概率论补充题部分选解
(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解
;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。
2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。
3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。
4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。
5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。
6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。
7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。
12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。
第三章习题选解
y 1 0 2
x y
P{ X Y , X 2Y }
P{ X Y } 0.25 , P{U 1, V 0}
P{ X Y , X 2Y } 0 ,
x 2y
x
20
解 (1)
P{U 1, V 1} 0.25 ,
8
1 1 P { X 1, Y 1} , P{ X 1, Y 0} , 12 6 1 P{ X 0, Y 1} , P{ X 0, Y 0} P ( A B ) 12 2 1 P ( A B) 1 P ( A) P ( B) P ( AB) , 3
(4) P ( X 1, Y 1)
y 1 0 1 x
2
1
1
e
x
dx e 2 y dy
0
1
1 2e (1 e 2 ) 2
e1 e3 .
13
ke x 2 y , x 0, y 0 f ( x, y ) 其他 0,
(5)
P{ X 1 1, X 2 1} P{Y 1, Y 1} P{Y 1} 0.25 , P{ X 1 1, X 2 1} P{Y 1, Y 1} 0 ,
P{ X 1 1, X 2 1} P{Y 1, Y 1} P{1 Y 1} 0.5 ,
1
1 g
2
1 1 1 1 1 1 3 1 b , g , h , d , e . 4 24 8 12 2 422 8 3
P93 17、 设随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为
3 x , 0 y x 1 f ( x, y) 其他 0
概率论习题及答案习题详解
222习题七( A )1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.解：由题意，X 的分布律为： ()(1),0k N kN P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤⎪⎝⎭. 总体X 的数学期望为(1)(1)011(1)(1)1NNk N k k N k k k N N EX k p p N p p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑ 1((1))N N p p p N p -=+-=则E X p N=.用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX pN=.设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为111211(,,;)()(1)nniii i n nx nN x n i i i i NL x x x p P Xx pp x ==-==∑∑⎛⎫===⋅- ⎪⎝⎭∏∏取对数111ln ln ln ()ln(1)nn ni i i i i iN L x p nN x p x ===⎛⎫=+⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑∑∑，11ln (1)nnii i i xnN x d L dpp p ==-=--∑∑.223令ln 0d L dp=，解得p 的极大似然估计值为11ˆnii x npN==∑.从而得p 的极大似然估计量为11ˆnii X X npNN===∑.2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为22,0(;)0,x x f x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.其中参数0θ>，求θ的矩估计.解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则222()3xE X xf x dx x dx θθθ+∞-∞==⋅=⎰⎰32E X θ⇒=用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ2X θ=.3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,0,0,);(1x x ex x f xαλαλαλ其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为2241()1121(),0(,,,;)0,ni i n x n n i i n i x e x L x x x αλαλαλ=--=⎧∑⎪⋅≥=⎨⎪⎩∏ 其他 取对数 11ln ln ln (1)(ln )()n ni i i i L n n x x αλααλ===++--∑∑解极大似然方程1ln 0ni i d L nx d αλλ==-=∑得λ的极大似然估计值为1ˆnii nxαλ==∑从而得λ的极大似然估计量为1ˆnii nXαλ==∑.4、设总体X 服从几何分布,10,,2,1,)1()(1<<=-==-p k p p k X P k 试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.解：因11111(1)(1)k k k k EX k p p p k p p∞∞--===⋅-=⋅-=∑∑,用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为1ˆpX=.在一次取样下，样本值12(,,,)n x x x 即事件1122{},{},,{}n n X x X x X x === 同时发生，由于12,,,n X X X 相互独立，得联合分布律为121122(,,,;)()(),,()n n n L x x x p P X x P X x P X x ====22512111(1)(1)(1)n x x x p p p p p p ---=-⋅-- ,即得极大似然函数为1()(1)ni i x nnL p p p =-∑=-取对数 1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+--∑解极大似然方程1ln ()01nii xnd L p n dppp=-=-=-∑得p 的极大似然估计值为11ˆ1nii pxn==∑从而得p 的极大似然估计量为111ˆ1nii pXXn===∑.5、设总体X 的概率密度为()1;exp ,2x f x σσσ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭0σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一样本,求参数σ的最大似然估计.解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为121111(,,,;)(;)(;)exp{||}(2)nn n ini L x x x f x f x xσσσσσ====-∑取对数1211ln (,,,;)ln(2)||nn ii L x x x n xσσσ==--∑226解极大似然方程21ln 1||0nii d L nxd σσσ==-+=∑得σ的极大似然估计值11ˆ||nii x nσ==∑从而得σ的极大似然估计量为11ˆ||nii Xnσ==∑.6、证明第5题中σ的最大似然估计量为σ的无偏估计量.证明：由第5题知σ的最大似然估计量为11ˆ||nii X nσ==∑故 1111ˆ(||)||nniii i E E XE X nnσ====∑∑又1||||||exp{}2i x E X x dx σσ+∞-∞=⋅-⎰12exp{}exp{}()2x x x x dx x d σσσσ+∞+∞=⋅-=⋅-⎰⎰[exp{}|exp{}]xxx dx σσσ+∞+∞=-⋅---=⎰从而 ˆE σσ=，即ˆσ是σ的无偏估计. 7,、设总体X 的概率密度为()222220;0x x e x f x σσσ-⎧⎪>=⎨⎪⎩，，，其它.,20σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求参数2σ的的矩估计量和最大似然估计量.解：因22222(;)2xxE X x f x dx x e dx σσσ-+∞+∞-∞=⋅=⋅⎰⎰222222222002()[2|2]xxxxd exeedx σσσ---+∞+∞+∞=-=--⎰⎰22722222202xxedx edx σσ--+∞+∞===⎰⎰用X 替换E X 即得未知参数σ的矩估计量为ˆX σ=从而得未知参数2σ的估计量为22ˆ)X σ=设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为21211()222211212(,,,;)(;)(;)ni nix i n n nx L x x x f x f x eσσσσσ=-=∑==∏取对数222111ln ln ln 2nniii i L xn xσσ===--∑∑解极大似然方程22241ln 102nii d L nxd σσσ==-+=∑得2σ的极大似然估计值2211ˆ2nii x nσ==∑从而得未知参数2σ的估计量为2211ˆ2nii xnσ==∑.8、设总体),(~2σμN X ,μ已知,σ为未知参数, n X X X ,,,21 为X 的一个样本,∑=∧-=ni i X c 1||μσ, 求参数c ,使∧σ为σ的无偏估计.解：由无偏估计的定义，要使∧σ为σ的无偏估计，则ˆE σσ=228又11ˆ(||)||n ni i i i E E c X u c E X u σ===-=-∑∑由题意知总体),(~2σμN X ，从而22()2||||x u i E X u x u dx σ--+∞-∞-=-⎰2222()()2211[()]()x u x u u ux u dx x u dx σσ----+∞-∞=--+-⎰⎰且2222()220()x u yx u yux u dxydy σσ--=--+∞+∞-=⎰⎰22222()2yyed σσ-+∞=--=⎰由对称性有||i E X u -=从而有cnσ=，即2c n=.9、设θˆ是参数θ的无偏估计量,且有0)ˆ(>θD ,试证22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.证明：因为θˆ是参数θ的无偏估计量，故ˆE θθ=，且0)ˆ(>θD有22222ˆˆˆˆˆ()()()()E E D E D θθθθθθθ==+=+>即22)ˆ(ˆθθ=不是2θ的无偏估计量.10、设总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本,试证：估计量32112110351ˆX X X ++=μ;32121254131ˆX XX ++=μ;3213216131ˆX XX ++=μ229都是μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.证明：总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本，则1123123131131ˆ()51025102E E X X X E X E X E X u μ=++=++= 2123123115115ˆ()34123412E E X X X EX EX EX u μ=++=++=3123123111111ˆ()362362E E X X X EX EX EX u μ=++=++=即估计量123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计. 又211231231311911ˆ()510225100450D D X X X D X D X D X μσ=++=++=22123123115112525ˆ()341291614472D D X X X D X D X D X μσ=++=++=231231231111117ˆ()362936418D D X X X D X D X D X μσ=++=++=有 213ˆˆˆD D D μμμ<<，从而估计量2ˆμ最有效. 11,、设12,,,n X X X 是总体()20,X N σ 的一个样本,20σ>,证明：211ni i X n=∑是2σ的相合估计量.证明：由题意，总体()20,X N σ ，则220,EXEXσ==由样本的独立同分布性知2221111()nniii i E X EX nnσ====∑∑，即211ni i X n=∑是2σ的无偏估计.2221111()()nniii i D X D Xnn===∑∑又2422()()i i i D X E X E X =-，且23022222224432222|3]xxxi EX xdx x ex edx σσσ---+∞+∞+∞-∞-∞-∞==-⎰⎰2222423xx edx σσσ-+∞-∞==故2422444()()32i i i D X EX EX σσσ=-=-=，有42112()0()nii D X n nnσ==→→∞∑故211ni i X n=∑是2σ的相合估计量12、设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本,1X ,2X 分别为两样本均值,试证明:如果,a b 满足1a b +=,则12Y aX bX =+是μ的无偏估计量,并确定,a b ,使得()D Y最小.解：由题意，2,EX u D X σ==，且1X ,2X 分别为容量为1n 和2n 的两个独立样本得样本均值，故2111,E X u D X n σ==，2222,E X u D X n σ==.当1a b +=时，有12()EY aEX bEX a b u u=+=+=，即12Y aX bX =+是μ的无偏估计量.222221212()abD Y a D X b D X n n σ=+=+令2212(1)()aa g a n n -=+，由()0g a '=知函数()g a 的稳定点为231112n a n n =+，且1121211()2()0n g n n n n ''=+>+，故112n a n n =+为函数唯一极小值点，即当121212,n n a b n n n n ==++时，()D Y 最小.13、设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, X 的概率密度为();f x θ,0θ>,未知，已知()222nXn χθ,试求θ的置信水平为1α-的置信区间.解：由题意，统计量()222nXn χθ，则给定置信度为1α-时，有()()22122(22)1nXP n n ααχχαθ-≤≤=- ()()221222()122nXnXP n n ααθαχχ-⇔≤≤=-由置信区间的定义知，θ的置信水平为1α-的置信区间为()()221222,22nX nX n n ααχχ-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. 14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.解：设12,,,n X X X 是母体X 的样本容量为n 的子样，则显像管平均寿命(10000,16)X N构造统计量(0,1)X uU N -=，有232111222(||)1(1P U UP X UU X Uααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975 1.96U =，故显像管平均寿命X 的置信度为95%的置信区间为：4040(10000 1.96 1.96(100007.84)-+=±.15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差(%)15=S ,设投资的年利润率X 服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95).解：由题意，构造统计量2222(1)(1)n Sn χχσ-=- ，则给定置信水平为1α-，有2222122(1)((1)(1))1n SP n n ααχχασ---<<-=-22222122(1)(1)()1(1)(1)n Sn SP n n αασαχχ---⇔<<=---取26,0.15,10.95n S α==-=，查表可得20.025(25)13.120χ=，20.975(25)40.616χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为2222122(1)(1)(,)(0.014,0.043)(1)(1)n Sn Sn n ααχχ---=--.16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度X 服从正态分布,试求总体均值μ的置信水平为0.90的置信区间.233解：设1216,,,X X X 是母体X 的样本容量为16的子样，由题意知2.215X =，242.933310S -=⨯.构造统计量(1)X u t t n -=- ，有111222(||)1(1P t tP X tu X tααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.900.10αα-=⇒=，查表可得0.95(15) 1.7459t =，故显像管平均寿命X的置信度为90%的置信区间为：(2.1175,2.1325)=±. 17、生产一个零件所需时间(单位：秒)),(~2σμN X ,观察25个零件的生产时间得5.5=x ,73.1=s .试求μ和2σ的置信水平为0.95的置信区间.解：设1225,,,X X X 是母体X 的样本容量为25的子样，由题意知5.5X =， 1.73S =.构造统计量(1)X u t t n -=- ，有111222(||)1(1P t tP X tu X tααααα---<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975(24) 2.0639t =，故参数μ的置信度为95%的置信区间为：(4.786,6.214)(5.50.714)=±.234构造统计量2222(1)(1)n Sn χχσ-=- ，则给定置信水平为1α-，有2222122(1)((1)(1))1n SP n n ααχχασ---<<-=-22222122(1)(1)()1(1)(1)n Sn SP n n αασαχχ---⇔<<=---取16, 1.73,0.05n S α===，查表可得20.025(15) 6.2621χ=，20.95(15)27.4884χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为(1.825,5.. 18、产品的某一指标),(~2σμN X ，已知04.0=σ，μ未知.现从这批产品中抽取n 只对该指标进行测定,问n 需要多大,才能以95%的可靠性保证μ的置信区间长度不大于0.01?19、设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得721007.1-⨯=A s ,62103.5-⨯=B s ,若A 批导线的电阻服从),(211σμN ,B 批导线的电阻服从),(222σμN ,求2221σσ的置信水平为0.90的置信区间.20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137;乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.（ B ）1、设总体X 的概率分别为235其中102θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭是未知参数,利用总体X 的如下样本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求θ的矩估计值和最大似然估计值.解：由题意可知总体X 为离散型随机变量，则总体X 的数学期望为()32()2123(12)34k EX kP Xk θθθθθ====-++-=-∑有34E X θ-=，由样本值可知2X =，用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ4X θ-=，矩估计值1ˆ4θ=.设12340,1,2,3x x x x ====是相应于样本1234,,,X X X X 的样本值，则似然函数为12341234(,,,;)(0)(1)(2)(3)L x x x x P X P X P X P X θ=====462(12)4(1)θθθ=--取对数 ln 4ln(12)6ln 42ln(1)L θθθ=-++- 解极大似然方程ln 8620121d L d θθθθ-=+-=--有2121430θθ-+=，从而7ˆ12θ±=又当ˆ12θ=712106θ+-=-<矛盾，故舍去.所以θ的最大似然估计值ˆ12θ=2、设()111ˆˆ ,,n X X θθ= 和()221ˆˆ,,n X X θθ= 是参数θ的两个相236互独立的无偏估计量,且方差()()12ˆˆ2D D θθ=,试确定常数,a b ,使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小.解：由题意，1ˆ θ和2ˆθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，则 12ˆˆ,E E θθθθ==.要使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量，有 1212ˆˆˆˆ()()E a b aE bE a b θθθθθθ+=+=+=恒成立，即1a b +=.又1ˆ θ，2ˆθ相互独立，且()()12ˆˆ2D D θθ=，则222212122ˆˆˆˆˆ()()()(2)()D a b a D b D a b D θθθθθ+=+=+令2222()22(1)g a a b a a =+=+-，由()0g a '=知函数()g a 的稳定 点为13a =，且1()03g ''>，故线性估计类中方差最小时13a =，23b =.3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.习题八1．在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2(4.55,)X N σ .一日测得5炉铁水含碳量如下：4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 解：设铁水含碳量作为总体X ，则2(4.55,)X N σ ，从中选取容量为5的样本，测得24.444,0.0011X S ==.由题意，设原假设为0: 4.55H u =237构造检验统计量||(4)X u t t -=，则7.051t ==在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512(4)(4) 2.77647.051tt α-==<，拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.2．根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得知15148ii x==∑, 1521156.26i i x ==∑.试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）解：设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为15的样本，测得1511 3.215ii X x===∑，22221111()()0.1911nnii i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为0:3H u <，备择假设为1:3H u >.构造检验统计量||(14)X u t t -=，则|3.23| 1.777t -==，在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.3．某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率238不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ，5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否接受这批玻璃纸？解：设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2(,5.5)X N u ，从中选取容量为100的样本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.构造检验统计量||(0,1)X u U N -=，则|55.0665|18.07275.5U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..4．某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？ 解：设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==， 1.6σ==，从中选取容量为200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠.构造检验统计量||(0,1)X u U N -=，则|9.899.73|1.4142U -==在显著性水平0.05α=下,查表可得0.975121.96 1.4142UU α-==>，即接受原假设0H ，认为断头率没有受到显著影响.2395． 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布2(100,)N σ.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05）解：设每箱重量为总体X ，则2(100,)X N σ ，从中选取容量为10的样本，测得99.9x =，20.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择假设为1:100H u ≠.构造检验统计量||(9)X u t t -=，则|99.9100|0.5423t -==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(9)(9) 2.26220.5423tt α-==>，即接受原假设0H ，认为每箱重量无显著差异.6．某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到51124i i x ==∑, 5213139i i x ==∑.试问这批套筒直径的方差与规定的27σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=）解：设这批套筒直径为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为5的样本，测得151124.815ii X x===∑，22221111()()15.9511nnii i i S xx x nx n n ===-=-=--∑∑.由题意，设原假设为24020:7H σ=，备择假设为21:7H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n Sχχσ-=，则2415.959.11437χ⨯==，在显著性水平0.01α=下,查表可得220.99512(4)(4)14.86αχχ-==，220.0052(4)(4)0.2070αχχ==，从而222122(4)(4)ααχχχ-<<，即接受原假设0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的27σ=无显著差别.7.甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布211(,)N μσ、222(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：61204.6ii x==∑, 6216978.9i i x ==∑91370.8i i y ==∑92115280.2i i y ==∑问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？解：设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ 、222(,)Y N μσ ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得61134.16ii X x ===∑222211111()()0.40811nnii i i S x x x nx n n ===-=-=--∑∑241从总体Y 中选取容量为9的样本，测得91141.29i i Y y ===∑222221111()()0.40511nnii i i S y y y ny n n ===-=-=--∑∑ 由题意，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,8)S F F S = ，则0.408 1.0070.405F ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512(5,8)(5,8) 6.76FF α-==，0.0252(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而122(5,8)(5,8)F F Fαα-<<，即接受原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？解：设维尼龙纤度为总体X ，则2(,0.048)X N u ，从中选取容量为5的样本，测得5111.4145ii X x ===∑，2211()0.00781nii S x x n ==-=-∑.由题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠.构造检验统计量2222(1)(4)n Sχχσ-=，则2240.007813.542(0.048)χ⨯==在显著性水平0.1α=下,查表可得220.9512(4)(4)9.487713.542αχχ-==<即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9.某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符242合要求（显著性水平α=0.05）?解：设考试成绩为总体X ，则2(,12)X N u ，从中选取容量为15的样本，测得16S =.由题意，设原假设为0:12H σ=，备择假设为1:12H σ≠.构造检验统计量2222(1)(14)n Sχχσ-=，则222141619.055612χ⨯==.在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512(14)(14)26.1189αχχ-==，220.0252(14)(14) 5.6287αχχ==，从而222122(14)(14)ααχχχ-<<，即接受原假设0H ，认为此次考试的标准差符合要求.10.某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：甲：25，28，23，26，29，22；乙：28，23，30，25，21，27.假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？解：设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ，则211(,)X N μσ 、222(,)Y N μσ ，从中均选取容量为6的样本，测得61125.56ii X x ===∑，22111()7.51nii S x x n ==-=-∑，61125.66676i i Y y ===∑，22211()11.06671nii S y y n ==-=-∑，由题意，在方差相等时，设原假设为012:H u u =，备择假设为112:H u u ≠.243构造检验统计量12(2)t t n n =+- ,其中222112212(1)(1)9.2834(2)wn S n S Sn n -+-==+-.则0.0948t ==，在显著性水平0.05α=下,查表可得120.97512(2)(10) 2.22810.0948tn n t α-+-==>，即接受原假设0H ，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.由题意，在方差待定时，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.构造检验统计量2122(5,5)S F F S=，则7.50.677711.0667F ==，在显著性水平0.1α=下,查表可得0.9512(5,8)(5,5) 5.0503FF α-==，0.052(5,8)(5,5)0.1980F F α==，从而122(5,5)(5,5)F F Fαα-<<，即接受原假设0H ，认为它们的方差无显著差异.。
大学课件概率论第3章随机向量补充题目
0
即两个边缘分布分别服从正态分布
X ~ N 1,12
Y~N
2
,
2 2
与相关系数 无关
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
例
设(
,
)服从N
(a1
,
a2
,
2 1
,
2 2
,
)分布的二维
正态随机变量，求p ( x y)、p ( y x)。
解
p( x, y) p ( x y) p ( y)
xy
0 x 1,1 y 3
1
0
其它
求：
f X |Y (x | y 2)
fY
|
X
(
y
|
x
1 3
)
1
解：先求 f X |Y (x | y 2)
第一步，求y的边缘密度函数，
fY ( y)
y, 4
y [1,3]
第二步，再求条件密度函数， 对于 0 x 1
有：
f X |Y (x | y 2)
1 )2
2 1
2
(x
1 )( y 1 2
2 )
(
y 2 )2 22
]
分别积分，可得两个边缘密度函数为：
fX (x)
1
( x1 )2
e 2
2 1
2 1
fY ( y)
1
( x2 )2
e 2
2 2
2 2
例 (X,Y)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二元正
态分布,证明X,Y相互独立的充要条件是ρ ＝0。
25
P{ i 2} P{ i} 1
5
(2) P{ i} 1
概率论第二章习题解答(全)
概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。
解设赔付金额为X ，则X 是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万0xp 0.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。
在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，试求X 的分布律。
解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。
每次取3个球，其总取法：35541021C ⋅==⋅，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。
因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4；2，3，4共3种取法，其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==，其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数，则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S ＝｛（1,1），（1,2），（1,3），…，（6,6）｝，共有36个基本事件，X 的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1）…，（1,6），（6,1），11{1}36P X ==；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），…，（3,6），（6,3），9{2}36P X ==；最小点数为3的共有7种，7{3}36P X ==；最小点数为4的共有5种，5{4}36P X ==；最小点数为5的共有3种，3{5}36P X ==；最小点数为6的共有1种，1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品的次数，（1）求X 的分布律；（2）画出分布律的图形。
概率论试题及答案
概率论试题及答案一、选择题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是：- A. 1/2- B. 3/8- C. 5/8- D. 1/82. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：- A. 0.7- B. 0.6- C. 0.4- D. 0.33. 抛掷一枚硬币两次，出现正面向上的概率是：- A. 1/4- B. 1/2- C. 3/4- D. 1二、填空题1. 概率论中，事件的全概率公式是 P(A) = ________，其中∑表示对所有互斥事件B_i的和。
2. 如果事件A和事件B是独立事件，那么P(A∩B) = ________。
三、计算题1. 一个工厂有3台机器，每台机器在一小时内发生故障的概率是0.01。
求在一小时内至少有一台机器发生故障的概率。
2. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，这名学生是男生的概率是0.6。
求这个班级中男生和女生的人数。
四、解答题1. 解释什么是条件概率，并给出计算条件概率的公式。
2. 一个袋子里有10个球，其中7个是红球，3个是蓝球。
如果从袋子中随机取出一个球，观察其颜色后放回，再取出一个球。
求第二次取出的球是蓝球的概率。
答案一、选择题1. C. 5/82. B. 0.63. B. 1/2二、填空题1. P(A) = ∑P(A∩B_i)2. P(A)P(B)三、计算题1. 首先计算没有机器发生故障的概率，即每台机器都不发生故障的概率，为(1-0.01)^3。
至少有一台机器发生故障的概率为1减去没有机器发生故障的概率，即1 - (1-0.01)^3。
2. 设男生人数为x，女生人数为y。
根据题意，x/(x+y) = 0.6，且x+y=50。
解得x=30，y=20。
四、解答题1. 条件概率是指在已知某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
计算条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
概率论补充题部分选解
i 0 2
4 12 0.8 1 0.1 0.1 0.94 5 19
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概 率是多少？
由Bayes 公式
P ( B0 ) P ( A | B0 ) P ( B0 | A) P ( A)
练8 在数字通迅中 ,由于随机干扰 ,当发出信号 " 0 "
时 , 收到信号 " 0 " , "不清 " , " 1 "的概率分别是 0.7 ,0.2 和 0.1 ; 当发信号 " 1 " 时 ,收到信号为 " 1 " , "不清 " 和 " 0 "的概率分别是 0.9 ,0.1 和 0 , 如果整个发报过程中
故收到信号为" 不清 " 而原发信号为" 0 "的概率为
P AB P B P A | B P B | A P B P A | B P B P A | B P A
0.6 0.2 0.75 . 0.6 0.2 0.4 0.1
(1) A1 A2 A3 A4 ;
(2) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ,
P( A3 ) P( H1H 2 H 3 )
(完整版)概率论与数理统计第一章补充题与答案
概率论与数理统计补充习题第一章 随机事件与概率一、思考题1、概率研究的对象是什么？2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？3、概率是刻画什么的指标？4、概率的公理化定义的意义是什么？5、第一章的主要内容是什么？二、填空题1、填出下列事件的关系（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 .（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 .（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 .2、某人用步枪射击目标5次，i A =（第i 次击中目标 ），i B =（5次射击中击中目标i 次）（i =0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系.（1）、 51=i iA 为 . 51=i i B为 . 51=i i A 与 51=i i B 的关系为 .（2）、 52=i iA 为 . 52=i i B为 . 52=i i A 与 52=i i B 的关系为 .（3）、 21=i i A 与 53=i iA 的关系为 .（4）、 21=i iB 与 53=i i B 的关系为 .三、选择题1、下列各式中正确的有（ ）.（A ）、A ∪B =（A-AB ）∪B （B ）、若A ∪C=B ∪C 则A=B（C ）、若P （A ）≥P （B ）则A ⊃B2、若事件A 和B 互斥，且P （A ）≠0，P （B ）≠0，则（ ）.（A ）、A 和B 互斥（B ）、A 和B 不互斥 （C ）、P （A-B ）=P （A ）（D ）、P （A-B ）=P （A ）-P （B ） 3、若当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）.（A ）、P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1（B ）、P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1 （C ）、P （C ）=P （AB ） （D ）、P （C ）=P （A +B ）4、设0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A |B )=1-P (A |B )，则事件A 和B （ ）.（A ）、互斥 （B ）、对立 （C ）、独立 （D ）、不独立5、设0<P (B )<1，P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B )，则（ ）.（A ）、P [(A 1∪A 2)|B ]=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （B ）、P (A 1B ∪A 2B )=P (A 1B )+P (A 2B )（C ）、P (A 1∪A 2)=P (A 1|B )+P (A 2|B ) （D ）、P (B )=P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)6、设事件A 和B 满足P （B |A ）=1，则（ ）.（A ）、A ⊃B （B ）、A ⊂B （C ）、P （B |A ）=0 （D ）、P （AB ）=P （A ）7、对于任意二事件A 和B ，则（ ）.（A ）、若Φ≠AB ，则A 、B 一定独立 （B ）、若Φ≠AB ，则A 、B 有可能独立（C ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定独立 （D ）、若Φ=AB ，则A 、B 一定不独立8、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件如下：=1A {第一次出现正面} =2A {第二次出现正面}=3A {正反各出现一次} =4A {正面出现两次} 则事件（ ）.（A ）、1A 、2A 、3A 相互独立 （B ）、 2A 、3A 、4A 相互独立（C ）、1A 、2A 、3A 两两独立 （D ）、 2A 、3A 、4A 两两独立四、计算题1、P (A )=0.5，P (B )=0.3（1）、若B ⊂A ，求P (A ∪B )、P (A |A ∪B )（2）、若A、B互斥，求P(A B)（3）、若A与B互相独立，求P(A-B)、P(A-B|B)2、设事件A和B相互独立，P(A)=0.5，P(A∪B)=0.8，计算：（1）、P(A B) （2）、P(A∪B).3、P(A)=0.4，P(A∪B)=0.8，求P(B|A).4、设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是次品，求另一件是合格品的概率.5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.65，现已知目标被命中，求甲命中目标的概率.6、把4个球随机放入4个盒子中，求空盒子数分别为0，1，2，3的概率.7、甲、乙、丙分别有球为甲：3白2红、乙：全红、丙：红白各半，三人各随意拿出一球，然后甲从取出的球中随意取回一个，求甲的红球数增加的概率.8、在所有五位随机整数中（含以0开头的数字），任取一个整数，求下列事件的概率.（1）、恰有一个数字出现两次；（2）、最大的数字为6；（3）、五个数字恰好严格单增.9、从1，2，…，9这9个数字中，有放回地取三次，每次取一个，求下列事件的概率：（1）、A1：3个数字全不同；（2）、A2：3个数字没有偶数；（3）、A3：3个数字中最大数字为6；（4）、A4：3个数字形成一个单调（严格）数列；（5）、A5：3个数字之乘积能被10整除.10、每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概率为2%，而一件次品被误检为正品的概率为5%.求一箱产品通过验收的概率.11、一个枪室里有10支枪，其中6支经过校正，命中率可达0.8，另外4支尚未校正，命中率仅为0.5.（1）、从枪室里任取一支枪，独立射击三次.求三次均命中目标的概率；（2）、从枪室里任取一支枪，射击一次，然后放回，如此连续三次，结果三次均命中目标，求取出的三支枪中有二支是校正过的概率.12.、设有来自三个地区的各10名，15名和25名的报名表.其中女生的报名表分别为3份，7份和5份.随机的取一个地区的报名表，从中先后抽出两份, 抽到哪个地区的报名表的可能性相等.求：（1）、先抽到的一份是女生表的概率p .（2）、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .第一章补充习题答案一、思考1、答：随机现象的统计规律性.2、答：不然.随机现象具有不确定性，即试验之前不能确定哪一个事件发生.随机现象也具有确定性，即在相同条件下，随着试验的次数增多，事件A发生的频率越来越接近一个常数p，随机现象的这一性质，称为频率稳定性，也称统计规律性. 正是随机现象这一确定性，说明了一次试验时随机事件A发生的可能性大小——概率，是一定值.因此才有《概率论》.3、答：概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标.4、答：其给出了一个指标是否有资格作为概率的评价标准.5、答：第一章首先给出了描述随机现象结果的术语：随机事件，介绍随机事件的关系与运算，使得复杂事件可以通过简单事件来描述，并为概率计算提供方便.给出了概率定义以及概率的基本关系式（性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式），为概率计算打下基础.介绍了古典概型.其本身具有应用价值，也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台.二、填空1、（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 互斥 .（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 对立 .（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 后者包含前者 .2、（1）、51=i i A 为 至少击中一次 . 51=i i B 为至少击中一次 . 51=i i A 与 51=i i B 的关系为 相等 .（2）、 52=i iA 为 后四次中至少击中一次 . 52=i i B 为 至少击中两次 . 52=i i A 与 52=i i B的关系为 不相等 .（3）、21=i i A 与 53=i i A 的关系为 没有必然联系 . （4）、 21=i iB 与 53=i i B 的关系为 互斥 .三、选择题1、（A ）2、（C ）证明 ()()()()()P A B P A AB P A P AB P A -=-=-=反例：（B ） 即B =A A =B ，A 、B 互斥、A 与B 仍互斥.（A ） A 与B 非互斥（D ）P （B ）≠0，显然不成立.3、（B ）证明 AB C ⊂， P (AB )≤P (C )P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )≤1; P (AB )≥P (A )+P (B )-1，所以P (C )≥P (A )+P (B )-1。
概率论权威试题及其答案详细解析
概率论与数理统计试题 A 卷 2007-2008学年 第二学期 2008.06一、填空题（每空3分，共18分）1. 事件A 发生的概率为0.3，事件B 发生的概率为0.6，事件A ，B 至少有一个发生的概率为0.9，则事件A ，B 同时发生的概率为____________2. 设随机向量（X ，Y ）取数组（0，0），（-1，1），（-1，2），（1，0）的概率分别为,45,41,1,21cc c c 取其余数组的概率均为0，则c =__________3. 设随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则关于y 的方程012=+-Xy y 无实根的概率为_______________. 4. 若)1,0(~N X ，)1,0(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______________5. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,0,10,)1();(x x x f θθθ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，则待估参数）（-1>θθ的最大似然估计量为_____________. 6. 当2σ已知，正态总体均值μ的置信度为α-1的置信区间为（样本容量为n ）___________二、选择题（每题3分，共18分）1. 对任意事件A 与B ，下列成立的是-------------------------------------------------------------（ ） （A ）)0)((),()|(≠=B P A P B A P （B ）)()()(B P A P B A P += （C ）)0)((),|()()(≠=A P A B P A P AB P （D ）)()()(B P A P AB P =2. 设随机变量X ),(~p n B 且期望和方差分别为48.0)(,4.2)(==X D X E ，则----（ ）(A) 3.0,8==p n (B) 4.0,6==p n (C) 4.0,3==p n （D ） 8.0,3==p n 3. 设随机变量X 的分布函数为F X （x ），则24+=X Y 的分布函数F Y （y ）为-------------( ) (A) 1()22X F y + (B) 1(2)2X F y +(C) (2)4X F y - （D ）(24)X F y -4. 若随机变量X 和Y 的相关系数0=XY ρ，则下列错误的是---------------------------------（ ）)1(~-n t S X (A) Y X ,必相互独立 (B) 必有)()()(Y E X E XY E = (C) Y X ,必不相关 （D ） 必有)()()(Y D X D Y X D +=+5. 总体)1,0(~N X ，n X X X ,,21 为来自总体X 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则下列不正确的是--------------------------------------------------------------------（ ）(A) ),0(~n N X n (B) (C) （D ）6. 设随机变量)2,1( =k X k 相互独立,具有同一分布, ,0=k EX ,2σ=K DX ,2,1=k ，则当n 很大时，1nkk X=∑的近似分布是--------------------------------------------------------（ ） (A) 2(0,)N n σ (B) 2(0,)N σ (C) 2(0,/)N n σ(D) 22(0,/)N n σ三、解答题（共64分）1. （本题10分）设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%，三个等级的发芽率依次为0.9，0.7，0.3，求这批麦种的发芽率。
《概率论与数理统计》第二补充题答案解读
《概率论与数理统计》第二章补充题答案1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)13{},{1},{12}22P X P X P X ≤<≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ==========（2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)1122()(),2235333434(1)()(1)0223535341(12)(2)(1)(2)10.3535P X F P X F F P X F F P X ≤==<≤=-=-=<<=--==--=3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k akλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故 ea λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即 1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ (2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==12322333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)=++ 33221233(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)++ 31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3+=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即 2002002001C(0.02)(0.98)0.01k k k k N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯= 41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑ 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=0.10.11e0.1e --=--⨯8.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑9.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-10.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C , m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}.【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得 24(1),9p -=即 1.3p =从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 11.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得 25e 2(5)0.00185!P X -=≈= 12.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++213141451()4==- 13.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%14.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||1e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故 12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰(3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰ 当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰ 11e 2x-=-故 1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩15.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F （x ）. 【解】（1） 15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰ 33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p ==(3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d x f t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰ 故 1001,100()0,0x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩ 16.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xx xx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 17.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+= 18.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=19.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-= 故走第一条路乘上火车的把握大些. 20.设X ~N （3，22），（1） 求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2） 确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1） 23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=321.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=22.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，2σ），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 4031.251.29σ≤= 23.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1） 求常数A ，B ；（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2） 2(2)(2)1e P X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩24.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时0()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故 220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩25.设随机变量X 的密度函数为（1） f (x )=||x ae-,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x x x bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1） 由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||021e d 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故 2a λ=即密度函数为 e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2xλ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时0()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d x xF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩26.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α.【解】（1） ()0.01P X z α>=， 1()0.01z αΦ-=即 ()0.09z αΦ= 故 2.33z α= （2） 由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-= 即 ()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α= 由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ= 即 /2()0.9985z αΦ=查表得 /2 2.96z α=27.设P {X =k }=(12)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律. 【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-=2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==28.设X ~N （0，1）.（1） 求Y =e X 的概率密度； （2） 求Y =2X 2+1的概率密度； （3） 求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1） 当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )x Y F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()dyX f x x -∞=⎰故 2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤ ⎪ ⎝⎭⎝()dX f x x =故 d ()()d Y Y X X f y F y f f y ⎤⎛==+⎥⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤ ()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+-2/2,0y y -=>29.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数； （2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1） (01)1P X <<=故 (1e e )1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 （2） 由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z z P X P X -=≤-=≥/21/2e d 1e z z x --==-⎰ 即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩030.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（） 2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为22,01π()10,Y y f y y⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他 31.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
概率数理统计补充习题全
概率数理统计补充习题第一章 随机事件及其概率一、填空题：1．设A 、B 、C 是三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 与C 都不发生 ；（2）A 与B 都发生，而C 不发生 ；（3）A 、B 、C 都发生 ；（4）A 、B 、C 中至少有一个发生 ；（5）A 、B 、C 都不发生 ；（6）A 、B 、C 中不多于一个发生 ；（7）A 、B 、C 中不多于两个发生 ；（8）A 、B 、C 中至少有两个发生 ；（9）A 、B 、C 中恰有一个发生 ；（10）A 、B 、C 中恰有两个发生 ．2．写出下列试验的样本空间：（1）将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数 ；（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正、反面的情况 ；（3）将三枚不同的硬币抛一次，观察出现正、反面的情况 ；（4）将两颗不同的骰子抛一次，观察出现的点数 ；3．设A 、B 为两事件，且已知9.0)(=+B A P ，3.0)(=AB P ，若B A ⊃，则=-)(B A P ；4．设A 、B 为两事件，且已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P ，7.0)|(=B A P ，则=+)(B A P ；5．设A 、B 为两事件，且已知8.0)(=A P ，4.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，则=)|(B A P ；6．设A 、B 为两事件，且已知9.0)(=B P ，6.0)(=AB P ，则=)(B A P ；7．设A 、B 为两事件，且已知52)(=A P ，54)(=B P ，65)|(=A B P ，则 （1）=)(AB P ； （2）=)|(B A P ；（3）=+)(B A P ； （4）=-)(B A P ．8．设A 、B 为两事件，有（1）若A 、B 互不相容，则=)(AB P ；（2）若B A ⊃，则=)(AB P ；（3）若A 、B 相互独立，则=)(AB P ；（4）若A 、B 为对立事件，则=+)()(B P A P ．9.设A 与B 相互独立，且()0.7P A =，()0.4P B =，则()P AB = .10.设()0.1P A =，()0.3P A B +=,且A 与B 互不相容，则()P B = .11.设1()3P A =，1()4P B =，1()2P A B +=，则=P A B +（） . 12.若()0.5P A =，()0.4P B =，()0.3P A B -=，则()=P A B + ,=PA B +（） . 13.已知()0.7P A =，()0.5P B =,()0.3P A B -=，则()=P AB ，()=P B A - ，(|)=P B A .14.已知1()4P A =，1(|)3P B A =,1(|)2P A B =，则()=P A B + . 15.设A 、B 、C 相互独立，且()()()0.2,0.4,0.3P A P B P C ===,则()P A B C ++= .16.设A 、B 为两个随机事件，且()0.4P A =,()0.8P B =,()0.5P AB =,则(|)P B A = .二、单项选择题：1．若两事件A 和B 同时出现的概率为0)(=AB P ，则 【 】（A ）A 与B 互不相容（互斥）； （B ）AB 是不可能事件；（C ）AB 未必是不可能事件； （D ）0)(=A P 或0)(=B P ．2．若事件21A A A =，则事件=A 【 】（A ）21A A ； （B ）21A A ； （C ）21A A ； （D ）21A A +．3．若A 、B 为两随机事件，且A B ⊂，则下列各式中不正确的是 【 】（A ）)()(B P A P <； （B ）)()(A P B P ≥；（C ）0)(=B A P ； （D ）)()(B P B A P =+．4．设A 和B 是两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是；【 】（A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容；（C ）)()()(B P A P AB P =； （D ）)()(A P B A P =-．5．对于任意两事件A 和B ，下列结论正确的是（ ）；（A ）若φ≠AB ，则A 、B 一定独立； （B ）若φ≠AB ，则A 、B 有可能独立；（C ）若φ=AB ，则A 、B 一定独立； （D ）若φ=AB ，则A 、B 一定不独立．6. 设A 、B 为两个事件，则“这两个事件至少有一个没有发生”可表示为 【 】 ① A B ② AB AB + ③ A B + ④ A B +7. 以A 表示事件“零件长度合格，且直径不合格”，则其对立事件A 是 【 】 ① “零件长度不合格，且直径合格” ② “零件长度、直径均合格”③“零件长度不合格，或直径合格” ④ “零件长度不合格”8. 掷一颗均匀的骰子，下列事件中为必然事件的是 【 】 ① 出现的点数为偶数 ② 出现的点数小于六③ 出现的点数小于七 ④ 出现的点数大于七9. 事件B 发生而事件A 不发生的事件是 【 】 ① A B ⊂ ② A B ⊃ ③ B A - ④ B A -10. 掷一颗均匀的骰子，A 表示事件“出现的点数小于4”，B 表示事件“出现的点数大于4 ”，则 【 】 ① A 、B 对立 ② A 、B 互斥 ③ A 、B 独立 ④ A B ⊃11. 对于任意两事件A 、B ，则A B += 【 】 ①A B ② A B ③ A B ④ A B +12. 对于任意两事件A 、B ，则AB = 【 】 ①A B ② A B ③ A B ④ A B +13. 设事件A 和B 满足A B ⊂，则下列选项中正确的是 【 】 ① AB A = ② AB B = ③ A B -=Φ ④ A B A +=14. 设事件A 、B 的概率均大于0小于1，且A 、B 相互独立，则 【 】 ① A 与B 互不相容 ② A 与B 互不相容 ③ A 与B 相容 ④ A 与B 互不相容15. 有100个产品，其中96个是正品，4个是次品，现从中有放回地任取5次（每次任取一个，取后放回，共取五次），则取到的五个产品都是正品的概率为 【 】① 96100 ② 5965100C C ③ 5965100C ④ 5596100 16. 有100个产品，其中96个是正品，4个是次品，现从从中无放回地中任取5次（每次任取一个，取后不放回，共取五次），则取到的五个产品都是正品的概率为 【 】① 96100 ② 5965100C C ③ 5965100C ④ 559610017. 某人打靶的命中率为0.6, 现独立地射击了10次，10次射击中恰有3次命中的概率为【 】① 370.60.4⨯ ② 30.6 ③ 330.610⨯ ④ 337100.60.4C ⨯⨯ 18. 每次试验的成功率为p (01)p <<，独立重复进行试验直到第n 次才取得r 次成功 (1)r n ≤≤的概率为 【 】 ① 1()r r n r n C p p -⨯⨯- ② 111()r r n r n C p p ---⨯⨯- ③ 1()r n r p p -⨯- ④ 1111()r r n r n C p p ----⨯⨯-19.设在N 件产品中有1N 件次品，每次从中任意取出一件，有放回地取n 次，可看作 【 】 ① N 重Bernoulli 试验 ② 1N 重Bernoulli 试验③ n 重Bernoulli 试验 ④ 不是Bernoulli 试验20. 设在N 件产品中有1N 件次品，每次从中任意取出一件，无放回地取n 次，可看作 【 】 ③ N 重Bernoulli 试验 ② 1N 重Bernoulli 试验③ n 重Bernoulli 试验 ④ 不是Bernoulli 试验第二章 随机变量及分布1.填空题（１） 关系式 ,3,2,1}{===i p x X P i i 是离散型随机变量X 的概率分布的充要条件是＿＿＿＿．（２）若某射手射击的命中率为4.0，则连续射击10次才命中目标的概率是＿＿＿＿．（３）若X 的概率分布是则其分布函数 =≤=}{)(x X P x F（４）分布函数 }{)(x X P x F ≤= 在点x 处是＿＿＿＿连续．（５）若X 的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=≤=11104.000}{)(x x x x X P x F 则X 是＿＿＿＿型的，其分布律为＿＿＿＿．（６）若X 的概率分布是则=-≥}1{X P ＿＿＿＿，=-≤}1{X P（７）若X 的分布函数是 R x x X P x F ∈≤=}{)(则当21x x <时，=≤<}{21x X x P ＿＿＿＿．（８）若 ⎩⎨⎧<<=其它010)(x kx x f 是某连续型随机变量X 的概率密度，则=k ＿＿＿＿．（９）若X 的分布函数是 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 则 =<<-}5.05.0{X P ＿＿＿＿．（１0）若X 是连续型随机变量，则对任何R x ∈恒有==}{x X P ＿＿＿（１1）设连续型随机变量X 的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=其它021210)(x x x xx f则 =≤}5.1{X P ＿＿＿＿．（１2）已知随机变量的密度函数 ⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x f则 ==}5.0{X P ＿＿＿＿，=≤}5.0{X P ＿＿＿＿．（１3）若随机变量X 的密度函数 ⎩⎨⎧<<--=其它011)1()(2x x k x f则 =k ＿＿＿＿，==}21{X P ＿＿＿＿．（14）设随机变量X 的密度函数 ⎩⎨⎧<≤+=其它0201)(x Ax x f则 =A ＿＿＿＿．2.单选题（１）下列结果中，构成分布列的是＿＿＿＿．0120.30.40.5X A p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0120.30.20.5X B p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦0120.40.30.5X C p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0120.50.30.4X D p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（２）若X 的分布函数是R x x X P x F ∈≤=}{)(，则对任意 R x x ∈21, 当 21x x < 时，有)()(}{1221x F x F x X x P A -=≤< )()(}{1221x F x F x X x P B -=<≤ )()(}{1221x F x F x X x P C -=<< )()(}{1221x F x F x X x P D -=≤≤（３）若X 的分布函数是R x x X P x F ∈≤=}{)(，则下列结论中成立是 )(x F A 在),(+∞-∞内处处连续 )(x F B 在),(+∞-∞内处处右连续 )(x F C 在),(+∞-∞内处处左连续 )(x F D 在),(+∞-∞内处处不连续（４）若X 的概率分布是100.30.7X p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则其分布函数}{)(x X P x F ≤=是（）．⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=11103.000)(x x x x F A ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11103.00)(x x x x F B⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=11107.000)(x x x x F C ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11107.00)(x x x x F D（５）若X 的概率分布是012111362Xp ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列结果中成立的是（ ） 0}0{=≤X P A 0}231{=≤<X P B 0}231{=≤≤X P C 31}0{=<X P D（６）若X 的分布函数是2()02412x x F x x x ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩，则下列结果中成立的是（）． A X 的密度函数02()20xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它{2}0.5B P X ≥={01}0.2C P X <<= {0}0D P X <>（７）若X 的分布列是112111362X p -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列结果中成立的是（ ）2114111362X A p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2140.50.5XB p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦{2}1C P X ≥= 1{1}3D P X <-=（８）若X 的概率密度是101()0x f x <<⎧=⎨⎩其它，则其分布函数是（ ）．01()0x x A F x <<⎧=⎨⎩其它 20.501()0x x B F x ⎧<<=⎨⎩其它200()0.50111x C F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩ 00()0111x D F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（９）下列函数中，可作为密度函数的是（ ） A 21()()1f x x R x =∈+ 21()(0)(1)B f x x x =-∞<≤+π21()(0)(1)C f x x x =≤<+∞+π 21()(1)D f x x R x =∈+π（１０）下列函数中，可作为密度函数的是（ ）3sin [0,]()20x x A f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它π s i n (,)()220x x B f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它ππ sin [0,]()20x x C f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它πs i n [0()0x x D f x ∈⎧=⎨⎩其它π （11）设随机变量X 的密度函数为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 为X的分布函数。
概率论部分习题解答与提示、典型例题选讲
x 575.2, sn*2 75.74.
为此,厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了. 如确实增大了, 表明生产精度不如以前, 就需对生产流程作一番检验, 以发现生产环节中存在的问题.
2 1
n1
4
2 2
n2
.
在 H 0 成立下
U
X 2Y (1 22 ) ~ N(0,1).
2 1
4
2 2
n1 n2
因此, 类似于右侧检验, 对于给定的 0, 则 H 0 成立时
(1
22 ),
接受域为：W
x 2y
2 1
4
2 2
n1 n2
u
.
17
2.
方差
12
,
2 2
未知,
但
2 1
2 2
2
例 9 某地某年高考后随机抽得 15 名男生、12 名女生的物理考试成绩如下:
本例中 0 21.5, n 6, 对于给定的显著性水平 0.05, 查附表得
t1 (n 1) t0.95 (5) 2.015.
再据测得的 6 个寿命小时数算得: x 20, sn*2 10.
由此计算 t x 0 20 21.5 6 1.162.
sn* / n
10
因为 t 1.162 2.015 t0.95 (5), 所以不能否定原假设 H 0 , 从而认为这种类型电池的
2 1
(n
1)
2 0.95
(9)
16.919.
从而有
2
n 1
2 0
sn*2
9 75.74 64
补充及答案
1.设事件,A B 满足()0.6,()0.5,()0.2P A P B P AB ===，则()P A B ＝ 。
2. 假设每个公用电话一天内的使用人数服从泊松分布，根据统计资料，每个公用电话一天中有人使用和无人使用的概率相等，则一个公用电话一天中仅有一人使用的概率是 。
3.设三次独立试验中,事件A 发生的概率相等.若已知A 至少发生一次的概率为78,则事件A 在一次试验中发生的概率为 。
4.进行一系列独立的试验, 每次试验成功的概率为p , 直到成功两次停止试验, 则在成功两次之前已经失败3次的概率为 。
0.8 ; 2ln 21; 1/2 ; 234(1)p p - 5. （ ）以A 表示“概率考试及格且英语不及格”，则A 表示概率不及格或英语及格。
6.（ ）设A 与B 为任意随机事件，则()A B B A -= 。
7.（ ）若事件A 、B 、C 相互独立，则A 与B ∪C 独立。
8.（ ）设事件A , B 相互独立，且有()0,()0P A P B >>，则A , B 一定是互斥的。
9.（ ）设,A B 为两个事件, 则事件A 与事件AB 互斥。
（√ ）; （ × ）; （ √ ）; （ × ）; （ × ）10.已知1)(0<<B P ，且()()()B A P B A P B A A P 2121+= ，则下列选项正确的是 ( )（A ）()()()B A P B A P B A A P 2121+=（B ）()()()B A P B A P B A B A P 2121+= （C ）()()()B A P B A P A A P 2121+=（D ）()()()()2211)(A B P A P A B P A P B P +=11.向单位圆122<+y x 内随机地投下3点，这3点中恰有2点落在第一象限的概率为 ( )(A)161 (B)643 (C)649 (D)41 12.设A 、B 为两个事件，则事件 A ∪B 表示 ( )(A) A 与B 同时发生 (B) A 与B 不同时发生(C) A 与B 恰有一个发生 (D) A 与B 至少有一个发生13.已知(),(),(),P A a P B b P A B c ==⋃=则()P AB 为 ( )（A ）(1)a b - （B ）a b - （C ）c b - （D ）(1)a c -14.设A 、B 为两个互斥事件，且有()0,()0P A P B >>，则下列结论中一定成立的是 ( )(A) A 与B 为对立事件 (B) ,A B 为互斥事件(C) A 与B 不独立 (D) A 与B 相互独立( B )；( C ); ( B ); ( C ); ( C )1. 某工厂有3个车间生产同一种产品，产量分别占总产量的25％，30％，45％，又各个车间的不合格品率依次为0.04，0.05及0.02。
近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案
P(C )
22
3
则 P( AB | C ) = P( ABC ) = 1/ 2 = 3 ， P(C ) 2 / 3 4
填空： 3 ． 4
三．解答题： 1． （98）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7
份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． （1）求先抽到的一份是女生表的概率 p ； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q ．
， P( AB) =
P(B) =
nB n
=
C42 C120
=
6 45
，故 P(B |
A)
=
P( AB) P( A)
=
6 30
= 0.2 ．
填空：0.2．
2． （97）设 A, B 是任意两个随机事件，则 P{( A + B)(A + B)(A + B)(A + B)} =
．
解：根据事件并对交的分配律，有 ( A + B)( A + B) = AA + B = B ， ( A + B )( A + B ) = AA + B = B ，
（C） A − B 与 C ．
（D） AB 与 C ．
解：相互独立即互不影响，只有答案（B）中的两个事件 AC 、C 都与同一事件 C 有关，二者相互有影响，
选择：（B）．
4． （00）设 A, B, C 三个事件两两独立，则 A, B, C 相互独立的充分必要条件是（
）
（A） A 与 BC 独立．
7． （03）对于任意二事件 A 和 B ，（
概率论与数理统计第二章补充题及答案
《概率论与数理统计》第二单元补充题一、 填空题：1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是12），）2、随机变量X 的分布律为5110321210PX ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________3、设离散型随机变量X 的分布律为 ,2,1,21}{===k k X P k，则随机变量X Y 2sin π=的分布律为4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= .5、设随机变量X 的概率密度函数为，则P (0<X <3π/4)= .6、随机变量)31,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5a P X k k ===，（， 则a =，(2.5)F =8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1133P X <<=，则b =9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==，{}1P X ≤=二、选择题：1、下列命题正确的是 。
（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________（ A ） 32,55a b ==- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13,22a b =-=-三、计算题1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.2、已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Axx x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).4、设随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.5、已知离散型随机变量X 的概率分布为 ,2,1,32}{===n n X P n ，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2xX f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。
概率论课后习题解答
一、习题详解：写出下列随机试验的样本空间：1某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中,至少要投5次以上,故}{ ,7,6,51=Ω；2掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；3观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以}{ ,2,1,03=Ω； 4从编号为1,2,3,4,5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故： 5检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格,则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；6观察某地一天内的最高气温和最低气温假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2;解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；7在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；8在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；设A,B,C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；6 A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；7 A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；8 A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式;设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B具体写出下列各事件：1AB ; 2 B A - ; 3 B A -; 4 B A ⋃（1）AB }{18.0≤=x x ；2 B A -=}{8.05.0≤≤x x ；3 B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ;4 B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x用作图法说明下列各命题成立：略用作图法说明下列各命题成立：略按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤,而由加法公式,有：)()()(B P A P B A P +≤⋃若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且PW = ; PE = ,PWE = , 求下列事件的概率：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛;2 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：1 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,,昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P3 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P . 设A 与B 是两个事件, PA = ; PB = ;试问：1 在什么条件下PAB 取到最大值 最大值是多少2 在什么条件下PAB 取到最小值 最小值是多少解：1 由于B AB A AB ⊆⊆,,故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ⊆时PAB 取到最大值; 最大值是.2 由于)()()()(B A P B P A P AB P ⋃-+=;显然当1)(=⋃B A P 时PAB 取到最小值,最小值是.设PA = , PB = , PC = , PAB = 0, PAC = , PBC = , 求事件A,B,C 中至少有一个发生的概率.解：因为 PAB = 0,故 PABC = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：7.0)()()()()()()()(=+---++=⋃⋃ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P计算下列各题：1 设PA = , PB = , PA ⋃B = , 求PAB;2 设PA = , PA ⋃B = , 求PAB;3 设PAB = PA B; PA = , 求PB;解：（1）通过作图,可以知道,3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P把3个球随机地放入4个杯子中,求有球最多的杯子中球数是1,2,3 概率各为多少解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3;三只球放入四只杯中,放法有44464⨯⨯=种,每种放法等可能;对事件1A ：必须三球放入三杯中,每杯只放一球;放法4×3×2种,故83)(1=A P 选排列：好比3个球在4个位置做排列;对事件3A ：必须三球都放入一杯中;放法有4种;只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种,故161)(3=A P ;169161831)(2=--=A P 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少 解：此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36;.出现点数和为“3”对应两个基本事件1,2,2,1;故前后两次出现的点数之和为3的概率为181; 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5 的概率各是91,121; 在整数9,2,1,0 中任取三个数, 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是5; 2 三个数中最大的一个是5.解：从10个数中任取三个数,共有120310=C 种取法,亦即基本事件总数为120;(1) 若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有624=C 种,故所求概率为201; 2 若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有1025=C 种,故所求概率为121; 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球;现从这12 只乒乓球中随机地取出两只, 求下列事件的概率：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.解：分别用321,,A A A 表示事件：1 取到两只黄球;2 取到两只白球;3 取到一只白球, 一只黄球.则,111666)(,33146628)(212242212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P ; 已知4.0)(,7.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P , 求).)((B B A P ⋃ 解：)())()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ⋃=⋂⋃=⋃ 由于0)(=B B P ,故5.0)()()()()())((=-==⋃B P B A P A P B P AB P B B A P 已知4.0)(,6.0)(==B P A P ,5.0)(=B A P ; 计算下列二式：1);(B A P ⋃2);(B A P ⋃解：1;8.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P AB P B P A P B A P 2;6.05.04.01)()(1)()()()(=⨯-=-=-+=⋃B A P B P B A P B P A P B A P 注意：因为5.0)(=B A P ,所以5.0)(1)(=-=B A P B A P ;一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品;现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：1 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;2 第三次才取到次品;3 第三次取到次品.解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”3,2,1=i ,则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”3,2,1=i ;11212115331421(),()()()20441938P A P A A P A P A A ====⨯= (1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为： 3125()18P A A A =;2 事件“第三次才取到次品”的概率为：（3）事件“第三次取到次品”的概率为：41此题要注意区分事件1、2的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率;再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品;用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”2,1=i , 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：21)()()(12121==A A P A P A A P ;区别是显然的; 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中;今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率;解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”;用B 表示事件“从第二箱中取到的是次品”;则211212122201222214141466241(),(),(),919191C C C C P A P A P A C C C ⨯====== 01()12P B A =,12()12P B A =,23()12P B A =,根据全概率公式,有：一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子;已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%;假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”,B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”;则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =,2()0.15P B A =,3()0.1P B A =,根据全概率公式,有：设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率; 解：用B 表示色盲,A 表示男性,则A 表示女性,由已知条件,显然有：,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：根据贝叶斯公式,所求概率为：151102)()()()()()()()()()()()(=+=+==A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为, 被试验者患有癌症的概率为;若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率解：用B 表示对试验呈阳性反应,A 表示癌症患者,则A 表示非癌症患者,显然有：,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P因此根据贝叶斯公式,所求概率为：仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.1 求该批产品的合格率;2 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少解：设,},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B}{产品为合格品=A ,则1根据全概率公式,94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ,该批产品的合格率为.2根据贝叶斯公式,9419)()()()()()()()()(332211111=++=B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P 同理可以求得4724)(,9427)(32==A B P A B P ,因此,从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：4724,9427,9419; 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为, 和 ,求目标被击中的概率;解：记A ={目标被击中},则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P在四次独立试验中, 事件 A 至少发生一次的概率为, 求在三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率.解：记4A ={四次独立试验,事件A 至少发生一次},4A ={四次独立试验,事件A 一次也不发生};而5904.0)(4=A P ,因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P ;所以2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：384.064.02.03))(1)((213=⨯⨯=-A P A P C ;。
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1 7 9 3 1 1 1 . 2 10 10 200
例7抓阄问题 1995 年全国足球甲 A 联赛的最后
1 (0.6)n 1 (0.6)n 0.99 即
(1) n个人都分到指定的n间房去住，保证每间房 中各有一人住;第一个人有 n 种分法，第二个人有 n-1 种分法，...，最后一个人只能分到剩下的一间房中 去住，共有n(n-1)...21 种分法，即A含有n!个基本事件.
n! P ( A) n N
(2) B={恰好有n个间房，其中各有一人住} n个人都分到的n间房中，保证每间只有一人住， 共有n!种分法，而n间房未指定，故可以从N间房中 n C 任意选取，共有 N 种取法，故B包含的基本事件数为 n CN n! n CN n! P ( B) 所以 Nn
练习1 设某射手对一目标接连进行三次射击 , 记
Ai 第 i 次击中目标 , Ai 第 i 次未击中目标 ,
i 1,2,3 , 试用 Ai , Ai , i 1,2,3 表示事件
1 B j 三次射击中恰好有 j 次击中目标 , j 0,1,2,3 2 Ck 三次射击中至少有k 次击中目标 , k 0,1,2,3
而收到信号为" 不清 " 而原发信号为" 1 "的概率为
P B | A 1 P B | A 1 0.75 0.25 .
因此 , 可以推测原发信号很可 能 ( 确切地说有75%
的可能 ) 是 " 0 " .
练9 玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0，1 ，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1，某顾客 欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而 顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回. 试求（1）顾客买下该箱的概率 是多少？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次 品的概率是多少？ 解 设A表示事件“顾客买下所查看的一箱玻璃杯 i 0,1,2. ” Bi 表示事件“箱中恰有i件残次品”， 易知，B0 , B1 , B2 是样本空间S的一个划分. 由题意， 有
例6 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时 1 打破的概率为 , 若第一次落下未打破 , 第二次落下 2 7 打破的概率是 , 若前两次未打破 , 第三次落下打 10 9 破的概率是 , 试求透镜落下三次未打破的概率 . 10 解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破 , i 1,2,3 , B 透镜落下三次未打破 , 则 B A1 A2 A3 .
解 1 B0 三次射击中恰好有0次击中目标
A1 A2 A3
2 C0 三次射击中至少击中0次
B1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 B3 A1 A2 A3 三次中恰好击中 0 次或1次或2次或3次 B0 B1 B2 B3 C1 B1 B2 B3 A1 A2 A3 C 2 B2 B3 A1 A2 A1 A3 A2 A3 C 3 B3 A1 A2 A3
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
练习 3 设有 n 个人，每个人都等可能地被分配 到N个房间中的任意一间去住 N (n N ) 试求下列事 件的概率
(1) A={指定的n个间房中各有一人住} (2) B={恰好有n个间房，其中各有一人住} 解 因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制 n N 每间房子住多少人），所以n 个人住的方式共有 种，它们是等可能的.
或 A1 A2 A3 A4 ;
(3) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ;
(4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ;
练习5 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁 的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
解
设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
故收到信号为" 不清 " 而原发信号为" 0 "的概率为
P AB P B P A | B P B | A P B P A | B P B P A | B P A
0.6 0.2 0.75 . 0.6 0.2 0.4 0.1
P Ai P A1 A2 Ai 1 Ai P A1 P A2 | A1 P Ai | A1 Ai 1 29 28 1 1 , i 1,2,,30 . 30 29 30 i 1 30 1 所以 , 各人抽得此票的概率都是 ,即机会均等 . 30
练习4 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已 知这 12 次接待都是在周二和周四进行的. 问是否可 以推断接待时间是有规定的？ 解 假设该站接待时间没有规定，各来访者在 一周的任一天去接待站是等可能的，则12 次 接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件 在一次实验中几乎是不发生的”（称为实际推断原理）. 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而 推断该站接待时间是有规定的。
P ( A) P ( A Bi )P ( Bi )
i 0 2
4 12 0.8 1 0.1 0.1 0.94 5 19
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概 率是多少？
由Bayes 公式
P ( B0 ) P ( A | B0 ) P ( B0 | A) P ( A)
P ( B0 ) 0.8, P ( B1 ) P ( B2 ) 0.1
(1)顾客买下该箱玻璃杯的前提是售货员随意取 一箱，而顾客开箱随机地查看4只无残次品. 4 4 C19 4 C 20 P ( A | B0 ) 4 1 P ( A | B1 ) 4 C 20 5 C 20 4 C18 12 P ( A | B2 ) 4 C 20 19 由全概率公式，顾客买下该箱玻璃杯的概率为
(1) A1 A2 A3 A4 ;
(2) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ,
练 2 设一个工人生产了四个零件 , Ai 表示他生
产的第 i 个零件是正品 ( i 1, 2, 3, 4) , 试用 Ai 表 示下列各事件 :
(1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品;
(3)只有一个是次品;
(4)至少有三个不是次品;
(5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品. 解
P( A3 ) P( H1H 2 H 3 )
将数据代入计算得 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
第一个人抽得球票的概 率为 1 P A1 30
第二个人抽得球票的概 率为
29 1 1 P A2 P A1 A2 P A1 P A2 | A1 30 29 30
同理 , 第 i 个人要抽得比赛球票 , 必须在他抽取之前 的 i 1 个人都没有抽到此票的事件一起出现 , 即
由于
A A1 A2 An A1 A2 An
而 A1 A2 An 相互独立，所以
P ( A) 1 P ( A) 1 P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
因此
" 0 " 和 " 1 "出现的概率分别是 0.6 和 0.4 ,当收到 " 不清 "
时 , 试推测原发信号是什么 ? 解 设 B 发出信号 " 0 " , 则 B 发出信号 " 1 "
A 收到信号 " 不清 " , 则 B 与 B 为 发出信号 " 0 " 或 " 1 "的一个划分 .
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)
为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得
P( A1 ) P( H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 ) P( A2 ) P( H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 )
练11 设每门炮在一次射击中，击中敌机的概 率为0.4。问至少需配置多少门炮，才能以99% 以上的把握击中一架来犯敌机？ 解 设至少需配置n门炮，并记： Ai={第i门炮击中敌机}，i=1,2,…,n A={敌机被击中}，则：