常见的几个函数不等式及其应用

常见的几个函数不等式及其应用

利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：

（6）贝努尼不等式：当1->x 时， )0,1(1)1(<≥+≥+αααα

或x x ， ⑫ )10(1)1(<<+≤+ααα

x x ⑬ （7）)0(2

1)1ln(2

≥-≥+x x x x ⑭ 二、常见的函数不等的作用 利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。 （1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值

例 1 （2008年湖南卷，理21）已知函数

x

x

x x f +-

+=1)1(ln )(2

2

. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若不等式e )11(≤++α

n n

对任意的*

∈N n 都成立，求α的最大值. 解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得

2

2)

1()1(211)1ln(2)(x x

x x x x x f +-+-+⋅+='

)]11

1(21)1[ln(12x

x x x +-+-++=

.

由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ，⑤)10)(1

(21ln ≤<-≥x x x x 可知： 当0≥x 时，11≥+x ，有)111(21)1ln(x

x x +-+≤+，0)(≤'x f ； 当01≤<-x 时，110≤+

x x +-+≥+，0)(≥'x f . 因此，当0≥x 时，)(x f 为减函数；当01≤<-x 时，)

(x f

为增函数.

（Ⅱ）由e

)

11(≤++α

n n

可知，1)11ln()(≤+⋅+n

n α，所以n n

-+≤)

1

1ln(1

α. 记]1,0(1∈=t n

，则t t 1

)1ln(1-+≤

α，]1,0(∈t . 由不等式⑨

)10(2

11)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ，可知

1

2

ln 1

1)1ln(1-≥-+t t ，

12

ln 1

-≤

∴α.

所以，α的最大值为12ln 1-.

（2）利用常用不等式求参数的取值范围 例2 （2010年全国卷，理22）设x

x f --=e 1)(. （Ⅰ）证明：1->x 时，1

)(+≥x x x f ； （Ⅱ）设0≥x 时，1)(+≤ax x x f ，求a 的取值范围.

解：（Ⅰ）利用分析法，结合①式)

1()1ln(1->≤+≤+x x x x

x 可以证明.

（Ⅱ）因为1e 110+≤-

在0≥x 时恒成立，

所以01>+ax 在0≥x 时恒成立，则0≥a . 另一方面，由1e 110+≤-

a x

x

11e e --≤. 令t

x

=e

，由0≥x 知1≥t .

)1(ln 1

1≥--≤∴t t

t t a . 由不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知)1(1)1(2ln ≥+-≥t t t t ，

所以1>t 时，2

1)1(211ln 11=-+-->--t t t t t t t . 又由导数定义可知11

ln lim 1

=-→t t t ，

所以21ln )1(lim 1

=-+→t t t t ，故2

1

ln 11≥--t t t . 综上，所求a 的取值范围为]2

1,0[. 例3 （2014年湖南卷，理22）已知常数0>a ，

22)1ln()(+-

+=x x

ax x f . （Ⅰ）讨论)(x f 在区间),0(+∞上单调性；

（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点2

1

,x x ，且0)()(2

1

>+x f x f ，求a 的取值范围.

解：（Ⅰ）2

2

2

)

2)(1()

1(4)2(41)(++--=+-+='x ax a ax x ax a x f . 因为0)2)(1(2

>++x ax ，所以当01≤-a ，即1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，则函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.

当10<

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