九年级数学下册24圆课题垂径分弦课件(新版)沪科版
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沪科版九年级下24.2圆的基本性质课件(共23张PPT)
1°的弧。
C
1度弧
D
一般地，n°的圆心角对着n°的弧， 弧对着n°的圆心角。
n°的
1度圆心角
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度数相等。
O A
n度圆心角
n度弧 B
例题讲解:
例4：已知：如图，等边三角形ABC的三个顶
点都在⊙O上。 求证：∠AOB= ∠ BOC= ∠ COA=120°
证明：∵AB=BC=CA
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
垂径定理： “知二推三”
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都
可以推出其他三个结论
操作探究（1）
在平面内，一 图形绕某个点旋转
在两张透明纸1上80，°分，如别果作旋半转径前相等的 ⊙O和⊙O′，把两后张的纸图叠形能在互一相起重，使⊙O和⊙O′重
弦相等
弦心距相等
D
例6：已知 AB和CD为⊙O的两 条直径,弦CE∥AB, E⌒C 为40°. 求∠BOD的度数。
解：连接OE
∵ E⌒C =40°
∴∠COE =40°
∵OC=OE
∴∠OCE=
180 -40 70 2
又CE∥AB，
∴∠AOD=∠OCE=70°
∴ ∠BOD=180°-70°=110°
D A
24.2 圆的基本性质 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
学习目标：
1、复习垂径定理及其推论。 （知二推三） 2、理解圆心角的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的 相等关系定理及推论. （知一推三） 4、理解“1°的弧”的概念。
2021年沪科版九年级数学下册第二十四章《垂径分弦》公开课课件
【综合运用】 19．(12 分)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小 是否符合要求，设计了一个如图①所示的工件槽，其中工件 槽的两个底角均为 90°，尺寸如图(单位：cm)，将形状规则 的铁球放入槽内时，若同时具有图①所示的 A，E，B 三个接 触点，该球的大小就符合要求．图②是过球心 O 及 A，B，E 三点的截面示意图，已知⊙O 的直径就是铁球的直径，AB 是 ⊙O 的弦，OE⊥CD 于点 E，AC⊥CD，BD⊥CD，请你结合 图①中的数据，计算这种铁球的直径．
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
,第 3 题图)
,第 4 题图)
4．(4 分)(2015·安顺)如图，⊙O 的直径 A.5°，OC＝4，CD 的长为
(C)
A．2 2 B．4 C．4 2 D．8
5．(4 分)(2015·广元)如图，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于 点 E，则下列结论可能错误的是( B )
垂径定理的实际应用
7．(4 分)(2015·东营)如图，水平放置的圆柱形排水管道 的截面直径是 1 m，其中水面的宽 AB 为 0.8 m，则排水管内 水的深度为__0.8__m.
,第 7 题图)
,第 8 题图)
8．(4 分)如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆 半径，连接外圆上的两点 A，B，并过A︵B的中点 C 作 CD⊥AB
点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 AB 的长为__24__ cm.
15．如图，半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0，－ 4)，N(0，－10)，函数 y＝kx(x<0)的图像过点 P，则 k＝ __28__．
16．⊙O 的直径为 10 cm，弦 AB∥CD，且 AB＝ 8 cm，CD＝6 cm，则弦 AB 与 CD 之间的距离为 __7_cm 或 1_cm__ .
沪科版九年级下册数学 24.2 .1垂径定理 (共16张PPT)
沪科版九年级（一轮复习）
圆的有关性质及有关角
【复习目标】
1、我要掌握圆的有关性质； 2、我要掌握圆周角定理和圆内接四边形 的性质； 3、我能激情投入，养成认真、严谨的学 习习惯。
知识回顾
一、圆的有关性质：
1、对称性 圆是________图形，任何一条直径所在的直线都是它 的_________；圆又是______对称图形，________ 是它的对称中心。 2、垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分____，并且平分____________; 平分弦（___________）的直径垂直于弦，并且平分 ________________。
（图4）
巩固提高
5、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D， BC于E，连接ED，若ED=EC。 （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC= 2 3 ，求CD的长。
谢 谢!
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
圆的有关性质及有关角
【复习目标】
1、我要掌握圆的有关性质； 2、我要掌握圆周角定理和圆内接四边形 的性质； 3、我能激情投入，养成认真、严谨的学 习习惯。
知识回顾
一、圆的有关性质：
1、对称性 圆是________图形，任何一条直径所在的直线都是它 的_________；圆又是______对称图形，________ 是它的对称中心。 2、垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分____，并且平分____________; 平分弦（___________）的直径垂直于弦，并且平分 ________________。
（图4）
巩固提高
5、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D， BC于E，连接ED，若ED=EC。 （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC= 2 3 ，求CD的长。
谢 谢!
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
沪科版九年级数学24.2圆的性质-垂径定理PPT课件
作直径mn垂直于弦ab直径mn也垂直于弦cdamcmbmdmacbd两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弦的直线必垂直弦如图ab是半圆的直径o是圆心c是弦ac的中点od交弧acwwwczsx
luzishu
-
1
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
驶向胜利 的彼岸
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
-
10
如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
CD是直径
C
A
EB
O
AE=BE AC=BC AD=BD
老师提示:
D
垂径定理是圆中一个重要的
结论,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
-
6
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
-
7
O
·
A
E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
●O
-
2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
luzishu
-
1
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
驶向胜利 的彼岸
拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧
形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦
的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
-
10
如图，用
Ａ⌒Ｂ
AB
表示主桥拱，设
Ａ⌒Ｂ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
CD是直径
C
A
EB
O
AE=BE AC=BC AD=BD
老师提示:
D
垂径定理是圆中一个重要的
结论,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
-
6
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC
D
A
注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！
-
7
O
·
A
E
B
圆心到弦的距离叫做弦心距
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称 轴？
你是用什么方法解决上述问题的?
●O
-
2
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
2第2课时垂径分弦(PPT课件(沪科版)28张)
D
B
归纳总结
u垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不
能，请举出反例.
C
A Ø特别说明： 圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
一二 垂径定理及其推论的计算
典例精析 圆心到弦的距
例1 如图，⊙O的半径为5cm离，叫弦做AB弦为心6c距m.，求圆心 到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
AE EB 1 AB 1 6 3cm.
22
O·
又∵OA=5cm，∴在Rt△OEA中，有
OE OA2 AE2 52 32 4cm.
E
A
B
答：圆心到弦AB的距离是4cm.
【一变式题】如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm， OE=6cm，则AB = 16 cm.
22
设 OC = x cm，则OD = (x － 2)cm，
·O
根据勾股定理，得
x2 = 42 + ( x－2)2 ， 解得 x=5.
AD
B
C
即半径OC的长为5cm.
例3 已知：⊙O中弦
AB∥CD⌒， ⌒
证求明证：：作AC直＝径BDM.N⊥AB，如图.
C A
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M，
M
D B
.O
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） N ∴A⌒M－C⌒M＝B⌒M－D⌒M， ∴A⌒C＝B⌒D.
归纳总结
A
.
O
C
B
A
O.
E
AC
DB
沪科版九年级下册数学 24.2 .1垂径定理 (共16张PPT)
4、如图4，在⊙O中，A» B 与B» C 相等，OD⊥BC， OE⊥AC，垂足分别为D. E，且OD=OE，则 △ABC的形状是_______________。
（图3）
（图4）
基础过关
5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形 ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为______。
变式： 求∠OAD+ ∠OCD的大小？
自主探究
【探究1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直， 垂足为E，且AB＝CD，CE＝1，DE＝3，则⊙O的 半径是_________。
自主探究
【探究2】如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB 于点P，且PA=1cm，PB=5cm，∠DPB=30°，M为 CD的中点，求OM的长.
自主探究
【探究3】如图，AB是⊙O的直径，C是 的中 点， CE⊥AB于点E，BD交CE于点F. （1）求证：CF=BF； （2）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为多少？ CE的长为多少？
课堂小结：
谈一谈，通过本节课的学习： 你收获了…….. 你的疑问是………
巩固提高
1 、 如 图 1 ， ⊙ O 的 直 径 AB 垂 直 于 弦 CD ， ∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A、18° B、36° C、54° D、72° 2、如图2，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高 为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ） A、 10cm B、16cm C、 24cm D、26cm
知识回顾
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______， 所对的弦______，所对弦的弦心距_____。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所 对的____、所对的___、所对弦的_______中，有 一组量相等，那么其余的各组量分别________。
（图3）
（图4）
基础过关
5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形 ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为______。
变式： 求∠OAD+ ∠OCD的大小？
自主探究
【探究1】如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直， 垂足为E，且AB＝CD，CE＝1，DE＝3，则⊙O的 半径是_________。
自主探究
【探究2】如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB 于点P，且PA=1cm，PB=5cm，∠DPB=30°，M为 CD的中点，求OM的长.
自主探究
【探究3】如图，AB是⊙O的直径，C是 的中 点， CE⊥AB于点E，BD交CE于点F. （1）求证：CF=BF； （2）若CD=6，AC=8，则⊙O的半径为多少？ CE的长为多少？
课堂小结：
谈一谈，通过本节课的学习： 你收获了…….. 你的疑问是………
巩固提高
1 、 如 图 1 ， ⊙ O 的 直 径 AB 垂 直 于 弦 CD ， ∠CAB=36°，则∠BCD的大小是（ ）
A、18° B、36° C、54° D、72° 2、如图2，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高 为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ） A、 10cm B、16cm C、 24cm D、26cm
知识回顾
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______， 所对的弦______，所对弦的弦心距_____。 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所 对的____、所对的___、所对弦的_______中，有 一组量相等，那么其余的各组量分别________。
沪科版九年级下册数学：24.2 垂径定理 课件(共17张PPT)
解： OEAB
A
AE1AB184
22
在Rt △ AOE 中
A O 2O E2A E2
E
B
·
O
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm 答：⊙O的半径为5cm.
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激 组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的 有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自 对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有 和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很 喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)
⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：
①经过 圆心 ； ② 垂直 于弦.那么这条直线就：
③ 平分 这条弦， ④平分 弦所对的劣弧； ⑤平分 弦所对的优弧.
探究四
灵活运用
例1：如图，⊙O 的半径是5cm，
弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的 距离。
分析：过O作OE⊥AB于E,连接OA, 将问题转化为解直角三角形，利用勾
,
径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.
已知:如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
垂径定理
证明： 连接OA,OB，则OA=OB. ∵CD⊥AB于E，AE=BE.
∵⊙O关于直径CD对称,
定理剖析
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
7.2
A
18.7
R
D
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 ,
O
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固提高
1、见教材第17页练习第3题
2、（学有余力）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
谢谢，再见!
我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系统中重要 的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备自我激励能力的人， 富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自家的后院练习棒球。在挥动球 棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，挥动依旧没有击中。男孩子停下来，检查了球 棒和球，然后用更大的力气对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”可是接下来的结果，并未如愿。男孩子似乎有些气馁，可是转念一想：我抛球这么刁，一定是个很棒的挥球手。接着男孩子又对自 己喊：“我是世界上最棒的挥球手！”其实，大多数情况下，很多人做不到这看似荒谬的自我鼓励，可是，这故事却深深反映了这个男孩子自我鼓励下的执著，而这执著是很多人并不具备的……而许多奇 迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要目标不能激发你的想象力，目标 的实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你可以安排自己的休整点。事先 看看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出一大段时间让自己隐退一下， 即使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅 咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自己。获得别人对自己的反 映很不错，尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的棋局该由自己来摆。 不要从别人身上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵感的降临。你可不要 这样。如果有些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以，这次犯错，是为了 下次接受挑战后，要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的勇气。事过境 迁，面对人生，面对社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努力。谁都不 可能一生一世的帮你，一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有稍微有点 意识的年轻人都想努力提��
沪科版九年级下册数学：24.2 垂径定理 课件(共17张PPT)
D
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
弦长
半径 O
弦心距
A 半弦长 E
B
C
黄金三角形
勾股定理
如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E， 若CD=6，BE=1，求⊙O的半径
A
O
C
E
D
B
绝招
弦长
黄金三角形
找到三角形三边长
勾股定理
已知， ⊙O的半径为5，弦AB=6，弦CD=8， AB∥CD，求这两条弦AB、CD的距离
A
FB
O
A C
DB
垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所 对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦 所对的两条弧.
C
A
┗●
B
M●O
CD是直径 可推得 AM=BM
CD⊥AB
A⌒C=B⌒C A⌒D=B⌒D
D
例：已知△OCD为 等腰三角形，底CD 交⊙O于A 、B, 求证：AC=BD
例题解析
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是 圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧 的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径 (精确到0.1m).
赵州石拱桥
7.2
A
37.4
C
D
B
R
O
练习
2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
24.2.2 垂径定理
想一想
1.圆是轴对称图形吗？
●O
圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法即可解决这个问题.
圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心.
沪科版九年级下册数学 课时2 垂径分弦 教学PPT课件
AE
B
D
新课讲解
证明：连接OA,OB,则OA=OB , △OAB为等腰三角形，
所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线
， 因此点A与点B关于直线CD对称.同理，如果点P是
C
⊙O上任意一点，过点P作直线CD的垂线，与⊙O相交
Q
于点Q,则点 P与点Q关于直线CD也对称，所以⊙O关于
直线CD对称. 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
（2）由垂径定理可得A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
A
E D
B
新课讲解
垂径定理的逆定理： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
C
∵ CD是直径，AE=BE，(条件)
∴ AB⊥CD，A⌒C =B⌒C，⌒AD⌒=BD.(结论)
·O
AE
B
D
新课讲解
垂径定理的本质是:
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 知二得三 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
新课讲解
典例分析
例 2 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心到弦AB的距离.
解：连接OA，过圆心O作
OE⊥AB，垂足为E，则
·O
AE
B
D
新课讲解
问题二 AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？
C 解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
兴义市第七中学九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦课件新版沪科版3
A．其中一个函数的图象可由另一个函数的图象沿 x 轴或 y 轴翻折“复 制”得到 B．它们的图象都是轴对称图形 C．它们的图象都是中心对称图形 D．当 x>0 时，两个函数的函数值都随自变量的增大而增大
知识点二：反比例函数 y＝kx (k<0)的图象的特征
6．(上海中考)已知反比例函数 y＝kx (k 是常数，k≠0)，在其图象所在 的每一个象限内，y 的值随着 x 的值的增大而增大，那么这个反比例函 数的表达式可以是_y_＝__－__1x__(_答__案__不__唯__一__)_______(只需写一个)．
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
C.OD=DC
D.A⌒C=⌒BC
3.如下图 , 在⊙O中 , AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦 , OD⊥AB于D , OE⊥AC于E. 求证 : 四边形ADOE是正方形. 证明 : ∵AB⊥AC , OD⊥AB , OE⊥AC. ∴四边形ADOE是矩形. 又∵OD垂直平分AB , OE垂直平分AC , AB＝AC ,
E A
B 因此点A与点B关于直线CD
D
对称.
同理 , 如果点P是⊙O上任意一点 ,
过点P作直线CD的垂线 , 与⊙O相
C
交于点Q , 那么点P与点Q关于直线
P
Q CD也对称 , 所以⊙O关于直线CD
对称.当把圆沿着直径CD折叠时 ,
O
CD两侧的两个半圆重合 , AE与BE
E A
D
B 重合 , 点A与点B重合 , 与A D D B 重合 , A C 与 C B 重合. 因 此 ， A E = E B ， A D D B ， A C C B .
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
知识点二：反比例函数 y＝kx (k<0)的图象的特征
6．(上海中考)已知反比例函数 y＝kx (k 是常数，k≠0)，在其图象所在 的每一个象限内，y 的值随着 x 的值的增大而增大，那么这个反比例函 数的表达式可以是_y_＝__－__1x__(_答__案__不__唯__一__)_______(只需写一个)．
A.∠AOD=∠BOD B.AD=BD
C.OD=DC
D.A⌒C=⌒BC
3.如下图 , 在⊙O中 , AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦 , OD⊥AB于D , OE⊥AC于E. 求证 : 四边形ADOE是正方形. 证明 : ∵AB⊥AC , OD⊥AB , OE⊥AC. ∴四边形ADOE是矩形. 又∵OD垂直平分AB , OE垂直平分AC , AB＝AC ,
E A
B 因此点A与点B关于直线CD
D
对称.
同理 , 如果点P是⊙O上任意一点 ,
过点P作直线CD的垂线 , 与⊙O相
C
交于点Q , 那么点P与点Q关于直线
P
Q CD也对称 , 所以⊙O关于直线CD
对称.当把圆沿着直径CD折叠时 ,
O
CD两侧的两个半圆重合 , AE与BE
E A
D
B 重合 , 点A与点B重合 , 与A D D B 重合 , A C 与 C B 重合. 因 此 ， A E = E B ， A D D B ， A C C B .
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
课件沪科版九年级数学下优秀课件完整版-2 垂径分弦
24.2 第2课时 垂径分弦 （2）这条直线垂直于弦
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
即 AC＝BD.
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，
即 AC＝BD.
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MB
O· A EB
例3 赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长) 为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你知道 如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作的垂线，交
A⌒B于点C，交AB于点D，则CD=7.2 m.
由垂径定理，得AD= AB= ×37.4=18.7(m) 1
22
设OC=xcm，则OD=x-2,
根据勾股定理，得
·O
AD
B
C
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆
的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么
关系？为什么？
解：AC=BD
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是( D ) 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
（3）这条直线平分不是直径的弦
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
A．CM＝DM 圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.
所以底边AB上的高OE所在直线CD是AB的垂直平分线， 因此点A与点B关于直线CD对称.
九年数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第2课时垂径分弦课件(新版)沪科版
点( 两条网格线的交点叫格点 )上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆
的圆心坐标为 ( -1,-2 ) .
综合能力提升练
12.如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知
AB=24 cm,CD=8 cm.
( 1 )求作此残片所在的圆心;( 不写作法,保留作图痕迹 )
综合能力提升练
8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长( C )
A. 15
B.2 5
C.2 15
D.8
9.( 乐山中考 )如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇
门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,
且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最
高点离地面的距离( B )
米.5米
.4米.1米
综合能力提升练
10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则蔬
菜大棚的高度CD= 4 m.
11.( 烟台中考 )如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格
第2课时 垂径分弦
知识要点基础练
知识点1
知识点2
知识点3
圆的对称性
1.圆是轴对称图形,它有 无数 条对称轴,圆还是中心对称图形,它的对称中心是 圆心 .
2.如图,CD是☉O的一条弦,作直径AB,使CD⊥AB,垂足为E.它是 轴对称 图形,它的对
称轴是 直线AB .
知识要点基础练
知识点1
知识点2
的圆心坐标为 ( -1,-2 ) .
综合能力提升练
12.如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知
AB=24 cm,CD=8 cm.
( 1 )求作此残片所在的圆心;( 不写作法,保留作图痕迹 )
综合能力提升练
8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长( C )
A. 15
B.2 5
C.2 15
D.8
9.( 乐山中考 )如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇
门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,
且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最
高点离地面的距离( B )
米.5米
.4米.1米
综合能力提升练
10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则蔬
菜大棚的高度CD= 4 m.
11.( 烟台中考 )如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格
第2课时 垂径分弦
知识要点基础练
知识点1
知识点2
知识点3
圆的对称性
1.圆是轴对称图形,它有 无数 条对称轴,圆还是中心对称图形,它的对称中心是 圆心 .
2.如图,CD是☉O的一条弦,作直径AB,使CD⊥AB,垂足为E.它是 轴对称 图形,它的对
称轴是 直线AB .
知识要点基础练
知识点1
知识点2