信号分析_第3章 一些常用的变换分解
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信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
第3章 PPT 信号分析基础 1 工程测试技术
+
An2 (nω0)
22
● 周期信号及其频谱分析
■ 三角函数展开式
任何周期函数， 任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷 级数，如三角函数集的傅里叶级数: 级数，如三角函数集的傅里叶级数:
{cos nω0t , sin nω0t}
23
● 周期信号及其频谱分析
Байду номын сангаас
■ 时域&频域的比较 时域&
用被测物理量的强度作为纵坐标， 时间做横坐标， 用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标， 强度作为纵坐标 记录被测物理量随时间的变化情况。 记录被测物理量随时间的变化情况。
A(t)
0
t 信号波形图
3
信号分析基础
2
信号的分类
为深入了解信号的物理实质，从不同角度观察信号，可分为： 为深入了解信号的物理实质，从不同角度观察信号，可分为： ♣ 从信号可否确定分 -- 确定性信号、非确定性信号 确定性信号、 ♣ 从信号的幅值和能量分 ♣ 从分析域分
● 周期信号及其频谱分析 实频谱和虚频谱形式
■ 三角函数展开式
C n = Re C n + j Im C n = C n e
幅频谱和相频谱形式
jφ n
Cn =
(Re Cn ) + (Im Cn )
2
2
Im Cn φ n = arctan Re Cn
耐 心 点 哟 ！
27
ω (nω 0 )
● 周期信号及其频谱分析
10
■ 信号的分类及其描述域
（3） 连续时间信号与离散时间信号 连续时间信号: 连续时间信号:在所有时间点上有定义
离散时间信号:仅在若干时间点上有定义 离散时间信号:
信号的分解原理
信号的分解原理
信号的分解原理是通过将复杂的信号拆分为若干个简单的成分来进行分析和处理。
这种分解可以帮助我们更好地理解信号的性质和特征。
在信号处理中，常常使用傅里叶变换和小波变换等方法来实现信号的分解。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它通过将一个连续时间域上的信号分解为一系列复指数函数的线性组合，来表示信号的频谱特性。
傅里叶变换可以将信号分解为一组不同频率分量的振幅和相位，从而揭示了信号在频率域上的能量分布。
小波变换是一种将信号分解为一系列小波基函数的线性组合的方法。
小波是一种局部化的基函数，能够更好地描述信号的瞬时特性。
小波变换将信号分解为不同尺度和位置上的小波基函数，从而能够同时提供时域和频域的信息。
通过信号的分解，我们可以获得信号在不同频率、不同时间、不同尺度上的特征信息。
这种分解原理可以应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域，帮助我们更好地理解和处理复杂的信号。
第三章信号的时域分解线性系统分析...
第三章信号的时域分解§3-1 引言●线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
●在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
●而在频域法中，我们将信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
●频域在工程中也有很重要的意义。
很多信号的特性与频域都有很重要的关系。
研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。
如上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。
2）如何求系统对各个正弦子信号的响应，这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍；3） 如何将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。
本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。
§3-2 信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。
一、矢量的分解 1、矢量的定义2、矢量运算：加，标量乘法，矢量乘法3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：11A c 近似矢量A ——误差尽可能小。
ε+=11A A c从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：1111A A A A =c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
如果01=c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称为正交）。
2） 矢量的多矢量基分解：将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：∑==+++=ni i i n n c c c c 12211...A A A A A✧ 显然，如果知道了标准矢量i A 和相应的系数i c ，就可以确定任意矢量。
✧ 如何确定最佳的系数i c 情况比较复杂，对于特定的i 而言，i c 不仅与特定的i A 有关，与其它的标准矢量也有关系。
但是如果矢量i A 两两正交，可以证明：ii i i c A A AA =4、标准矢量基的几个限制条件：1）归一化：标准矢量的模等于1——方便计算 2）正交化：标准矢量两两正交3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量二、信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。
信号与系统 第三章 信号分析
(t ) f1 (t ) C12 f 2 (t )
进一步定义均方误差（方均误差）
1 1 2 * (t ) (t ) (t )dt f 1 (t ) C12 f 2 (t ) dt t 2 t1 t1 t 2 t1 t1
2 t2 t2
与矢量的分解相似，要使均方误差最小应 取它的垂直投影，所以分量系数
t2
f1 (t ), f 2 (t ) C12 f 2 (t ), f 2 (t )
t1 t2
t2
f1 (t ) f 2* (t )dt
2
t1
f1 (t ) f 2* (t )dt
t2
f
t1
(t ) f (t )dt
* 2
t1
f 2 (t ) dt
2
这个结论也可仿照前面的做法，令均方误 差对分量系数的偏导数等于0来推出。显然也有 类似的结论当f1(t),f2(t)正交时C12=0，当f1(t)=f2(t) 时C12=1，C12也与两个函数的的相似程度有关。 但一般不直接将它作为相关系数，这是因为当 f1(t)=f2(t)+f3(t)并且f2(t)，f3(t)正交时
上的分量系数，对于函数集与矢量一样有类似 的结论： 1、n维函数空间中的任一函数可分解为n个分 量； 2、如果分量小于n个则产生误差，如要均方误 差最小则应取它的垂直投影； 3、函数的分解一般也采用正交函数集，即正 交分解。
现在我们来看两个函数的情况，假定f1(t),f2(t) 是定义在区间[t1,t2]上的两个函数，取f1(t)在f2(t) 上的分量C12 f2(t)近似f1(t)。那么也将产生误差 εΔ(t)。
A1 , A2 ,, An，如它们是线性无关
进一步定义均方误差（方均误差）
1 1 2 * (t ) (t ) (t )dt f 1 (t ) C12 f 2 (t ) dt t 2 t1 t1 t 2 t1 t1
2 t2 t2
与矢量的分解相似，要使均方误差最小应 取它的垂直投影，所以分量系数
t2
f1 (t ), f 2 (t ) C12 f 2 (t ), f 2 (t )
t1 t2
t2
f1 (t ) f 2* (t )dt
2
t1
f1 (t ) f 2* (t )dt
t2
f
t1
(t ) f (t )dt
* 2
t1
f 2 (t ) dt
2
这个结论也可仿照前面的做法，令均方误 差对分量系数的偏导数等于0来推出。显然也有 类似的结论当f1(t),f2(t)正交时C12=0，当f1(t)=f2(t) 时C12=1，C12也与两个函数的的相似程度有关。 但一般不直接将它作为相关系数，这是因为当 f1(t)=f2(t)+f3(t)并且f2(t)，f3(t)正交时
上的分量系数，对于函数集与矢量一样有类似 的结论： 1、n维函数空间中的任一函数可分解为n个分 量； 2、如果分量小于n个则产生误差，如要均方误 差最小则应取它的垂直投影； 3、函数的分解一般也采用正交函数集，即正 交分解。
现在我们来看两个函数的情况，假定f1(t),f2(t) 是定义在区间[t1,t2]上的两个函数，取f1(t)在f2(t) 上的分量C12 f2(t)近似f1(t)。那么也将产生误差 εΔ(t)。
A1 , A2 ,, An，如它们是线性无关
信号分析_第3章 一些常用的变换
ˆ M ( f ) − jM ( f )
M( f )
ˆ − jM ( f )
ˆ LSB g LSB (t ) = Ac [m(t ) − jm(t )]
ˆ LSB GLSB ( f ) = F { Ac [m(t ) − jm(t )]} = Ac [ M ( f ) − jM ( f ) H ( f )] Ac [ M ( f ) − jM ( f )( − j )] = 0 = Ac [ M ( f ) − jM ( f )( j )] = 2 Ac M ( f ) ( f > 0) ( f < 0)
dt dt s(t ) dt
16
3)AM信号的解调 信号的解调 对于AM信号 信号 对于
s(t ) = a (t ) cos[ω0t + ϕ (t )]
cos(ω1t))
ˆ s (t ) = H {a (t ) cos(ωc t + ϕ )} = a (t ) sin(ωc t + ϕ )
ˆ 4 ⇒ .if M (ω ) ⇔ m(t ) and M (ω ) ⇔ m(t ) ˆ ˆ ˆ M (ω ) = F {m(t )} = F {H {m(t )}} 1 (ω > 0) = − jM (ω ) sgn(ω ) sgn(ω ) =
− 1 (ω < 0)
9
5.Hilbert变换的应用 变换的应用 1).单边带调制 单边带调制 SSB的复包络可表示为 的复包络可表示为 where and
12
ˆ USB gUSB (t ) = Ac [m(t ) + jm(t )]
sUSB (t ) = Re{gUSB (t )e jωct } ˆ = Ac [m(t ) cos ωc t − m(t ) sin ωc t ]
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
信号与系统 第3章(xin ) 信号的频域分析
3 信号的频域分析
2.基本形式（三角形式）
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 连续周期信号的基本形式可以表示为：
a0 f ( t ) ( ak cos k0 t bk sin k0 t ) 2 k 1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
a0 f ( t ) An cos( k0 t n ) 2 t
2 其中：a0 f ( t )dt 是 k 的 偶 T
An ak bk
2
2
函数
bk n arctan ak
是k的奇函 数
3 信号的频域分析
2.基本形式
满足狄氏条件的任一周期信号都是由cos，sin组成。 离散周期信号的基本形式可以表示为：
1 n
f1 (t )
(t nT )
n
重复性、定义域、n、周期等四个要素
3 信号的频域分析
§3.1.1 周期信号的展开（ expansion ）
离散周期信号：
f (n) f (n iN ); n (, ); i 0, 1, 2, ; N C f (n iN )
jk0 t0 jk
有 fT ( t -t0 ) e
C( jk0 ) 2 C( jk ) N
f N ( n n0 ) e
2 n N 0
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
3. 比例特性
若
2 fT ( t ) / f N ( n ) C( jk0 ) / C( jk ) N jk t 0 1 T 2 a
3 信号的频域分析
§3.1.3 离散频谱的性质
第3章 连续信号的正交分解.ppt
其中，系数
cr
V Vr Vr Vr
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
3.2.2 信号的正交分解
1、正交函数——设f1(t)和f2(t)为定义在(t1, t2)区间上的两个 函数，现在要用与f2(t)成比例的一个函数c12f2(t)近似地代表 f1(t)，其误差函数为
fe (t) f1(t) c12 f2 (t)
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
1. 频谱与周期的关系
T= 10τ 1
2
4
6
T= 20τ
1
2
4
6
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 频带宽度与脉宽的关系
1
1
T
τ
0.5
T
τ
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
当两矢量V1与V2正交时，c12=0，即V1·V2=0。 当V1=V2 时， c12=1
《 信号与线性系统》
第3章 信号分析
2. 矢量的正交分解
平面矢量的正交分解
c2V2
V
V c1V1 c2V2
V2 2
o
1
V1
c1V1
c1
V
c os1
V1
V V1 V1 V1
c2
2
a0 T
T 0
f
(t)dt
2 T
T 2 0
dt
T T dtΒιβλιοθήκη 0 2 2an T
信号与线性系统分析(第四版)第3章
信号与系统
一、差分与差分方程
设有序列f(k)，则 ···，f(k+2)，f(k+1)，···，f(k-1)，f(k-2) ，···等 称为f(k)的移位序列。
仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。
1. 差分运算
d f (t) lim f (t) lim f (t t) f (t) lim f (t) f (t t)
特征根 1 2, 2 3
齐次解
yk C12k C23k
定C1， C2
k 0 k 1
y0 C1 C2 2 y1 2C1 3C2 1
解出
C1 5, C2 3 yk 52k 33k
信号与系统
差分方程齐次解重根例
求差分方程y(k) + 6y(k – 1) + 12y(k – 2) +8y(k – 3) = 0 的解。
例
(2) 有重根 特征根λ为r重根时
yh k (Cr1k r1 Cr2k r2 C1k C0 )k
例
信号与系统
差分方程齐次解单根例
求解二阶差分方程y(k) – 5y(k – 1) + 6y(k – 2) = 0 已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。
解：特征方程 2 5 6 0 2 3 0
求单位序列响应h(k)。
解： 根据h(k)的定义 有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) h(–1) = h(–2) = 0
（1）
（1）递推求初始值h(0)和h(1)。
h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
需要强调指出的是，离散化都是针对连续的尺度参数 a 和连续平移参数 b 的。
定义 3.5
在连续小波基函数ψa,b(t)=
wft在所有时间和频率都有相同的分辨率不一样小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分辨率而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨即小尺度因子对应高频段有更好的尺度分辨率即能更精确地确定尺度因子的值大尺度因子对应于更差的尺度分辨率
第三章 连续小波变换和离散小波变换
3.1 连续小波变换（CWT， Continuous Wavelet Transform）
波变换将一个时域函数变换到二维的时间—尺度相平面上。
函数 f(t)在某一尺度因子 a、平移参数 b 上的小波变换系数
，表征的是在 b 位置处，时间段 2a t 内包含的中心频率为
0 a
、宽度为
2
a
的频窗内的频率成分的大小。
定 义 3.4 设 ψ (t) 是 一 个 小波 函 数 ， 则 连 续 小 波 变 换 (CWT)的逆变换定义如下：
hˆ ( )=ie
4
它就是后面提到的 db1 小波。
Morlet 小波
(t)=e
t2 2
e i0t
，0
5
( )= e ˆ
2
( 0 )2 2
《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换
如果X(t)为平稳随机过程，则
+
RXY (t1 , t2 ) - RX (t1 , t2 u)h(u)du
+
- RX (t1 t2 u)h(u)du
+
- RX ( u)h(u)du
其中，τ = t1-t2，即
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
证明（续） 根据大数定理，当n→∞时，有
X (t) E[ X (t)],Y (t) E[Y (t)] 所以
E[Y (t)] L{E[ X (t)]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
定理2 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
解 系统传递函数为
H ( )
1
j
RC
输入X(t)的功率谱为
GX( )
RX( )e j d
2 2 2
33
3.2 随机过程通过线性系统分析
进一步可得
GY( )
GX( ) |
+
RXY (t1 , t2 ) - RX (t1 , t2 u)h(u)du
+
- RX (t1 t2 u)h(u)du
+
- RX ( u)h(u)du
其中，τ = t1-t2，即
RXY ( ) h( ) RX ( )
21
3.2 随机过程通过线性系统分析
类似地
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RYX ( )
23
3.2 随机过程通过线性系统分析
平稳随机过程通过线性系统输入输出相关 函数之间的关系
RX ( )
h( )
RXY ( )
h( )
RY ( )
RX ( )
RYX (t1, t2 )
h( )
h( )
RY ( )
证明（续） 根据大数定理，当n→∞时，有
X (t) E[ X (t)],Y (t) E[Y (t)] 所以
E[Y (t)] L{E[ X (t)]}
9
3.1 变换的基本概念和基本定理
定理2 设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换， 则
RXY (t1 , t2 ) Lt2 [RX (t1 , t2 )] RY (t1 , t2 ) Lt1 [RXY (t1 , t2 )] Lt1 • Lt2 [RX (t1 , t2 )]
解 系统传递函数为
H ( )
1
j
RC
输入X(t)的功率谱为
GX( )
RX( )e j d
2 2 2
33
3.2 随机过程通过线性系统分析
进一步可得
GY( )
GX( ) |
第三章-傅里叶变换
三、 三角函数形式的傅里叶级数（3）
f (t) a
(a
cos n t b
sin n t)
0
n1
n
1
n
1
纯余弦形式傅里叶级数
f (t) c
c
co（ s n t ）
0
n1 n
1
n
其中 c a , c
0
0
n
a2 b2 ,
n
n
n
arctg
bn an
c0称为信号的直流分量，cn cos(n1t+ n) 称
为信号的n次谐波分量。 cn0。 可见， 周期信号可分解为直流、基波和各次
谐波的线性组合。
中国民航大学 CAUC
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三、 三角函数形式的傅里叶级数（4）
[例] 求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。
sin n t)
0
n1
n
1
n
1
a0、an、bn—傅里叶系数
1—基本角频率（基频）
a0—信号的直流分量
a b
n
n
a n
b n
n
n
cos1t 、 sin1t —基波
cos(n1t) 、 sin(n1t) — n次谐波
中国民航大学 CAUC
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
3.1 信号的正交函数分解
一、正交函数(1)
1. 实变函数：若实函数f1(t) 和f2(t)在(t1 ，t2)上满足
t2 t1
f (t)f (t)dt
1
2
0
则称f1(t)与f2(t)在(t1 ，t2)上正交。 2. 复变函数：若有n个复变函数fi(t) （i=1，…，n） 在区间( t1，t2)上满足
信号处理中常用的数学变换
局部性
HHT能够揭示信号的局部特征，对信号的细节变 化敏感。
物理意义明确
IMF分量与物理现象有明确的对应关系，有助于 理解信号的内在机制。
希尔伯特-黄变换的应用
机械故障诊断
在机械故障诊断中，HHT可以用于提取故障信号的特征，如齿 轮箱的故障检测。
地震信号处理
在地震学中，HHT用于分析地震信号，提取地震事件的参数， 如地震位置和震级。
灵活性
可以选择不同的小波基函数， 以满足不同信号处理的需求。
时频局部化
能够在时间和频率上聚焦到信 号的任意细节。
小波变换的应用
信号降噪
通过小波变换去除信号中的噪 声成分。
特征提取
利用小波变换提取信号中的特 定特征，如边缘、突变点等。
图像压缩
通过小波变换对图像进行压缩 ，减少存储和传输的数据量。
故障诊断
04
HHT得到的IMF分量具有明确的物理意义，而傅里叶变换和小波变换 得到的结果可能与实际物理现象不太直接相关。
THANK YOU
感谢聆听
信号处理中常用的数学变换
目
CONT • Z变换 • 小波变换 • 希尔伯特-黄变换（HHT）
01
傅里叶变换
定义与性质
傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法，通过将 信号表示为不同频率的正弦波的线性组合，可以揭示信号的频率 成分。
傅里叶变换具有线性性、时移性、频移性、对称性和周期性等性 质，这些性质在信号处理中具有广泛的应用。
拉普拉斯变换适用于分析具有收敛性的函 数，而傅里叶变换适用于分析周期性的函 数；拉普拉斯变换的收敛条件比傅里叶变 换更宽松，能够处理更广泛的一类函数。
03
Z变换
定义与性质
信号与系统-第三章-信号分析
第三章
信号分析
§3.1 引言 信号分析——研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情
况去考察信号的特性。
问题：
1、选择作为信号分量的单元函数的原则是什么？ 2、怎样的一个函数集才能完全地表示各种复杂信号？
付里叶级数
f (t )
a0 2
An cos(nt n )
n 1
则此函数集称为完备正交函数集。
当 (t ) 0 时，就意味着函数f(t)可以毫无误差地由相 互正交的函数组成的无穷级数来表示: f(t) =c1g1(t)+c2g2(t)+…+crgr(t)+…
2
3.2—3 复变函数的分解
以由c12f2(t)来近似，则有： f1(t)c12f2(t) 方均误差由误差函数的模的平方来计算，即
2
A1 A2 2 A2
简称相关系数
C12是在最小平方误差的意义上标志着两个矢量 A1 和 A2
相互近似程度的量 。
结论：若要用一矢量的分量去代表原失量而误差矢量最小，则此分量只能是原
矢量的垂直投影。
当 = 0 时，
A1 A2 C
12
cos 0 A A 1 A2 A 2 1 2 2 2
近似表示函数f( t ),即
f (t ) cr g (t )
r 1 r
n
1 t2 f (t ) cr g (t ) dt 方均误差为 (t ) r t 1 r 1 t 2 t1
2 n
2
2 im 若令 n n (t ) 0
§3.2 信号表示为正交函数集 3.2——1 矢量的分量和矢量的分解
信号分析
§3.1 引言 信号分析——研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情
况去考察信号的特性。
问题：
1、选择作为信号分量的单元函数的原则是什么？ 2、怎样的一个函数集才能完全地表示各种复杂信号？
付里叶级数
f (t )
a0 2
An cos(nt n )
n 1
则此函数集称为完备正交函数集。
当 (t ) 0 时，就意味着函数f(t)可以毫无误差地由相 互正交的函数组成的无穷级数来表示: f(t) =c1g1(t)+c2g2(t)+…+crgr(t)+…
2
3.2—3 复变函数的分解
以由c12f2(t)来近似，则有： f1(t)c12f2(t) 方均误差由误差函数的模的平方来计算，即
2
A1 A2 2 A2
简称相关系数
C12是在最小平方误差的意义上标志着两个矢量 A1 和 A2
相互近似程度的量 。
结论：若要用一矢量的分量去代表原失量而误差矢量最小，则此分量只能是原
矢量的垂直投影。
当 = 0 时，
A1 A2 C
12
cos 0 A A 1 A2 A 2 1 2 2 2
近似表示函数f( t ),即
f (t ) cr g (t )
r 1 r
n
1 t2 f (t ) cr g (t ) dt 方均误差为 (t ) r t 1 r 1 t 2 t1
2 n
2
2 im 若令 n n (t ) 0
§3.2 信号表示为正交函数集 3.2——1 矢量的分量和矢量的分解
第3章信号分析及处理.
第3章信号分析及处理3．1 知识要点3.1.1数字信号处理基础1.数字信号处理的基本步骤有哪些？（1）信号的预处理：是指在数字处理之前，把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。
（2）A／D转换：是将预处理以后的模拟信号经采样、量化并转换为二进制数的过程。
（3）分析计算：对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。
（4）结果显示：一般采用数据和图形显示结果。
2.什么是时域采样？采样定理的内容是什么？采样相当于在连续信号上“摘取”一系列离散的瞬时值，是利用采样脉冲序列从连续时间信号中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号的过程，是把连续时间信号变成离散时间序列的过程。
为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，使采样后的信号仍可准确的恢复其原始信号，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍，这一基本法则，称为采样定理。
3.什么是量化和量化误差？把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数字信号，即从一组有限个离散电平中取一个来近似代表采样点的信号实际幅值电平，这一过程称为量化。
由量化引起的信号量化电平与信号实际电平之间的差值称为量化误差。
4.什么是混叠、截断和泄漏？由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象叫混叠。
截断就是将信号乘以时域的有限宽矩形窗函数。
截断后信号的能量在频率轴分布扩展到现象称为泄漏。
5.什么是窗函数？常用的窗函数有哪些？各有何特点？如何选择？为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数。
常用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁（Hanning）窗、海明（Hamming）窗、高斯窗。
(1)矩形窗：优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
(2)三角窗：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。
信号的分解(课件)
模拟信号是连续的物理变量信号，数字信号是以二 进制形式在计算机等数字设备上表示的信号。
周期信号和非周期信号
周期信号是在一定时间范围内以相同方式重复的信 号，非周期信号没有重复的周期。
信号分解的意义与应用
信号滤波
信号分解可以过滤掉某些频率分量，使得信号更清晰。
信号压缩
信号分解可以去除信号中的噪声或冗余信息，从而压缩信号。
2
级数的推导
将目标函数展开为周期函数，根据三角公式计算正余弦项的系数。
3
应用：音频处理和图像压缩
傅里叶级数可以用于声音信号的分析和处理，以及图像压缩。
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换
傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的复指数，可以得到信号的基频、谐波和相位等频域信息。
线性
线性是指信号的傅里叶变换与 它的线性组合的傅里叶变换之 和相等。
应用：声音处理和图像处理
DFT可以用于信号的分析、解调、滤波和特征提取， 常用于音频和图像处理。
信号重构和合成
信号重构原理
信号重构是使用信号分解的结果重新合成原始信号， 可以恢复信号的时域和频域特性。
信号合成原理
信号合成是将不同的频域分量组合在一起，以产生 新的信号。
信号分解的实际案例分析
1
信号分解在滤波器设计中的应用
对称
实信号的傅里叶变换是一个共 轭对称函数，虚部为奇函数， 而复信号可以表示为共轭的实 信号相加。
平移
时域上的平移会导致频域上的 相位变化，而频域上的平移会 导致时域上的实位移。
傅里叶变换的时频分析
时频分析原理
时频分析可以将信号同时在时间和频率上进行分析， 并最小化时域和频域中的不确定性。
短时傅里叶变换(STFT)的应用
周期信号和非周期信号
周期信号是在一定时间范围内以相同方式重复的信 号，非周期信号没有重复的周期。
信号分解的意义与应用
信号滤波
信号分解可以过滤掉某些频率分量，使得信号更清晰。
信号压缩
信号分解可以去除信号中的噪声或冗余信息，从而压缩信号。
2
级数的推导
将目标函数展开为周期函数，根据三角公式计算正余弦项的系数。
3
应用：音频处理和图像压缩
傅里叶级数可以用于声音信号的分析和处理，以及图像压缩。
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换
傅里叶变换将时域信号分解为不同频率的复指数，可以得到信号的基频、谐波和相位等频域信息。
线性
线性是指信号的傅里叶变换与 它的线性组合的傅里叶变换之 和相等。
应用：声音处理和图像处理
DFT可以用于信号的分析、解调、滤波和特征提取， 常用于音频和图像处理。
信号重构和合成
信号重构原理
信号重构是使用信号分解的结果重新合成原始信号， 可以恢复信号的时域和频域特性。
信号合成原理
信号合成是将不同的频域分量组合在一起，以产生 新的信号。
信号分解的实际案例分析
1
信号分解在滤波器设计中的应用
对称
实信号的傅里叶变换是一个共 轭对称函数，虚部为奇函数， 而复信号可以表示为共轭的实 信号相加。
平移
时域上的平移会导致频域上的 相位变化，而频域上的平移会 导致时域上的实位移。
傅里叶变换的时频分析
时频分析原理
时频分析可以将信号同时在时间和频率上进行分析， 并最小化时域和频域中的不确定性。
短时傅里叶变换(STFT)的应用
信号分解的四种方法
信号分解的四种方法
信号分解是一种将复杂信号分解为其组成部分的方法。
以下是四种常见的信号分解方法：
1.傅里叶变换：将信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，从而分析信号的频谱特性。
傅里叶变换对于频域分析非常有用，能够揭示信号中的频率成分。
2.小波变换：利用小波函数对信号进行变换，得到信号的时频表示。
小波变换可以提供更好的时频局部化，对非平稳信号的分析效果较好。
3.奇异值分解（SVD）：将信号的矩阵表示进行奇异值分解，将信号分解为一系列奇异值和对应的奇异向量。
SVD在信号降维和去噪方面有广泛应用。
4.经验模态分解（EMD）：EMD将信号分解为一组本征模态函数（IMF），每个IMF描述了信号中的一种本征振动模式。
EMD主要用于非线性和非平稳信号的分解。
这些方法在信号处理领域有着不同的应用和优势，选择适当的方法取决于信号的性质以及分析的目的。
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9
5.Hilbert变换的应用 1).单边带调制
SSB的复包络可表示为
g(t) Ac[m(t) j m(t)]
where
m(t) m(t) h(t)
and h(t) 1
t
SSB带通信号可表示为
s(t) Ac[m(t) cosct m(t) sin ct]
10
t
1 cos2ftdt j 1 sin 2ftdt
t
t
H ( f ) 2 j 1 sin 2ftdt 2 j sin 2ft dt
0 t
0 t
2
j2
f
0
sin 2ft 2ft
dt
2
j
sin x dx
0x
x 2ft dx 2fdt
2
2
j
j
2
2
j j
f 0 f 0
SLSB ( f ) 1/ 2[GLSB ( f fc ) GL*SB ( f fc )]
SUSB ( f )
SLSB ( f )
c
c
c
c 13
2)SSB信号的数字解调
sLSB (n) Ac[m(n) coscn mˆ (n) sincn]
H {m(n)coscn} m(n)sincn
Hilbert filter
6
3. Hilbert的性质
性质1 Hilbert变换器是-90度相移的全通滤波器。
1
H {奇函数} 偶函数
2
H {偶函数} 奇函数
性质2 s(t)与 sˆ(t)，s(n)与 sˆ(n)分别是正交的。
s(t)sˆ(t)dt
1
S()[Sˆ()]*d
2
j 0 S() 2d j S() 2d 0
LSB GLSB ( f ) F{Ac[m(t) jmˆ (t)]}
Ac[M ( f ) jM ( f )H ( f )]
Ac[M (
Ac
[
M
(
f f
) )
jM ( jM (
f f
)( j)] 0 )( j)] 2AcM (
f
)
( f 0) ( f 0)
12
USB gUSB(t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
m(n)
SSB的一种数字解调
14
3).带通信号的包络、瞬时相位和瞬时频率 带通信号s(t)的解析信号可以表示为
t
m(t) mˆ (t) h(t)
1
where
h(t)
t
4
2. Hilbert 变换系统
Hilbert滤波器 幅频响应
相频响应
- j f 0
H(f )
j
j sgn( f ) f 0
Hibert变换滤波器是一个全通滤波器
Hilbert变换的本质是一个相移滤波器，相移-90° 5
H ( f ) 1 e j2ftdt
Ac[M ( f ) jM ( f )H ( f )]
Ac[M (
Ac
[
M
(
f f
) )
jM ( jM (
f f
)( j)] 2AcM ( )( j)] 0
f
)
( f 0) ( f 011)
M(f )
jMˆ ( f )
M ( f ) jMˆ ( f )
LSB gLSB (t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
H {m(t) cos(ct )} m(t)sin(ct ) H {m(t)sin(ct )} m(t) cos(ct )
4 .if M () m(t) and Mˆ () mˆ (t)
Mˆ () F{mˆ (t)} F{H {m(t)}}
jM ()sgn()
sgn()
2
2 0
7
3. Hilbert的性质
性质3 如果 s(t)、s1(t)和s2 (t) 的Hilbert变换分别为
sˆ(t)、sˆ1(t)和sˆ2 (t)，且 s(t) s1(t)* s2(t)
sˆ(t) s1(t)*sˆ2(t) sˆ1(t)*s2(t)
性质4 对于平稳随机信号x(t)的Hilbert变换也是 平稳的，且有
mˆ (t) H{m(t)} m(t) * h(t)
m( ) d
(t )
m(t)
H
－1{mˆ (t)}
mˆ (
(t
)
d
)
M(f )
jMˆ ( f )
M ( f ) jMˆ ( f )
USB gUSB(t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
USB GUSB( f ) F{Ac[m(t) jmˆ (t)]}
H {mˆ (n)sincn} mˆ (n)sincn
H {sLSB (n)} Ac[m(n) sincn mˆ (n) coscn]
s(n)
AI (n)
解调输出
Hilbert 变换
cos0n
NCO
sin 0n
AQ (n)
AI (n) AQ (n)
m(n) cos2 (cn) m(n) sin2(cn)
Rxˆ ( ) Rx ( )
Rxˆx ( ) Rˆx ( ) Rxxˆ ( ) Rˆx ( )
8
4. 在通信中常用的Hilbert变换的重要公式
1 H {cos(ct )} sin(ct )
2 H {sin(ct )信号
sUSB(t) Re{gUSB(t)e } jct
Ac[m(t) cosct mˆ (t)sinct]
LSB gLSB (t) Ac[m(t) jmˆ (t)]
sLSB (t) Re{gLSB (t)e } jct
Ac[m(t) cosct mˆ (t)sinct]
SUSB ( f ) 1/ 2[GUSB ( f fc ) GU*SB ( f fc )]
3
用途: 已知一个函数或信号，求其正交函数或信 号，这在工程中是常见的。
1 Hilbert 变换的定义 对于信号 m(t)，其Hilbert变化为
mˆ (t) H {m(t)} 1 m( ) d
t
mˆ (t) m(t) h(t)
逆变换 m(t) H -1{mˆ (t)} 1 mˆ ( ) d
第3章 一些常用的变换
1
主要内容
Hilbert变换 匹配滤波器和相关器 Walsh-Hadamand变换 K-L变换
2
引言 设s(t)是因函数，即s(t)=s(t)U(t)，且有
s(t) S() R() jI()
有：
R()
1
I ( ) d
I
()
1
R( ) d
即：因函数的Fourier变换得到实部与虚部存在一 定的对应关系，这一对应关系称为Hilbert变换