
1
2
H (s) 1 1 s
H () 1 1 j
e
2
,
b
1
线性系统输出端随机信号的概率分布
结论1：
高斯 分布
线性系统
h(t) bebtU (t)
H () 1 1 j / b
H () 2
b2
b2 2
这是一个低通的RC电路，3DB带宽（半功率带宽）如下：
H () 2 1 max
半功率点 1 b2
2 b2 2
等效
b 1
RC f b 1
2 2 RC
信号的等效噪声带宽
带宽是系统固有的参数，信号也有带宽的概念。 对于某个已知的随机信号Y(t)，其等效噪声带宽可以看成是 得到Y(t)的色噪声产生系统的带宽。