§1.4.1。2角平分线(2)导学案
北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线导学案
神木县第五中学导学案年级八班级学科数学课题 1.4.1角平分线性质定理及逆定理第课时总课时编制人审核人使用时间第周星期使用者学习目标1．探索并理解角平分线的性质和判定．2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．【学习重、难点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.学法指导操作说明教学流程一.情景导入，初步认知角平分线上的点有什么性质吗？折纸可以得到这个性质吗？二.思考探究，获取新知探究1：角平分线定理角平分线上的点到这个角两边的距离相等.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．【归纳结论】角平分线上的点到______________________相等.你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？探究2：角平分线的判定定理.命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上．利用“AAS”证明三角形全等，再利用“全等三角形的对应边相等”，即可得出结论。
利用“HL”证明三角形全等，再利用“全等三角形的对应角相等”，得到两角相等，即角分线。
【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在__________________________上.三.运用新知，深化理解例1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
四.师生互动，课堂小结这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线(或证明一条射线是角的平分线)时，过角平分线(或射线)上的点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质(或判定)则使问题迅速得到解决．能力强的同学可独立完成，弱的同学可小组合作完成，或者是教师讲解后，学生再自主完成。
《角平分线(2)》导学案2
10.5 角平分线（第2课时）导学案学习目标：1、证明三角形三个内角的平分线的性质定理；2、综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
学习重点：证明三角形三个内角的平分线的性质定理；综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
学习难点：综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
学法指导：1、先利用10分钟阅读并思考P128—P129教材内容，先证明角平分线的性质定理的证明，然后写出它的逆命题，并尝试着证明。
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。
3、A、B层同学掌握导案所有内容，并完成探究案；C层同学能基本掌握学习目标，合作完成探究案。
一、自主探究：1、用尺规作图作下面三角形的三条角平分线，你发现什么结论。
2、预习检测（1）到三角形三边距离相等的点是（）A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定（2）已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
二、合作探究探究点一：三角形的角平分线的性质定理1、如图：设△ABC 的角平分线BM 、CN 交于P求证：P 点在∠BAC 的平分线上。
探究点二：应用1、三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m ，三边长分别为a 、b 、c ，求三角形的面积。
2、如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB ，垂足为E 。
（1）已知CD =2cm ，求AC 的长；（2）求证：AB = AC + CD 。
ED ABC四、作业1、课本129页随堂练习第1题2、课本129页知识技能第1题3、课本130页知识技能第2题A4、课本130页问题解决第3题谈谈自己的收获： B C。
角平分线判定定理2导学案
课题：角平分线的性质和判定应用主备人：备课组签字：审核：学习目标：1、掌握角平分线的性质和判定．能够应用性质和判定解决简单实际问题；2、在动手操作过程中，培养动手操作能力与探索精神．一、新知探究活动一：剪一个三角形纸片，折叠出每个角的平分线，观察你发现了什么？三角形的三条角平分线交于。
例：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作的平分线上吗？为什么？思考回答！想一想：点P在A三角形的三条角平分线交于。
并且这一点到三边的距离。
二、拓展延伸1、如图：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F到三边AC、BC、CA的距离相等2、已知，如图，BP 是△ABC 的外角平分线，点P 在∠BAC 的角平分线上．求证：CP 是△ABC 的外角平分线．3、要在S 区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建立于何处？答：应建立在 ，并且离角顶点 处思考：如果不要求建立在S 区，这个集贸市场还可以建在哪？三、达标检测1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）A ．三条边上的高的交点B ．三个内角平分线的交点C ．三边上的中线的交点D ．以上结论都不对2．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处五、总结：本节课你学到了什么？掌握了什么内容？还有什么疑问？。
八年级数学下册 1.4.2 角平分线导学案(新版)北师大版
八年级数学下册 1.4.2 角平分线导学案（新版）北师大版1、4、2角平分线班级姓名【学习目标】1、理解三角形角平分线的性质定理的证明过程，进一步发展推理能力、2、角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用、学习重点：三角形角平分线的性质定理的证明、图1学习难点：角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用、【复习引入】1、如图1，AB∥CD， AD平分∠BAC，且∠C=80，则∠D的度数为（）、A、50B、60C、70D、1002、如图2，在△ABC中，∠ACB=90,BE平分∠AB C，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（）、A、2 cmB、3 cmC、4 cmD、5 cm3、用尺规作一个三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么? 图2【自主学习】1、你能证明上题的发现吗？试试看：A已知：如图3，△ABC 的角平分线BM、CN相交于点P，过点P分别作AB，AC，BC，垂足分别为D、E、F、求证：点P在∠A的角平分线上，PD=PE=PF、DNMPEFCB图3 由此可得定理：、【探究学习】1、认真阅读课本P31例3，理解其证明思路，完成下题：ACDB已知：如图4，∠C=90，∠B=30，AD是△ABC的角平分线、求证：BD=2CD、图4【巩固练习】1、如图5，△ABC中，∠C=90，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是________、2、到三角形三边距离相等的点是（）图5A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、三条垂直平分线的交点、3、已知：如图6，P是么AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D、求证：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分线、图64、(选做题)课本P32习题1、10第4题、【课堂小结】说说本节课的收获有哪些？【布置作业】课本习题1、10第2题、。
新版北师大八年级数学下1.4《角平分线》第2课时导学案
红星学校初中部______年级___________学科课堂导学案第____课时备课：____月___日讲课：____月____日组长签批：____月____日课题角平分线（二）授课教师学习目标1、记住三角形三个内角的平分线的性质。
2、会用三角形三个内角的平分线的性质解决相关问题。
学习重难点学习重点：三角形三个内角的平分线的性质。
学习难点：本节知识解决相关问题。
学法指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法学习过程独立尝试学案导案一、知识回顾、引入新课已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上。
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。
∵BM是△A BC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理：PE＝PF ∴PD＝PF∴点P在∠BAC的平分认真阅读课本第30-31页：①看懂例2的证明过程。
②看懂例3的证明过程。
③尝试完成随堂练习。
数学八10 1 22线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)∴△ABC的三条角平分线相交于点P。
合作探究如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
①已知CD＝4cm，求AC的长。
②求证：AB＝AC＋CD例3所运用到的知识有：①勾股定理。
②角平分线的性质。
③直角三角形的证明。
自我挑战已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D。
求证：①OC＝OD；②OP是CD的垂直平分线堂清试题三角形三边垂直平分线和三个内角角角平分线的区别联系比较对象三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等自我总结1、例2、例3的证明、计算过程要切实领会、融会贯通。
初中数学最新版《角平分线的判定》精品导学案(2022年版)
第2课时 角平分线的判定一、学习目标1、掌握角的平分线的性质；2、能应用角平分线的有关知识解决一些简单的实际问题．二、温故知新1、写出命题“全等三角形的对应边相等〞的逆命题.1、 写出命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞 的逆命题.三、自主探究 合作展示〔一〕思考：命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等〞的逆命题是否是真命题？假设是真命题，请给出证明过程。
：如图1，求证：证明： 结论：〔二〕思考：如图2所示，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m ，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1：20000〕？ 〔三〕应用举例例： 如图3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ． 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等．例题反思：四、双基检测1.如图4，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．2.如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°, BD 平分∠ABC , 交AC 于D .(1) 假设∠BAC =30°, 那么AD 与BD 之间有何数量关系，说明理由;(2) 假设AP 平分∠BAC ，交BD 于P , 求∠BPA 的度数.3、如图6，所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点O 。
求证：AO ⊥BC 。
五、学习反思请你对照学习目标，谈一下这节课的收获及困惑。
§3.5 分式的加法与减法 教学案第二课时【教与学目标】1、经历探索分式的加减法运算法那么的过程，通过与分数加减法法那么的类比，开展学生的联想与合情推理能力.2、能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【重、难点】能熟练地进行异分母的分式加减法的运算.【教与学过程】一、知识引桥1、回想一下同分母的分式加减法的运算并计算以下题目 图4 A B D C 图2 图3 P A B C D 图5 A BO E D C图6图1(1) x y x y +3 (2) x y y z y x z x -----22二、学习新知〔一〕交流与发现小亮和小莹练习用电脑打字，小亮每分钟打a 个字，小莹每分钟比小亮多打20个字，当他们都打完了3000个字时，小亮比小莹多用多少时间？与同学们交流一下，最后结果是什么？归纳一下异分母分式加减法法那么：_______________________________〔二〕例题精讲例2 计算：〔1〕bc ab 6121+； 〔2〕253bb a ab b a --+ 例3 计算：〔1〕mm -+-329122； 〔2〕121112-+--+x x x x 〔三〕反响检测：仔细做一下，检验一下你掌握了本节知识没有.计算：(1) 24a b a b - (2) aa a +--22142 (3) ba b a --+11 (4) y x x y x x +--222 (5)1－y x x +24 (6) --12x x x －1 三、学习思考整式与分式相减及异分母分式相减时应注意什么问题？四、教学反思。
2022年初中数学《角平分线的性质及判定》精品导学案
15.4 角的平分线第2课时 角平分线的性质及判定【学习目标】1.理解角平分线的性质定理。
〔重点〕2.能运用角平分线的性质定理去解决问题。
〔是重点也是难点〕3.理解角平分线的性质定理的逆定理，会用该定理去解题〔重点〕。
4.理解三角形的三个内角的平分线相交于一点，该点到三角形三边的距离相等。
【学习过程】一、学前准备复习旧知：1. 叫做角平分线；2. 怎样用圆规和直尺作角平分线？3．角是对称图形，是它的对称轴。
，结论是。
6.你能写出上述定理的逆命题吗？二、合作探究㈠操作：1.作∠AOB 的平分线OM ，在OM 上取点P ，过点P 作PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，C 、D 是垂足。
2.量一量：PC 、PD 的长分别是多少？你有什么发现？3. 猜一猜：角平分线上的点具有什么性质？㈡根据你猜想的结论，写出这个问题的、求证、证明。
㈢形成结论：角平分线上的点到距离相等。
㈣例题解析1.△ABC 中，AD 是平分线，BD=CD ，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，E 、F 是垂足。
求证：EB=FC2．如图，CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F,FG ⊥AB ，垂足为G 。
求证：CE=FG根据所写的逆命题画出图形，写出、、求证并尝试证明： 总结：在一个角的内部，的点在这个角的平分线上。
阅读教材P145的例题，完成以下问题：△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线AD 、BE 相交于点P 。
求证：CP 平分∠ACB本例说明，三角形三个内角的平分线一点，这点到的 距离相等。
【学习检测】一、根底性练习1.：在△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F.判断以G F E D C BA下结论是否正确：⑴DE=DF 〔〕⑵BD=CD 〔〕⑶AD上任一点到AB、AC的距离相等。
〔〕⑷AD上任一点到点B、C的距离相等。
1_4_2角平分线(二)
白银市三中导学案学科：数学 年级：八 主备人：曾万军 教研组长： 教务处： 上课时间：2014 年3 月12日 学生姓名：课题 1.4.2角平分线（二） 课时2课型二、合作交流1. 证明 三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这个点到三条边的距离相等. 已知： 求证： 证明：三边垂直平分线 三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点 交于三角形内一点钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点交点性质 到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等“距离”的区别两点之间的距离 点到直线的距离学 习 目 标 1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活使用． 3.提升综合使用数学知识和方法解决问题的水平． 重 难 点教学重点1.三角形三个内角的平分线的性质．2.综合使用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．教学难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．一、自主预习1、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。
求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。
OFEDCBA三、展示拓展[例3]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．四、检测反馈1、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的度数是 .2、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ， 垂足为E ，则∠DBC 的度数是 .3、如图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P′分别在边OA 、OB 上. 假如要得到OP=O P′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能 的结果的序号为____________：①∠OCP=∠OC P′ ②∠OPC=∠OP′C ； ③PC=P′C ； ④PP′⊥OC4、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
1.4.1角平分线(教案)
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材《几何初步》1.4.1节——角平分线。教学内容主要包括以下部分：
1.角平分线的定义：介绍什么是角平分线，即从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
2.角平分线的性质：讨论角平分线的一些基本性质，如角平分线把角分成两个相等的角，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
-难点2：在证明角平分线性质时，教师应逐步引导学生通过等量代换和角的性质来进行逻辑推理，同时提供多个证明方法的示例，以帮助学生理解。
-难点3：在画角平分线时，教师应详细演示画图步骤，并强调圆规和直尺的正确使用方法，同时提供足够的练习机会，让学生在实践中掌握技巧。
-难点4：针对实际问题中的应用，教师可以设计一系列有层次的练习题，从简单到复杂，让学生逐步学会如何将角平分线的性质运用到几何图形的求解中。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.培养学生的团队合作能力：设置小组讨论和合作完成练习题，促使学生在交流与合作中共同提高。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-角平分线的定义：确保学生能够准确理解角平分线的概念，即从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。
-角平分线的性质：掌握角平分线将角分成两个相等的角，以及角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.4角平分线导学案
课题：《§1.4角平分线》（1）导学案【学习目标】1、能够证明角平分线的性质定理以及判定定理。
2、能够用尺规作已知角的平分线。
3、进一步发展学生的推理证明意识和能力 【学习重点】：角平分线的性质及判定方法的掌握及运用【学习难点】: 灵活运用角平分线的判定及性质解决实际问题。
【学习方法】：自主探索、归纳总结。
【学习过程】： 一、课前展示：1、线段垂直平分线的性质定理和逆定理的内容：定理：线段垂直平分线的点到逆定理：到一条线段两个端点的距离 的点，在这条线段的 。
2、什么是角的平分线？ 二、探索新知：1、自主学习：如何用尺规作一个角的平分线。
已知：∠AOB求作：射线OC 使∠AOC=∠BOC 作法：2、合作探究： （1）实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB 的平分线OC , 在OC 上任意一点P ，过P 作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB问题：①比较PD 和PE 的大小关系（量一量）。
②再换一个新的位置看看情况会怎样？（2）猜想的结论是：（3）证明的你的猜想：已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：由此得到角平分线的性质定理：其中题设是： 结论： 利用此性质怎样书写推理过程?结合图形（4）反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 你能证明你的猜想吗？画图试一试。
A BO三、巩固新知：1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.。
求证:EB=FC.2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．四、拓展提升： 1、教材37页第3、4题：2、已知，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.五、总结评价：附加题：1、如图所示，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE、CD交于O点，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC。
《作角平分线》 导学案
《作角平分线》导学案一、学习目标1、理解角平分线的定义和性质。
2、掌握用尺规作角平分线的方法和步骤。
3、能够运用角平分线的性质解决相关的几何问题。
二、学习重难点1、重点（1）角平分线的性质。
（2）用尺规作角平分线的方法。
2、难点（1）角平分线性质的证明。
（2）运用角平分线的性质进行推理和计算。
三、知识回顾1、什么是角？角是由公共端点的两条射线组成的图形。
2、角的度量单位有哪些？度、分、秒。
四、新课导入在生活中，我们经常会遇到需要将一个角平分的情况。
比如，要把一块圆形的蛋糕平均分给两个人，就需要找到角的平分线。
那么，如何准确地作出一个角的平分线呢？这就是我们今天要学习的内容。
五、角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
六、角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等。
七、用尺规作角平分线1、准备工具：圆规、直尺。
2、步骤：（1）以角的顶点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交角的两边于 A、B 两点。
（2）分别以点 A、B 为圆心，大于 1/2AB 的长为半径画弧，两弧在角的内部相交于点 C。
（3）画射线 OC。
射线 OC 即为角的平分线。
八、证明角平分线的性质已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
求证：PD ＝ PE证明：∵OC 是∠AOB 的平分线∴∠AOC ＝∠BOC∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO ＝∠PEO ＝ 90°在△PDO 和△PEO 中∠PDO ＝∠PEO∠AOC ＝∠BOCOP ＝ OP∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD ＝ PE九、例题讲解例 1：如图，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，AD 是∠BAC 的平分线，若 BC ＝ 5cm，BD ＝ 3cm，求点 D 到 AB 的距离。
解：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E∵AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝ 90°，DE⊥AB∴DE ＝ DC∵BC ＝ 5cm，BD ＝ 3cm∴DC ＝ BC BD ＝ 5 3 ＝ 2cm∴DE ＝ 2cm即点 D 到 AB 的距离为 2cm。
角的平分线的性质(2)导学案
18.3角的平分线的性质(2)一、学习目标∙了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。
∙经历操作，推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。
教学重点：三角形三条角平分线的性质定理教学难点：掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。
二、自主学习1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为. 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定三、引领学习1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
2．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.4、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B. 两处C.三处D. 四处5、如图在中，AD是的平分线，E，F分别是AB，AC上的点，且，求证DE=DF。
CBAPD BA四、学习反馈1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ．求证： ∠EDC ＝∠ECD ．2. 如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，求证：PB=PC 。
湘教版八年级数学下册1.4 角平分线的性质(导学案)
1.4 角平分线的性质【教学目标】：1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
【教学重难点】：掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。
【自学指导】：1.作已知角的平分线的方法是什么？在作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2.点到直线的距离是什么？（点到直线的垂线段长才叫距离）3.如何证明角平分线的性质？证明几何命题的步骤，写出已知，求证并给予证明4.运用角平分线的性质的符号语言： OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴B PA P=.符号语言： AP⊥OA，BP⊥OB，B PA P=，∴点P在∠AOB的平分线上.5.角平分线定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？6.三角形三个内角平分线有什么特征？如何做简单的论证？提高练习：1.如图，直线1l 、2l 、3l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？（思考：到△ABC 三边AB 、BC 、CA 所在直线的距离相等的点共有几个？）2．△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F,求证EB ＝FC3、点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 在∠A 内一点，AB ＝AD ，BC ＝CD ，CE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AF 于点F.求证：CE ＝CF.4、已知BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 交于点D ，且BE ＝CF ，求证：AD 平分∠BAC.l 3 A C B 2l 1l（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
《角平分线》第一课时导学案
1.4角平分线（一）学习目标：1、通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。
学习过程：一、前置准备角平分线的定义：______________________________________二、自主学习：问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？定理归纳：三、合作交流：（做一做）用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明。
四、归纳总结：1、角平分线的性质及判定的内容是什么？2、如何用尺规作已知角的平分线？五、例题解析：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证BE=CF[解析]要证BE=CF，只需证△ADE≌△FDC六、当堂训练：1、如图在△ABC中AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，③△BRP≌△QSP中（）A全部正确B：仅①和②正确C：仅①正确D：仅①和③正确。
2、在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=CM，BD：DC：=4：3，则点D到AB的距离为___________。
3、在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_______________.课下训练：1、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFDC:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF3、△ABC中, ∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4、与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为____________。
春八年级数学下册 1.4 角平分线 第2课时 三角形三个内角的平分线导学案 北师大版(2021年整
2017年春八年级数学下册1.4 角平分线第2课时三角形三个内角的平分线导学案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年春八年级数学下册1.4 角平分线第2课时三角形三个内角的平分线导学案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年春八年级数学下册1.4 角平分线第2课时三角形三个内角的平分线导学案（新版）北师大版的全部内容。
第2课时三角形三个内角的平分线1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．阅读教材P30—P31“随堂练习”之前的内容,完成下列问题。
自学反馈学生独立完成下列问题：已知：如图,设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，证明：P点在∠B AC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．总结:在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带"的成果呢？PD=PE=PF,即这个交点到三角形三边的距离相等．于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论,即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．活动1 小组讨论例1 已如图,在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DFEMNCBAPDE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； （2)求证：AB=AC+CD ．解：（1)∵AD 是△ABC 的角平分线，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ∴DE=CD=4cm, 又∵AC=BC ， ∴∠B=∠BAC ， 又∵∠C=90°， ∴∠B=∠B DE=45°,∴BE=DE 在等腰直角三角形BDE 中，由勾股定理得，BD=cm∴AC=BC=CD+BD=4+(cm ）（2）由（1)的求解过程可知： △ACD ≌△AED,∴AC=AE ， 又∵BE=DE=CD ∴AB=AE+BE=AC+CD本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第（1）问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC=CD+DB ，CD=4 cIn,而BD 在等腰直角三角形DBE 中,根据角平分线的性质，DE=CD=4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2）问中，求证AB=AC+CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想A B=AE+BE ，所以需证AC=AE ，CD=BE ．例2 直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的？解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，l 21l CBA∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点,而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，∴货物中转站可以供选择的地址有4个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级先修课题：§1.4.1角平分线（2）
教学目标：1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
重点：证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理
难点：证尺规作图
一、前置准备：
三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？
二、讲授新课：
自主学习：
如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上
定理：。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。
对应练习：
1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）
A、三条中线的交点；
B、三条高的交点；
C、三条角平分线的交点；
D、不能确定
三、合作交流；
例：△ABC 中，AC=BC, ∠C=900
,AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E 。
（1） 已知：CD=4cm,求AC 长
（2） 求证：AB=AC+CD
三、应用深化
四、当堂训练：
1、到一个角的两边距离相等的点在 。
2、△ABC 中，∠C=900, ∠A 的平分线交BC 于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D 到AB 的距离为 .
3、如下左图Rt △ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，AB=8cm ，则DE+DC= cm 。
4、如上右图△ABC 中，∠ABC 和∠BCA 的平分线交于O,则∠BAO 和∠CAO 的大小关系为 。
5 、Rt △ABC 中，∠C=900，BD 平分∠ABC ，CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是 。
课后训练：
1、已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD 是Rt △ABC 的角平分线。
求证：BD=2CD 。
2、已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM,AD ⊥ON,BE ⊥OM,BF ⊥ON,垂足分别为C 、D 、E 、F ，且AC=AD ，求证：BE=BF
3、已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F 。
求证：点F 在∠DAE 的平分线上。
A B C D A B C F D E
4、已知，如图，P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥OA,PD ⊥OB ，垂足分别为C ，D 。
求证：（1）OC=OD
（2）OP 是CD 的垂直平分线。
5、在△ABC 中∠ABC=900，AB=7,BC=24,AC=25。
（1）△ABC 内有一点P 到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由；
（2）求这个距离。
中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
A C O P D B。