常见的几个函数不等式及其应用
常用不等式公式考研
常用不等式公式考研不等式是数学中最重要的基础概念之一，它对考研中数学的学习和理解至关重要。
本文将介绍考研中常见的不等式公式及其应用，为考研数学的学习提供参考。
首先，让我们介绍一下考研数学中最常用的不等式公式。
一、凸函数不等式凸函数不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：如果f(x)的导数 >= 0，则f(x)的函数值是单调递增的。
因此，凸函数不等式可以用来证明某个函数的单调性，也可以用来判断某个函数是可以单调递增的。
此外，凸函数不等式常常被用来证明函数的连续性、反函数的存在性、函数的最小值或最大值存在性等。
二、二次不等式二次不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：当两个不同的根底数相乘时，当两个数的符号一致时，则乘积的结果大于0，而当两个数的符号不一致时，则乘积的结果小于0。
通过利用这种不等式，我们可以证明函数的最小值或最大值的具体值，也可以判断函数是否有最小值或最大值，以及函数是否是单调函数。
三、非负不等式非负不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：当某个函数是非负函数，则函数的值只能是非负数，即当函数的值>=0时，函数的值才是有效的。
非负不等式通常用来证明函数的连续性，以及判断函数的有效性、函数的最大值或最小值的具体值。
四、微积分不等式微积分不等式也是考研数学中常见的不等式公式，它的基本性质是：当函数的导数>=0时，那么函数的值也是单调的，即函数的值是单调递增的；反之，如果函数的导数<=0，那么函数的值是单调递减的。
因此，微积分不等式可以用来证明函数的单调性，以及判断函数的有效性、函数的最大值或最小值的具体值等。
以上就是考研数学中常用的不等式公式，以及它们的应用。
理解不等式的基本性质，可以帮助我们更好地分析问题，为考研数学的学习提供积极的指导。
高一数学函数不等式知识点
高一数学函数不等式知识点在高一数学课程中，函数不等式是一个重要的知识点。
函数不等式主要涉及到函数的不等关系及其在数轴上的图像表示。
以下是关于高一数学函数不等式的一些基本知识点：一、函数的不等关系函数的不等关系是指函数值之间的大小关系。
在数学中，有几种常见的不等关系，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。
二、一次函数不等式一次函数不等式是指函数中只包含一次项的不等式。
对于一个一次函数f(x) = ax + b，可以利用其函数图像以及不等式的性质来求解不等式。
三、二次函数不等式二次函数不等式是指函数中含有二次项（x²）的不等式。
对于一个二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过求解二次方程来确定函数的零点，并利用零点将函数的图像分为不同的区间进行讨论。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指函数中含有绝对值符号（|x|）的不等式。
对于一个绝对值不等式|f(x)| < a（或> a），可以通过拆分成两个不等式进行求解，包括当f(x) > 0或f(x) < 0时的情况。
五、函数不等式的解集表示当求解函数不等式时，我们通常需要表示其解集。
解集可以通过数轴上的图像表示，或使用区间表示。
在数轴上，解集可以用开区间、闭区间、半开半闭区间等形式表示。
六、函数不等式的解法对于不同类型的函数不等式，我们可以采用不同的解法。
常用的解法包括代入法、分析法、图像法等。
通过选择合适的解法，能够更快速地求解函数不等式问题。
总结：高一数学函数不等式是数学课程中的一个重要知识点，涉及到函数的不等关系、一次函数不等式、二次函数不等式、绝对值不等式等内容。
通过掌握函数不等式的基本知识，我们能够更好地理解和解决相关的数学问题。
在实际应用中，函数不等式也经常被用于解决各种实际问题，对培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的作用。
不等式的应用与解法
不等式的应用与解法不等式是数学中一种常见的表达方式，用于表示两个数或者两个表达式之间的关系。
在实际问题中，不等式常被用来描述条件、限制和约束等情况。
解决不等式问题的过程中，我们可以通过各种方法进行推导和求解。
本文将详细介绍不等式的应用与解法。
一、不等式的应用不等式在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
下面列举几个常见的例子来说明不等式在实际问题中的应用。
1. 金融领域：在股票市场中，人们常用不等式来描述价格变化的范围，并判断是否存在投资机会。
例如，如果股票价格上涨不少于10%，则可以得到利润。
2. 经济学：在经济学中，不等式被用来表示供给和需求等关系。
例如，如果某种商品的需求量超过供给量，则价格将上涨。
3. 物理学：在物理学中，不等式用于描述力学系统中的平衡和稳定性条件。
例如，对于一个悬挂在桥梁上的物体，不等式被用于确定支撑的最大负荷。
4. 工程学：在工程学中，不等式常用于约束条件的限制。
例如，在建筑设计中，不等式被用来确定结构材料的使用范围。
以上只是不等式应用的一些例子，实际中的应用场景更加广泛。
二、不等式的解法解决不等式问题的方法有很多种，下面将详细介绍几种常用的解法。
1. 数轴法：数轴法是一种直观的解决不等式问题的方法。
将不等式中的变量在数轴上表示出来，通过观察数轴上的位置关系，可以找到不等式的解集。
例如，对于不等式x > 3，将3在数轴上标记出来，可以发现x的取值范围是大于3的所有实数。
2. 方程转换法：对于某些特殊的不等式，可以通过将其转化为等价的方程来求解。
例如，不等式x + 2 > 5可以转化为方程x + 2 = 5，然后求解方程得到x的取值范围。
3. 函数法：对于一些复杂的不等式问题，可以利用函数的性质来解决。
通过观察函数图像和函数值的变化，可以确定不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 4 > 0，可以通过绘制函数y = x^2 - 4的图像，找到使y大于0的x的取值范围。
函数不等式知识点归纳总结
函数不等式知识点归纳总结函数不等式是解决数学问题中常见的一种形式，它涉及到函数的不等关系及其解集。
本文将对函数不等式的概念、解法和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用函数不等式。
一、函数不等式的概念函数不等式是指含有函数的不等式关系，其中函数可以是一元函数或多元函数。
函数不等式可以包含一个或多个变量，并且其解集通常是一个或多个实数区间。
解函数不等式的主要目标是确定变量的取值范围，以满足不等式关系。
二、一元函数不等式的解法解一元函数不等式的方法主要包括图像法、代数法和符号法。
图像法借助函数的图像找到不等式的解集；代数法借助代数运算和推导解出不等式的解集；符号法则通过符号变换和符号性质推导解出不等式的解集。
2.1 图像法图像法是通过函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制函数的图像，并观察函数图像的凹凸性、单调性和零点等信息。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
2.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用一元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
2.3 符号法符号法是通过符号变换和符号性质来解不等式的方法。
不等式中的符号可根据不等式的性质进行变换，并利用符号性质推导出不等式的解集。
常见的符号性质包括非负性、相反性、单调性和倍数性等。
三、多元函数不等式的解法解多元函数不等式的方法主要包括图像法和代数法。
其中，图像法借助多元函数的图像确定不等式的解集；代数法则通过代数运算和推导解出不等式的解集。
3.1 图像法图像法是通过多元函数的图像来解不等式的方法。
首先，绘制多元函数的图像，并观察函数图像的变化趋势。
然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。
3.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。
利用多元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。
四、函数不等式的应用函数不等式在数学和实际问题中有着广泛的应用。
常用的积分不等式
常用的积分不等式积分不等式是数学中常用的工具之一，它可以帮助我们对函数的性质进行研究和估计。
在本文中，我们将介绍几个常用的积分不等式，并说明它们的应用。
1. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的重要工具，也可以应用到积分中。
它表明在一个区间上的函数值的平均值与函数值超过平均值的部分之间存在一种关系。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积且有界，则对于任意实数M，有以下不等式成立：∫[a,b] |f(x)|dx ≤ M(b-a)这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的绝对值的积分有界，那么函数在这个区间上的平均值也是有界的。
2. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是用来估计一个非负随机变量的期望值的上界的不等式。
同样地，它也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积且非负，则对于任意实数M，有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)dx ≤ M∫[a,b] f(x) dx这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的积分有界，那么函数在这个区间上的值也是有界的。
3. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的重要不等式，也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ (∫[a,b] f(x)^2dx)^0.5 (∫[a,b] g(x)^2dx)^0.5这个不等式告诉我们，如果两个函数在一个区间上的积分有界，那么两个函数的乘积在这个区间上的积分也是有界的。
4. 杨辉不等式杨辉不等式是数论中的一种不等式，它也可以应用到积分中。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，则有以下不等式成立：(∫[a,b] f(x)dx)^2 ≤ (∫[a,b] 1dx)(∫[a,b] f(x)^2dx)这个不等式告诉我们，如果一个函数在一个区间上的积分有界，那么函数的平方在这个区间上的积分也是有界的。
常见的几个函数不等式及其应用
常见的几个函数不等式及其应用武汉市教育科学研究院孔峰在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xx x x f +-=-+='1111)(.当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x xx x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx .综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ，②)0(11ln >≥+x x x .③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1(11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f .所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x xx ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f .所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='，而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='，由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x xx 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x .综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(2111ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ，⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
数学函数不等式知识点总结
数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。
接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。
1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。
解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。
1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。
解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。
1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。
解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。
解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。
二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。
2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。
函数的不等式性质与应用
函数的不等式性质与应用函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的不等式性质的情况。
函数的不等式性质不仅能够帮助我们解决实际问题，还能够深化我们对函数的理解。
本文将探讨函数的不等式性质以及其应用。
一、函数的不等式性质函数的不等式性质是指函数在定义域上的取值范围。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值、最小值以及函数值的正负情况。
对于一元函数来说，我们可以通过求导的方法来研究其不等式性质。
当函数的导数大于零时，函数递增；当函数的导数小于零时，函数递减。
通过求导并研究导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区间，从而得出函数的不等式性质。
对于二元函数来说，我们可以通过偏导数的方法来研究其不等式性质。
偏导数表示了函数在某个方向上的变化率。
通过研究偏导数的正负情况，我们可以确定函数的增减区域，从而得出函数的不等式性质。
二、函数不等式的应用函数的不等式性质在实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍函数不等式的两个典型应用：最优化问题和约束条件问题。
最优化问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值。
通过研究函数的不等式性质，我们可以确定函数的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得成本最小或者产量最大。
这个问题可以通过建立成本函数或产量函数，并研究其不等式性质来解决。
约束条件问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值或最小值，同时满足一定的约束条件。
通过研究函数的不等式性质以及约束条件，我们可以确定函数在约束条件下的最大值或最小值所对应的自变量取值。
例如，在生产过程中，我们希望找到一种材料的最佳用量，使得产量达到一定的要求，同时成本最小。
这个问题可以通过建立成本函数和产量函数，并研究其不等式性质以及约束条件来解决。
三、函数不等式性质的实例为了更好地理解函数的不等式性质与应用，我们来看一个具体的实例。
假设有一块长方形的土地，其中一条边是河流。
三角函数的不等式与应用解析
三角函数的不等式与应用解析三角函数是数学中一类重要的特殊函数，其在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的不等式及其在实际问题中的应用解析。
一、三角函数的不等式1. 正弦函数的不等式正弦函数sin(x)的定义域为实数集合，其值域范围在[-1, 1]之间。
在解决正弦函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当sin(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ, 2kπ + π/2) 和(2kπ + 3π/2, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
- 当sin(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ + π/2, 2kπ + π) 和(2kπ + 3π/2, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
2. 余弦函数的不等式余弦函数cos(x)的定义域也是实数集合，其值域范围同样在[-1, 1]之间。
在解决余弦函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当cos(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ, 2kπ + π) 和(2kπ + 2π, 2kπ + 3π/2)，其中k为整数。
- 当cos(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (2kπ + π, 2kπ + 2π)，其中k为整数。
3. 正切函数的不等式正切函数tan(x)的定义域为实数集合，其值域无上下界。
在解决正切函数不等式时，我们需要注意以下几点：- 当tan(x) > k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (kπ, kπ + arctan(k))，其中k为整数。
- 当tan(x) < k时，其中k为正数，不等式的解为 x ∈ (kπ + arctan(k), kπ + π)，其中k为整数。
二、三角函数的应用解析三角函数在实际问题中广泛应用，下面以一些具体问题来说明其应用解析。
1. 几何问题中的应用三角函数在几何问题中有着重要的应用。
高数里常用不等式
高数里常用不等式高等数学中常用的不等式有很多，它们在数学推导和证明中起着重要的作用。
在本文中，我们将介绍几个常见的不等式，并简要解释它们的应用。
一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是高等数学中最常用的不等式之一。
它可以用于证明两个向量的内积的绝对值不大于这两个向量的模的乘积。
具体地说，对于任意的实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，都有：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)柯西-施瓦茨不等式在向量计算、概率论、信号处理等领域都有广泛的应用。
例如，在信号处理中，可以利用柯西-施瓦茨不等式来证明信号的相关性和功率谱密度之间的关系。
二、三角函数的不等式在高等数学中，我们经常会遇到三角函数的不等式。
其中，最常见的是正弦函数和余弦函数的不等式。
对于任意的实数x，都有以下不等式成立：-1 ≤ sin(x) ≤ 1-1 ≤ cos(x) ≤ 1这些不等式在解析几何、微积分和物理学等领域经常被使用。
例如，在解析几何中，我们可以利用正弦函数和余弦函数的不等式来证明三角形的性质。
三、均值不等式均值不等式是数学分析中常用的一类不等式，它们可以用于证明一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。
常见的均值不等式有算术平均-几何平均不等式、几何平均-调和平均不等式和算术平均-调和平均不等式等。
以算术平均-几何平均不等式为例，对于任意的正数a1、a2、...、an，都有：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)这个不等式在数列极限、数论和凸函数等领域都有广泛的应用。
例如，在数列极限中，我们可以利用算术平均-几何平均不等式来证明某些数列的收敛性。
四、泰勒不等式泰勒不等式是高等数学中与泰勒级数相关的一个不等式。
它可以用于估计函数在某个点附近的误差。
求解初中数学常见的不等式
求解初中数学常见的不等式初中数学中，不等式是一个常见的考察和应用的知识点。
不等式是用来表示两个数量大小关系的一种数学工具，常出现在各种数学题型中，例如算术平均值与几何平均值的关系、等分原理、加减、积等不等式等。
在解题时，我们需要掌握各类不等式的性质和解法，下面将详细介绍几类常见的不等式及其解法。
一、一次不等式一次不等式的形式为ax + b > 0或ax + b < 0。
通过将不等式移项可以得到ax > -b或ax < -b，进而得到x的取值范围。
例如：解不等式2x + 3 > 5解法如下：2x + 3 > 52x > 5 - 32x > 2x > 1所以，不等式2x + 3 > 5的解为x > 1。
二、二次不等式二次不等式的形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
通过求解二次函数的根，可以将不等式转化为一次不等式的形式。
如果二次函数的两个根分别为α和β，则有：当a > 0时，ax² + bx + c > 0的解集为x < α或x > β；当a < 0时，ax² + bx + c > 0的解集为α < x < β。
例如：解不等式x² - 3x + 2 < 0解法如下：x² - 3x + 2 < 0(x - 1)(x - 2) < 0化简后，得到不等式的零点为x = 1和x = 2。
因为a = 1 > 0，所以解集为1 < x < 2。
所以，不等式x² - 3x + 2 < 0的解为1 < x < 2。
三、三角不等式三角不等式是由三角形的三条边两两不等关系得出的不等式，即对于任意三角形，其任意两边之和都大于第三边，即a + b > c、b + c > a和c + a > b。
常用函数不等式
常用函数不等式在数学中，函数不等式是我们经常会用到的概念。
它们可以帮助我们更加深入地理解数学中的关系，进而推导问题的答案。
本文将就常用函数不等式进行讨论。
一、AM-GM不等式AM-GM不等式，即算术平均数不小于几何平均数，可以表示为：$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$其中 $n$ 个数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 的算术平均值不小于它们的几何平均值。
这个不等式的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题。
例如，当我们需要在给定的一组数中寻找它们的平均值时，我们就可以使用这个不等式。
另外，当我们需要证明某些不等式时，也可以用这个不等式作为基础。
二、Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式是一个用于线性代数的不等式，可以表示为：$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$其中 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$ 是实数。
Cauchy-Schwarz不等式在Linbox等线性代数库中有着广泛的应用。
在实际问题中，它可以帮助我们更好地理解矩阵和向量的关系。
例如，在机器学习中，数据点可以表示为向量，而许多算法都是基于矩阵运算的。
因此，这个不等式也应用得非常广泛。
三、Chebyshev不等式Chebyshev不等式是一个由俄罗斯数学家Pafnuty Chebyshev发现的不等式，可以表示为：$\frac{1}{n}(a_1 + a_2 + ... + a_n)\cdot (b_1 + b_2 + ... + b_n) \geq\frac{1}{n}(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)$其中 $a_1 \geq a_2 \geq ... \geq a_n$，$b_1 \geq b_2 \geq ... \geq b_n$。
数学中的不等式与绝对值函数
数学中的不等式与绝对值函数数学是一门精确而又广泛应用的学科，其中不等式和绝对值函数是重要的概念。
不等式是数学中比较大小关系的表示方式，而绝对值函数则描述了一个数到另一个数的距离。
本文将介绍不等式和绝对值函数的基本概念、性质以及应用。
一、不等式的基本概念与性质不等式是数学中用来表示两个数之间大小关系的符号组合。
常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
例如，对于两个实数a和b，我们可以写出如下不等式：a >b （a大于b）a <b （a小于b）a ≥b （a大于等于b）a ≤b （a小于等于b）除了上述基本不等式外，还可以通过运算符（加、减、乘、除）和数学函数（开方、对数等）来构建更复杂的不等式。
不等式在数学中的应用非常广泛，包括代数、几何、概率等各个领域。
不等式有一些基本的性质，包括传递性、加法性、乘法性和倒置性。
1. 传递性：如果a > b且b > c，则有a > c。
这意味着不等式可以像等式一样进行推导和运算。
2. 加法性：如果a > b，则对于任意的c，有a + c > b + c。
这表示不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系仍然成立。
3. 乘法性：如果a > b且c > 0，则有ac > bc。
这表示不等式两边同时乘以一个正数，不等式的大小关系仍然成立。
当c < 0时，不等式的方向会反转。
4. 倒置性：如果a > b，则有-b > -a。
这表示不等式两边取相反数，不等式的大小关系会反转。
二、绝对值函数的基本概念与性质绝对值函数是数学中常用的一种函数形式，用来描述一个数到另一个数的距离。
绝对值函数的定义如下：|a| = a, 当a ≥ 0|a| = -a, 当a < 0其中，a是任意实数。
绝对值函数的图像是以原点为对称中心的一条折线，斜率为1。
绝对值函数有一些基本的性质，包括非负性、三角不等式和分段函数性质。
拉格朗日恒等式与几个常用不等式
拉格朗日恒等式与几个常用不等式引言：拉格朗日恒等式与几个常用不等式是数学中重要的概念，其解决问题的思路和应用范围十分广泛。
本文旨在详细阐述拉格朗日恒等式与几个常用不等式的基本概念，以及它们在具体问题中的应用实例。
一、拉格朗日恒等式1.1念拉格朗日恒等式，也称作拉格朗日方程，是一种数学模型，也是数学最常用的优化方法之一。
它的发现者为18世纪的法国数学家安东尼拉格朗日，他用它来证明了泰勒公式。
拉格朗日恒等式的基本形式为：$$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=0$$其中，$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$一个函数，$x_1,x_2,ldots,x_n$是$n$个变量，它们可以为实数或复数，也可以为其他变量。
1.2义拉格朗日恒等式的本质是优化问题，它的意义是寻找函数最大值或最小值，使函数达到最优状态。
这是一种约束优化问题，约束条件就是拉格朗日恒等式，而优化问题就是最大值或最小值。
1.3用拉格朗日恒等式可以用于解决多元函数的极值问题。
它可以帮助我们找到函数在某个点上的极大值或极小值。
比如，可以用它来求解最小积分问题，最小二乘问题等等。
二、几个常用不等式2.1 不等式的定义不等式是数学中的一种关系，它表达的是两个数量或表达式的关系大小。
不等式分为两个部分，左边是一个不等式符号，右边是另一个数量或表达式。
常见的不等式符号有大于（$>$）、小于（$<$）、大于等于（$geq$）和小于等于（$leq$）。
2.2个常用不等式（1）平方根不等式：$$x ge 0,quad x^2 ge a$$（2）调和数不等式：$$a+b ge 2sqrt{ab},quad a,b ge 0$$（3）同乘数不等式：$$frac{a+b}{2} ge sqrt{ab},quad a,b ge 0$$（4）锐角不等式：$$a ge b+c,quad a,b,c ge 0$$2.3用不等式可以用于最优化问题的求解。
初等函数基本不等式
初等函数基本不等式以《初等函数基本不等式》为标题，写一篇3000字的中文文章初等函数基本不等式是数学中的基本不等式，涵盖了初等函数及其基本性质，对于许多研究和应用都有着非常重要的意义。
在本文中，我们将重点介绍初等函数基本不等式的形式、历史发展以及在各种应用领域中的表现。
首先，我们介绍初等函数基本不等式的形式。
它是一个比较常见的数学不等式，可以简写为f(x) g(x)或f(x) g(x)，又称为初等不等式。
它可以用来描述数学对象之间的关系，并为其它定理推导提供了依据。
它的实际形式可以是以下几种：1.和不等式：f(x) =aixiaiyi2.分不等式：f(x) =f(x) dxg(x) dx3.量不等式：f(x) = ||f|| ||g||4.函数不等式：f(x) g(x)，其中f(x)是凸函数初等函数基本不等式的发展历史可以追溯到古希腊的数学思想，此时此刻，不等式已经成为数学领域中一种基本概念。
古希腊数学家凯撒若连乌斯（Caesar Eureelius）曾将不等式应用到特殊几何体，他也是初等函数基本不等式的创始人之一。
17世纪，英国数学家约翰汉普顿（John Hampton）将不等式应用到差分方程组中，成为初等函数的第一位开拓者。
随后，法国数学家弗朗西斯得拉克（Francois de Laplace）和英国数学家大卫拉森（David Ranson）也先后推出了自己的初等函数基本不等式理论。
初等函数基本不等式有着丰富的应用范围，主要表现在以下几个方面：1. 优化问题：初等函数基本不等式可以用来解决优化问题，如最小值与最大值求解，极限求解等。
2.数不变性：初等函数基本不等式可以保证函数的不变性，即函数的变化不会影响其他变量的变化。
3.微分方程的解法：初等函数基本不等式可以用于求解偏微分方程，特别是热传导方程的求解。
4.分几何中的应用：初等函数基本不等式在微分几何中也有着重要的作用，它可以用来研究几何图像与函数之间的关系。
由基本函数关系提炼的几个不等式的应用
Җ㊀山东㊀刘新颖㊀㊀在高中数学函数模块中,我们学习了指数函数㊁对数函数㊁幂函数㊁三角函数等几类基本初等函数．但学生对这些函数之间的关系知之甚少,而不同函数之间的关系不仅是高考命题的视角,也是我们解决有关问题的重要依据．本文从基本初等函数之间的关系出发,提炼出几个重要的不等式,并就这些不等式在命题与解题中的应用进行例析．１㊀不等式x －１ȡl n x (x ＞０)利用导数的几何意义可求得f (x )＝l n x 在(１,０)处的切线方程是一次函数y ＝x －１,除切点外直线均在曲线的上方,据此可得出不等式x －１ȡl n x(x ＞０),此不等式还可以通过构造函数来证明,即令f (x )＝x －l n x －１,利用导数求函数的最值进行证明．此不等式在与函数有关的不等式证明中应用较为广泛,应用的方式是利用该不等式进行放缩．例１㊀已知f (x )＝l n a x ＋１x(a ＞０)．(１)当a ＝１时,求f (x )的最大值;(２)证明:当k ɪN ∗且k ȡ２时,有l n k ２＜１２＋１３＋１４＋ ＋１k ＜l n k ．简析㊀(１)f m ax (x )＝f (１)＝１(求解过程略)．(２)由第(１)问的结论可知l n x ＋１x ɤ１⇒１－x ɤl n１x (当x ＝１时,等号成立),所以１－１２＜l n２,１－２３＜l n ３２, ,１－k －１k＜l n k k －１．故当k ɪN ∗且k ȡ２时,有１２＋１３＋１４＋ ＋１k ＜l n k ．由l n x ＋１x ɤ１⇒l n x ɤx －１(当x ＝１时,等号成立),所以l n３２＜３２－１,l n ４３＜４３－１,l n ５４＜５４－１, ,l n k ＋１k ＜k ＋１k－１．故当k ɪN ∗且k ȡ２时,有l n k ＋１２＜１２＋１３＋１４＋ ＋１k ．而l n k２＜l n k ＋１２,故k ɪN ∗且k ȡ２时,有l n k ２＜１２＋１３＋１４＋ ＋１k＜l n k ．２㊀不等式e xȡx ＋１此不等式可以从几何与代数两个视角来证明,即直线y ＝x ＋１是曲线y ＝e x在点(０,１)处的切线除切点外,曲线均在直线的上方;还可以构造函数f (x )＝e x－x －１,求此函数的最小值．例２㊀已知f (x )＝e x＋a x ．(１)当a ＝－１时,求函数f (x )的最小值;(２)求证:当a ɪ(－２,０)时,曲线y ＝f (x )与y ＝１－l n x 有且只有一个交点．简析㊀(１)f (x )的最小值为１(求解过程略)．(２)易知y ＝１－l n x 的定义域为(０,＋ɕ),设函数g (x )＝e x ＋a x ＋l n x －１,求导得g ᶄ(x )＝e x＋１x＋a ．由第(１)问的结论可得e x －x ȡ１,e xȡx ＋１,所以gᶄ(x )＝e x＋１x ＋a ȡ(x ＋１)＋１x ＋a ＝x ＋１x ＋a ＋１ȡ２x １x＋a ＋１＝３＋a ,因为－２＜a ＜０,所以gᶄ(x )＝３＋a ＞０,故g (x )在(０,＋ɕ)单调递增．又因为g (１e )＝e １e ＋a e －２＜e １２－２＜０,g (e )＝e e ＋a e ＞e ２－２e ＞０,故g (x )有唯一的一个零点．综上,曲线y ＝f (x )与y ＝１－l n x 有且只有一个交点．３㊀不等式x ＞s i n x (x ＞０)该不等式的证明,从形的角度来看,可利用三角函数定义,即在平面直角坐标系中画一个单位圆,如㊀图１图１所示,设øP O T ＝x ,由әO P T 的面积小于扇形O P T 的面积,可知１２s i n x ＜１２x ,即x ＞s i n x (０＜x ＜π２);也可利用导数的几何意义求解曲线y ＝si n x 在原点处的切线为y ＝x 来证明;还可以通过构造函数f (x )＝x －s i n x ,利用导数求函数的最值来证明．例３㊀已知f (x )＝x c o s x －s i n x ,x ɪ(０,π２)．证明:２π＜s i n xx＜１．简析㊀所证不等式中的s i n xx可视为过点O (０,０)７１及则问题转化为在区间(０,π２)内,求直线O M 斜率的取值范围．由函数y ＝x 与y ＝s i n x 在(０,π２)内的关系,即x ＞s i n x ,可得s i n x x ＜１,且O M 斜率大于点(π２,１)与原点连线的斜率,即s i n x x ＞２π,问题获解．４㊀不等式t a n x ＞x (０＜x ＜π２)㊀图２此不等式的证明可利用三角函数定义,如图２所示,设øP O T ＝x ,则әO P T 的面积小于әO Q T 的面积,所以１２x ＜１２t a n x ,即t a n x ＞x (０＜x ＜π２);也可以通过求曲线y ＝t a n x 在点(０,０)处的切线为y ＝x 来证明;还可以构造函数利用导数来证明．例４㊀已知f (x )＝a c o s x ＋x s i n x ,x ɪ[－π２,π２]．(１)判断函数f (x )零点的个数;(２)若a ɪ(１,２),求f (x )极值点的个数．简析㊀(１)f (x )有２个零点(求解过程略)．(２)求函数f (x )极值点的个数,首先要求fᶄ(x )＝(１－a )s i n x ＋x c o s x ＝０零点的个数,变形得s i n x c o s x ＝t a n x ＝xa －１,从而可将问题转化为求直线y ＝xa －１与y ＝t a n x 的交点个数．利用y ＝x 与y ＝t a n x 的关系,可知当１＜a ＜２时,y ＝xa －１与y ＝t a n x 有３个交点,进一步再判断每个交点左右两侧两个函数的大小关系,即知函数f (x )有３个极值点．总之,上述几个不等式均是教材内容的引申和拓展,深入探究㊁合理利用这些关系,可使学生明确高考命题的根源,提升学生分析问题㊁处理问题的能力．另外要注意这些不等式并不是教材中所给的定理,因此应用前要先证明再应用．(作者单位:山东省济南市济阳区第一中学)Җ㊀甘肃㊀王德贤㊀㊀函数的性质不仅是中学数学中函数知识的交会点,还是数学思想㊁数学方法的综合点．因此,理解函数的性质对解决一些数学问题是至关重要的,特别是以函数奇偶性和单调性作为突破口可以顺利解决很多数学问题．１㊀已知函数奇偶性和单调性求最值例１㊀已知函数f (x )是奇函数,在(０,＋ɕ)上是减函数,且在区间[a ,b ](a ＜b ＜０)上的值域为[－３,４],则在区间[－b ,－a ]上(㊀㊀)．A．有最大值４㊀㊀㊀B ．有最小值－４C ．有最大值－３㊀D．有最小值－３方法１㊀根据题意画出y ＝f (x )的简图,由图可知,选项正确．图１方法２㊀当x ɪ[－b ,－a ]时,－x ɪ[a ,b ],由题意得f (b )ɤf (－x )ɤf (a ),即－３ɤ－f (x )ɤ４,所以－４ɤf (x )ɤ３,即在区间[－b ,－a ]上,f mi n (x )＝－４,f m ax (x )＝３,故选B ．根据奇函数和偶函数的性质可知,奇函数㊁偶函数的定义域关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称,所以偶函数在原点对称的区间上有相同的最大(小)值,且取得最值时所对应的自变量互为相反数．同理,奇函数在原点对称的区间上有相反的最值,所对应的自变量和偶函数一样,也是互为相反数．变式训练㊀已知定义在R 上的奇函数f (x )在８１。
4个不等式的公式高中连一起的
4个不等式的公式高中连一起的（原创版）目录1.引言：介绍高中阶段涉及的四个常见不等式公式2.解析：详细解释四个不等式公式的含义和应用3.例题：通过具体例题演示四个不等式公式的运用4.结论：总结四个不等式公式在高中数学中的重要性和联系正文一、引言在高中数学的学习过程中，我们会接触到许多不等式相关的知识。
其中，有四个常见的不等式公式贯穿整个高中阶段，它们分别是：正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数的不等式公式。
本文将对这四个不等式公式进行详细解析，并通过具体例题演示它们的应用。
二、解析1.正弦函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -1≤sinθ≤1。
2.余弦函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -1≤cosθ≤1。
3.正切函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -∞<tanθ<∞。
4.余切函数不等式公式：对于任意角θ，都有 -∞<cotθ<∞。
这四个不等式公式描述了三角函数在不同角度范围内的取值情况，对于解决高中数学中的三角函数问题具有重要意义。
三、例题假设有一个角为 60°的三角形，求这个三角形的正弦值、余弦值、正切值和余切值。
解答：根据正弦函数和余弦函数的定义，我们可以得出：sin60° = √3 / 2，cos60° = 1 / 2再根据正切函数和余切函数的定义，我们可以得出：tan60° = √3，cot60° = √3通过这个例题，我们可以看到四个不等式公式在实际问题中的应用。
四、结论本文对高中阶段涉及的四个常见不等式公式进行了详细解析，并通过具体例题演示了它们的应用。
这四个不等式公式在高中数学中具有重要地位，掌握它们对于解决相关问题具有重要意义。
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常见的几个函数不等式及其应用利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时， )0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ， ⑫ )10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬ （7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭ 二、常见的函数不等的作用 利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。
（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值例 1 （2008年湖南卷，理21）已知函数xxx x f +-+=1)1(ln )(22. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若不等式e )11(≤++αn n对任意的*∈N n 都成立，求α的最大值. 解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得22)1()1(211)1ln(2)(x xx x x x x f +-+-+⋅+=')]111(21)1[ln(12xx x x +-+-++=.由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ，⑤)10)(1(21ln ≤<-≥x x x x 可知： 当0≥x 时，11≥+x ，有)111(21)1ln(xx x +-+≤+，0)(≤'x f ； 当01≤<-x 时，110≤+<x ，有)111(21)1ln(xx x +-+≥+，0)(≥'x f . 因此，当0≥x 时，)(x f 为减函数；当01≤<-x 时，)(x f为增函数.（Ⅱ）由e)11(≤++αn n可知，1)11ln()(≤+⋅+nn α，所以n n-+≤)11ln(1α. 记]1,0(1∈=t n，则t t 1)1ln(1-+≤α，]1,0(∈t . 由不等式⑨)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ，可知12ln 11)1ln(1-≥-+t t ，12ln 1-≤∴α.所以，α的最大值为12ln 1-.（2）利用常用不等式求参数的取值范围 例2 （2010年全国卷，理22）设xx f --=e 1)(. （Ⅰ）证明：1->x 时，1)(+≥x x x f ； （Ⅱ）设0≥x 时，1)(+≤ax x x f ，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）利用分析法，结合①式)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx 可以证明.（Ⅱ）因为1e 110+≤-<ax x x在0≥x 时恒成立，所以01>+ax 在0≥x 时恒成立，则0≥a . 另一方面，由1e 110+≤-<ax x x ，得xa xx11e e --≤. 令tx=e，由0≥x 知1≥t .)1(ln 11≥--≤∴t tt t a . 由不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知)1(1)1(2ln ≥+-≥t t t t ，所以1>t 时，21)1(211ln 11=-+-->--t t t t t t t . 又由导数定义可知11ln lim 1=-→t t t ，所以21ln )1(lim 1=-+→t t t t ，故21ln 11≥--t t t . 综上，所求a 的取值范围为]21,0[. 例3 （2014年湖南卷，理22）已知常数0>a ，22)1ln()(+-+=x xax x f . （Ⅰ）讨论)(x f 在区间),0(+∞上单调性；（Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）222)2)(1()1(4)2(41)(++--=+-+='x ax a ax x ax a x f . 因为0)2)(1(2>++x ax ，所以当01≤-a ，即1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，则函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增.当10<<a 时，由0)(='x f ，得a a a x )1(2-±=.则函数)(x f 在区间))1(2,0(aa a -单调递减，在),)1(2(+∞-aa a 单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，10<<a 时才可能出现两个极值点21,x x ，且021=+x x ，aa x x )1(421-=. 而22)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-+=+x xax x x ax x f x f 44)(2)4(4])(1l n [21212121221-+++++++++=x x x x x x x x a x x a 2122)12ln(2--+-=a a )1121|12|(ln 2--+-=a a ，此时1121<-<-a .由不等式③)0(11ln >≥+x xx 可知： 要使0)()(21>+x f x f 恒成立，必需1120<-<a ，从而121<<a . 所以，所求a 的取值范围为)1,21(. （3）利用常见不等式比较大小 例4 （2013年陕西卷，理21）已知函数xx f e )(=，R∈x .(Ⅰ) 若直线1+=kx y 与)(x f 的反函数的图像相切，求实数k 的值；(Ⅱ) 设0>x ，讨论曲线)(x f y =与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数；(Ⅲ) 设b a <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.解：(Ⅰ) )(x f 的反函数x x g ln )(=.设直线1+=kx y 与x x g ln )(=相切与点)ln ,(0x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧='=+=,1)(,1ln 0000x x g k kx x 解之得2e -=k .(Ⅱ) 由2e mxx= ，得2e xm x =.令2e )(xx g x=，则3)2(e )(x x x g x -='.当20<<x 时，0)(<'x g ；当2>x 时，0)(>'x g . 所以2=x 是极小值点.从而可知，在4e 2<m 时无交点；在4e 2=m 时有一个交点；在4e 2>m 时有两个交点.(Ⅲ) 记ab a b a f b f b f a f M ab b a ---+=---+=e e 2e e )()(2)()(，令0>=-t a b ，则t a b M at a t a a a b b a e e 2e e e e 2e e --+=---+=++)]2()2(e [2e )1e 2e 1(e ++-=--+=t t tt t a t ta .再令0),2()2(e )(>++-=t t t t h t， 在2≥t 时，可知0)(>t h .在20<<t 时，可证明ttt-+<22e . 事实上，令t t t -+='22，则1>'t ，且112+'-'=t t t .只需证)1(ln 1)1(2>''<+'-'t t t t .而由常见不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知上式恒成立.从而0)2()2(e )(>++-=t t t h t在0>t 时恒成立.所以0>M ，即ab a f b f b f a f -->+)()(2)()(. （4）利用常用不等式研究存在性问题例5（2011年湖南卷，文22）设函数)(ln 1)(R ∈--=a x a x x x f . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞.22211'()1a x ax f x x x x -+=+-=令1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a .当22≤≤-a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增．当2-<a 时，而0>x ，有0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增．当2>a 时，0>∆，012=+-ax x 的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x .故)(x f 在),0(1x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2>a ，且a x x =+21，121=x x ．因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--，所以21212121212121ln ln 2ln ln 11)()(x x x x a x x x x a xx x x x f x f k --⋅-=--⋅-+=--= 若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2121=--xx xx.而121=x x ，所以2221ln 2x x x-=.由不等式④)1)(1(21ln >-≤x xx x 可知上式不可能成立， 故不存在a ，使得a k -=2.（5）利用常用不等式证明不等式例6 （2013年全国大纲卷，理22）已知函数xx x x x f ++-+=1)1()1ln()(λ. （Ⅰ）若0≥x 时，0)(≤x f ，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列}{na 的通项na n131211++++= ，证明：2ln 412>+-na a nn. 解：（Ⅰ）由已知0)0(=f ，22)1()21()(x x x x f +--='λλ，0)0(='f .若21<λ，则当)21(20λ-<<x 时，0)(>'x f ，所以0)(>x f . 若21≥λ，则当0>x 时，0)(<'x f ，所以0)(<x f . 综上，λ的最小值是21. （Ⅱ）由不等式⑩)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ，令nx 1=，有 )111(21)11ln(++<+n n n . 于是)111(21ln )1ln(++<-+n n n n ， )2111(21)1ln()2ln(+++<+-+n n n n ，……)21121(21)12ln()2ln(nn n n +-<--，以上各式相加，得n n n n n n 41)21211(ln 2ln +++++<- na an n412+-=.所以2ln 412>+-na an n.例7（2016全国卷Ⅰ，理21）已知函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x 有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是)(x f 的两个零点，证明：221<+xx .解：（Ⅰ）令t x =-1，则1+=t x . 因为函数2)1(e )2()(-+-=x a x x f x有两个零点，所以21e )1()(at t t g t +-=+有两个零点，而0≠t ，所以tt t t tt a e )(e e )1(1221--+-=-=.记tt tt m e)(e )(12---=，则1321223e2]e )(e )2(e[)(+----+-=-++-=t tt tt t tt tt m .列表如下：而0)1(=h ，所以，当0>a 时，)(t g 有两个零点，其中一个零点01>t ，另一个零点02<t.综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0>a 时，)(t g 有两个零点1t 和2t ，其中0111>-=x t，0122<-=x t，即存在01>t ，02<t使得)(e )1()(e )1(222121211121t m t t t m t t a t t =-==-=++.下面证明021<+tt .记21e )1()(t t t m t +-=，则21e )1()(t t t m t +-+=-，先证明不等式)()(t m t m >-在0>t 时恒成立.（ⅰ）当1≥t 时，0)(>-t m ，0)(<t m ，所以)()(t m t m >-. （ⅱ）当10<<t 时，要证2121e )1(e )1(t t t t t t ++-->+，只需证ttt-+<11e2，即ttt -+<11ln 2. 记111>=-+u t t ，只需证)1(1)1(2ln >+->u u u u 恒成立. 令1)1(2ln )(+--=u u u u F ，则)1()1()(22≥+-='u u u u F ，所以0)1()(=>F u F ，从而)()(t m t m >-在)1,0(∈t 时恒成立. 所以，)()(t m t m >-在0>t 时恒成立. 因为)()(21t m t m a ==，02<t，02>-t，所以)()(22t m t m <-.所以)()()(221t m t m t m ->=.又)(t m 在),0(+∞上单调递减，所以21t t -<，从而021<+tt ，所以0)1()1(21<-+-xx ，故221<+xx .总之，从2006年开始，在近十年的高考数学命题中，这些常见的函数不等式在全国卷中出现的频率是最高的，其次在湖南省、湖北省、陕西省的独立命题中出现也很频繁，在山东省、天津市、辽宁省、广东省等省市的独立命题也时常出现.这些不等式是一种很好的桥梁，能够有效地将一些条件和结论联系起来，无论处理选择题与填空题，还是解决解恨答题，恰当的使用的确能起到事半功倍的效果，要引起广大教师和考生的高度重视，对导数和函数这一部分的复习起到画龙点睛的作用.。