林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题20简单的四点共圆(附答案)

专题20 简单的四点共圆

破解策略

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称之为四个点共圆·一般简称为”四点共圆”．四点共圆常用的判定方法有：

1．若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆．

如图，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点在以点O为圆心、OA为半径的

圆上．

D

【答案】（1）略；（2）AB，CD相交成90°时，MN取最大值，最大值是2．

【提示】（1）如图，连结OP，取其中点O＇，显然点M，N在以OP为直径的⊙O＇上，连结NO＇并延长，交⊙O＇于点Q，连结QM，则∠QMN＝90°，QN＝OP＝2，而∠MQN＝180°－∠BOC＝60°，所以可求得MN的长为定值．

（2）由（1）知，四边形PMON内接于⊙O＇，且直径OP＝2，而MN为⊙O＇的一条弦，故MN为⊙O＇的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠MON＝90°．

2．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）则A，B，C，D四点在同一个圆上．

D

【答案】（1）略；（2）AD

；（3）AD＝DE·tanα．

【提示】（1）证A，D，B，E四点共圆，从而∠AED＝∠ABD＝45°，所以AD＝DE．

（2）同（1），可得A，D，B，E四点共圆，∠AED＝∠ABD＝30°，所以AD

DE

＝tan30°，

即AD＝

3

DE．

3．若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．

如图，在四边形ABCD中，∠CDE为外角，若∠B＝∠CDE，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

【答案】略

4．若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．

如图，点A，D在线段BC的同侧，若∠A＝∠D，则A，B，C，D四点在同一个圆上．

D

【答案】略

诸多几何问题，若以四点共圆作桥梁，就能与圆内的等量关系有机地结合起来．利用四点共圆，可证线段相等、角相等、两线平行或垂直，还可以证线段成比例，求定值等．

例题讲解

例1 如图，在△ABC 中，过点A 作AD ⊥BC 与点D ，过点D 分别作AB ，AC 的垂线，垂足分别为E ，F ．求证：B ，E ，F ，C 四点共圆．

证明 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，

所以∠AED ＋∠AFD ＝180°，即A ，E ， D ，F 四点共圆．

连结EF ，则∠AEF ＝∠ADF ．

因为AD ⊥BC ，DF ⊥AC ，

所以∠FCD ＝∠ADF ＝∠AEF ，

所以B ，E ，F ，C 四点共圆．

例2 在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 的中点．若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 与点N ，射线EN 与AB 相交于点P ，证明：∠APE ＝2∠MA D ．

A

B C

D E F A B C D E

F

G

证明 如图，连结DE ．

因为AD ⊥BC ，CN ⊥AM ，E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝CE ＝NE ，

从而A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心、AC 为直径的圆上，所以∠DEN ＝2∠DAN ． 由题意可得D 为BC 的中点，所以ED ∥AB ，

所以∠APE ＝∠DEP ＝2∠MA D ．

进阶训练

1．已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径，P 是BC 上任意一点，过点P 分别作AB ，CD 的垂线，垂足分别为N ，M ．

（1）如图1，若直径AB 与CD 相交成120°角，当点P （不与B ，C 重合）从B 运动到C 的过程中，证明MN 的长为定值；

（2）如图2，求当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．

答案：（1）略

（2）AB ，CD 相交成90°时，MN 取最大值，最大值为2．

【提示】

（1）如图，连接OP ，取其中点O ′，显然点M ．，N 在以OP 为直径的⊙O ′上．连结NO ′并延长，交⊙O ′于点Q ，连结QM ，则∠QMN ＝90°，QN ＝OP ＝2．而∠MQN ＝180°－∠BOC ＝60°，所以可求得MN 的长为定值． 图2 A B C D P M N O A

B C D O M

N

P

图1

A

B C

D E

P N M A B C D E P

N M

（2）由（1）知，四边形PMON 内接于⊙O ′，且直径OP ＝2．而MN 为⊙O ′的一条弦，故MN 为⊙O ′的直径时，其长取最大值，最大值为2，此时∠QMN ＝90°．

2．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连结AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连结AE ．

（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AD ＝DE ；

（2）如图2，当∠ABC ＝30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？请说明理由；

（3）当∠ABC ＝α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系（用含α的三角函数表示）．

答案：（略）；（2）AD

；（3）AD ＝DE ·tan α． 【提示】（1）证A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝45°，所以AD ＝DE ．

（2）同（1）可得A ，D ，B ，E 四点共圆，从而∠AED ＝∠ABD ＝30°，所以

AE DE ＝tan30°，即AD

． 图1 A

B C D

E

F

G A

B C D O M

N Q

O ′ P

图1