沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-教师版

在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点

∴线段EF 是 △ABC 的中位线 ∴ 线段MN 是△ABC 的中位线

2）、三角形有 3 条中位线，它们构成的三角形叫中点三角形。

3）、三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。 4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___7.5______.

5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是 20 。 6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是__ 24 。

结论：中点三角形的周长等于原三角形的 一半 . 7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__10

结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_

二、中点四边形

1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫 中点四边形

2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是矩形；

3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是平行四边形。 5）、任意四边形的中点四边形是平行四边形；菱形的中点四边形是矩形；

矩形、等腰梯形的中点四边形是菱形；正方形的中点四边形是正方形。

三、梯形中位线

1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半 。 热身练习

1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 24 cm 2。 2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 7:9 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 22 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是＿22＿＿cm ．

4

1

5. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 16 cm 2．

6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( C )

A. (a+b+c)

B. (a+b+c)

C. (a+b+c)

D. (a+b+c)

7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是 （ D ） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:5

8．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ C ）

A. B. a C. D. 都不对

9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则 （D ） A.

1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：4

10. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？ (OA=OB)

（10题图） （11题图）

11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． (AD+BC=CD)

精解名题

例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中， A C B D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的

延长线上， F E C B

。 （1）求证：CF=DE ；

（2）若AC=6，AB=10，求四边形DCFE 的面积。

B

D E

A C F

分析：由题设知DE 为△ABC 中位线，所以有DE//AC ，且DE AC 1

2

，

可证DC//EF ，四边形DCFE 为平行四边形，易求出面积。

（1）证明：∵D 、E 分别为AB 、BC 的中点

DE AC DE AC ACB CD AB DB //，又°

12

901

2

DC

EF BCD

FEC B

FEC BCD B //

∴四边形DCFE 是平行四边形。 ∴CF=DE 。 （2）解： A C A B 610， 由勾股定理，得B C A B A C 2

2

8

S D E C E A CB C D C F E

平行四边形··1

212

12 例2．四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：四边形EGFH 是平行四边形

证明：联结AC,BD ，则GF ∥BD,EH ∥BD,GH ∥AC,EF ∥AC ∴GF ∥EH ，GH ∥EF ∴四边形EGFH 是平行四边形

变式1．四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点。 求证：四边形EGFH 是平行四边形

证明：∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点

∴BC GE BC FH 2

1

//,21//

∴FH平行并且等于GE ∴四边形EGFH是平行四边形

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形

变式2. 四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

求证：四边形EFGH是菱形。

GH

EF

AC

GH

AC

EF//

,

2

1

//

,

2

1

//

∴四边形EFGH是菱形。

结论：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形

变式3.已知菱形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

求证：四边形EFGH是矩形。

FG

EF

BD

AC

BD

FG

EH

，

,

2

1

//

//

结论菱形的中点四边形是矩形

例3.已知四边形ABCD中，AC、BD交于O点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，四边形ABCD与四边形EFGH周长的和等于33厘米．求四边形EFGH的周长．

分析：由已知得EF是ΔAOB的中位线，则EF=AB/2，同理可得FG=BC/2，GH=CD/2，HE=DA/2，由此可得四边形EFGH的周长是四边形ABCD周长的一半．故四边形EFGH的周长为11cm.

例4.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＞CD，E，F分别是AC，BD的中点.

求证：EF=

2

1

（AB-CD）

A B

C

D

E F