实变函数作业1

作业(1)

第1章 集合

第2章 n 维空间中的点集

一、单项选择题

1.)\(\)\(C B A C B A = 成立的充分必要条件是（ ）．

(A) B A ⊂ (B) A B ⊂

(C) C A ⊂ (D) A C ⊂

2. A B B A = )\(成立的充分必要条件是（ ）．

(A) B A = (B) ∅=B

(C) B A ⊂ (D) A B ⊂

3.设 ∞=+=1

]11,0[n n M ，则M 是（ ）． (A) 非开非闭型集合 (B) 仅开非闭型集合

(C) 仅闭非开型集合 (D) 既开且闭型集合

4.任意多个闭集的并一定是（ ）．

(A) 闭集 (B) 开集

(C) 完备集 (D) 可测集

5.设n R E ⊂，n R x ∈0，若0),(0=E x d ，则（ ）．

(A) E x ∈0 (B) E x '∈0

(C) 00E x ∈ (D) E x ∈0

二、填空题

1.设)1,1(n n n n A n ++-=，则=∞= 1n n A ，=∞= 1

n n A ． 2.设)1,1(++-=n n n n A n ，则=∞= 1n n A ，=∞= 1

n n A ． 3.设]11,0(n A n +=，则=∞→n n A lim ，=∞

→n n A lim ． 4.设),2,1(,]211,0[,]1212,0[212 =+=--=-n n

A n A n n ，则=∞→n n A lim ，=∞→n n A lim ．

5.设n

R E ⊂更多试题及答案+扣二九七九一三九六八四，n R x ∈0，如果0x 的任何邻域中都含有E 的 个点，则称0x 是E 的聚点．

6.设n R E ⊂，n R x ∈0，

如果存在0x 的邻域),(0δx N ，使得),(0δx N E ，则称0x 是E 的内点．

三、证明题

1.证明 ∞=>=>1

}1{}0{n n x x x x ．

2.设)(x f 是1R 上的实值函数，证明对任意实数a ，有

∞=+<≤==1

}1)({})({n n a x f a x a x f x 3.设)(x f 是1R 上的实值函数，对任意实数a ，证明：

∞

=+<∈=≤∈111}1)(,{})(,{n n a x f R x x a x f R x x 4.证明若A B B A \~\，则B A ~．

5.设E 是平面上的不可列无限集合，则可以找到以原点为中心的一个圆，它包含E 中不可列个点．

6.证明任何邻域),(δP N 都是开集．

7.设E 为任一点集，∅='E ，证明E 是有限集或可列集．

8.证明F 是闭集的充分必要条件是F F =．