长郡中学2019年高一数学月考试卷及答案
湖南省长郡中学2019届高三月考试卷(一)理科数学
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示学。
科。
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网...由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含解析
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可。
【详解】所以所以选D【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数模的定义，属于基础题。
2.2.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故选C.3.3.若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图像，根据函数图像的交点个数确定零点个数即可。
【详解】因为数满足，所以周期当时，，且为偶函数，所以函数图像如下图所示由图像可知，方程有四个零点所以选C【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，绝对值函数图像的画法和函数零点的概念，关键是根据函数解析式能够正确画出函数的图像，属于基础题。
4.4.计算的结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。
【详解】所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。
5.5.已知、、是双曲线上不同的三点，且、连线经过坐标原点，若直线、的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，设出A、B、P点的坐标，代入方程做差，得到；利用两条直线的斜率乘积关系，得到。
联立可以得到的关系式，进而求得离心率。
【详解】由题意，设则将A、P坐标代入双曲线方程，得两式相减得所以，即所以所以选C【点睛】本题考查了点与双曲线的关系，设而不求法是解决圆锥曲线问题常用方法，属于基础题。
6.6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：千瓦·时）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：（单位：℃）（单位：千瓦·时）由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为℃时，当天用电量约为（）A. 千瓦·时B. 千瓦·时C. 千瓦·时D. 千瓦·时【答案】A【解析】【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。
长郡中学高一数学第一次月考数学试卷
数学（长郡版）- 4
（1）若 A 1,2，求 S T ： （2）若 A 0, m，且 S T ，求实数 m 的值；
（3）若对于 A 中的每一个 x 值，都有 f (x) g(x) ，求集合 A 。
17. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) 2x2 a , 且f (1) 3 。 x
（1）求函数 f (x) 在 - ，0 上的单调区间，并利用定义证明；
个数为
A.71
B.49
C.35
D.29
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，将答案填在答案纸上。
11. 设 P,Q 为两个非空实数集合， P 中含有 0,2,5 三个元素， Q 中含有1,2,6 三个元素，定
义集合 P Q 中的元素是 a b ，其中 a P,b Q ，则 P Q 中元素个数是
一片森林原面积为 a .计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余
面积的百分比相等，并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年。为保护生态环境，
森林面积至少要保留原面积的 1 。已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的 2 。
4
2
（1）求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
19.（本小题满分 12 分）
已 知 函 数 f (x) 对 一 切 实 数 x, y ， 等 式 f (x y) f ( y) x(x 2y 1) 都 成 立 ， 且
f (1) 0 。
（1）求函数 f (x) 的解析式； （2）已知 a,b R，g(x) f (x) bx, 当 0 x 1 时，使不等式 f (x) 3 2x a 恒成立
长郡中学2019年高一第一次月考数学试卷
16.关于函数 f x
x2 x4
的性质描述，正确的是__________.
x 1 1
① f x 的定义域为1, 0 0,1 ；② f x 的值域为 1,1 ；③ f x 在定义域上是增函
数；④ f x 的图象关于原点对称.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 48 分)
(1)已知二次函数 f x ax2 2x 4a a R ，试判断 f x 是否为定义域 R 上的 “局部奇函数”？若是，求出所有满足 f x f x 的 x 的值；若不是，请说明理由；
(2)若 f x 2x m 是定义在区间 1,1 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取值范围.
(2)若对任意的 t 1, 4 ，不等式 f 2t 3 f t k 0 恒成立，求实数 k 的取值范
围.
22.(本小题满分 8 分)
定义：对于函数 f x ，若在定义域内存在实数 x ，满足 f x f x ，则称 f x 为
“局部奇函数”.
f
1 4
f
1 10
n ，则
m
n
(
)
A. 10
B.10
C. 9
D. 9
9. 已 知 函 数 f x x a x b ( 其 中 a b ) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数
g x ax b 的图象是( )
14. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f x 满 足 ： 当 x 0 ， f x x2 2x a ， 则
f 3 __________.
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．右图中阴影部分用集合可表示为（ ）A.()U C A B ⋂B.()U A C B ⋂C.()U C A B ⋃D.()U C A B ⋂【答案】A【解析】试题分析：图中阴影部分表示：属于B ，但不属于A 的元素构成的集合，即()U C A B ⋂，故选A 。
【考点】本题主要考查集合的表示，集合的运算。
点评：小综合题，首先明确集合中元素特征，结合图形分析。
2．下列四组函数，表示同一函数的是（ ）A.()f x =()g x x =B.()f x x =，()lg10xg x =C.()2f x =，()g x x =D.()f x x =，()2x g x x= 【答案】B【解析】根据函数的概念，判定两个函数的定义域和对应法则是否都相同，即可得到答案. 【详解】选项A,()f x x ==，函数解析式不同；选项C,D ，函数定义域不同，只有选项B的定义域相同,解析式一样.故选B. 【点睛】本题主要考查相等函数的判定，其中熟记函数的概念，准确判定是解答本题的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3．已知01a <<,则22log ,2,a a a 的大小关系是A.22log 2aa a << B.222log aa a << C.22log 2a a a <<D.222log a a a <<【答案】A【解析】因为01a <<,所以0222log log 10,221,01aa a ==<<,即22log 2a a a <<.故选A ．4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A.()y x x R =∈ B.()10y x x=≠ C.()2y xx R =-∈ D.()y x x R =-∈【答案】D【解析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可. 【详解】选项A, y x =在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上单调递减；选项B ，1y x=在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C ，2y x =-在(0,)+∞上为减函数，在(,0)-∞上单调递增，且为偶函数，只有选项D 在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题.5．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x=+>,则()1f -= ( ) A.-2 B.0 C.1D.2【答案】A【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 6．奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-2，则()()63f f +-的值为（ ） A.10 B.-10C.9D.15【答案】A【解析】根据函数的单调性确定最大值、最小值，结合函数的奇偶性求解相应的函数值. 【详解】由题意可知，(6)8,(3)(3)2f f f ==--=-，所以()()638210f f +-=+=，故选A. 【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，利用函数的奇偶性变形求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．函数()()31log 32f x x =-的定义域是（ ）A.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U C.5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求解即可. 【详解】要使函数()f x 有意义，则需x 满足320,321,x x ->⎧⎨-≠⎩ 解得23x >且1x ≠，所以函数()f x 的定义域为()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U ，故选B. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，注意定义域的写法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A.（-2,-1） B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【答案】C【解析】试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上【考点】零点存在性定理9．函数2()48f x x ax =--在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.32a ≤ B.32a ≥C.16a ≥D.16a ≤【答案】A【解析】将二次函数转化为顶点式，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可 【详解】f （x ）=4x 2-ax-8=4（x-8a ）2+2a 16-8 ，二次函数的图象开口向上，∵在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=8a≤4，解得：a≤32，故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质，属于基础题10．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2- B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 【答案】D【解析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x 2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解． 11．在同一坐标系中，函数y =ax +a 与y =a x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】一方面，函数y=a x横过点（0，1）且在a ＞1时递增，在0＜a ＜1时递减；另一方面再结合函数y=ax+a 与y 轴的交点为（0，a ）作出判断．【详解】解：∵函数y=a x横过点（0，1）且在a＞1时递增，在0＜a＜1时递减，而函数y=ax+a 与y轴的交点为（0，a），因此，A中、由y=a x的图象递增得知a＞1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a＜1，矛盾；C中、由y=a x的图象递减得知0＜a＜1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a ＞1，矛盾；D中、由y=a x的图象递减得知0＜a＜1，函数y=ax+a递减得知a＜0，矛盾；故选：B．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，着重考查一次函数y=ax+a与指数函数y=a x之间的对应关系，考查数形结合的分析能力，属于基础题．12．今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是（）A.12y t= B.2logy t=C.123ty=⋅ D.212y t=【答案】C【解析】画出散点图，观察点的分布情况，即可判断.【详解】画出散点图如图所示，根据点的分布特征，选项C, 123ty =⋅更能体现这些的数据关系.故答案选C. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握基本初等函数的图象，能根据散点图的分布选择合适的函数模型，着重考查数形结合的能力，属于基础题. 13．在直角梯形ABCD 中, AB BC ⊥, 2AD DC ==, CB =动点P 从点A 出发，由A D C B →→→沿边运动（如图所示）, P 在AB 上的射影为Q ，设点P 运动的路程为x ,APQ ∆的面积为y ，则()y f x =的图象大致是A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意可得到()y f x ==21,024124224,442x x x x x x ⎧<≤⎪+<<⎪⎪+---≤<⎪⎩，由二次函数和一次函数的图象可知()f x 的图象只能是D ，故选D.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、分段函数的解析式，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能转化为数学模型进行解答. 理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏.14．已知偶函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则关于x 不等式()0xf x <的解集是（ ） A.(2,2)- B.(2,0)(0,2)- C.(2,0)(2,)-+∞D.(,2)(0,2)-∞-⋃【答案】D 【解析】【详解】偶函数()f x 在(),0-∞上单调递减，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()220f f =-=，因为()0xf x <，当(),0x ∈-∞，()() 02f x f >=-得02x x <⎧⎨<-⎩，解得2x <-；当()0,x ∈+∞，()()02f x f <=得02x x >⎧⎨<⎩，解得02x <<，综上所述不等式式()0xf x <的解集是()(),20,2-∞-，故选D.15．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}()(){}221,2,|20A B x x ax x ax ==+++=，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ） A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】因为22()(2)0x ax x ax +++=等价于20x ax +=或220x ax ++=，且{}1,2,1A A B =*=，所以B 要么是单元素集，要么是三元素集。
湖南省长郡中学2019届高三月考试卷(一)文科数学
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）（考试时间：120分钟，满分150分）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则AB =（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|1}x x ≥C ．{|12}x x ≤<D ．{|0}x x > 2.复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -3.已知2sin 5α=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．725- C ．1725D ．1725-4.某家具厂的原材料费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.5y x b =+，则b 为（ ）A ．7.5B ．10C ．12.5D ．17.5 5.已知向量(2,1)a =-，(1,3)b =-，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．//()a a b -D ．()a a b ⊥- 6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A ．8B ．6C ．5D ．3 7.已知曲线1C ：sin y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C8.曲线()2xf x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ） A ．210x y --= B ．10x y -+= C ．0x y -= D ．10x y --=9.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为（ ）A ．B ．CD ．10.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增.若实数a 满足()(f a f >，则a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．)+∞C．( D．(,(2,)-∞+∞11.已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，则围成四棱锥SABCD -的五个面中的最大面积是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．1012.已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN =（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知x ，y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为 ．15.在ABC ∆中，面积2221()4S a b c =+-，则角C 的大小为 ． 16.已知函数3()lg 92f x x x =+-在区间(,1)()n n n Z +∈上存在零点，则n = ．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S . 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA PD ==CD PD ⊥，E 为CD的中点.（1）求证：PD ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABE -的体积.19.某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求a 的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.20.过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B ∆的周长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 的下顶点，椭圆C 与直线y x m =+相交于不同的两点M 、N .当PM PN =时，求实数m 的值. 21.已知函数()xxa f x e e =-. （1）当1a =时，求函数()[()'()]F x x f x f x =-的最小值；（2）若()()g x f x =在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t=+⎧⎨=-⎩（其中t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）分别写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a x a =++-. （1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（2）若()6f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围.长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）参考答案一、选择题1-5: DBCAD 6-10: ABDAC 11、12：CB二、填空题13. 4 14. 210x y --= 15. 45︒ 16. 5三、解答题17.【解析】（1）设{}n a 的公比为q 由已知得3162q =，解得2q =，所以2n n a =.（2）由（1）得38a =，532a =，则38b =，532b =， 设{}n b 的公差为d ，则有1128432b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得11612b d =-⎧⎨=⎩，从而1612(1)1228n b n n =-+-=-. 所以数列{}n b 的前n 项和2(161228)6222n n n S n n -+-==-.18.【解析】（1）∵底面ABCD 是正方形，∴//AB CD ，又CD PD ⊥， ∴AB PD ⊥，∵PA PD ==2AD =，∴222PA PD AD +=，∴PD PA ⊥，又PA AB A =，∴PD ⊥平面PAB .（2）∵AB AD ⊥，AB PD ⊥且ADPD D =，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO AD ⊥于O ，则PO ⊥平面ABCD ， ∴PO 为三棱锥P ABE -的高，∴13P ABE ABE V S PO -∆=⋅112122323=⨯⨯⨯⨯=. 19.【解析】（1）∵(0.020.080.092)41a +++⨯=，∴0.03a =， 完成年度任务的人数为2420048a ⨯⨯=. （2）第1组应抽取的人数为0.024252⨯⨯=， 第2组应抽取的人数为0.084258⨯⨯=， 第3组应抽取的人数为0.094259⨯⨯=， 第4组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=， 第5组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=.（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为1A ，2A ，3A ；第5组有3人，记这3人分别为1B ，2B ，3B ；从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共有15个基本事件.获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个， 故所求概率为62155=. 20.【解析】（1）由椭圆定义知，4a =，a =3c e a ===得c =1b =， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=. （2）由方程组2213y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2223(1)0x m ⇒++-=， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 的中点为00(,)E x y，则12x x +=.∴12022x x x m +==-，02m y =，∴,22m E m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由PM PN =得PE MN ⊥，又(0,1)P -，∴13PE k ⨯=-，∴1m =. 满足221224(1)0m m ∆=-->.综上1m =. 21.【解析】（1）2()x x F x e =-，2(1)'()0xx F x e -==，令'()0F x =，得1x =， 所以当1x <时，'()0F x <，()F x 单调递减，当1x >时，'()0F x >，()F x 单调递增， 所以当1x =时，()F x 取得最小值为2e-. （2）当0a ≤时，()0xxaf x e e =->，()()g x f x =， 若在[0,1]上单调递增，则'()0f x ≥恒成立，即：2max []xa e ≥-，1a ≥-，10a -≤≤；当0a >时，'()0xx a f x e e =+>，()xx a f x e e=-在[0,1]上是单调递增的， 又()()g x f x =在[0,1]上单调递增，所以()0f x ≥在[0,1]上恒成立.2min []x a e ≤，01a <≤.综上：11a -≤≤.22.【解析】（1）直线l 的直角坐标系方程是220x y a +--=， 圆C 的直角坐标方程是22(2)4x y -+=. （2）由（1）知圆心为(2,0)C ，半径2r =， 设圆心到直线的距离为d ，因为直线与圆相切，所以2d ===，解得2a =±23.【解析】（1）当1a =时，不等式()4114f x x x ≥⇔++-≥， 当1x >时，()24f x x =≥，解得2x ≥； 当11x -≤≤时，()24f x =≥，无解； 当1x <-时，()24f x x =-≥，解得2x ≤-， 综上所述，不等式的解集为(,2][2,)-∞-+∞. （2）()f x x a x a =++-()()2x a x a a ≥+--=， ∴26a ≥，解得3a ≥或3a ≤-， 即a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞.21。
湖南省长郡中学2019届高三数学上学期第一次月考(开学考试)试题 文
长郡中学2019届高三月考试卷(一）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{|02}A x x=<<，{|1}B x x=≥，则A B=（）A．{|01}x x<< B．{|1}x x≥ C．{|12}x x≤< D．{|0}x x>2。
复数z满足(2)36z i i+=-(i为虚数单位),则复数z的虚部为（）A．3 B．3- C．3i D．3i-3。
已知2sin5α=，则cos2α=（）A．725B．725- C．1725D．1725-4.某家具厂的原材料费支出x（单位：万元)与销售额y(单位：万元）之间有如下数据,根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为8.5y x b=+，则b为（）A．7.5 B．10 C．12.5 D．17.55。
已知向量(2,1)a=-，(1,3)b=-，则（）A．//a b B．a b⊥ C．//()a a b- D．()a a b⊥-6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ )A ．8B ．6C ．5D ．37。
已知曲线1C ：sin y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是( ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C8.曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程是( ） A ．210x y --= B ．10x y -+= C ．0x y -= D ．10x y --=9.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α2( ）A ．43πB ．63πC ．6πD ．46π10。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)答案
# 0" 6 ; 3# = # $ # #+ # ! # " # ; 3# " ; " 3#6 " = + # 0 " 6 0 # 6 0 $ # # # # # # " 时 " 易得#$ $ +# # + $#$ # $ 6> 时$ % $ < < " " 当#0 " 时取得最小值 即" # # # # 0 $ 0 $ + + + =函数$ & ? 2 30 " $ $ < 0 " < < # ! " # ! " 在 上单调递增 即< 解得##! 故选 .! =函数" $ 6> = < < # < " ! # # " " 二 填空题
理科数学试题参考答案! 长郡版" !# !
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湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含答案
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数121iz i i+=+-，则z =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.已知集合{}240A x x x =-+≥，1{327}18x B x=<<，{}2,C x x n n N ==∈，则()A B C =（ ）A ．{}2,4B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,x x n n N =∈3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ） A ．12 B ．12- C. 22 D ．325.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3 C.2 D ．36.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：x （单位：℃）17 14 10 1- y （单位：千瓦·时） 24 343864由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2yx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A ．56千瓦·时B ．62千瓦·时 C. 64千瓦·时 D ．68千瓦·时7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．5003π B ．23 C.1253π D ．12523 8.知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为（ ）A ．12-B ．312D 39.设,a b R ∈，则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112 B ．114 C. 115 D ．11811.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C 、D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ）A ．3(,)2+∞B ．(2,)+∞ C. 3(1,)2D ．3(,2)212.设函数()()1x f x e x =-，函数()(),0g x mx m m =->，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．213,3e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,e ⎡⎤+∞⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则y z x =的最大值为 ．14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】
4.设「，厂-疋，集合—H n •：巴珀2019学年湖南长郡中学高一上模块检测一数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三四五总分得分一、选择题1. 已知集合 启斗1,:叮，则下列说法正确的是（）A •一一一B -C • -j 用-1D •「一3.下列各组函数中表示同一函数的是 （ ）A•B •貞刃-—C •g)=左D •，若严=哄，贝V-I C5.设集合 (i)i ■:，贝【J 总"i 禺■-(A." B .,C .■ D .F 列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 1[-4.0)U(OJ1 [-4,0) COJ] 卜M9. 设，| 为定义在”上的奇函数，当■ > '时，• |(•为常数)，则煮=[]：等于( )A . 3B . 1C .； D-I6. 7.函数.一二一的定义域为 ()函数i -8.)的图象的大致形状是10.定义在：上的；满足：①:;②对任意的，"E[0-+8）（片* ），有5一八叽0 ，则（）A • ' ' |B - ■ 'C .化7「⑴：0心D •11. 设函数 「“y 宀」，则使得• I 成立的.的取值范围是（ ） A .- - ___________ B .■-.'C . - -D . 1 ' - 二12. 在如图所示的锐角三角形空地（底边长为 40 •，高为40邨）中，欲建一个面 积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：臥）的取值范围是 （）A .| B . C . l-'.-U D ...、解答题13. 若函数「1ntx:* ■+ + 3的定义域为厂，则实数：的取值范围是-：Dol设|表示不超过•的最大整数(如|| _ ，，，定义「 「，「，则当X (.T -1>. (x-[rj+l)的值域是 ()Z] W1 (3,y]U[15J0) (3,4]UC5J5]已知函数，若不等式r,-.：/：. ；; ■> < I ；对 UD 恒 则实数；•的取值范围是( )；, _ 或■—2 2四、填空题16.若 /(2T + 1)= > ，贝V /(5) = _________________ .rg1117. 已知集合 討 -------------- E ¥ •，则用列举法表示集合* = _____________________18. 已知，' 是定义在区间[1〕)上的减函数，且 • | ，则灯的取值范围是 __________________ .三、 选择题 14.匚时，函数15. 成立,)•对于给定为 ______________ . 20.在一次研究性学习中，老师给出函数： — (.,四个小组的同1+UI学在研究此函数时，讨论交流后分别得到以下四个结果： ① 函数 的值域为9 ] |_. ② 若——，则一定有;③ 若规定-I ，…，二■二.m ,则•对任意L+«| JC |洱L 葢:泣恒成立;④ 若实数•，：满足•「 ， I ,则• ，.你认为上述四个结果中正确的序号有 _______________________ •(写出所有正确结果的序 号)五、解答题21.(1)求值：，49(2)已知：：—一「求...■的值.22. 已知全集‘.：，集合 •’： ',(1 )若• ，求；门池隔 (2)若—求实数；的取值范围.若「| 是• 的最小值，则•的取值范围19.已知 y (x )=23. 已知函数「厂4--(1) 判断的奇偶性；(2) 写出的单调递增区间，并用定义证明.(2)若对任意的，，不等式.|■- 恒成立，求实数 的取值范围.25.已知函数 - - I ,：以；：—二-•(1)若关于 ’的方程，• 只有一个实数解，求实数 「的取值范围; (2 )若•0，求函数」• 「 在区间 - |上的最大值.参考答案及解析 第1题【答案】【解析】试题分析；集合与集合关系为旅包含”、饴于,元素与集合关系为悵于刑「'不属于，故选C ・第2题【答案】 E【解析】试题分析；由函数概念可得.第3题【答案】 D 【解析】试题分析；同一国数需满足；定义域一致,对应，刼L 致.24.(1)2^十用的值；是定义在上的奇函数.第4题【答案】【解析】试题分析；由已知，"茫0 ,故心6- 0 ；5JJ —--1 f所以口=-1 J b =1 ,第5题【答案】j【解析】血颁"&TI<2} ={x|-l<x<3) , ^ = {v|v = 2\re[0,2]} ={y|U>£4},则[L3).第6题【答案】p【解析】试题分折；奇函数有y^~ 、一一丘一八严丁-丄j定义域内为减函数的只有,>■ = -x3-Y .y x 第7题【答案】A【解析】f—Y*—3 Y + 4 ^0试题分析：由题，j ,解得"I -<0)UC01]."0第8题【答案】【解析】试题分析，，二,7>0「可得国匏團象. -a ,JC< 0第9题【答案】【解析】试题分析：由题，/(0)=0 ,得打二亠】，/ei) = VU) = -C2 + 2 + «)=-3 .第10题【答案】A【解析】试题分析；由已知国对偶国数，且在【0十叼单碉遥减WA-2) = A2),故第11题【答案】A【解析】试题分析：由a^/(.o=x4+^ ,可鬻囲数m 为偶画甑且在［0廿叼单调递豐故hi>i2x-n,解得x右小・第12题【答案】【解析】试题分析：由颍设拒彫长肯⑷、列窒为(40』所以双407疋孔0 ,解得* [10.30].第13题【答案】【解析】叭析；由已肌当0，沁十皿+X0 ,恥"或血丸'解得如的取侑范围是第14题【答案】j【解析】试题分析：当山討时.©二厂4当丫无限接近工叭[r] = l ,所臥U**3.32re(23)时，C; = y-4-l?：些丫无限接近3时,[x] = 2 ,所以C； =^-5・故函数匚；的值域fi(3,4]U(5,15] _第15题【答案】【解析】析：宙已知(4, 的W -弘一3玄0 ,令貞町韭(4^- -4z?-3)v- -6.V-3 ,彳盟1 3 b 亠・_(0-3)、若4<r2- 4a-3=^ 0 J EPc? = "- s£o =-、黒不等式在上怛成立』若,抛物线貞刃幵口向上，不満足；若4^=-4«-5<0』拋物线或P幵口向下・对耦由対,0 , gft(4n:-4«-3)x:-6v-3<0 、只需畫⑴"，二W ™ 4<7 —3P-6^3<0 , . .'. 1S2^I< ^< £±2^1 ,又2 213 1 34fr2—_ 3 < 0，艮卩J〒u ◎ w匚 >综上，* "7冬□冬〒-第16题【答案】2【解析】KSlSfW：令21 + 1=5 , Mr = 2 ,故/(5) = 2 .第17题【答案】{245}【解析】试题分析；由题，当= 2,4.5时，满足丄丘N .6 - x第18题【答案】co 33【解析】析：由题设，「得口更(o| ■1 > 2^ -1第19题【答案】IM【解析】试题分析；由已知..v+- + «>2+・*第20题【答案】(D@®@【解析】f r -1—^>0 1+ ——.^>0试题介析：2)=亠屮+工「2：；作岀国数图嶷可知的数心｝的1S H|x|亠”0■"丄”0I p I 1 -X域为(-L1),且在定义域內单调遽増，所洪若可*兀,则一定有,若/1(A)=/(X)> f2M= /(Ji00) = /CTOT) = -_7—、/jW = f(f2^y)=:—7—- > •归纳列知1 + J I v| ■】4,|糾Z(x)=-^-对任壹讥町恒成立#由圈数子⑴为奇困数且虽调逋増，故/^"D^/W = 0 l + n| r |,-1) = = Z(*^)，所£^。
湖南省长郡中学2019届高三12月(第四次)月考数学(理)试题(解析版)
湖南省长郡中学2019届高三12月（第四次）月考数学（理）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面上满足条件|z -2i |+|z +1|=√5的复数z 所对应的点的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 直线C. 线段D. 圆 2. 若集合A ={x ||x |＞1，x ∈R }，B ={y |y =x 2，x ∈R ），则（∁U A ）∩B =（ ）A. {x|−1≤x ≤1}B. {x|x ≥0}C. {x|0≤x ≤1}D. ⌀3. 某同学用收集到的6组数据对（x i ，y i ）（i =1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l 的方程：=x +a −，相关指数为r ．现给出以下3个结论：①r ＞0；②直线l 恰好过点D ；③＞1；其中正确的结论是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③4. 数列2，212，314，418，…，n +12n−1，…的前n 项之和为：（ ）A.n(n+1)2+2−12nB. n(n+1)2+1−12nC. n 2+n+42−12n−1D. n2−n+42−12n−15. 曲线y =xe x +1在点（0，1）处的切线方程是（ ）A. x −y +1=0B. 2x −y +1=0C. x −y −1=0D. x −2y +2=06. 在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗−43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43AB ⃗⃗⃗⃗⃗−56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 56AB ⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 43AB ⃗⃗⃗⃗⃗+56AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A. √2π3B. √3π3C. 4π3D. 2π8. 曲线x 225+y 29=1与曲线x 225t+y 29t=1(t ＞0)的（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等9. 设f n （x ）=1+x +x 2+…+x n （x ＞0），其中n ∈N ，n ≥2，则函数G n （x ）=f n （x ）-2在（12n ，1）内的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 与n 有关10. 如图，在正六边形ABCDEF 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. 12 B. 25 C. 35 D. 51211. 直线y =-√3x 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为（ ）A. √32B. √3−1C. √3−12D. 4−2√312. 在空间直角坐标系O -xyz 中，O 为原点，平面xOz 内有一平面图形a 由曲线z =√4−x 2与x 轴围成，将该图形按空间向量a⃗ =（x a ，y a ，z a ）=（0，2，-2）进行平移，平移过程中平面图形a 所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为（ ） A. 4π B. 4√2π C. 8π D. 8√2π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x +2y ≤2x ≤a ，目标函数z =2x +3y 的最小值为2，则a =______．14. 数列1，11+2，11+2+3， (1)1+2+3+⋯n …（n ∈N *）的前49项和为______．15. 把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为______．（用数字作答）16. 设函数f （x ）=e x（sin x -cos x ）（0≤x ≤2015π），则函数f （x ）的各极大值之和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B =√3b ．（1）求角A 的大小；（2）若a =4，b +c =8，求△ABC 的面积．18.如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN．（1）求证：直线MN∥平面PCD；（2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值．19.已知A，B，C为椭圆E：x2+y2=1上三个不同的点，O为2坐标原点，且O为△ABC的重心．（1）如果直线AB、OC的斜率都存在，求证k AB k OC为定值；（2）试判断△ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由．20.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10．（Ⅰ）分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．21. 已知函数f （x ）=ln x -ax 2在x =1处的切线与直线x -y +1=0垂直．（Ⅰ）求函数y =f （x ）+xf ′（x ）（f ′（x ）为f （x ）的导函数）的单调递增区间；（Ⅱ）记函数g （x ）=f （x ）+32x 2-（1+b ）x ，设x 1，x 2（x 1＜x 2）是函数g （x ）的两个极值点，若b ≥e 2+1e-1，且g （x 1）-g （x 2）≥k 恒成立，求实数k 的最大值．22. 极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）． （1）求C 的直角坐标方程；（2）直线l ：{x =12ty =1+√32t (t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |+|EB |的值．23. 已知f （x ）=|x |+2|x -1|．（1）解不等式f （x ）≥4；（2）若不等式f （x ）≤|2a +1|有解，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：设z=x+yi，其中x、y∈R，由|z-2i|+|z+1|=，得|x+（y-2）i|+|（x+1）+yi|=，所以+=，即点M（x，y）到点A（0，2）和B（-1，0）的距离和为，所以复数z在复平面内所对应点的轨迹是线段．故选：C．设z=x+yi，由|z-2i|+|z+1|=，得出+=，利用几何意义得出复数z在复平面内所对应点的轨迹是线段．本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：A={x|x＜-1，或x＞1}，B={y|y≥0}；∴∁U A={x|-1≤x≤1}；∴（∁U A）∩B={x|0≤x≤1}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.【答案】A【解析】解：结合图象知，从左到右各点是上升排列的，是正相关，r＞0，①正确；计算=×（0+1+2+3+5+7）=3，=×（1.5+2+2.3+3+5+4.2）=3，∴直线l过点D（3，3），②正确；计算==＜1，③错误；综上，正确的结论是①②．故选：A．结合图象，计算平均数、，求出，对选项中的命题判断正误即可．本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：S n=2+=（1+2+3+…n）+（1+++…）=+=故选：C．先把数列的前n项和分解成等差数列和等比数列的前n项和，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求的答案．本题主要考查了数列的求和问题．常需要把数列转化成等差数列或等比数列的问题，进而利用公式求的答案．5.【答案】A【解析】解：∵y=xe x+1，∴f'（x）=xe x+e x，当x=0时，f'（0）=1得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y-1=1×（x-0），即x-y+1=0．故选：A．欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意得，=+=+=（-）-=-故选：A．运用三角形法则和共线向量的知识可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．7.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr=，∴r=1，h==2，设内切球的半径为R，则=，∴R=，V=πR3=π（）3=π，故选：A．利用弧长公式可求圆锥的底面半径r，高h，进而可求内切球的半径R，可求圆锥的内切球的体积．本题主要考查了弧长公式，球的体积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：曲线+=1与曲线都表示椭圆，对于+=1，其中a==5，b==3，则有c==4，则其长轴长2a=10，短轴长2b=6，焦距2c=8，离心率e==；对于，其中a==5，b==3，则有c==4，则其长轴长2a=10，短轴长2b=6，焦距2c=8，离心率e==；比较可得，两者的离心率相等；故选：C．根据题意，由椭圆的方程计算可得两个椭圆的长轴长、短轴长，焦距、离心率，比较即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，关键是有椭圆的标准方程计算出长轴长、短轴长，焦距、离心率．9.【答案】B【解析】解：f n（x）=1+x+x2+…+x n（x＞0），导数为f′n（x）=1+2x+…+nx n-1＞0，则f n（x）在（0，+∞）递增，G n（）=f n（）-2=-2=2-（）n-2=-（）n＜0，G n（1）=f n（1）-2=n+1-2=n-1＞0（n≥2），且n∈N，n≥2，可得G n（）=f n（）-2＜0，由函数零点存在定理可得函数G n（x）=f n（x）-2在（，1）内的零点个数只有1个．故选：B．运用导数求得f n（x）在（0，+∞）递增，计算G n（）＜0，可得n∈N，n≥2，可得G n（）＜0，G n（1）＞0，由零点存在定理即可得到所求个数．本题考查函数的零点个数问题，注意判断函数的单调性和零点存在定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：设正六边形的边长为2，AC与BE的交点为G，可知AB=2，BG=1，，∴在正六边形ABCDEF内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．故选：D．设正六边形的边长为2，AC与BE的交点为G，由已知求得BG，AG，CG，进一步求出阴影部分的面积，由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型，考查运算求解能力和应用意识，是基础题．11.【答案】B【解析】解：由题意，以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．直线y=-x的倾斜角为120°，所以矩形宽为c，长为c．由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c+c=2a．∴故选：B．以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，也过左焦点，以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形，求出矩形宽与长，利用椭圆的定义，即可求得椭圆C的离心率．本题重点考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解题的关键是判断以这两个焦点A、B两点为顶点得一矩形．12.【答案】A【解析】解：∵在空间直角坐标系O-xyz中，O为原点，平面xOz内有一平面图形a由曲线z=与x轴围成，∴平面图形α是平面xoz内以原点O为圆心，2为半径的半圆，将该半圆按空间向量=（0，2，-2）平移，所划过的空间构成的几何体是一个以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，由祖暅原理得到斜圆柱体积计算方法与直圆柱相同，∴该几何体的体积为V==4π．故选：A．将该半圆按空间向量=（0，2，-2）平移，所划过的空间构成的几何体是一个以半径为2的半圆为上下底面，高为2的斜圆柱，由祖暅原理以求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、祖暅原理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：x，y满足约束条件，的可行域如图：目标函数z=2x+3y经过可行域的A时，z取得最小值，由，解得：A（1，0），点在直线x=a上，可得a=1．故答案为：1．作出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力．14.【答案】4925【解析】解：===2（-），可得前49项和为2（1-+-+…+-）=2（1-）=．故答案为：．运用等差数列的求和公式和裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．15.【答案】96【解析】解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．故答案为96．根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．16.【答案】eπ(1−e2014)1−e2π【解析】解：：∵函数f（x）=e x（sinx-cosx），∴f′（x）=[e x（sinx-cosx）]′=e x（sinx-cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx；令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π；又∵0≤x≤2015π，∴0和2015π都不是极值点，∴函数f （x ）的各极大值之和为： e π+e 3π+e 5π+…+e 2013π=．故答案为：．先求f′（x ）=2e x sinx ，这样即可得到f （π），f （3π），f （5π），…，f （2013π）为f （x ）的极大值，并且构成以e π为首项，e 2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f （x ）的各极大值之和即可．本题考查极大值的定义，正弦、余弦，和积的导数的求导公式，以及等比数列的概念，等比数列的求和公式，属于中档题． 17.【答案】解：（1）∵△ABC 中，2asinB =√3b ，∴根据正弦定理，得2sinAsinB =√3sinB ， ∵锐角△ABC 中，sin B ＞0， ∴等式两边约去sin B ，得sin A =√32∵A 是锐角△ABC 的内角，∴A =π3； （2）∵a =4，A =π3，∴由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得16=b 2+c 2-2bc cos π3， 化简得b 2+c 2-bc =16，∵b +c =8，平方得b 2+c 2+2bc =64，∴两式相减，得3bc =48，可得bc =16．因此，△ABC 的面积S =12bc sin A =12×16×sin π3=4√3． 【解析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC 是锐角三角形，即可算出角A 的大小；（2）由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 的式子，结合题意化简得b 2+c 2-bc=16，与联解b+c=8得到bc 的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC 的面积．本题给出三角形的边角关系，求A 的大小并依此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理的运用和三角形的面积公式等知识，属于中档题．18.【答案】（1）证明：延长AN ，交CD于点G ，由相似知ANNG =BNND =AMMP ，可得：MN ∥PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ， 则直线MN ∥平面PCD ；（2）解：由于DA ⊥DC ⊥DP ，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设A （1，0，0），则B （1，1，0），C （0，1，0），P （0，0，1），M(12，0，12)，N(12，12，0)则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，-1），平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(1，1，1)， 则向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=13， 则PB 与平面AMN 夹角的余弦值为2√23． 【解析】（1）延长AN ，交CD 于点G ，由相似知，推出MN ∥PG ，然后证明直线MN ∥平面PCD ；（2）以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A （1，0，0），求出相关点的坐标，=（1，1，-1），平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力． 19.【答案】解：（1）设直线AB ：y =kx +m ，代入x 2+2y 2=2得（1+2k 2）x 2+4kmx +2（m 2-1）=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， △=16k 2m 2-8（1+2k 2）（m 2-1）＞0⇒m 2＜1+2k 2， 则x 1+x 2=-−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−22k 2+1，线段AB 的中点D （−2km2k 2+1，m1+2k 2）． ∵O 为△ABC 的重心．∴k AB k OC =k AB k OD =k ⋅(−12k )=−12为定值；（2）设C （x 3，y 3），则x 3=-（x 1+x 2）=4km1+2k 2， y 3=-（y 1+y 2）=-[k （x 1+x 2）+2m ]=-2m2k 2+1，代入x 2+2y 2=2得1+2k 2=4m 2，|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|，O 到直线AB 的距离为d =|m|√1+k 2．由三角形的重心性质可得S △OAB =12d |AB |=12|m |•√2|m|1+2k2⋅√3m 2=√64．可得S △ABC =3S △OAB =3√64．【解析】（1）设直线AB ：y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，求得线段AB 的中点D （，）．利用k AB k OC =k AB k OD 即可证明；（2）运用韦达定理，设C （x 3，y 3），由O 为△ABC 的重心．可得C 的坐标，将其代入椭圆的方程，可得1+2k 2=4m 2，表示|AB|的值，表示△OAB 的面积，又由S △ABC =3S △OAB ，计算可得答案．本题考查直线和椭圆的位置关系，考查向量的坐标表示，点满足椭圆方程，考查三角形的重心性质，属于中档题．20.【答案】解：（I ）由题意可得x 甲−=15（7+8+10+12+10+m ）=10，解得 m =3．再由x 乙−=15（n +9+10+11+12）=10，解得n =8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S 甲2=15[（7-10）2+（8-10）2+（10-10）2+（12-10）2+（13-10）2]=5.2，S 乙2=15[（8-10）2+（9-10）2+（10-10）2+（11-10）2+（12-10）2]=2，并由x 甲−=x 乙−，S 甲2＞S 乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a ，b ），则所有的（a ，b ）有（ 7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a +b ≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a +b ＞17的基本事件个数为25-5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个， 故该车间“待整改”的概率为2025=45． 【解析】（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m ，n 的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些． （Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：f ′（x ）=1x -2ax ，f ′（1）=1-2a =-1，可得：a =1； 又y =f （x ）+xf ′（x ）=ln x -3x 2+1，所以y ′=1−6x 2x ，（x ＞0），当x ∈（0，√66）时，y ′＞0，y 单调递增；当x ∈（√66，+∞）时，y ′＜0，y 单调递减；故函数的单调增区间为（0，√66）．（Ⅱ）g （x ）=ln x +12x 2-（1+b ）x ，g ′（x ）=x 2−(1+b)x+1x，因为x 1，x 2是g （x ）的两个极值点，故x 1，x 2是方程x 2-（1+b ）x +1=0的两个根， 由韦达定理可知：{x 1x 2=1x 1+x 2=1+b；∵x 1＜x 2，可知0＜x 1＜1，又x 1+1x 1=1+b ≥e +1e ，令t =x +1x ，可证t （x ）在（0，1）递减，由h （x 1）≥h （1e ），从而可证0＜x 1≤1e ．所以g （x 1）-g （x 2）=ln x 1x 2-12（x 1-x 2）（x 1+x 2）=ln x 12-12x 12+12x 12（0＜x 1≤1e） 令h （x ）=ln x 2-12x 2+12x 2，x ∈（0，1e ]， h ′（x ）=−(x 2−1)2x 3≤0，所以h （x ）单调减，故h （x ）min =h （1e ）=e 22-12e 2-2，所以k ≤e 22-12e 2-2，即k max =e 22-12e 2-2．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）求出g （x ）的导数，求出g （x 1）-g （x 2）的解析式，令h （x ）=lnx 2-x 2+，x ∈（0，]，根据函数的单调性求出k 的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，函数恒成立问题，是一道中档题．22.【答案】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ ∴x 2+y 2=2x +2y即（x -1）2+（y -1）2=2------（5分）（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得t 2-t -1=0，所以|EA |+|EB |=|t 1|+|t 2|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√5．-------------------------（10分） 【解析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x 2+y 2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，求出对应的t 值，根据参数t 的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．23.【答案】解：（1）f （x ）≥4，⇔|x |+2|x -1|≥4⇔{2−3x ≥4x<0或{2−x ≥40≤x≤1或{3x −2≥4x>1， 解得x ≤-23或x ≥2，故不等式的解集为（-∞，-23]∪[2，+∞）．（2）不等式f （x ）≤|2a +1|有解⇔f （x ）min ≤|2a +1|，f （x ）=|x |+2|x -1|={2−3x ，x ＜02−x ，0≤x ≤13x −2，x ＞1，根据f（x）的单调性可知x=1时，f（x）min=1，∴1≤|2a+1|，解得a≤-1或a≥0．【解析】（1）分3段去绝对值解不等式再相并；（2）不等式f（x）≤|2a+1|有解⇔f（x）min≤|2a+1|，再根据函数f（x）的单调性求得最小值代入可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)月考数学试卷(理科)试题及答案
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(A B = )A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]22．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．153．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( )A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．25．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．216．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．210．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．911．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．212．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( )A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数． 类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 ．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = ． 二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯．（1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P 的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（理科）（二）（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017秋•商丘期末）设{||2|1}A x x =-…，{|(32)1}B x ln x =-<，则(AB =)A ．3(,)2-∞B ．3[1,)2C ．3(1,)2D ．3(,3]2【解答】解：{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，33{|(32)1}{}22e B x ln x x -=-<=<<，3{|1}[12AB x x ∴=<=…，3)2．故选：B ．2．（5分）（2018春•张家口期末）若复数z 满足(2)1811z i i -=+，则|4|(z i -= )A B C ．13D ．15【解答】解：由(2)1811z i i -=+， 得1811(1811)(2)582(2)(2)i i i z i i i i +++===+--+， ∴4512z i i -=-，则|4|13z i -=． 故选：C ．3．（5分）（2019秋•天心区校级月考）我国古代数学著作（九章算术》中记述道：今有良马与弩马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；弩马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎弩马，二马相逢．问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示．已知a 为良马第n 天行驶的路程上为弩马第n 天行驶的路程，S 为良马、鸳马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为( ) A ．[2250，5125)2B ．[2250，5125]2C ．(1950，2250]D ．[950，2250]【解答】解：根据题意，良马走的路程可以看成是首项为103，公差为13的等差数列，则10313(1)1390a n n =+-=+，记其前n 天路程和为1S ，则113(1)1032n n S n -=+； 驽马走的路程可以看成是首相为97，公差为0.5-的等差数列，则97.50.5b n =-，记其前n 天路程和为2S ，20.5(1)972n n S n -=-， 所以1225200(1)4S S S n n n =+=+-． 由题输出时9n =，所以当8n =时，1950S m =<；9n =时，2250S m =…． 所以19502250m <…． 故选：C ．4．（5分）（2016•山东）已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，3()1f x x =-；当11x -剟时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-．则f （6）(= ) A ．2-B ．1C ．0D ．2【解答】解：当12x >时，11()()22f x f x +=-， ∴当12x >时，(1)()f x f x +=，即周期为1． f ∴（6）f =（1），当11x -剟时，()()f x f x -=-， f ∴（1）(1)f =--，当0x <时，3()1f x x =-， (1)2f ∴-=-，f ∴（1）(1)2f =--=， f ∴（6）2=．故选：D ．5．（5分）（2017秋•洛阳期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为( ) A ．63B ．21-C ．63-D ．21【解答】解261116203a a a a a ---+=， 22061611()()3a a a a a ∴+-+-=， 113a ∴=-， 21112163S a ∴==-，故选：C ．6．（5分）（2016•天津）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”不一定成立， 例如：当首项为2，12q =-时，各项为2，1-，12，14-，⋯，此时2(1)10+-=>，111()0244+-=>； 而“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”，前提是“0q <”，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的必要而不充分条件， 故选：C ．7．（5分）（2017秋•太原期末）已知命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．5(,)4-∞B ．5(4，)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【解答】解：若命题“[1x ∀∈，2]，2210x ax -+>”是真命题，则“[1x ∀∈，2]，212x ax +>，即2111()22x a x x x+<=+恒成立，11()12x x x x+=， 1a ∴<，即实数a 的取值范围是(,1)-∞，故选：C ．8．（5分）（2017秋•平谷区期末）将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是( ) A ．函数()g x 的最小正周期为2π B ．函数()g x 是奇函数C ．函数()g x 的图象关于点(12π，0)对称D ．函数()g x 的图象关于直线3x π=对称【解答】解：将函数()cos(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位，得到函数2()cos(2)sin 236y g x x x ππ==+-=-的图象， 故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确； 当12x π=时，1sin62y π=-=-，故C 错误；当3x π=时，2sin3y π=-=D 错误， 故选：B ．9．（5分）（2014•山东）已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……，当目标函数(0,0)z a x b y a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为( )A ．5B ．4CD ．2【解答】解：由约束条件10230x y x y --⎧⎨--⎩……作可行域如图，联立10230x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得：(2,1)A ．化目标函数为直线方程得：(0)a zy x b b b=-+>．由图可知，当直线a zy x b b =-+过A 点时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小．2a b ∴+=即20a b +-=．则22a b +的最小值为24=．故选：B ．10．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足(2)(2)f x f x -=+，当(0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，则方程()0f x =在区间[0，8]上的解的个数是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9【解答】解：由(2)(2)f x f x -=+得，()(4)f x f x =+，()f x ∴的周期为4， (0,2)x ∈时，2()(1)f x ln x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，(0)0f =，当20x -<<时，2()(1)f x ln x x =-++， ∴当22x -<<时，22(1),02()(1),20ln x x x f x ln x x x ⎧-+<<=⎨-++-<⎩…， 当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±， 由于()f x 的周期为4，∴当[0x ∈，8]时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8共7个．故选：C ．11．（5分）（2018•浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是( )A 1B 1C ．2D ．2【解答】解：由2430b e b -+=，得()(3)0b e b e --=，()(3)b e b e ∴-⊥-， 如图，不妨设(1,0)e =，则b 的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为3π，则a 的终点在不含端点O 的两条射线(0)y x =>上．不妨以y =为例，则||a b -的最小值是(2,0)0y -=的距离减1．11-=．故选：A ．12．（5分）（2018•泸州模拟）已知函数2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()(x g x e e =是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( ) A ．1(12)2ln -B ．122ln +C ．12ln -D ．1(12)2ln +【解答】解：2,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨⎩…，()0f x ∴>恒成立；()[()]f x g f x e m ∴==，()f x lnm ∴=； 作函数()f x ，y lnm =的图象如下，结合图象可知，存在实数(01)m m <…，使122x x e m ==故1212x x m lnm -=-，令1()2g m m lnm =-，则1()12g m m'=-，故()g m 在(0，1]2递减，在1(2，1)递增，111()()2222g m g ln ∴=+…，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2019秋•天心区校级月考）已知向量,a b 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = 2【解答】解：||||cos120||a b a b b =︒=-，||2a =，|2|27a b -=，∴2222(2)4444||4||28a b a a b b b b -=-+=++=，解得||2b =或||3b =-（舍去）． 故答案为：2．14．（5分）（2019秋•天心区校级月考）正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得m a ，2116n a a =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为 6 【解答】解：正项等比数列{}n a 中，存在两项m a ，*(,)n a m n N ∈使得21121116m n m n a a a q q a --==，2216m nm n q qq++-∴==，即422m n q q +=．且7652a a a =+，6541112a q a q a q ∴=+，即 22q q =+，∴正整数2q =，6m n +=． ∴12512512526125261()(125)()106666666m n m n m n m n m n n m n m ++=+=+++=+++=…， 当且仅当25m nn m=时，等号成立，故125m n+的最小值为6， 故答案为：6．15．（5分）（2018春•皇姑区校级期中）在研究函数1()2(0)xf x x =≠的单调区间时，有如下解法： 设2()()ln g x lnf x x==，()g x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(,0)-∞和区间(0,)+∞上是减函数．类比上述作法，研究函数(0)x y x x =>的单调区间，其单调增区间为 1(,)e+∞ ．【解答】解：设()()g x lnf x xlnx ==， 则()1g x lnx '=+， 令()0g x '>， 则1x e>，即()g x 在1(,)e +∞上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则， (0)x y x x =>的单调增区间为1(,)e +∞，故答案为：1(,)e+∞．16．（5分）（2018•上饶三模）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，1sin cos()sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为3，则a = 3 ． 【解答】解：ABC ∆中，1sin cos()sin 2B BC C =+，∴1cos()2b B C c =+，即cos 02bA c=-<， A ∴为钝角，cos cos 0A C ∴≠；由sin sin()sin cos cos sin 2cos sin B A C A C A C A C =+=+=-， 可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，2tan tan 2tan 2tan tan()11tan tan 133tan tan A C CB AC A C tan CC C+∴=-+=-===-++…，当且仅当tan C =时取等号；B ∴取得最大值时，1c b ==，6C B π==． 23A π∴=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：a =，三角形的周长为3a b c b b ++=++=．解得：b =，可得：3a =．故答案为：3．二、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题；共60分.17．（12分）（2015春•桂林期末）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，函数()f x a b =． （1）求()f x 的对称轴方程； （2）若对任意实数[6x π∈，]3π，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围． 【解答】（本小题满分14分）解：（1）由()f x a b =及(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，可得2()s i n s i n c o s f x x x x =+⋯（2分） 1cos21sin 222x x -=+ ⋯（3分）1)242x π=-+ ⋯（4分） 令2242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（5分） 所以，()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈．⋯（6分） （2）[6x π∈，]3π，∴5212412x πππ-剟．⋯（7分） 又sin y x =在[0,]2π上是增函数，5sinsin(2)sin12412x πππ∴-剟．⋯（8分） 又5222sin sin()sin cos cos sin 12343434πππππππ=-=-12==，⋯（9分）()f x ∴在[6x π∈，]3π，时的最大值是1()2max f x =+=．⋯（11分）不等式()2f x m -<恒成立，即()2f x m -<恒成立，⋯（12分）∴2m -<，即m >所以，实数m 的取值范围是)+∞．⋯（14分） 18．（12分）（2018秋•泉州期中）如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=．（Ⅰ）求边AC 的长；（Ⅱ）若APB ∆的面积是sin BAP ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=︒，2PC =，4AP AC +=． 则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-∠， 则：2214(4)2(4)2x x x x =+---， 整理得：2312120x x -+=， 解得：2x = 故：2AC =．（Ⅱ）由于2AC =，4AP AC +=， 所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形．由于：APB ∆的面积是则：1sin 2AP BP BPA ∠= 解得：4BP =． 在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-∠，解得：AB = 在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：4sin BAP =∠解得：sin BAP ∠=19．（12分）（2012春•鲤城区校级期末）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 【解答】解：（1）定义域为R 的函数()f x 是奇函数， (0)0f ∴=，当0x <时，0x ->， ()23x xf x ---=-， 又函数()f x 是奇函数， ()()f x f x ∴-=-，∴()23x xf x -=+， 综上所述2(0)3()0(0)2(0)3x x x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩．（2）5(1)(0)03f f =-<=，且()f x 在R 上单调， ()f x ∴在R 上单调递减，由22(2)(2)0f t t f t k -+-<， 得22(2)(2)f t t f t k -<--， ()f x 是奇函数，22(2)(2)f t t f k t ∴-<-， 又()f x 是减函数，2222t t k t ∴->-即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴△4120k =+<得13k <-即为所求．20．（12分）（2015秋•溧阳市期末）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，1n =，2，⋯． （1）求证：数列1{1}na -为等比数列； （2）记12111n nS a a a =++⋯+，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）112133n n a a +=+，∴1111133n n a a +-=-，（2分）1110a -≠，∴*110()nn N a -≠∈，（3分） ∴11211()33n n a --=⨯， ∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列．（4分）（2）由（1）可求得11211()33n n a --=⨯，∴112()13n n a =⨯+．（5分） 1212111111111332()211333313n n n n n S n n n a a a +-=+++=++++=+=+--，（7分）若100n S <，则111003nn +-<，99max n ∴=．（9分） （3）假设存在，则2m n s +=，2(1)(1)(1)m n s a a a --=-，（10分）332n n na =+，∴2333(1)(1)(1)323232n m sn m s --=-+++．（12分） 化简得：3323m n s +=，（13分）233323s m n m n +=+…，当且仅当m n =时等号成立．（15分）又m ，n ，s 互不相等，∴不存在．（16分）21．（12分）（2018春•烟台期末）已知函数()()af x lnx x a R x=++∈．（1）若函数()f x 在[1，)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312(x x e e >为自然对数的底数）．【解答】解：（1）由题可知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()x x af x x +-'=， 因为函数()f x 在区间[1，)+∞上为增函数， 所以()0f x '…在区间[1，)+∞上恒成立， 等价于2()min a x x +…，即2a …，所以a 的取值范围是(-∞，2]．（4分） （2）由题得，2()g x xlnx ax a x =-+-， 则()2g x lnx ax '=-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ， 所以112lnx ax =，222lnx ax =，欲证2312x x e >等价于证2312()3ln x x lne >=， 即1223lnx lnx +>， 所以12322ax ax +>， 因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+，由112lnx ax =，222lnx ax =，可得22112()x ln a x x x =-，则21212()x lnx a x x =-，由可知，原不等式等价于21211232x lnx x x x x >-+， 即22211211213(1)3()221x x x x x ln x x x x x -->=++， 设21x t x =，则1t >，则上式等价于3(1)(1)12t lnt t t->>+，令3(1)()(1)12t h t lnt t t -=->+， 则2(1)(41)()(12)t t h t t t --'=+，因为1t >，所以()0h t '>，所以()h t 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以当1t >时，()h t h >（1）0+，即3(1)12t lnt t->+， 所以原不等式成立，即2312x x e >．（12分） [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•阳东县校级模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若1C 与2C 交于A ，B 两点，点P的极坐标为)4π-，求11||||PA PB +的值． 【解答】解：()I 曲线1C 的参数方程为23(24x tt y t =-⎧⎨=-+⎩为参数）．消去参数t 可得普通方程：4320x y +-=．曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=，可得22cos sin ρθρθ=，可得直角坐标方程：2x y =． ()II 点P的极坐标为)4π-，可得直角坐标(2,2)P -．直线1C 的参数方程化为标准方程：325(425x t t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）． 代入方程：2x y =．可得：29801500t t -+=， 12809t t ∴+=，121509t t =． ∴12121280111189150||||||||159t t PA PB t t t t ++=+===．。