武汉大学测量平差课件ppt课件
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《测量平差程序设计》PPT课件
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14
（三）、程序设计的主要环节和难点
4、误差方程建立、法方程组成和解算：
相对于前几个问题，这一部分程序的实现，
需要较高的设计技巧，但其算法已经较为
成熟，有公开的资料可供借鉴。对比而言，
如果说前3个问题的解决，需要创造性地找
出算法，而这一问题，困难则在于如何灵
活将给定的算法程序化。
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19
三、平差程序的数据结构设计
3、平差程序的数据结构应满足的 条件
（1）、充分条件：应包含足够的 数据，即：必要的起算数据，大于 必要观测数的独立观测值，这一点 主要通过合理的布网和观测来解决， 与程序设计关系不大。
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20
三、平差程序的数据结构设计
（2）、必要条件：数据结构只含 构网必须的数据，无冗余数据。注 意这里所谓冗余数据是指描述网型 的关系数据冗余，而不是多余观测 数。
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21
三、平差程序的数据结构设计
（3）、满足充分必要条件与否与程序 的关系：不满足充分条件，控制网中 的待定元素将不能全部算出，从而程 序不能成功运行；若不满足必要条件， 可能程序能成功运行，解算正确，但 是由于多而复杂的数据录入，使程序 的方便性、可读性受到影响，用户会 感到使用不便、难于维护，影响程序 的质量。
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22
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10
（三）、程序设计的主要环节和难点 1、控制网数据结构设计： ➢ 由于控制网的网型是不可预设的，所以平
差程序必须能适应各种可能的网型。要实 现这一要求，设计能使计算机能够识别控 制网网型的观测数据格式，是程序设计的 首要问题。
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11
（三）、程序设计的主要环节和难点
高等测量平差-6
yj xj
i
Si (xh x j )2 ( yh y j )2 Si
GPS伪距观测方程
kj
( xk
x j )2
( yk
y j )2
(zk
z j )2
ct
j k
非线性观测方程 非线性误差方程
L f (X) V f ( Xˆ ) L
| xˆ2 | / xˆ2 3.670
武汉大学测绘学院 孙海燕
第六章 非线性模型平差
例2：已知非线性模型为Li x12 / i x2 。其中参数 x1 和x2 的真值仍
为：X 5.420136187 25436189 T 。Li 的5个真值和相应的5个同精度
独立观测值列于下表：（观测值的中误差为 0 0.004540 ）
注：1）初值的选取解，2）迭代格式收敛性的判断
实际计算：当 | xn1 xn | 时
x* xn1
武汉大学测绘学院 孙海燕
第六章 非线性模型平差
3、牛顿法
考虑
f (x)
f (x0 ) (x x0 ) f '(x0) (x x0 )2
f "(x0 ) 2!
作近似方程
非线性模型 台劳级数 线性近似 模型误差 < > 观测误差
武汉大学测绘学院 孙海燕
第六章 非线性模型平差
二、非线性模型平差
对非线性模型
V f ( Xˆ ) L
必要观测数、多余观测数与线性 模型的概念相同 平差准则：
V T PV ( f ( Xˆ ) L)T P( f ( Xˆ ) L) min
平差基础-1-2
n
n
类似 E(Xi)E(Xi)
i1
i1
4、若 X ,Y 独立，则 E (X)Y E (X )E (Y)
E(X)Y xy(xf,y)dx d yxy 1(xf)f2(y)dxdy
x1(fx)dx y2f(y)d yE(X)E(Y)
D(XY)E{[X( Y)E(XY)]2}
E{[XYE(X)E(Y)]2}
E{[XE(X)]2[YE(Y)]2[XE(X)]Y[E(Y)]}
D(X)D(Y)E{[XE(X)]Y[E(Y)]}
D(X)D(Y)
n
n
类似有 D(Xi)D(Xi)
i1
i1
武汉大学测绘学院 孙海燕
第二章 误差分布与精度指标
3、 D (X)E(X2)E2(X)
D(X)E{X [E(X)2 ]}E{X22X(E X)E2(X)}
E(X2)2E(X)E(X)E2(X)
E(X2)E2(X)
4、若 X ,Y 独立，则 D (X Y ) D (X ) D (Y )
三方面因素的综合 误差的大小 观测质量的高低
观测条件的优劣
二、观测误差分类：
1、偶然误差：误差大小与符号呈偶然性
单个误差无规律，大量误差具有统计规律性
2、系统误差：误差大小与符号具有规律性
3、粗差：离群值。由于异常或错误造成
武汉大学测绘学院 孙海燕
第一章 绪论
第二节 测量平差学科的研究对象
测量平差研究对象:误差 L ~L nsg
武汉大学测绘学院 孙海燕
绪论
2） max|vi |min （L 最小） 1749年，L. Euler ，提出相关概念 1786年，P. S. Laplase 明确表示并使用 计算困难，受粗差影响大（函数逼近理论）
误差理论与测量平差基础武汉大学
2. 研究衡量观测成果质量的精度指标； 3. 建立观测值与待求量之间的函数模型，以及描述观测精
度及其相关性的随机模型； 4. 研究估计待求量的最优化准则； 5. 结合测量实践研究测量平差的各种方法。
第一章——绪论
§1-3 测量平差的简史和发展
18世纪－－高斯（C. F Gauss） 19世纪－－解决各类测量问题的经典平差方法 20世纪50年代以后
相关观测值平差理论、最小二乘滤波、 附有系统参数的平差法、秩亏网平差、 数据探测法和可靠性理论
第一章——绪论
§1-3 本课程的任务和内容：
1. 建立观测误差的统计理论（简称误差理论），研究误差 的估计与传播；
研究对象： 如何处理带有误差的观测值，找出待求量（未知量） 的最佳估值。
测量平差的含义： 依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量 数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
基本任务： 如何处理由于多余观测引起的观测值之间的不符值或 闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度。
举例：某国际比赛，由7个裁判打分，评分原则为去掉1个 最高分和1个最低分，剩余5个取平均
误差来源：测量仪器、观测者、外界条件 观测条件
误差分类：偶然误差、系统误差、粗差
习题：1.1.04 1.1.05
第一章——绪论
误差的表现形式： 重复观测值之间存在差异：多次观测 实际观测值不满足应有的理论关系：例如测距（往返 测）、角度（盘左、盘右）、水准（环闭合差）
第一章——绪论
§1-2 测量平差学科的研究对象
第一章——绪论பைடு நூலகம்
第一章 绪论
§1-1 观测误差 §1-2 测量平差学科的研究对象 §1-3 测量平差的简史和发展 §1-4 本课程的任务和内容
度及其相关性的随机模型； 4. 研究估计待求量的最优化准则； 5. 结合测量实践研究测量平差的各种方法。
第一章——绪论
§1-3 测量平差的简史和发展
18世纪－－高斯（C. F Gauss） 19世纪－－解决各类测量问题的经典平差方法 20世纪50年代以后
相关观测值平差理论、最小二乘滤波、 附有系统参数的平差法、秩亏网平差、 数据探测法和可靠性理论
第一章——绪论
§1-3 本课程的任务和内容：
1. 建立观测误差的统计理论（简称误差理论），研究误差 的估计与传播；
研究对象： 如何处理带有误差的观测值，找出待求量（未知量） 的最佳估值。
测量平差的含义： 依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量 数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
基本任务： 如何处理由于多余观测引起的观测值之间的不符值或 闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度。
举例：某国际比赛，由7个裁判打分，评分原则为去掉1个 最高分和1个最低分，剩余5个取平均
误差来源：测量仪器、观测者、外界条件 观测条件
误差分类：偶然误差、系统误差、粗差
习题：1.1.04 1.1.05
第一章——绪论
误差的表现形式： 重复观测值之间存在差异：多次观测 实际观测值不满足应有的理论关系：例如测距（往返 测）、角度（盘左、盘右）、水准（环闭合差）
第一章——绪论
§1-2 测量平差学科的研究对象
第一章——绪论பைடு நூலகம்
第一章 绪论
§1-1 观测误差 §1-2 测量平差学科的研究对象 §1-3 测量平差的简史和发展 §1-4 本课程的任务和内容
武汉大学测量平差[第2部分-2]
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Bxˆ
+
W
)
（9）
（8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终解。
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
2、附有参数的条件平差的计算步骤
由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下：
（1）、根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参数的条件
方程（1）式。 A V + B xˆ + W = 0 c×n n×1 c×u u×1 c×1 c×1
差的基础方程：
AV + Bxˆ + W = 0
V = P −1 AT K （3） 基础方程
BT K = 0
将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得： AP−1 AT K + Bxˆ + W = 0
BT K = 0
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
令 N aa = AP −1 AT
取 X 0 = 30D00′00，′′ 将非线性条件线性化后，得条件方程为：
⎜⎛ 1 1
1
0
0 0⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 9 ⎟⎞
⎜0 ⎜⎜⎜⎝1.7032
0 0.577
0
0 − 0.577 0.577
1 1.155
0
1 − 1.155 0.577
100 ⎟⎟⎟⎟⎠V
+
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 − 3.464 1.732
为了求函数 Φ 的极小值，将其分别对V和 xˆ 求一阶导
数，并令其为零，即
∂Φ = 2V T P − 2 K T A = 0 ∂V ∂Φ = −2K T B = 0 ∂xˆ
第五讲 平差方法——附有参数的条件平差（续）
武汉大学大地测量学PPT课件
6
第6页/共95页
国家平面大地控制网
• 甚长基线干涉测量系统(VLBI)
甚长基线干涉测量系统(VLBI)是在甚长基线 的两端(相距几千公里)，用射电望远镜，接收 银河系或银河系以外的类星体发出的无线电辐射 信号，通过信号对比，根据干涉原理，直接测定 基线长度和方向的一种空间技术。
长度的相对精度10-6，可达0.001″，由于其
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第9页/共95页
国家平面大地控制网
5.1.3 国家平面大地控制网的布设方案 1、 常规大地测量方法布设国家三角网 1）一等三角锁系布设方案
10
第10页/共95页
2）二等三角锁、网布设方案
国家平面大地控制网
11
第11页/共95页
3）三、四等三角网
国家平面大地控制网
插网法
12
第12页/共95页
插点法
16
第16页/共95页
国家平面大地控制网
3）国家高精度GPS B级网
全网由818个点组成，分布全国各地(除台湾省外)。 东部点位较密，平均站间50～70km,中部地区平均站 间100km，西部地区平均站间距150km。外业自1991 年至1995年结束，主要使用Ashtech MD 12和Trimble 4000 SSE仪器观测。经数据精处理后，点位中误差相 对于已知点在水平方向优于，高程方向优于，平均点 位中误差水平方向为，垂直方向为，基线相对精度达 到10-7
缺点：导线结构简单，没有三角网那样多的检核条件，不易发现粗差，可 靠性不高。
3
第3页/共95页
国家平面大地控制网
• 三边测量及边角同测法 边角全测网的精度最高，相应工作量也
较大。在建立高精度的专用控制网(如精密的 形变监测网)或不能选择良好布设图形的地区 可采用此法而获得较高的精度。
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国家平面大地控制网
• 甚长基线干涉测量系统(VLBI)
甚长基线干涉测量系统(VLBI)是在甚长基线 的两端(相距几千公里)，用射电望远镜，接收 银河系或银河系以外的类星体发出的无线电辐射 信号，通过信号对比，根据干涉原理，直接测定 基线长度和方向的一种空间技术。
长度的相对精度10-6，可达0.001″，由于其
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国家平面大地控制网
5.1.3 国家平面大地控制网的布设方案 1、 常规大地测量方法布设国家三角网 1）一等三角锁系布设方案
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2）二等三角锁、网布设方案
国家平面大地控制网
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3）三、四等三角网
国家平面大地控制网
插网法
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插点法
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国家平面大地控制网
3）国家高精度GPS B级网
全网由818个点组成，分布全国各地(除台湾省外)。 东部点位较密，平均站间50～70km,中部地区平均站 间100km，西部地区平均站间距150km。外业自1991 年至1995年结束，主要使用Ashtech MD 12和Trimble 4000 SSE仪器观测。经数据精处理后，点位中误差相 对于已知点在水平方向优于，高程方向优于，平均点 位中误差水平方向为，垂直方向为，基线相对精度达 到10-7
缺点：导线结构简单，没有三角网那样多的检核条件，不易发现粗差，可 靠性不高。
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国家平面大地控制网
• 三边测量及边角同测法 边角全测网的精度最高，相应工作量也
较大。在建立高精度的专用控制网(如精密的 形变监测网)或不能选择良好布设图形的地区 可采用此法而获得较高的精度。
武汉大学测量平差[第3部分]
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− αˆCA
−
L5
=
arctan
Xˆ 4 Xˆ 3
− −
Xˆ 2 Xˆ 1
− arctan
YA − Xˆ 2 X A − Xˆ1
−
L5
v6
=
αˆCA
− αˆCB
− αˆDB
−
L3
=
arctan
YA − Xˆ 4 X A − Xˆ 3
− arctan
YB − Xˆ 4 X B − Xˆ 3
−
L3
v4
= αˆDB
− αˆDC
−
L4
=
arctan
YB − Xˆ 4 X B − Xˆ 3
− arctan
Xˆ 2 Xˆ 1
− −
Xˆ 4 Xˆ 3
−
L4
v5
= αˆCD
Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数
为 t = 3(m −1，) 因此，可选 m −个1点的坐标平差值作为参数。
如图，以A点为参考点，即
已知，则t个参数为：
Xˆ 1
=
Xˆ B ,
Xˆ 2
=
YˆB , Xˆ 3
=
X
Zˆ B
A
,YA
,
Z
A
Xˆ 4 = Xˆ C , Xˆ 5 = YˆC , Xˆ 6 = ZˆC
三个条件方程，一个附合条件，二个闭合条件：
v1 + v2 + H A − H B + h1 + h2 = 0 ,
(1)
v1 − v3 − v5 + h1 − h3 − h5 = 0 ,
(2)
v2 − v4 + v5 + h2 − h4 + h5 = 0 ,
测量平差基础第一章绪论 ppt课件
数理统计的基础知识
参数估计 参数的假设检验
ppt课件
8
1、误差的基础理论（CH1）※
2、平差的几种数学模型（CH2） ※
3、平差的几种典型方法和概括平差函数 模型(CH3、4、5） ※
4、误差椭圆与数据的统计假设检验 （CH6）
ppt课件
9
教学方式与内容
讲授为主，例题、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考书目：
则：
b11
b12
b1n
0
0 1bn1 bn2 bnn
A1
nn
b21
b22
b2n
bn1 bn2 bpnpnt课件
34
《测量平差原理》，於宗俦等，测绘出版社; 《误差理论与测量数据处理》，测量平差教研 室，测绘出版社; 《误差理论与测量数据处理习题集》，武汉大 学测绘学院测量平差学科组编著， 武汉大学出 版社
ppt课件
10
第一章 绪论
第一节 观测误差 第二节 测量平差的简史和发展
第三节 本课程的任务和内容
授课目的要求: 明确观测误差产生的原因, 掌握误差分类及其处理方法。
习题1－1 观测值中为什么存在观测误差？ 习题1－2 观测误差如何计算？ 习题1－3 观测误差如何分类？如何处理？ 习题1－4 测量平差的任务是什么？ 习题1－5 平差计算方法的发展分为哪几个阶段？
习题1－6 带有系统误差的观测值能否参加平差？
ppt课件
24
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 mn 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵
秩亏平差：1962年，迈塞尔（P.Meiss）提出， 70年代后广泛应用
方差—协方差估计理论的研究、应用（80年代后）；
参数估计 参数的假设检验
ppt课件
8
1、误差的基础理论（CH1）※
2、平差的几种数学模型（CH2） ※
3、平差的几种典型方法和概括平差函数 模型(CH3、4、5） ※
4、误差椭圆与数据的统计假设检验 （CH6）
ppt课件
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教学方式与内容
讲授为主，例题、习题相结合。 内容：本学期主要讲前五章的内容。 参考书目：
则：
b11
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b1n
0
0 1bn1 bn2 bnn
A1
nn
b21
b22
b2n
bn1 bn2 bpnpnt课件
34
《测量平差原理》，於宗俦等，测绘出版社; 《误差理论与测量数据处理》，测量平差教研 室，测绘出版社; 《误差理论与测量数据处理习题集》，武汉大 学测绘学院测量平差学科组编著， 武汉大学出 版社
ppt课件
10
第一章 绪论
第一节 观测误差 第二节 测量平差的简史和发展
第三节 本课程的任务和内容
授课目的要求: 明确观测误差产生的原因, 掌握误差分类及其处理方法。
习题1－1 观测值中为什么存在观测误差？ 习题1－2 观测误差如何计算？ 习题1－3 观测误差如何分类？如何处理？ 习题1－4 测量平差的任务是什么？ 习题1－5 平差计算方法的发展分为哪几个阶段？
习题1－6 带有系统误差的观测值能否参加平差？
ppt课件
24
补充知识
一、矩阵的定义及其某些特殊矩阵
（1）由 mn 个数有次序地排列成m行n列的表叫矩阵
秩亏平差：1962年，迈塞尔（P.Meiss）提出， 70年代后广泛应用
方差—协方差估计理论的研究、应用（80年代后）；
武汉大学测量平差课件01
《摄影测量基础》第一章
绪 论
袁修孝
教授
武汉大学
遥感信息工程学院
主要内容
一、摄影测量学的定义与任务
二、摄影测量学的发展历程 三、本课程的主要内容
§1.1 摄影测量学的定义与任务
定义 分类 平台 特点 任务
A（X、Y、Z）
Z
Y
1
2
2 X
O
1
通过摄影，进行测量
遥感影像
地形图
传统摄影测量学定义
北京城市景观（亚运村）
摄影测量：分类
按距离远近
航天摄影测量 航空摄影测量 地面摄影测量 近景摄影测量 显微摄影测量 地 形摄影测量 非地形摄影测量 模拟摄影测量 解析摄影测量 数字摄影测量
按 用
途
按处理手段
摄影测量与遥感：平台
遥感平台 航天飞机 无线电探空仪 超高度喷气机 中低高度飞机 飞艇 高度 240～350km 100m～100km 10000～12000m 500～8000m 500～3000m 目的、用途 不定期地球观测、空间实验 各种调查（气象等） 侦察、大范围调查 各种调查、航空摄影测量 空中侦察、各种调查 其它
第一次世界大战期间，首台航摄仪的问世、立体坐标量测仪和 1318 立体测图仪的使用，真正开始了摄影测量学
摄影测量学的三个发展阶段
模拟摄影测量(1851-1970)
解析摄影测量(1950-1980)
数字摄影测量(1970-现在）
模拟摄影测量
利用光学/机械投影方法实现摄影过程的反转，用两个/多个投 影器模拟摄影机摄影时的位置和姿态构成与实际地形表面成比 例的几何模型，通过对该模型的量测得到地形图和各种专题图
摄影测量学是利用光学摄影机获取的 像片，经过处理以获取被摄物体的形 状、大小、位置、特性及其相互关系 的一门学科
绪 论
袁修孝
教授
武汉大学
遥感信息工程学院
主要内容
一、摄影测量学的定义与任务
二、摄影测量学的发展历程 三、本课程的主要内容
§1.1 摄影测量学的定义与任务
定义 分类 平台 特点 任务
A（X、Y、Z）
Z
Y
1
2
2 X
O
1
通过摄影，进行测量
遥感影像
地形图
传统摄影测量学定义
北京城市景观（亚运村）
摄影测量：分类
按距离远近
航天摄影测量 航空摄影测量 地面摄影测量 近景摄影测量 显微摄影测量 地 形摄影测量 非地形摄影测量 模拟摄影测量 解析摄影测量 数字摄影测量
按 用
途
按处理手段
摄影测量与遥感：平台
遥感平台 航天飞机 无线电探空仪 超高度喷气机 中低高度飞机 飞艇 高度 240～350km 100m～100km 10000～12000m 500～8000m 500～3000m 目的、用途 不定期地球观测、空间实验 各种调查（气象等） 侦察、大范围调查 各种调查、航空摄影测量 空中侦察、各种调查 其它
第一次世界大战期间，首台航摄仪的问世、立体坐标量测仪和 1318 立体测图仪的使用，真正开始了摄影测量学
摄影测量学的三个发展阶段
模拟摄影测量(1851-1970)
解析摄影测量(1950-1980)
数字摄影测量(1970-现在）
模拟摄影测量
利用光学/机械投影方法实现摄影过程的反转，用两个/多个投 影器模拟摄影机摄影时的位置和姿态构成与实际地形表面成比 例的几何模型，通过对该模型的量测得到地形图和各种专题图
摄影测量学是利用光学摄影机获取的 像片，经过处理以获取被摄物体的形 状、大小、位置、特性及其相互关系 的一门学科
武汉大学平差第2章平差数学模型PPT课件
增加一个条件方程，因此，共需列 出c=r+u个条件方程，以含有参数
将 L ~L 代入上式，并令
的条件方程为平差函数模型的平差
W(AL A0)
方法，称为附有参数的条件平差法。
参见书中例子。
则得
ABX ~W0
cnn1 cuu1 c1
20.12.2020
上式为附有参数的条件平差的函数 模型。建模方法：找出观测值真值 之间或观测值与参数真值之间应该 满足的 C 个关系式。
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F(X~)
n1
或：
L~BX~d
n1 nt t1 n1
将 L ~L代入上式，并令
写成矩阵形式
VTPV VTVmin
将上式对取一阶导数，并令其为零，得
1
dVTV
dxˆ
2VT
B2VT
1 1
2
n 1
vi
0
1 L1
V
n1
1 xˆ
L2
B
n1
xˆ
L
n1
1 Ln
按最小二乘准则，要求：
将 vi xˆLi 代入上式得
n
n
n
vi (x ˆLi)nx ˆLi 0
1
1
1
xˆ 1
C~ xW0
suu1 s1
l LF(X0) B~ xl
n1 ntt1 n1
20.12.2020
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5. 计算参数的平差值，求出观测量的平差值。
第二节 误差方程
要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数； 要考虑怎样列出平差值方程； 如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。 一、确定未知数的个数 未知数的个数等于必要观测数 二、参数的选择 参数选择的原则：足数 独立 最简
Wuhan University
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数
（1）列误差方程
Xˆ
P
2
4
C 3
h1 h2 h3
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
h1 h2 h3
B
D
h4 v4 Xˆ H D v4 Xˆ H D h4
当P为对角阵时，则有纯量形式：
a1 b1 B a2 b3
an bn
t1
t2
tn
[ paa]xˆ1 [ pab]xˆ2 [ pat]xˆt [ pal]
[ pab]xˆ1 [ pbb]xˆ2
[ pbt]xˆt
[ pbl]
[ pat]xˆ1 [ pbt]xˆ2 [ ptt]xˆt [ ptl]
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可得：
BT PB xˆ BT P l 0
令 NBB
tt
BT PB，W t1
BT Pl
则： NBB xˆ W 0
－－间接平差的法方程
xˆ
N
W 1
BB
(BT PB)1 BT Pl
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
Wuhan University
n1 nt t1 n1
间接平差随机模型：
D
nn
2 0
Q
nn
P2 1
0
Wuhan University
按最小二乘原理，xˆ必须满足V T PV
min
的要求， 则有： Wuhan University
V T PV V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
V B xˆ l l L (BX 0 d )
第一节 间接平差原理
一、基础方程及其解
Wuhan University
以P1、P2点平差后的高程为参数:Xˆ1, Xˆ 2 1
Lˆ1 Lˆ4 HA HB 0 （1）
P1
4
B
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 0
（2） A
3
5
Lˆ3 Lˆ4 Lˆ5 0 Lˆ1 HA Xˆ1 0
（3） （4）
取参数的近似值 X 0 H A h1 6.996m
Xˆ X 0 xˆ H A h1 xˆ 6.996 xˆ
得误差方程为：
v1 xˆ
v2 xˆ 3 v3 xˆ 20
v4 xˆ 6
v1 1 0
v2
1
xˆ
3
vv43
1 1
20
6
Wuhan University
Lˆ5 Lˆ3 Lˆ4 2Xˆ1 Xˆ 2 2HA HB
（9） （10）
间接平差函数模型：Lˆ F ( Xˆ )
n1
t1
Lˆ B Xˆ d
n1 nt t1 n1
Xˆ X 0 xˆ
L V B(X 0 xˆ) d
l L (BX 0 d ) L L0
V B xˆ l
第七章 间接平差
Wuhan University
重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以 及精度评定等内容。
难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误 差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。
要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理 并能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程， 以及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单 位权中误差和参数函数中误差。
例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测 Wuhan University
量，得观测值及线路长度如下：
h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,HB=5.671m，
试h3按=+间2.接19平8m差,法S3=求2kPm点,H的C=高4.差81平8m差,h值4=+。3.234mA,S4=11km,HD= 3.768m
Wuhan University
例如 教材例7-1中必要观测为3，可以选择以下几组量 作为未知数。
2
Lˆ1
Xˆ1
P2
HA
（6）
Lˆ2 HA Xˆ 2 0
（5） Lˆ2 Xˆ 2 HA （7）
(6) 代入(1)变化后得：
Lˆ4 Lˆ1 HA HB Xˆ1 2HA HB （8）
(6)、(7)代入(2)变化后得：
Lˆ3 Lˆ1 Lˆ2 Xˆ1 Xˆ 2
(8)、(9)代入(3)变化后得：
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量作为未 知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据实际需要或是 否便于计算而定。
Wuhan University
如果选取的t个参数中有下列函数关系
(Xˆ1, Xˆ 2 Xˆ t ) 0
则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而 就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数， 另选取一个独立的参数代替。
（2）组成法方程：
取1km的观测高差为单位权观测，则可得：
1
P
0.5
0.5
1
1
1
Nbb BT PB 1
1
1
1
0.5 0.5
1
3
1
1 1
1
0
W BT Pl 1 1 1 1
0.5
3
17.5
0.5 20
1
6
法方程
3xˆ 17.5 0
Wuhan University
Xˆ 6.996 5.8 /1000 7.002m
Wuhan ULeabharlann iversity二、按间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题选取t个独立量作为参数；
2. 将每一个观测值的平差值分别表达成参数的函数，对于 非线性函数线性化，列出误差方程； 3. 组成法方程；
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ；
（3）解法方程：
xˆ 5.83(mm)
（4）计算改正数
V B xˆ l
v1 5.8mm，v2 2.8mm，v3 14.2mm，v4 0.2mm （5）计算平差值
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
Lˆ1 3.526m，Lˆ2 5.674m，Lˆ3 4.804m，Lˆ4 3.768m
第二节 误差方程
要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数； 要考虑怎样列出平差值方程； 如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。 一、确定未知数的个数 未知数的个数等于必要观测数 二、参数的选择 参数选择的原则：足数 独立 最简
Wuhan University
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数
（1）列误差方程
Xˆ
P
2
4
C 3
h1 h2 h3
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
h1 h2 h3
B
D
h4 v4 Xˆ H D v4 Xˆ H D h4
当P为对角阵时，则有纯量形式：
a1 b1 B a2 b3
an bn
t1
t2
tn
[ paa]xˆ1 [ pab]xˆ2 [ pat]xˆt [ pal]
[ pab]xˆ1 [ pbb]xˆ2
[ pbt]xˆt
[ pbl]
[ pat]xˆ1 [ pbt]xˆ2 [ ptt]xˆt [ ptl]
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可得：
BT PB xˆ BT P l 0
令 NBB
tt
BT PB，W t1
BT Pl
则： NBB xˆ W 0
－－间接平差的法方程
xˆ
N
W 1
BB
(BT PB)1 BT Pl
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
Wuhan University
n1 nt t1 n1
间接平差随机模型：
D
nn
2 0
Q
nn
P2 1
0
Wuhan University
按最小二乘原理，xˆ必须满足V T PV
min
的要求， 则有： Wuhan University
V T PV V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
V B xˆ l l L (BX 0 d )
第一节 间接平差原理
一、基础方程及其解
Wuhan University
以P1、P2点平差后的高程为参数:Xˆ1, Xˆ 2 1
Lˆ1 Lˆ4 HA HB 0 （1）
P1
4
B
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 0
（2） A
3
5
Lˆ3 Lˆ4 Lˆ5 0 Lˆ1 HA Xˆ1 0
（3） （4）
取参数的近似值 X 0 H A h1 6.996m
Xˆ X 0 xˆ H A h1 xˆ 6.996 xˆ
得误差方程为：
v1 xˆ
v2 xˆ 3 v3 xˆ 20
v4 xˆ 6
v1 1 0
v2
1
xˆ
3
vv43
1 1
20
6
Wuhan University
Lˆ5 Lˆ3 Lˆ4 2Xˆ1 Xˆ 2 2HA HB
（9） （10）
间接平差函数模型：Lˆ F ( Xˆ )
n1
t1
Lˆ B Xˆ d
n1 nt t1 n1
Xˆ X 0 xˆ
L V B(X 0 xˆ) d
l L (BX 0 d ) L L0
V B xˆ l
第七章 间接平差
Wuhan University
重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以 及精度评定等内容。
难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误 差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。
要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理 并能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程， 以及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单 位权中误差和参数函数中误差。
例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测 Wuhan University
量，得观测值及线路长度如下：
h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,HB=5.671m，
试h3按=+间2.接19平8m差,法S3=求2kPm点,H的C=高4.差81平8m差,h值4=+。3.234mA,S4=11km,HD= 3.768m
Wuhan University
例如 教材例7-1中必要观测为3，可以选择以下几组量 作为未知数。
2
Lˆ1
Xˆ1
P2
HA
（6）
Lˆ2 HA Xˆ 2 0
（5） Lˆ2 Xˆ 2 HA （7）
(6) 代入(1)变化后得：
Lˆ4 Lˆ1 HA HB Xˆ1 2HA HB （8）
(6)、(7)代入(2)变化后得：
Lˆ3 Lˆ1 Lˆ2 Xˆ1 Xˆ 2
(8)、(9)代入(3)变化后得：
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量作为未 知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据实际需要或是 否便于计算而定。
Wuhan University
如果选取的t个参数中有下列函数关系
(Xˆ1, Xˆ 2 Xˆ t ) 0
则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而 就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数， 另选取一个独立的参数代替。
（2）组成法方程：
取1km的观测高差为单位权观测，则可得：
1
P
0.5
0.5
1
1
1
Nbb BT PB 1
1
1
1
0.5 0.5
1
3
1
1 1
1
0
W BT Pl 1 1 1 1
0.5
3
17.5
0.5 20
1
6
法方程
3xˆ 17.5 0
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Xˆ 6.996 5.8 /1000 7.002m
Wuhan ULeabharlann iversity二、按间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题选取t个独立量作为参数；
2. 将每一个观测值的平差值分别表达成参数的函数，对于 非线性函数线性化，列出误差方程； 3. 组成法方程；
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ；
（3）解法方程：
xˆ 5.83(mm)
（4）计算改正数
V B xˆ l
v1 5.8mm，v2 2.8mm，v3 14.2mm，v4 0.2mm （5）计算平差值
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
Lˆ1 3.526m，Lˆ2 5.674m，Lˆ3 4.804m，Lˆ4 3.768m