概率论补充题部分选解

(1) A1 A2 A3 A4 ;
(2) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ,
第一个人抽得球票的概 率为 1 P A1 30
第二个人抽得球票的概 率为
29 1 1 P A2 P A1 A2 P A1 P A2 | A1 30 29 30
同理 , 第 i 个人要抽得比赛球票 , 必须在他抽取之前 的 i 1 个人都没有抽到此票的事件一起出现 , 即
解 1 B0 三次射击中恰好有0次击中目标
A1 A2 A3
2 C0 三次射击中至少击中0次
B1 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 B2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 B3 A1 A2 A3 三次中恰好击中 0 次或1次或2次或3次 B0 B1 B2 B3 C1 B1 B2 B3 A1 A2 A3 C 2 B2 B3 A1 A2 A1 A3 A2 A3 C 3 B3 A1 A2 A3
练习4 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已 知这 12 次接待都是在周二和周四进行的. 问是否可 以推断接待时间是有规定的？ 解 假设该站接待时间没有规定，各来访者在 一周的任一天去接待站是等可能的，则12 次 接待来访者都在周二、周四的概率为 212/712=0.0000003
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件 在一次实验中几乎是不发生的”（称为实际推断原理）. 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而 推断该站接待时间是有规定的。
或 A1 A2 A3 A4 ;
(3) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ;
(4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 ;
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 ;
" 0 " 和 " 1 "出现的概率分别是 0.6 和 0.4 ,当收到 " 不清 "
时 , 试推测原发信号是什么 ? 解 设 B 发出信号 " 0 " , 则 B 发出信号 " 1 "
A 收到信号 " 不清 " , 则 B 与 B 为 发出信号 " 0 " 或 " 1 "的一个划分 .
1 (0.6)n 1 (0.6)n 0.99 即
P( A3 ) P( H1H 2 H 3 )
将数据代入计算得 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.
练习5 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁 的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
解
设A={能活20年Leabharlann Baidu上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
练 2 设一个工人生产了四个零件 , Ai 表示他生
产的第 i 个零件是正品 ( i 1, 2, 3, 4) , 试用 Ai 表 示下列各事件 :
(1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品;
(3)只有一个是次品;
(4)至少有三个不是次品;
(5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品. 解
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
练习 3 设有 n 个人，每个人都等可能地被分配 到N个房间中的任意一间去住 N (n N ) 试求下列事 件的概率
(1) A={指定的n个间房中各有一人住} (2) B={恰好有n个间房，其中各有一人住} 解 因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制 n N 每间房子住多少人），所以n 个人住的方式共有 种，它们是等可能的.
P B P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2
1 7 9 3 1 1 1 . 2 10 10 200
例7抓阄问题 1995 年全国足球甲 A 联赛的最后
P ( B0 ) 0.8, P ( B1 ) P ( B2 ) 0.1
(1)顾客买下该箱玻璃杯的前提是售货员随意取 一箱，而顾客开箱随机地查看4只无残次品. 4 4 C19 4 C 20 P ( A | B0 ) 4 1 P ( A | B1 ) 4 C 20 5 C 20 4 C18 12 P ( A | B2 ) 4 C 20 19 由全概率公式，顾客买下该箱玻璃杯的概率为
练习1 设某射手对一目标接连进行三次射击 , 记
Ai 第 i 次击中目标 , Ai 第 i 次未击中目标 ,
i 1,2,3 , 试用 Ai , Ai , i 1,2,3 表示事件
1 B j 三次射击中恰好有 j 次击中目标 , j 0,1,2,3 2 Ck 三次射击中至少有k 次击中目标 , k 0,1,2,3
(1) n个人都分到指定的n间房去住，保证每间房 中各有一人住;第一个人有 n 种分法，第二个人有 n-1 种分法，...，最后一个人只能分到剩下的一间房中 去住，共有n(n-1)...21 种分法，即A含有n!个基本事件.
n! P ( A) n N
(2) B={恰好有n个间房，其中各有一人住} n个人都分到的n间房中，保证每间只有一人住， 共有n!种分法，而n间房未指定，故可以从N间房中 n C 任意选取，共有 N 种取法，故B包含的基本事件数为 n CN n! n CN n! P ( B) 所以 Nn
由于
A A1 A2 An A1 A2 An
而 A1 A2 An 相互独立，所以
P ( A) 1 P ( A) 1 P ( A1 A2 An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
因此
1 0 .8 0.85 0.94
练10 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击 落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人 都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 解 Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3 设B={飞机被击落} 则 B=BA1+BA2+BA3 依题意， P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1
故收到信号为" 不清 " 而原发信号为" 0 "的概率为
P AB P B P A | B P B | A P B P A | B P B P A | B P A
0.6 0.2 0.75 . 0.6 0.2 0.4 0.1
一轮 ,四川全兴队与解放军八一队的比赛在成都市 进行 , 这场比赛是关系到四川全兴队是否降级的命
运之战 , 肯定会异常精彩 , 可西南交大某班 30 位同学 仅购得一张票, 大家都想去看, 只好采取抓阄的办 法抽签决定 , 每个人都争先恐后地抽取 .试问 , 每人抽
得此票的机会是否均等?
解 设 Ai 第 i 个人抽得球票 , i 1,2,,30 , 则
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)
为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得
P( A1 ) P( H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 ) P( A2 ) P( H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 H1H 2 H 3 )
P Ai P A1 A2 Ai 1 Ai P A1 P A2 | A1 P Ai | A1 Ai 1 29 28 1 1 , i 1,2,,30 . 30 29 30 i 1 30 1 所以 , 各人抽得此票的概率都是 ,即机会均等 . 30
练8 在数字通迅中 ,由于随机干扰 ,当发出信号 " 0 "
时 , 收到信号 " 0 " , "不清 " , " 1 "的概率分别是 0.7 ,0.2 和 0.1 ; 当发信号 " 1 " 时 ,收到信号为 " 1 " , "不清 " 和 " 0 "的概率分别是 0.9 ,0.1 和 0 , 如果整个发报过程中
而收到信号为" 不清 " 而原发信号为" 1 "的概率为
P B | A 1 P B | A 1 0.75 0.25 .
因此 , 可以推测原发信号很可 能 ( 确切地说有75%
的可能 ) 是 " 0 " .
练9 玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0，1 ，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1，某顾客 欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而 顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回. 试求（1）顾客买下该箱的概率 是多少？（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次 品的概率是多少？ 解 设A表示事件“顾客买下所查看的一箱玻璃杯 i 0,1,2. ” Bi 表示事件“箱中恰有i件残次品”， 易知，B0 , B1 , B2 是样本空间S的一个划分. 由题意， 有
P ( A) P ( A Bi )P ( Bi )
i 0 2
4 12 0.8 1 0.1 0.1 0.94 5 19
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概 率是多少？
由Bayes 公式
P ( B0 ) P ( A | B0 ) P ( B0 | A) P ( A)
例6 设某光学仪器厂制造的透镜 , 第一次落下时 1 打破的概率为 , 若第一次落下未打破 , 第二次落下 2 7 打破的概率是 , 若前两次未打破 , 第三次落下打 10 9 破的概率是 , 试求透镜落下三次未打破的概率 . 10 解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破 , i 1,2,3 , B 透镜落下三次未打破 , 则 B A1 A2 A3 .
练11 设每门炮在一次射击中，击中敌机的概 率为0.4。问至少需配置多少门炮，才能以99% 以上的把握击中一架来犯敌机？ 解 设至少需配置n门炮，并记： Ai={第i门炮击中敌机}，i=1,2,…,n A={敌机被击中}，则：
A A1 A2 An
求n, 使得 p( A) p( A1 A2 An ) 0.99