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高数C期中试卷答案

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山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆，则其离心率( )A. B. C. D.2.已知，向量，，若，则实数x的值等于( )A. B. 1 C. D. 23.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.若P，Q分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为( )A. B. C. D.5.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是( )A.或 B.C.或 D.6.如图所示，在大小为的二面角中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )A. 2B.C.D.7.在正方体中，与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆E：，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法中，正确的有( )A. 直线必过定点B. 直线在y轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 点到直线的距离为710.给出下列命题，其中正确的是( )A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为若，则11.已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是( )A. 圆M圆心坐标为B. 两圆有两条公切线C.直线AB的方程为D. 若点E圆O上，点F在圆M上，则12.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，且，点Q是PD的中点，则下列结论描述正确的是( )A. 平面PADB. B，Q两点间的距离等于C. DC与平面AQC所成的角为D. 三棱锥的体积为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市高二下学期期中数学试题(解析版)

江苏省常州市高二下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则（ ） 35C =C n n 2A =n A ．28B ．30C ．56D ．72【答案】C【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. n 【详解】因为，35C =C n n 所以由组合数性质得，，358n =+=所以.2286A A 875n ===⨯故选：C.2．如图所示的一圆形花圃，拟在A ，B ，C ，D 区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】B【分析】先对A 区域种植，再对B 区域种植，最后分两类：D 块与块相同、D 块与块不相同，B B 对C 、D 区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析：(1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； A 3(2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； B 2(3)对于C 、D 块，分2种情况：若D 块与块相同，则C 块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， B 2若D 块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D 有1种情况， B C D 则C 、D 共有种情况；213+=综合可得：一共有种不同的种法. 32318⨯⨯=故选：B3．某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，两人选的包装不同的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．16122334【答案】C【分析】利用条件概率进行求解即可.【详解】记事件C 为“甲同学选杯装酸奶”，则，记事件D 为“两人选的包装不同”，则事()13P C =件CD 为“甲同学选杯装酸奶，乙同学选袋装酸奶或瓶装酸奶”，所以，所以. ()122339P CD =⨯=()P D C =()()23P CD P C =故选：C.4．已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，ABCD P ABCD PA ⊥ABCD M N ，12PM PC =．若，则（ ）23PN PD = MN x AB y AD z AP =++x y z ++=A ．B ．C ．D ．－112-1256-【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解.MN【详解】在矩形中，,所以.ABCD AC AB AD =+ PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++因为，所以. 12PM PC = ()12PM AP AB AD =-++因为,，所以.PD AD AP =- 23PN PD =()23PN AD AP =- 所以.()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+所以，所以.111,,266x y z =-=-=11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．北郊高中合唱节中，甲、乙、丙、丁名志愿者被安排到，，三个岗位，每个岗位至少4A B C 安排名志愿者，甲不能安排在岗位，则不同的分配方案种数为（ ） 1A A ．B ．C ．D ．12142428【答案】C【分析】分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类进行计算即可.【详解】名志愿者被安排到三个岗位，每个岗位至少安排名志愿者，则有名志愿者被安排到412同一岗位，另外名志愿者分别被安排到其他岗位，2则甲不能安排在岗位，分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类， A 第一类，甲独自一人安排一个岗位，第步，为甲安排一个除之外的岗位，有种方法，1A 12C 第步，乙、丙、丁人中，选出人，在剩余的个岗位中，安排到同一岗位，有种方法， 23222132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人安排到剩余的个岗位，有种方法，3111则甲独自一人安排一个岗位有种方法；121232C C C 23212=⨯⨯=第二类，甲与另一人安排到同一岗位，第步，乙、丙、丁人中，选出人，与甲共同安排到除之外的同一岗位，有种方法， 131A 1132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人，安排到剩余的个岗位，有种方法，22222A 则甲与另一人安排到同一岗位有种方法，112322C C A 32212=⨯⨯=∴甲不能安排在岗位，则不同的分配方案有种. A 121224+=故选：C.6．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性（都没有被感染）则只要检验1次，如果检验结果为阳性（至少有1人被感染），就要再全部进行单管检验．设10名人员都未被感染的概率为p ，若对这10名人员采用10合一混管检验，总检验次数为，则的充要条件是（ ） ξ()10E ξ<A ． B ．C ．D ．0.011p <≤0.021p <≤0.11p <≤0.21p <≤【答案】C【分析】由题意求出分布列，得到，解不等式即可得到答案. ()E ξ【详解】由题意可得：的可能取值为：1，11. ξ所以，. ()1P p ξ==()111P p ξ==-所以.()()11111110E p p p ξ=⨯+⨯-=-.()101110100.1E p p ξ<⇔-<⇔>而所以. 1p ≤0.11p <≤故选：C7．已知定义在上的偶函数的导函数为，若，且当时，()(),00,∞-+∞U ()f x ()'f x ()10f -=0x >有，则使得成立的x 的取值范围是（ ） ()()20f x x xf '+>()0xf x <A ． B ． C ． D ．()(),11,-∞-⋃+∞()()1,01,-⋃+∞()()1,00,1-U ()(),10,1-∞-⋃【答案】D【分析】由题意构造函数，利用导数判断出的单调性和零点，把不等式()()2g x x f x =()g x 化为，即可求解. ()0xf x <()0g x x<【详解】因为当时，有，所以，所以.0x >()()20f x x xf '+>()()220xf x x f x '+>()()20x f x '>令，则在上单调递增.()()2g x x f x =()g x ()0,∞+因为为定义在上的偶函数，所以.()f x ()(),00,∞-+∞U ()f x ()()f x f x -=所以，所以为上的偶函数，图像关于y()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==()g x ()(),00,∞-+∞U 轴对称.因为，所以，所以()10f -=()()()21110g f -=--=()()110g g =-=所以在上单调递减，经过点；在上单调递增，经过点. ()g x (),0∞-()1,0-()g x ()0,∞+()1,0作出符合题意的的一个图像如图所示：()g x不等式可化为， ()0xf x <()0g x x<所以或 ()00x g x <⎧⎨>⎩()0x g x >⎧⎨<⎩解得：或. 1x <-01x <<故选：D8．如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的正方形格状道路网（其中虚线部分因施工暂时不通）．今有甲、乙两人，其中甲在M 处，乙在N 处，他们分别随机选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，同时到达N ，M 处，则在此过程中，甲、乙两人在A 处相遇的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6412253612256462536625【答案】D【分析】先分析出甲从M 到N 处的路径种数，和点M 沿M →A →N 的路径种数，同理求出乙的路径种数，套公式即可求出概率. 【详解】如图所示.甲从点M 沿M →D →B →N ,共有种;从点M 沿M →C →N ,共有种,综上可得,甲从26C 115⨯=47C 135⨯=点M 出发到点N ,共有种走法. 153550+=同理可得：乙从点N 出发到点M ,共有50种走法.甲从点M 沿M →A →D →B →N ,共有种,从点M 沿M →A →C →N ,共有种,综上可14C 218⨯⨯=14C 14⨯=得,共有种走法.4812+=同理：乙从点N 经过A 处到M 有12种走法. 所以甲、乙两人在A 处相遇的概率为.1212365050625p ⨯==⨯故选：D二、多选题9．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且ξ()28,N σ()70.2P ξ=≤．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在内的个数记为X ，则()7,9下列说法正确的有（ ） A ． B ．()790.8P ξ<<=1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C ． D ．()3E X =()10.9P X >≥【答案】BCD【分析】由正态分布的对称性和图象特征判断AB ；由，利用二项分布概率，期望公()5,0.6X B :式，判断CD.【详解】A.因为，，正态分布密度曲线的对称轴为，()28,N ξσ:8μ=8x =根据对称性可知，，故A 错误；()()790.2P P ξξ=≥=≤()()7912710.40.6P P ξξ<<=-≤=-=B.，，()890.50.20.3P ξ<<=-=17178922P P ξξ⎛⎫⎛⎫<<><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故B 正确；1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C.，，故C 正确； ()5,0.6X B :()50.63E X np ==⨯=D. ，,()5,0.6X B :()()()050500.60.40.01024P X C ==⨯⨯=，故D 正确. ()()1100.989760.9P X P X =-==>≥故选：BCD 10．已知函数，其中，则下列说法正确的有（ ） ()1sin 2f x x x =+[]0,2πx ∈A ．的极大值为B ．的极小值为()f x π3()f x 2π3C ．的单调减区间为D ．的值域为()f x 2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭()f x []0,π【答案】ABD【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.【详解】，，令，得或，()1cos 2f x x '=+[]0,2πx ∈()0f x '=2π3x =4π3x =当，，函数单调递增，当，，函数单调递2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x ¢>()f x 2π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x减，当，，函数单调递增，4π,2π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0f x ¢>()f x所以是函数的极大值点，极大值是函数的极小值点，极小值2π32ππ33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π3，故AB 正确；C 错误； 4π2π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最大值是()00f =()2ππf =π，所以函数的值域是，故D 正确. []0,π故选：ABD三、解答题11．一个质点从数轴上的原点出发，每一秒等可能地向前或向后移动1个单位，设第n 秒末质点所在位置对应的数为随机变量，则（ ） n ξA ． B ． ()()4402P P ξξ=<=()()5513P P ξξ=>=-C ． D ．()()46E E ξξ=()()53E E ξξ>【答案】BC【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬，可知随机变量，且小虫向前或向后爬行1个[,]n n n ξ∈-单位的概率均为，结合取值的正负对称性，以及其对应的概率相等，即可求，即可12n ξ()0n E ξ=判断各项正误.【详解】由题意知，随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， [,]n n n ξ∈-12A.若，则爬行4次后小虫一共向前爬行2次，向后爬行2次，，若40ξ=()424410C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭42ξ=，则爬行4次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行1次，，所以()414412C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 错误；()()4402P P ξξ=>=B.若，则爬行5次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行2次，，51ξ=()555311C 2516P ξ⎛⎫==⎪= ⎝⎭若，则爬行5次后小虫一共向前爬行1次，向后爬行4次，53ξ=-，则，B 正确； ()515513C 2253P ξ⎛⎫=-=⎪=⎝⎭()()5513P P ξξ=>=-爬行n 次后小虫一共向前爬行r 次，向后爬行次，有，故n r -[()]2n r n r r n ξ=+--=-，，{}12C 2nr n nP r n ξ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0r n ≤≤则．故C 正确，D 错误． 0C (2)()02r nn n nr r n E ξ=-==∑故选：BC ．四、多选题12．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧的中点，H:CE是圆弧上的动点（含端点），则（ ） :DFA ．存在点H ，使得 EH BG ⊥B ．存在点H ，使得 EH BD ∥C ．存在点H ，使得EH ∥平面BDGD ．存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30° 【答案】ACD【分析】先将图形补全为一个正方体，对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；ADMF BCNE -对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示：ADMF BCNE -对于A ：因为正方体中，面， ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.所以当重合时，有.故A 正确；EF BG ⊥,F H EH BG ⊥对于B ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故B 错误； //BD EFMN H :DF//EH BD 对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G ，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-= (),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅-=⎪⎩ 不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H :DF对于D ：当点与点重合时,直线EH 与平面BDG 所成角最大，HF 因为，所以, (0,0,2)EF BA ==- cos ||||e EF e EF e EF ⋅⋅===此时直线EH 与平面BDG,得直线EH 与平面BDG 的所成角的最大角大于30°， 12>所以存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°，选项D 正确. 故选：ACD五、填空题13．的展开式中含项的系数为______________．()5122x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3x 【答案】60-【分析】首先将原式变形为，再写成展开式的通项，从而求出含项，即()()551222x x x +--()52x -3x 可得解；【详解】因为，()()()5552212122x x x x x ⎛⎫+--+ ⎭=-⎪⎝又展开式的通项为， ()52x -()()55155C 2C 2rrr r rr r T x x --+=-=-所以含的项有，， 3x ()33235C 280x x x -=-()223351C 2202x x -=故含项的系数为. 3x 802060-+=-故答案为： 60-14．若函数在区间内有极值，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭围是______________． 【答案】 ()1,2-【分析】求导，从而得到在区间内有解，求得函数在()21ln x a f x x --'=1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭1ln y x =-区间上的值域就是a 的取值范围.21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为，所以，()ln x af x x +=()21ln x a f x x --'=因为函数在区间内有极值， ()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以在区间内有解， ()21ln 0x a f x x --'==21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在区间内有解，1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭而函数在区间上单调递减，1ln y x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以. ()1,2a ∈-故答案为：()1,2-15．某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节．若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是______________．（用既约分数作答） 【答案】57【分析】根据题意应聘者能进入后续环节要正确回答其中2道题或3道题，根据古典概型计算公式及计数原理即可求得概率.【详解】设随机抽出的3道题目中应聘者能答对的道数为X ， 则他能进入后续环节的概率为(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=. 2133388355C C C 3010405C C 5656567=+=+==故答案为：5716．设随机变量取值为弧度制角，在正三棱柱的9条棱任取两条，当两条棱平行时，，当两ξ0ξ=条棱相交时，为这两条棱的夹角，当两条棱异面时，为这两条棱所在的异面直线所成的角，则ξξ______________．()E ξ=【答案】13π36【分析】根据位置关系，求出，，，即可求出.()0P ξ=π3P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭π2P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭()E ξ【详解】如图示：从正三棱柱的9条棱任取两条，有种. 2998C 3621⨯==⨯所取的两条棱平行如或，有6种，此时；11//AA BB 11//AB A B 0ξ=所取的两条棱相交，同在上底面（或下底面）,如和，有种，此时； AB BC 232C 236⨯=⨯=3πξ=所取的两条棱相交，同在侧面，如和， 有，此时； AB 1AA 3412⨯=2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在底面上，另一条为相对的侧棱，如和，有6种，此时AB 1CC ； 2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在上底面，另一条在上底面，如和，有6种，此时. AB 11B C 3πξ=所以；；. ()610366P ξ===π6613363P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭π61212362P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以. ()1π1π113π06332236E ξ=⨯+⨯+⨯=故答案为：. 13π36六、解答题17．已知在的展开式中，所有的二项式系数之和为256．n(1)求展开式中所有项的系数之和；(2)求展开式中的所有的有理项． 【答案】(1)； 1256(2).423518256x x x ，，【分析】（1）先根据题意求得，再令即可求解；8n =1x =（2）先求得通项公式，在时，使为整数的对应的项为有理()34841C 12r rrr r T x -+=-⋅[0,8]r ∈344r -r 项．【详解】（1）依题意得：，.2256n =8n ∴=令，则，1x =886112125⎛⎫- ⎪⎝==⎭所以展开式中所有项的系数之和为. 1256（2）， ()3848418C C 12rr rrr rr r T x--+⎛==-⋅ ⎝当时，为有理项. 048r =，，1r T +展开式中所有有理项为：..∴423518256x x x ，，18．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．(1)记随机变量X 表示从甲盒取出的红球个数，求X 的分布列； (2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2). 1935【分析】（1）由题意分析出X 的可能取值，分别求概率，写出分布列；（2）对从甲盒所取出的2个小球颜色分类讨论，利用古典概型的概率公式计算概率，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：X 的可能取值为：0，1，2.所以；；. ()2325C 30C 10P X ===()112325C C 31C 5P X ⨯===()2225C 12C 10P X ===分布列为：X 0 1 2P310 35 110（2）i.若，则甲盒任取2白球放入乙盒，所以乙盒的小球4白3红，再从乙盒任取1球为红X 0=球的概率为； 137P =ii. 若，则甲盒所取放入乙盒的两个小球为1白1红，所以乙盒的小球3白4红，再从乙盒任1X =取1球为红球的概率为； 247P =iii. 若，则甲盒任取2红球放入乙盒，，所以乙盒的小球2白5红，再从乙盒任取1球为红2X =球的概率为. 357P =所以从乙盒取出的1个球为红球的概率为. 3364151910710710735⨯+⨯+⨯=19．已知函数，其中为自然对数的底数()()2e 61xf x x x =-+e (1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =1x =(2)求函数在区间上的最值． ()f x []2,6-【答案】(1)8e 4e 0x y +-=(2)，()5min 4e f x =-()6max e f x =【分析】（1）求导，求出和，通过点斜式可得切线方程； ()1f '()1f （2）求导，确定函数单调性，通过确定极值和端点值的大小来确定最值.【详解】（1），()()()()22e 61e 26e 45x x xf x x x x x x '=-++-=--故，，()()1e 1458e f '=--=-()()1e 1614e f =-+=-曲线在处的切线方程为，即；()y f x =1x =()()4e 8e 1y x --=--8e 4e 0x y +-=（2），，()()2e 45xf x x x '=--[]2,6-令，得或，令，得， ()0f x ¢>2<<1x --56x <<()0f x '<15x -<<故函数在区间和上单调递增，在上单调递减，()f x ()2,1--()5,6()1,5-，，()()222e 412117e f ---=++=()()()5255e 53014e 2f f =-+=-<-，()()5min 54e f x f ==-，， ()()111e 1618e f ---=++=()()()666e 36361e 1f f =-+=>-.()()6max 6e f x f ==20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面P ABCD -ABCD PAD :平面，．棱上点满足直线与平面PAD ⊥ABCD PB AD ⊥PC E AE ABCD ．(1)求二面角大小的余弦值； E AD C --(2)求点到平面的距离． P ADE【答案】【分析】（1）取的中点,连接.先证明出两两垂直，以O 为原点,AD O ,OB OP ,,OA OB OP 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求出二面角大小的余,,OA OB OPE AD C --弦值；（2）向量法求点到平面的距离． P ADE 【详解】（1）取的中点,连接.AD O ,OB OP因为为等边三角形，所以.PAD :OP AD ⊥又平面平面，平面平面，平面, PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =OP ⊂PAD 所以平面，又平面，所以.OP ⊥ABCD AD ⊂ABCD OP AD ⊥因为，且平面，平面，， PB AD ⊥OP ⊂POB OB ⊂POB OP OB O = 所以平面,所以.AD ⊥POB AD OB ⊥以O 为原点, 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.,,OA OB OP因为底面是边长为2的菱形，为等边三角形， ABCD PAD :所以1,2,OA OD AB DC OP OB ======所以,,,,,.()0,0,0O ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D-(P 因为点是棱上一点，可设，则.E PC PE tPC =()2E t -所以.()2AE t =--因为平面，OP ⊥ABCD 所以平面的一个法向量为.ABCD (OP = 所以cos ,AE OP AE OP AE OP⋅===⨯ 解得：. 13t =设平面的一个法向量为.ADE (),,n x y z = 则. 20503n AD x n AE x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取,则,所以平面的法向量为. =2y -0,1x z ==ADE ()0,2,1n =- 所以平面与平面夹角的余弦值为ADEABCD cos ,n OP n OP n OP ⋅===⨯故平面与平面ADE ABCD（2）设点到平面的距离为d ，则P ADEd 所以点到平面P ADE 21．甲、乙两人参加两个项目的对抗赛，每一个项目的对抗赛均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），且每个项目每一局都没有平局．按以往两人比赛结果的统计估计，甲在项目A 中每一局获胜的概率为，在项目B 中每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响． 2312(1)分别求甲在项目A 、项目B 中获胜的概率；(2)设甲获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析.【分析】（1）分析比赛过程，二项分布的概率公式和概率的乘法即可分别求出概率；（2）由题意分析X 的可能取值，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）记“甲在项目A 中获胜”为事件A ，包含甲三局获胜，其概率为；甲四局获222333⨯⨯胜（前三局甲胜任意两局，第四局甲胜），其概率为；甲五局获胜（前四局甲胜任223212C 333⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭意两局，第五局甲胜），其概率为.2224212C 333⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则. ()222223422*********C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记“甲在项目B 中获胜”为事件B ，同理可求.()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为：0，1，2. 所以； ()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=； ()()()()641642812162P X P AB P A P B ====⨯=所以. ()()()17641110211621622P X P X P X ==-=-==--=所以分布列为： X 012P17162 6416212所以. ()171642090121622162162E X =⨯+⨯+⨯=22．已知函数，其中，e 为自然对数的底数． ()()21e 1x f x x m x -=-+R m ∈(1)讨论的单调性；()f x (2)若不等式对恒成立，求实数m 的取值范围．()()23e 0f x m x x +++≥[)2,x ∈-+∞【答案】(1)见解析(2)34e 233e e m --≤≤【分析】（1）求导，讨论、、、，得出的单调性； 0m ≤2102e m <<212e m =212e m >()f x （2）将变形为，构造函数，由导数得()()23e 0f x m x x +++≥(1)e e tmt t ≥-+-(1)e e()t t g t t++=-出其单调性，进而根据恒成立问题的解题方法得出实数m 的取值范围． 【详解】（1）， 111()e e 2(1)(1)(e 2)x x x f x x m x x m ---'=+-+=+-当时，，0m ≤1e 20x m -->若，则；若，则.()0f x '>1x >-()0f x '<1x <-则函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时， 2102e m <<若，则或；若，则. ()0f x '>ln 21x m <+1x >-()0f x '<ln 211m x +<<-则函数在，上单调递增，在上单调递减.()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，，函数在上单调递增. 212e m =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞当时，若，则或；212em >()0f x '>1x <-ln 21x m >+若，则；()0f x '<1ln 21x m -<<+即函数在，上单调递增，在上单调递减. ()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 0m ≤()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 2102e m <<()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，函数在上单调递增. 212e m =()f x (,)-∞+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.212em >()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+（2）不等式可化为，()()23e 0f x m x x +++≥1(1)e e x m x x --≥--令，则，即在恒成立. [)13,t x =-∈-+∞1x t =+(1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+当时，在恒成立.0=t (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+构造函数，且，. (1)e e ()t t g t t++=-[)3,t ∈-+∞0t ≠22e (1)()e t t t g t t -+-'=令，.()2e (1)e t h x t t =-+-()2()e (1)e (21)3e t t th t t t t t t '=-+--+=-+若，则；若，则. ()0h t '>(3,0)t ∈-()0h t '<(0,)t ∈+∞则函数在上单调递增，在上单调递减， ()h x (3,0)-(0,)+∞因为，，， ()353e 0eh -=->()02(0)=e e 001e 1h -+-=+(1)0h =所以当时，；当时，. ()0g t '>()(3,0)0,1t ∈-⋃()0g t '<()1,t ∈+∞即函数在上单调递增，在上单调递减，()g t ()(3,0),0,1-()1,+∞且，， 34e 3)e 32(g --=(1)3e g =-函数的图象如下图所示:()g t要使得在恒成立，则，解得. (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+43e 2(3)3e (1)3em g m g ⎧-≤-=⎪⎨⎪≥=-⎩34e 233e e m --≤≤即. 34e 233e em --≤≤【点睛】关键点睛：在得出的单调性时，关键在于令，进(1)e e ()t t g t t++=-()2e (1)e t h x t t =-+-行二次求导，从而得出函数的单调性.()g t。

2021-2022学年广东省广州市从化区第三中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年广东省广州市从化区第三中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年广东省广州市从化区第三中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ） A ．()sin cos x x '=- B ．()1e ln 3e 3x x '+=+C ．()1x x a xa -'=D ．'=【答案】D【分析】根据基本函数的导数公式表计算即可.【详解】()sin cos x x '=，()e ln 3e xx '+=，()ln x x a a a '=，112212x x -'⎛⎫'===⎪⎝⎭故选：D2．已知随机变量()()2~1,0N ξσσ>，若()140.32P ξ<≤=，则()4P ξ>=（ ）A ．0.18B ．0.36C ．0.32D ．0.16【答案】A【分析】利用正态分布曲线性质即可求得所求概率.【详解】()10.5P ξ>=，()()()41140.50.320.18P P P ξξξ∴>=>-<≤=-=. 故选：A.3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (14,2)，则P (X ＝2)＝（ ）A ．32B ．34C ．38D ．316【答案】C【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】()222411321228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C4．如图所示的是()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列四个结论： ①()f x 在区间()3,1-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在区间()2,4上是减函数，在区间()1,2-上是增函数；④2x =是()f x 的极小值点． 其中正确结论的序号是（ ）．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④【答案】B【解析】根据导函数的符号和函数的单调性之间的关系和极值点的定义判断. 【详解】由()y f x '=的图象知()f x 在()3,1--和()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数，1x =-是极小值点，2x =是极大值点，即②③正确． 故选:B ．5．曲线1xy x =-在点()2,2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．20 B ．16 C ．12 D ．8【答案】D【分析】利用导数求出所求切线的方程，进而可求得切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】令()1x f x x =-，则()()211f x x '=--，()21f '=-， 所以，曲线1x y x =-在点()2,2处的切线方程为40x y +-=，与x 轴的交点为()4,0，与y 轴的交点为()0,4，故所求三角形的面积为21482⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查切线与坐标轴围成的三角形面积计算，解答的关键就是求出切线的方程，考查计算能力，属于基础题.6．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ） A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种【答案】C【分析】根据分类加法计数原理即可求解.【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种). 故选：C7．甲、乙、丙、丁四位同学报名参加自由式滑雪，速度滑冰，单板滑雪三个项目，每人只报其中一个项目，则有（ ）种不同的报名方案． A ．34 B ．34A C ．43D ．2113421322C C C A A ⋅ 【答案】C【分析】根据分布乘法计数原理直接得出结果. 【详解】每人均有3种选择， 根据分步计数原理可得选法总数为43. 故选：C8．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 600元【答案】B【详解】()()50000.610.620002200EX =⨯+-⨯-=，即期望效益为2200元，选B . 二、多选题9．已知随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，则以下说法正确的是（ ） A ．X 的均值为3 B ．X 的标准差为4 C ．1(3)2P X ≤=D ．(17)0.6827P X -≤≤≈【答案】AC【分析】由正态分布的性质求解即可.【详解】由题意可得23,4μσ==，则X 的均值为3，X 的标准差为2，故A 正确，B错误；由对称性可知1(3)2P X =，()()22170.9545P X P X μσμσ-+=-≤≤≈，故C 正确，D 错误； 故选：AC10．关于131x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的说法，正确的是（ ）A ．展开式中第7项和第8项的二项式系数最大B ．展开式中无常数项C ．展开式中的第7项的系数最大D ．展开式中第4项的系数为286 【答案】ABC【分析】先求出131********()(1)rrr r r rr T C x C x x--+=-=-，再根据每一个选项的要求取r 的值即可判断.【详解】131x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1r +项131********()(1)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-（0,1,2,,13r =）.对于A ，展开式共有14项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7项和第8项的二项式系数最大，故A 正确； 对于B ，令1320r -=，得132r =，不是整数，则无常数项，故B 正确； 对于C ，第7项的系数为6661313(1)C C -=，第8项的系数为7771313(1)0C C -=-<，显然671313C C >-，故第7项系数最大，故C 正确；对于D ，第4项的系数为3313(1)286C -=-，故D 不正确.故选：ABC11．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（ ）A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球次数ξ的期望为2D ．取球3次的概率为110【答案】BD【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解.【详解】设ξ 为取球的次数,则ξ可取1,2,3,故可知(135)P ξ==，233(2)5410P ξ==⨯=，2131(3)54310P ξ==⨯⨯=，对于A ，抽取2次后停止取球的概率为：233(2)5410P ξ==⨯=，故A 错误； 对于B ，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：339(1)(2)=51010P P ξξ=+==+故B 正确；3313()123510102E ξ=⨯+⨯+⨯=，故C 错误；取球三次的概率为2131(3)54310P ξ==⨯⨯=，故D 正确.故选:BD12．对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（ ） A ．3x =是函数()f x 的一个极值点 B ．()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞ C ．()f x 在区间(1,2)上单调递减D ．直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD【分析】求导，求出()f x 的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.【详解】解：由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-， 又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >> 得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-，所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题. 三、填空题13．甲乙丙丁四人站成一排，其中甲不站排头和排尾，共有______种不同的站法（用数字作答）. 【答案】12【分析】先安排甲站中间一个位置，然后其余人随机站位即可.【详解】先安排甲站中间一个位置，然后其余人随机站位，即132312A A =，故答案为：1214．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m )，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s . 【答案】12516【分析】物理中的瞬时速度常用导数求出，故求出s ＝t 2＋3t的导数，代入4可得答案.【详解】解：由题意：23s t t， 可得瞬时速度：'232v s t t ==-， 故它在第4 s 末的瞬时速度应该为：2312524416⨯-= m/s ， 故答案为：12516. 【点睛】本题主要考查函数的求导，解题的关键是理解导数的物理意义，由此转化为导数问题.15．()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________． 【答案】15-【分析】把5()x y -按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y +-的展开式中24x y 的系数．【详解】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-， 故答案为：15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 四、双空题16．设随机变量()~,X B n p ，如果()12E X =，()4D X =，那么n =_________，p =_________.【答案】 1823【分析】由二项分布方差以及期望的性质求解即可.【详解】由题意可知12(1)4np np p =⎧⎨-=⎩，解得2,183p n ==故答案为：218,3五、解答题17．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =-；（2）21nn T =-.【解析】（1）求{}n a 的通项公式，可先由22a =，58a =求出公差首项，再出通项公式； （2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，利用等比数列的通项公式可求首项1b 及公比q ，代入等比数列的前n 项和公式可求n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵22a =，58a =，∴12a d +=，148a d +=解得10a =，2d =. ∴数列{}n a 的通项公式()1122n a a n d n =+-=-.（2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >， 由（1）知22n a n =-，11b =，223466b b a q q +==⇒+=，∴1q ≠， ∴2q或3q =-（舍去），∴{}n b 的前n 项和122112nn n T -==--.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n 项和的求解，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算. 18．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P ；(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设X 为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)35P = (2)分布列为 期望为910【分析】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解. （2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.【详解】(1)由题表可得厨余垃圾共有602020100++=吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率6031005P ==； (2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()7033310C C 70C 24P X ===，()1237310C C 211C 40P X ===()2137310C C 72C 40P X ===，()3037310C C 13C 120P X ===所以X 的分布列为所以()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为910． 19．已知函数3()31f x x x =-+. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在[0，3]的最值．【答案】(1)减区间为()1,1-，增区间为(),1-∞-和()1,+∞ (2)()min 1f x =-，()max 19f x =【分析】（1）求导并判断导函数分别为正，负的区间；（2）根据导函数，判断原函数的图像的单调性，并考虑端点和极大值点取最大值，端点和极小值点处取最小值.【详解】(1)()f x 的定义域为R ，()233f x x '=-令()0f x '=，解得11x =-或1x =所以()f x 的减区间为()1,1-，增区间为(),1-∞-和()1,+∞ (2)因为()f x 在[0,1)单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴当1x =时，()()min 11f x f ==-{}max ()max (0),(3)f x f f =又∵()01f =，()33333119f =-⋅+=∴当3x =时，max 19f =20．现有8道四选一的单选题，学生李明对其中6道题有思路，2道题完全没思路.有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李明从这8道题中随机任选1题. (1)求选中的1题有思路的概率； (2)求他做对该题的概率．【答案】(1)34(2)5380【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；（2）根据全概率公式以及条件概率即可求解. 【详解】(1)设A =“选中1题有思路” ∴()6384P A == (2)设B =“李明做对一道题” 由（1）()14P A =且()0.8P B A =，()0.25P B A = ∴()()()P B P AB P AB =+ ()()()()P A P B A P A P B A =⋅+⋅31530.80.254480=⨯+⨯= 21．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,5,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到面QAD ⊥面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO . 因为QA QD =，OA OD =，则QO ⊥AD ， 而2,5AD QA ==，故512QO =-=.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故5CO =，因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥， 因为OCAD O =，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥， 结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.则()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -，故()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=-. 设平面QBD 的法向量(),,n x y z =，则00n BQ n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220220x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则11,2y z ==，故11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.而平面QAD 的法向量为()1,0,0m =，故12cos ,3312m n ==⨯.二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为23.22．已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 有极小值(0)0f =，无极大值；（2）(],e 2-∞- 【分析】（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；（2）由题可得2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，易得0x =时满足，当0x >时，e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成立，构造函数e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出导数，判断()g x 的单调性，得出min ()e 2g x =-，即可求出a 的取值范围． 【详解】（1）当1a =时，()e 1x f x x =--， 所以()e 1x f x '=-，当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以当0x =时函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值. （2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立， 所以2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立， 当0x =时00≥恒成立，此时R a ∈， 当0x >时e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成，令e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则2222(1)e (1)e (1)1()xx x x x x g x x x x ⎡⎤--+⎛⎫--⎣⎦'=-= ⎪⎝⎭， 由（1）知0x >时()(0)0f x f >=，即e (1)0x x -+>， 当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，min ()e 2g x =-， 所以e 2a ≤-，综上可知，实数a 的取值范围是(],e 2-∞-.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.。

2022-2023学年江西省赣州市高二上学期期中测试数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省赣州市高二上学期期中测试数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省赣州市高二上学期期中测试数学试题一、单选题1．已知复数2i2iz-=+，则z的共轭复数的虚部为（）A．45-B．45-i C．45D．4i5【答案】C【分析】利用复数的除法运算，进而可得34i55z=+，即得.【详解】因为()()()22i2i34i34i2i2i2i555z---====-++-，所以34i55z=+，即z的共轭复数的虚部为45.故选：C.2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）AB．C．8D．【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A''=，所以O B''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=．故选：D3．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos 11tan ααα--+的值为（）A ．65-B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α=-，4tan 3α=-，将其代入即可求解.【详解】5=，得4sin 5α=，3cos 5α=-，4tan 3α=-，代入原式得4316554513⎛⎫--- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．故选：A4．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AD AB AA ==，则异面直线1AC 与1BB 所成角的余弦值为（）A ．6B ．3C D ．12【答案】A【分析】根据长方体中的平行关系可得1CC A ∠即为异面直线1AC与1BB 所成角，解直角三角形即可得解.【详解】如图，因为11CC BB ∥，所以1CC A ∠即为异面直线1AC 与1BB 所成角，设2AD =，则11AB AA==，在长方体中1AC =，在1Rt ACCV中，111cos 6CC CC A AC ∠===，故选：A ．5．已知3sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．18B ．78C ．18-D ．78-【答案】C【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2231cos 2cos 212sin 1236648πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.6．在ABC 中，若3AB =，4BC =，30C = ，则此三角形解的情况是（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【答案】B【分析】由sin BC C AB BC <<，根据作圆法结论可得结果.【详解】sin 4sin 302BC C == ，sin BC C AB BC ∴<<，ABC ∴ 有两解.故选：B.7．将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =为奇函数，则ω的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据伸缩及平移变换得到函数()y g x =，结合奇偶性得到()212k k Z ω=-∈，从而得到结果.【详解】由题意，()sin sin 2662612g x x x ωππωπωπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =为奇函数，所以()612k k Z πωππ-=∈，解得()212k k Z ω=-∈，又0ω>，所以当k ＝0时，ω取得最小值2．故选：C8．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石”，黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金ABC中，12BC AC -=，根据这些信息可得cos 36︒=（）A．14B．14CD【答案】A【分析】作出辅助线，先求出sin18︒=cos36︒.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则由三线合一知：AD BC ⊥，且18BAD ∠=︒，12sin18BCAB ︒==由余弦的二倍角公式得：22cos3612sin 1812︒=-︒=-⨯⎝⎭故选：A二、多选题9．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法错误是（）A ．若//,m n ααβ= ，则//m nB ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥C ．若,n βαβ⊥⊥，则//n αD ．若,,m n l αβαβ⊂⊂= ，且,m l n l ⊥⊥，则αβ⊥【答案】ACD【分析】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可.【详解】解：对于A ，若,m n ααβ⋂=∥，则//m n 或m 与n 异面，故A 错误；对于B ，若//m β，过m 作平面l γβ= ，则//l m ，又m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故B 正确；对于C ，若,n βαβ⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若,,m n l αβαβ⊂⊂= ，且,m l n l ⊥⊥，则α与β相交，可能垂直，也可能不垂直，故D 错误．故选：ACD ．10．已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则下列结论正确的是（）.A ．()a b a+⊥ B．|2|a b +=C ．向量,a b 的夹角为34πD ．b 在a【答案】AC【分析】对于A ，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；对于B ，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；对于C ，根据向量夹角公式，可得答案；对于D ，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.【详解】对于A ，()3,1+=- a b ，由()()31130a b a +⋅=⨯+-⨯=，则()a b a +⊥r r r ，故A 正确；对于B ，()()()221,32,44,2a b +=+-=，2a b +==B 错误；对于C ，()123410a b ⋅=⨯+⨯-=-，a == ，b ==cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，即向量,a b 的夹角为34π，故C 正确；对于D ，b 在a 方向上的投影向量是21010a b a a a a⋅-==- ，故D 错误.故选：AC.11．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中π0,0,2A ωϕ>><）的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π3是()f x 的一个零点【答案】ACD【分析】结合函数图像求出()f x 的解析式，进而判断AC ；利用代入检验法可判断BD.【详解】由图像可知，2A =，37ππ3π(41264T =--=，所以2ππT ω==，即2ω=，故A 正确；从而()2sin(2)f x x ϕ=+，由五点法可得π22π,Z 6k k ϕ-⨯+=∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，从而ππππ()2sin(22sin(2)2cos(2)3626f x x x x =+=-+=-，故C 正确；因为2π5π(2sin 233f ==≠±，所以23x π=不是()f x 的对称轴，故B 错误；因为πππ()2sin(20333f =⨯+=，所以π3是()f x 的一个零点，故D 正确.故选：ACD.12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AA AB BC ===，M ，N 分别为棱111,C D CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面ADM ⊥平面11CDDC C ．直线BN 与1B M 所成角的为60︒D ．//BN 平面ADM【答案】BC【分析】A.由点A 、M 、B 在平面11ABC D 内，点N 在平面11ABC D 外判断；B.AD ⊥平面11CDD C ，再利用面面垂直的判定定理判断；C.取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，由1//BE B M ，得到EBN ∠为异面直线BN 与1B M 所成的角判断；D.利用反证法判断.【详解】A.点A 、M 、B 在平面11ABC D 内，点N 在平面11ABC D 外，故错误；B.在正方体中，AD ⊥平面11CDD C ，又AD ⊂平面ADM ，所以平面ADM ⊥平面11CDD C ，故正确；C.如图所示：取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，得1//BE B M ，则EBN ∠为异面直线BN 与1B M 所成的角，易知EBN △是等边三角形，则60EBN ∠= ，所以直线BN 与1B M 所成角的为60︒，故正确；D.若//BN 平面ADM ，又//BC 平面ADM ，又BC BN B = ，所以平面11//BCC B 平面ADM ，而平面11//BCC B 平面11ADD A ，矛盾，故错误；故选：BC三、填空题13．计算：5π7ππ2sin 2cos tan 663⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______.【答案】1【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】原式ππππππ2sin π2cos πtan 2sin 2cos tan663663⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12212=⨯-⨯.故答案为：1.14．如图，已知圆锥的母线12AB =，底面半径为2，从点B 绕侧面一周回到点B 的最短距离是___________．【答案】12【分析】根据圆锥的侧面，它展开图和性质，求最短距离即可.【详解】底面半径为2，将侧面展开，设A ∠的度数为n ︒，则124180n ππ=，解得60n ︒=，故从点B 绕侧面一周回到点B 的最短距离是12．故答案为：1215．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-123-【分析】根据向量的线性运算化简后求值即可.【详解】解：由题意得：()2212=+=+=+3333CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB-=+12AD CD CA CB CA=-=-uuu r uuu r uur uur uur90C ∠=︒CA CB ∴⊥，即0CA CB ⋅=221211111791633233333CA CB CB CA CB C CE AD A ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-=⨯-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝⋅ 故答案为：73-16．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，AB AC ==2PA =，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为____________．【答案】20π【分析】先在等边三角形ABC 中求出BC =2r =，根据几何关系确定外接球球心位置，列勾股定理方程确定该三棱锥的外接球的半径.【详解】因为60AB AC BAC ==∠= ，所以ABC 为等边三角形，所以BC =，等边ABC 外接圆的半径为2r =，如图，三棱锥-P ABC 外接球球心为O ，半径为R ，设球心O 到平面ABC 的距离为d ，ABC 外接圆圆心为O '，连接,,AO AO OO ''，则OO '⊥平面ABC ，取PA 中点,D OP OA =，所以OD PA ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以PA //OO '，则四边形ADOO '是矩形，所以在PDO △和OAO ' 中，由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1,d R ==，表面积24π20πS R ==.故答案为：20π四、解答题17．如图，在ABC 中，D 为AC 的中点，且sin sin ABC DBC ∠=∠.(1)证明：2BA BD =；(2)若33AC BC ==，求sin BDC ∠．【答案】(1)证明见解析；(2)sin BDC ∠=【分析】（1）利用三角形的面积公式即可证明；（2）设=BD x ，利用余弦定理求出x =，cos 12C =．在BDC 中，利用正弦定理即可求得．【详解】（1）因为D 为AC 的中点，所以2ABC BDC S S =△△.所以1sin sin 2BA BC ABC BD BC DBC ∠⋅⋅=∠⋅⋅.又sin sin ABC DBC ∠=∠，于是2BA BD =．（2）设=BD x则()222222311322cos 3213212x x C ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⋅⋅⋅⋅，∴x =，cos 12C =．所以sin C =在BDC中，1sin BDC =∠，解得：sin BDC ∠=18．设向量πsin 2,26m x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()21,sin n x = ，函数()f x m n =⋅ .(1)求()f x 的最小正周期及其图像的对称中心；(2)若ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】(1)最小正周期为π，对称中心为()ππ,1212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z(2)1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先将函数化简为f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，再根据三角函数性质求解；（2）由x 的范围，求得ωx+φ的范围，再得到()f x 的值域.【详解】（1）因为()2πsin 22sin 6f x m n x x ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭ 11cos 22cos 2222x x x -=++⨯1π2cos 21sin 2126x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭即()πsin 216f x x ⎛⎫ ⎝-⎪⎭=+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.令()π2π6x k k -=∈Z ，解得()ππ212k x k =+∈Z ，所以函数的对称中心为()ππ,1212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）因为ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即设ππ5π2,636t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，根据图像分析可得：sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.19．在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边.已知sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求角A 的大小；(2)若6a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】(1)3A π=【分析】（1）由sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦定理得到sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简求解.（2）由（1）3A π=，结合6a b c =+=，利用余弦定理求得bc ，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）解：由正弦定理得sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0B π<<，所以sin 0,sin sin 3B A A π⎛⎫≠=+ ⎪⎝⎭，化简得1sin sin 2A A A =，即tan A =因为0A π<<，所以3A π=.（2）由（1）3A π=，又6a b c =+=，由余弦定理2222222cos 2cos ()33a b c bc A b c bc b c bc π=+-=+-=+-，所以22()43b c a bc +-===，所以11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯= 20．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝1，CD ＝BC ，求直线AD 与平面ABC 所成的角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)7.【分析】（1）先由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可知线面角为CAD ∠，解三角形即可得解.【详解】（1）∵AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵BC ⊥CD 且AB ∩BC ＝B ，,AB BC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥面ABC ，∵CD ⊂平面ACD∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵DC ⊥面ABC ，∴∠CAD 即为直线AD 与平面ABC 所成的角，且DC AC ⊥，∵BC ＝CD BCD ＝90°，∴BD ，又AB ＝1，∴AD AC ＝2，∴在Rt ACD △中，cos =7A AD AD C C ∠.即直线AD 与平面ABC 所成角的余弦值为7．21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝12PA AD =＝2，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点.(1)若EF ∥平面PAD ，证明：F 为PC 的中点；(2)求点C 到平面PBD 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）由题意，根据线面平行性质定理，结合三角形中位线的性质，可得答案；（2）由题意，利用等体积法，通过计算三棱锥C PBD -，可得答案.【详解】（1）证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .因为P ∈平面PBC ，P ∈平面PAD ，所以可设平面PBC ∩平面PAD ＝PM ，如下图：又因为BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥PM ，因为EF ∥平面PAD ，EF ⊂平面PBC ，所以EF ∥PM ，从而得EF ∥BC .因为E 为PB 的中点，所以F 为PC 的中点.（2）解：因为PA ⊥底面ABCD ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝12AD ＝2，所以PB ==PD ==BD ==所以162DPB S == .设点C 到平面PBD 的距离为d ，由VC －PBD ＝VP －BCD ，得1133DPB BCD S d S PA ⋅=⋅ ，162d BC AB PA =⋅⋅⋅，则162222d =⨯⨯⨯，解得23d =.22．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，E F 、分别是棱BC PD 、的中点.(1)求证:EF 平面PAB ;(2)若60PA AD EF AD AP AB AD PAB ⊥⊥==∠= ，，，，求二面角D PB A --的正切值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明BEFG 是平行四边形，所以有EF BG ，从而根据线线平行得到线面平行.（2）先证明DH PB ⊥，从而得到DHA ∠是二面角D PB A --的平面角，再根据线段数量关系求正切值即可.【详解】（1）证明:取PA 中点G ，如图所示.E F 、分别为BC PD 、中点，∴GF AD ∥，且12GF AD =，又 ABCD 是平行四边形，BE AD ∴∥，且12BE AD =，所以GF BE ∥，且GF BE =，所以BEFG 是平行四边形，所以EF BG ，因为EF ⊄平面PAB BG ⊂，平面PAB ，所以EF 平面PAB .（2）因为EF BG AD EF ⊥∥，，所以AD BG ⊥，因为AD PA ⊥，且BG PA G BG ⋂=⊂，平面PAB PA ⊂，平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB .取PB 中点H ，（如上图），因为PA AB =，所以AH PB ⊥，因为AD ⊥平面PAB PB ⊂，平面PAB ，所以AD PB ⊥，而AD AH A AD AH ⋂=⊂，，平面ADH ，所以PB ⊥平面ADH DH ⊂，平面ADH ，所以DH PB ⊥，所以DHA ∠是二面角D PB A --的平面角.设2AP AB AD a ===，因为60PAB ∠= ，所以AH =，所以tan DA DHA AH ∠==。

重庆市重点高中高二下学期期中数学试题(解析版)

重庆市重点高中高二下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则m 等于（ ）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C2．函数在上的图像大致为（ ） ()3sin xf x x x=-[]π,π-A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答. 【详解】函数定义域为， 3sin ()xf x x x=-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且， 33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x--=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ； ()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求. πx =()(π)πf x f ==故选：B3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（ ）种.A ．48B ．72C ．96D ．120【答案】B【分析】结合分步、分类计数原理求得正确答案.【详解】先进行编号：新疆、甘肃、青海、西藏、四川， A B C D E 按的顺序进行涂色，其中颜色可以相同或不相同， A B C D E →→→→,B D 所以不同的涂色方法数有种. ()432121172⨯⨯⨯⨯+⨯=故选：B4．已知函数在上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） ()212ln 22g x x a x x =--()0,∞+A ．B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，参变分离，可将原问题转化为在上恒成立，再2(2)a x x -…(0,)+∞由配方法，即可得解． 【详解】解：因为在上单调递增， 21()2ln 22g x x a x x =--(0,)+∞所以在上恒成立，即在上恒成立， 2()20ag x x x'=--…(0,)+∞2(2)a x x -…(0,)+∞而，当且仅当时，等号成立， 2(2)(1)11y x x x =-=---…1x =所以，即，21a - (1)2-a …所以实数的取值范围为．a 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦故选：D ．5．3个0和2个1随机排成一行，则2个1相邻的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】B【分析】先求出将3个0和2个1随机排成一行的排法，再求出2个1相邻的排法，由古典概型求解即可.【详解】将3个0和2个1随机排成一行，只需要在5个位子中选2个放1即可，有种排25C 10=法；其中2个1相邻，只需要将2个1捆绑，在4个位子中选1个放1即可，有种排法；14C 4=则2个1相邻的概率为. 42105=故选：B.6．已知椭圆：（）的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，C 22221x y a b+=0a b >>1F 2F P，若坐标原点到，则椭圆离心率为（ ） 1260F PF ∠=︒O 1PFA B C D 【答案】D【分析】设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的1PF m =2PF n =2m n a +=边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值． 【详解】设，， 1PF m =2PF n =作，，1ON PF ⊥21F M PF ⊥，，， 2F 1260F PF ∠=︒即有，，由，13PM a =223PF a =2m n a +=可得，1MF a =因为，在直角三角形中，由勾股定理得， 122FF c =12F MF 2224a c ⎫+=⎪⎪⎭可得 c e a ==故选：D ．7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂,,A B C 至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ） A A ．12 B ．14 C ．36 D ．72【答案】B【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方A A ,B C 案，利用分类、分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种情况：①若厂只接受1个女生，有种分派方案，A 12C 2=则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，,B C 1,22,11233C C 6+=由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案； 2612⨯=②若厂接受2个女生，只有1种分派方案，A 则厂分派人数为，则有种分派方案，,B C 1,112C 2=此时共有种不同的分派方案，122⨯=综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案. 12214+=故选：B.8．已知函数，关于的方程恰有两个不等实根，则()232,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩x ()f x a =()1212,x x x x <的最大值为（ ）212x x ⋅A ． B ．C ．D ．e 2e 22e 2e 【答案】B【分析】作出函数的图像，数形结合可得出实数a 的取值范围，将用a 表示，可得()y f x =12,x x 表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求函数的单调性，进而求出最大值.212x x ⋅【详解】解：作出函数的图像如下图所示：()y f x =由图像可知，当时，直线与函数的图像有两个交点，，3a ≤y a =()y f x =()1,x a ()2,x a ，则，可得， 12x x < 21232ln x a x a ⎧-=⎨=⎩21232e a ax x -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ()21213e 2a a x x =⋅⋅-∴构造函数，， ()()13e 2x g x x =⋅-3x ≤则，()()111e 3e 1e 222x xx g x x x ⎛⎫'-+⋅-=- ⎪⎝⎭=当，，此时函数单调递增， 2x <()0g x '>()y f x =当，，此时函数单调递减，23x <≤()0g x '<()y f x =，()()()22max1e 32e 222g g x =-==⋅故选：B.二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ） A ．B ． 211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()2ln 2'x x=⎡⎤⎣⎦C ．D ．()22'2xxee=()()'1x xxe x e =+【答案】CD【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，，故错误；211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于B 选项，，故错误；()1ln 2'x x =⎡⎤⎣⎦对于C 选项，，故正确；()22'2xxee=对于D 选项，，故正确.()()'1x x x xxe e xe x e =+=+故选：CD10．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ） {}n a n S n 78S S =A ． B ．0d ＞80a =C ． D ．、均为的最大值150S >7S 8S n S 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 n 【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A 错误； {}n a 10n n a a +-<0d <因为，所以，故B 正确； 78S S =8870a S S =-=因为，故C 错误； ()115158151502a a S a +===因为由题意得，，所以，，故D 正确；789000a a a >⎛ = <⎝*78()n S S S n N =≥∈故选：BD11．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（ ） A ．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法54B ．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法34C C ．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 4154C C D ．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 2454C A 【答案】ACD【分析】对A ：根据分步乘法计数原理运算求解；对B ：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C ：根据分步乘法计数原理运算求解；对D ：利用捆绑法运算求解.【详解】对于A ：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A 正确； 5444444⨯⨯⨯⨯=对于B ：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B 错误；2454C A 240=对于C ：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C 正确；45C 14C 4154C C对于D ：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D 正确；2454C A 240=故选：ACD.12．已知函数的定义域为，则下列说法正确是（ ） ()cos f x ax x =+[]0,πA ．若函数无极值，则()f x 1a ≥B ．若，为函数的两个不同极值点，则 1x 2x ()f x ()()12πf x f x a +=C ．存在，使得函数有两个零点 R a ∈()f x D ．当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+【答案】BCD【分析】函数无极值，则或，求解即可判断A ；若，为函数的()f x ()0f x '≥()0f x '≤1x 2x ()f x 两个不同极值点可得，即，代入可求出的值，可判断()()120f x f x ''==12πx x +=()()12f x f x +B ；要使得函数有两个零点，即与有两个交点，画出图象即可判断C ；当()f x cos y x =y ax =-时，对任意，不等式恒成立即证明在1a =[]0,πx ∈()21e 2x f x x ≤+()21cos e 02x g x x x x =+--≤上恒成立即可判断D.[]0,πx ∈【详解】对于A ，若函数无极值，，， ()f x ()sin f x a x =-'[]0,πx ∈则或恒成立，则或， ()0f x '≥()0f x '≤()max sin a x ≥()min sin a x ≤当，则，解得：或，故A 不正确；[]0,πx ∈[]sin 0,1∈x 1a ≥0a ≤对于B ，若，为函数的两个不同极值点，，所以1x 2x ()f x ()()1212sin sin 0'==--'==f x f x a x a x ，12sin sin x x =因为，则，∴，故B 正确； []0,πx ∈12πx x +=()()121122cos cos πf x f x ax x ax x a +=+++=对于C ，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，R a ∈()f x cos cos =-⇒=x ax y x y ax =-在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，cos y x =()π,1-x ()π,1-故C 正确；对于D ，当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+， ()2211cos e cos e 022x x x x x g x x x x +≤+⇒=+--≤，()20100cos00e 02g =+-⨯-=，，()1sin e x g x x x =--'-()001sin00e 0g =---='令，()1sin e xh x x x =---对任意恒成立，()cos 1e 0x h x x --'=-≤[]0,πx ∈在上单减，， ()1sin e x h x x x =---[]0,π()001sin00e 0h =---=对任意恒成立，所以，()1sin e 0x h x x x =---≤[]0,πx ∈()0g x '≤在上单减，()21cos e 2x g x x x x =+--[]0,π()20100cos00e 02g =+-⨯-=对任意恒成立，故D 正确. ()21cos e 02xg x x x x =+--≤[]0,πx ∈故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.三、填空题13．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字） 【答案】144【分析】根据相邻问题捆绑，不相邻问题插空，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，33A 6=第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，24A 12=第三步：甲乙两个人之间全排列，22A 2=由分步乘法计数原理可得总的排法有， 6122144⨯⨯=故答案为：14414．已知的展开式中含项的系数为，则______. ()()52x a x +-3x 60-=a 【答案】/ 120.5【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解. ()52x -3x 60-【详解】，()()()()555222x a x x x a x +-=-+-又的展开式通项为， ()52x x -()()56155C 22C r rr r r r r xT x x x --+=-=-的展开式通项为， ()52a x -()()55155C 22C r rr r r r r aT a x a x --+=-=-，解得. ()()3232552C 2C 60a ∴-+-=-12a =故答案为：. 1215．如图，直三棱柱中，，为线段上的一个动111ABC A B C -122BC AA ==AB AC ==P 1A B 点，则的最小值是_______.PA PC +【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解. 【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，11AA B A 1A BC A 2则.PA PC AC +≥因为直三棱柱中，，，111ABC A B C -122BC AA ==AB AC =所以中，.1Rt A AB △1130,2ABA A B ∠==同理，在中，, 1A AC △12AC =所以160,A BC ∠=所以在图中，, 21190ABC ABA A BC ∠=∠+∠=所以,即2227AC AB BC =+=AC =所以. PA PC +.16．已知函数有三个零点，且有，则()()2e 820e x x x xf x x m m -=-+≠123,,x x x 123x x x <<的值为________. 11e 2x x ⎛- ⎝【答案】12【分析】由得出，令，得出()0f x =2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 2x t x =-2(4)120t m t ++-=，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.e ()2xg x x=-【详解】若，则，即()0f x =2e 820e x x x x x m --+=22e 8e e 20x x x mx mx -⋅-+=当时，可得，不成立，故0x =0e 0=0x ≠等式两边同除以，得∴2x 22e 8e e 20x x xm m x x x--+=即 2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则e 2xt x=-2(4)120t m t ++-= 22Δ(4)41(12)(4)480m m ⎡=+-⨯⨯-=++>⎣方程有两个不等的实根，，∴12,t t 12120t t ⋅=-<令，则，令， 10t >20t >e ()2x g x x =-()21()x e x g x x '-=当时，，当或时，(1,)x ∈+∞()0g x '<(0,1)x ∈(,0)x ∈-∞()0g x '>即函数在上单调递减，在，上单调递增， ()g x (1,)+∞(0,1)(,0)-∞(1)2e 0g =-<如下图所示函数有三个零点，()f x 123,,x x x 123x x x <<31212123e e e 2,22x x x t t x x x ∴=-=-=-由图可知，121e 212x t t x ⎛-=-⋅ =⎝故答案为：12【点睛】方法点睛：已知零点的个数求参数的范围一般思路：利用导数得出函数的简图，由交点的个数结合图象得出参数的范围.四、解答题17．已知()*(31),n f x x n N =-∈(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；()f x 2x (2)苦，且，求. 2023n =()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =-=++++ 012023a a a +++ 【答案】(1)594 (2) 20234【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数；n 2x （2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和.x 【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则()f x 6C n 12n =，所以当时，故展开式中的系数为594； 12112C (3)(1)r r r r T x -+=-10r =1021021112C (3)(1)594T x x =-=2x （2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项2023n =20232023120232023C (3)(1)(1)3C r r r r r r rr T x x --+=-=-⋅r x系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以r x ，又01202301232023a a a a a a a a +++=-+-++⋅⋅⋅+ ，故. ()202301232022033241(31)f a a a a a -=--=-+=--- 20230120234a a a +++= 18．已知函数是的极大值点. ()()()235ln 23,R ,2f x x x a x a a =+-+∈()f x (1)求的值； a (2)求函数的极值. ()f x 【答案】(1)1 (2)极大值，极小值 132-5555ln 36-【分析】（1）由极值点的定义可得，解方程求，验证所得结果是否满足要求； ()0f a ¢=a （2）由（1）可得，结合极值的定义可求函数的极值. 1a =【详解】（1）函数的定义域为， ()()235ln 232f x x x a x =+-+()0,∞+导函数为 ()()()232355323x a x f x x a x x-++'=+-+=∵是函数的极大值点，a ()f x ，即，()()232350f a a a a ∴=++'-=2650a a -+=解得或，1a =5a =当时，，1a =()2385x x f x x-+='当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增， 53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数取得极大值，符合题意；∴1x =()f x 当时，，5a =()23165x x f x x-+'=当时，，函数在上单调递增， 103x <<()0f x ¢>()f x 10,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递減， 153x <<()0f x '<()f x 1,53⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，5x >()0f x ¢>()f x ()5,+∞当时，函数取得极小值，不符合题意；∴5x =()f x 综上，，1a =（2）当a =1时，， ()235ln 82f x x x x =+-由（1）可得当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得极大值， 1x =()f x 132-当时，函数取得极小值.53x =()f x 5555ln 36-19．已知数列的前n 项和为Sn ，满足． {}n a 2n n a S n +=(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}2n a -{}n a (2)若不等式2对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2(23)(2)n n a λλ->--【答案】(1)证明见详解； *1122n n a n N -=-∈，(2) 1322λ<<【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等1n n n a S S -=-122n n a a -=+11222n n a a -=--比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转()()()232n f n n a =--()()1f n f n +-()f n 化为，解不等式即可.()2max 2f n λλ->【详解】（1）①2n n a S n += ②1122,2n n a S n n --∴+=-≥①-②得，即， 12n n n a a a -+=-122n n a a -=+变形可得，11222n n a a -=--又，得112a S +=11a =故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，{}2n a -12由等比数列的通项公式可得， 1122n n a --=-. *1122n n a n N -∴=-∈，（2）令，则 ()()()232n f n n a =--()1232n n f n --=()()12123521222n n nn n nf n f n ----∴+-=-=当或时，， 1n =2n =()()10f n f n +->当时， 3,n n N ≥∈()()10f n f n +-<又，， ()334f =()max 34f n ∴=因为不等式对任意的正整数恒成立，()()22232n n a λλ->--n ，解得. 2324λλ∴->1322λ<<20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ，AB ＝2AD ，且PD ⊥底面⊥ABCD ．(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ； (2)若二面角P －BC －D 为，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． π6【答案】(1)见解析【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.【详解】（1）在平行四边形中，，，，ABCD //AD BC AD BD ⊥ BC BD ∴⊥平面，平面，，PD ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PD BC ∴⊥，平面，平面，PD BD D ⋂= ,PD BD ⊂PDB BC ∴⊥PDB 平面，平面平面. BC ⊂ PBC ∴PBD ⊥PBC （2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，在中，，1AD =2AB =Rt △ABD BD ==平面，平面，，CB ⊥ PDB PB ⊂PDB CB PB ∴⊥，平面，平面，BD CB ⊥ PB ⊂PBC BD ⊂ABCD 在二面角的平面角，即， PBD ∴∠P BC D --π6PBD ∠=在中，， Rt PDB A sin 1PD BD PBD =÷∠=在平行四边形中，，ABCD 1AD BC ==则，，，，()1,0,0A()B ()C -()0,0,1P ，，，()1,0,1AP =-()0,BP = ()1,CP = 设平面的法向量为，PBC (),,n x y z =则，即，化简可得，00n BP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩0x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令，的一个法向量，1y=z =PBC (n =设与平面的夹角为，AP PBC θsin θ21．已知点,,动点,满足直线与直线的斜率之积为,记动点的轨迹()2,0A -()2,0B (),S x y AS BS 14-S 为曲线.C (1)求曲线的方程.C (2)设经过点且不经过点的直线与曲线相交于M ,N 两点,求证:为定值.()1,1--()0,1P l C PM PN k k +【答案】(1)()221,24x y x +=≠±(2)证明见解析【分析】(1)根据题意,由各个点的坐标,根据斜率公式代入上式,进行化简即可得曲线方14AS BS k k ⋅=-程;(2)先考虑直线斜率不存在的情况,写出直线方程,求出M ,N 两点坐标,求出,计算,在l ,PM PN k k PM PN k k +考虑斜率存在的情况,设出直线方程及M ,N 两点坐标,联立方程组,判别式大于零,韦达定理,写出,化简并计算即可得出结果,证明结论.,PM PN k k PM PN k k +【详解】（1）解:因为,直线与直线的斜率之积为,(),S x y AS BS 14-所以,即,, 14AS BS k k ⋅=-1224y y x x ⋅=-+-2x ≠±化简可得:,()221,24x y x +=≠±故曲线的方程为:;C ()221,24x y x +=≠±（2）证明:①当直线的斜率不存在时,直线,l :1l x =-与曲线联立可得:, C ,1,M N ⎛⎛--⎝⎝此时11PM PN k k ==+所以;2PM PN k k +=②当直线的斜率存在时,设直线, l :l y kx m =+因为直线经过点且不经过点, l ()1,1--()0,1P 所以,设,1,1k m m =+≠()()1122,,,M x y N x y 联立可得:, 2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=所以,解得:,()()222264441440k m k m ∆=-+->2241k m +>由韦达定理可得:, 2121222844,4141km m x x x x k k --+=⋅=++因为, 121211,PM PN y y k k x x --==所以 ()12212121211211PM PN x y x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=()()()12212112x kx m x kx m x x x x +++-+=()()12211221kx x m x x x x +-+=()222224482141414441m km k m k k m k --⋅+-⋅++=-+()()222448144k m km m m ⋅---=- 222888844km k km kmm --+=-,()()()21222111k m k km m m k-====-++综上:为定值2.PM PN k k +【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于定值问题的思路有: (1)根据题意分情况讨论直线斜率是否存在; (2) 设直线方程,联立方程组; (3) 判别式大于零,韦达定理;(4) 根据题意建立关于的等式,化简即可. 1212,x x x x +⋅22．已知函数． ()()1ln 1f x ax x=-+(1)若函数的最小值为0，求实数的值； ()f x a (2)证明：对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11e ln x nxx n--≥【答案】(1) 1a =(2)证明见解析【分析】（1）由题，，按和分类讨论，求函数的最小值，解得a 的值；0a ≠0a >a<0（2）由（1）得，即，对命题进行放缩，证明，构1ln 1x x ≥-ln 1≤-x x ()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭造函数，求导数，证明最小值大于或等于零，即原不等式成立.()()e 1ln mg m x m =--【详解】（1）当时，函数的定义域为，， 0a >()0,∞+()22111x f x x x x-'=-=当，，单调递减， ()0,1x ∈()0f x '<()f x 当，，单调递增， ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以，可得； ()()min 1ln 0f x f a ===1a =当时，函数的定义域为，， a<0(),0∞-()221110x f x x x x-'=-=<在上单调递减，无最小值，不合题意． ()f x (),0∞-综上，.1a =（2）证明：由（1）可得不等式恒成立，用替代可得， 1ln 1x x≥-1xx ln 1≤-x x ，由，()()1111e ln 1e ln ln x x nn x x x x n n---≥⇔--≥1ln x x -≥即证，即证，()111e ln 1x n x x n ---≥-()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭令，构造函数，，(]10,1m n =∈()()e 1ln mg m x m =--()1e 1ln m g m m x m ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭由，，1ln 1m m≥-11ln 0m m --≤所以，在上单调递减，，()0g m '≤()g m (]0,1()()()1e 1g m g x ≥=-所以，()()()()()111e e 1ln 1e e 11e e xx xnx x x x x n ⎛⎫-+--≥-+-=-- ⎪⎝⎭由于，在，上同号，在时两式相等，1x -e e x -()0,1()1,+∞1x =所以，()()1e e 0xx --≥所以对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11eln x nxx n--≥【点睛】要证对任意恒成立，变换主元，构造函数()111e e 1ln 0xnx x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭()0,x ∈+∞，求出m 取不同值时函数的变化规律，得函数的最小值，可得只要证()()e 1ln m g m x m =--()g m 对任意恒成立.()()1e e 0x x --≥()0,x ∈+∞。

2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题1. 已知集合M ，N ，若，，则( )A. B.C. D.2. 已知，，则p 的否定是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在数列中，则( )A. 36B. 15C. 55D. 664. 已知数列的前n 项和为，且满足，，则( )A. 0B.C. 1D.5. 已知数列满足，，则数列( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项6.已知数列是等差数列，且若是和的等差中项，则的最小值为( )A.B. C. D.7. 对于数列，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，与中至少有一个不小于M ，则记作▹，那么下列命题正确的是.( )A. 若▹，则数列各项均不小于MB. 若▹，▹，则▹C. 若▹，则D.若▹，则▹8. 已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项( )A.B.C. D.9. 已知数列的通项公式为，则( )A.B.C. D.10. 已知等差数列的前n 项和为，公差为d ，则( )A.B.C.D.11. 已知函数，则下列叙述正确的是( )A. 的最小正周期为B. 是奇函数C. 的图象关于对称D. 不存在单调递减区间12. 对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：则( )A. B. 数列为等比数列C. 数列不单调D.13. 已知锐角满足，则__________.14. 已知数列是等差数列，，，则__________.15.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，记，如记为，记为，记为……依此类推.设数列的前n项和为，则__________，__________.16. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计__________年初的存栏量首次超过8900头参考数据：，17. 已知数列满足，，设证明：数列为等比数列;设数列，记数列的前n项和为，请比较与1的大小.18.记数列的前n项和为，已知，求的通项公式；若，数列的前n项和为，，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值.19.在中，设角所对的边分别为，且满足求证：；求的最小值．20. 已知函数，当时，比较与2的大小；求证：，21. 记等差数列的前n项和为，公差为d，等比数列的公比为，已知，，求，的通项公式；将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.22. 已知函数求函数的极值;若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，集合的包含关系判断，交集运算，属于基础题.根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.【解答】解：，，对于A，当集合时，M不是N的子集，故A错误；对于B，当集合时，N不是M的子集，故B错误；对于C，当集合时，，故C错误；对于D，因为，，且，所以，故D正确.故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分、必要条件的判断，解分式不等式，属于基础题.求解分式不等式，结合集合之间的包含关系，即可判断充分性和必要性.【解答】解：由，解得或，所以p的否定为：，因为不是的子集，且是的子集，所以p的否定是q的必要不充分条件.故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题.利用递推公式，代入计算即可.【解答】解：由题意得，，则故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用分组法求和，属于基础题.由求解即可.【解答】解：故选：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的单调性，根据数列的递推公式求通项公式，属于一般题.根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断.【解答】解：因为，，所以当时，；当时，，故，因为函数在区间上单调递减，所以当，时，是递减数列，又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，等差中项，利用基本不等式求最值，属于中档题.易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解即可.【解答】解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以，解得或舍，又因为是和的等差中项，所以，则，则，所以，且m，，且，，所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义▹，属于较难题．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故可得D正确．【解答】解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，数列各项均不小于M不成立，故A不正确；B中，数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，M可以为，而各项均为3，则▹不成立，故B不正确；C 中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，此时不正确，故C错误；D 中，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故▹，故D正确．故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定，等比数列的通项公式，函数与数列的综合应用问题，属于较难题.由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式，利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到【解答】解：函数的定义域为R，且，为偶函数，图象关于y轴对称，的零点关于y轴对称，又有唯一零点，的零点为，即，，即，又，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，则故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查求数列的项，求数列的前n项和，属于中档题.由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断.【解答】解：由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的基本量计算，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据前n项和公式，以及数列通项与前n项和的关系，结合等差数列的性质，进而可得即可.【解答】解：由题意得：对于选项A：当时，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：由上可知，则，即C错误；对于选项D：因为，且，所以，即D正确.故选：11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用特殊值可判断AC，利用奇函数的定义可判断B，利用导数可判断【解答】解：因为，所以，，故A错误；令，则，所以是奇函数，故B正确；又，所以，所以的图象不关于对称，故C错误；因为，所以不存在单调递减区间，故D正确.故选12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查数列的新定义问题，等比数列的判定与证明，属于中档题.对于A，利用列举法即可判断；对于B，由3是质数，得与互质的数有个，可得，根据等比数列的定义判断即可；对于C，举特例判断不单调即可；对于D，由7为质数，可得与不互质的数共有个，结合对数运算即可求解.【解答】解：不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，，所以数列是以3为公比的等比数列，故B正确；因为，，所以，故数列不单调递增，又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故D错误.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查利用同角三角函数基本关系化简求值，二倍角的正弦公式，属于基础题.利用同角三角函数基本关系及倍角公式计算即可.【解答】解：因为，所以，又为锐角，，所以，即，所以，所以故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.令，可得，，根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案.【解答】解：令，因为，，所以，，则的公差为，所以，故，所以故答案为：15.【答案】43【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据点按一定的规律性变化的特点，找到所在位置即可求解.【解答】解：由题意知第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即……依此类推，可得第n圈的8n个点对应的8n项的和为0，即，设在第k圈，则，当时，，由此可知前22圈共有2024个数，故，点的坐标为，则，点的坐标为，则，所以故答案为：16.【答案】2036【解析】【分析】本题考查等比数列在实际生活中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，构造数列求出数列通项公式，由此能求出结果．【解答】解：由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，化简得，令将代入得，，得，故，即，故数列是以700为首项，为公比的等比数列，故，令，解得，两边取对数得，即因为，故，则，故预计2036年初存栏量超过8900头，故答案为：17.【答案】证明：数列满足，，则，由于，故，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.解：由得，所以，所以，，因为，所以【解析】本题考查了等比数列的判定和通项公式，裂项相消求和，属于中档题.根据题意可得，进而得，可证明结论；根据的结论求得，再根据裂项相消法可求得，即可求得结论.18.【答案】解：当时，，解得；当时，由①，得②，①-②，得，即，又，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，当时，符合，所以的通项公式为；由得，所以③，④，③-④，得，所以，所以，所以，令，得，又，解得，当时，可得，此时数列单调递减，故数列中的最大项为第2项，即【解析】本题考查数列的前n项和与的关系，等差数列的通项公式，错位相减法求和，数列的单调性，属于中档题.当时，得，当时，利用，即可得到通项公式；由得，利用错位相减法求得，代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.19.【答案】解：在中，由已知及余弦定理得到：，即由正弦定理得到，又，故，因为，所以，因为，所以所以由得，所以，，由，得，当且仅当时取等号，所以时，取得最小值【解析】本题考查正、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正余弦定理结合三角形内角和公式可得结论；由得到，，得，再由基本不等式可得最值.20.【答案】解：当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，证明：由知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，【解析】本题考查利用函数导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．利用函数的导数求出的单调性，结合，即可得出结论．根据的结论，当时，，令，，有，利用累加以及对数的运算，证得结论．21.【答案】解：由，得，因为，所以，结合，可得，，，解得，，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；由可知，当时，，又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项，将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，所以的前100项和为【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，分组法求和，属于较难题.根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.22.【答案】解：由题意得：，，所以，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，为，无极大值.由已知得，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则对任意恒成立，下证：对任意恒成立，令，则在上恒成立，且仅当时取"="所以在上单调递减，，即，所以对任意恒成立，只需在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以，即a的取值范围为【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数解不等式，属于较难题．对函数求导，得到函数的单调性，即得到函数的极值;原不等式可化为对任意恒成立，令，利用函数单调递增求a的取值范围.。

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数，则下列说法正确的是（ ）53i1i z +=-A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.【详解】∵，()()()()53i 1i 53i 28i14i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z |z 在复平面内对应的点在第一象限.故选：B2．在ΔABC 中,若 ,则=（ ）3,4,60AB AC BAC ==∠=︒BA AC ⋅A ．6B ．4C ．-6D ．-4【答案】C【分析】向量的点乘，=cos ,BA AC BA AC BA AC ⋅⋅⋅<>【详解】,选C.1==cos 3462BA AC AB AC AB AC BAC ⋅-⋅-⋅⋅∠=-⨯⨯=- 【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC 的补角BA AC与3．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =A ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度123πB ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度126πC ．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度123πD ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度6π【答案】B【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定.【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，sin y x =12sin 2y x =接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π32sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π6sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故A 错误，B 正确；C 中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A 也是错误的，故C 错误；12D 中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，sin2xy =故D 错误.故选：B4．已知向量，，且，则（ ）(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥ 2a b -=A ．B ．C ．D ．810【答案】B【分析】由得，从而得，再求模长即可.a b ⊥620a b m ⋅=-= 2(4,8)a b -=- 【详解】向量，，且，(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥所以，解得，所以，，620a b m ⋅=-=3m =(1,3)b = 2(4,8)a b -=-所以a -= 故选：B.5．等于（备注：）（ ）)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 22sin cos ααα=A ．1B ．2C ．D ．1-2-【答案】C【分析】利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.【详解】)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 70cos101cos 70⎫︒=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒⋅︒11cos102sin 20cos 20sin 202⎛⎫=⋅︒⋅︒⨯ ⎪ ⎪︒⎝⎭()1cos102sin 20cos30cos 20sin 30sin 20=⋅︒⋅︒⨯︒-︒⨯︒︒1cos102sin(2030)sin 20=⋅︒⋅︒-︒︒12cos10sin10sin 20=-⋅︒⋅︒︒，1sin 201sin 20=-⋅︒=-︒故选：C6．已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（ ）a b 3π||4a = ||2b = a 2a b + A ．B ．56π12πC ．D ．13π16π【答案】D【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.a b ⋅【详解】向量，的夹角为，且，，故可得，ab 3π||4a = ||2b = cos 43a b a b π⋅== 则，()22216824a a b a a b ⋅+=+⋅=+=a+= 设向量与向量的夹角为，故，又，故.a 2ab + θ()2cos 2a a b a a b θ⋅+===+[]0,θπ∈θ=16π故选：D.7．中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则下列结论不正确的是ABC ::7:5:3ab c =（ ）A ．B ．sin :sin :sin 7:5:3A BC =0AB AC →→⋅>C ．若，则的面积是D ．是钝角三角形6c =ABC ABC 【答案】B【分析】用正弦定理即可判断A ；用余弦定理可以判断D ，再结合平面向量数量积的定义可以判断B ；先用余弦定理确定A ，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.【详解】对A ，由正弦定理可得正确；对B ，D ，设，∴，A 为钝角，()7,5,30a t b t c t t ===>22222594915cos 022t t t t A bc bc +--==<，B 错误，D 正确；||||cos 0AB AC AB AC A →→→→⋅=<对C ，∵，则，∴∴6c =14,10a b ==215601cos ,sin 21202t A Abc --===-=.1=1062ABC S ⋅⋅= 故选：B.8．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ABAC 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅=ABC ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ AB AC =12AB AC AB AC ⋅=A ∠【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，||AB AB AC ACAB AC 由，可得的角平分线与垂直，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ A ∠BC 所以为等腰三角形，且，ABC AB AC =且，22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅12AB AC AB AC ⋅= 所以，又，1cos 2A Ð=()0,πA ∠∈所以，π3A ∠=所以，π3B C A ∠=∠=∠=所以三角形为等边三角形．故选：D ．二、多选题9．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）2i2i z =+A ．复数z 的虚部是B ．451z =C ．复数z 的共轭复数是D ．复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限24i 55=-z 【答案】AC【分析】利用复数的除法运算求得复数的标准代数形式，然后根据虚部的定义、共轭虚数的定义、复数的模的运算公式、复数的实部和虚部的正负判定各个选择支的正误.【详解】，()()()222i 2i 2i 4i 2i 24i 24i2i 2i 2i 4i 555z --+=====+++--复数z 的虚部为，，，复数z 的共轭复数对应的点位于第一象45z ==24i55=-z 限，故正确，错误，AC BD故选：.AC 10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在12π712πy （ ）A ．的最小正周期为()f x 2πB ．的最大值为2()f x C ．在区间上单调递增()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．为偶函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A ，再利用三角函数的图象ωϕ和性质，得出结论．【详解】由图知，的最小正周期，则.()f x 721212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2ω=由，得.由，得，所以.2122ππϕ⨯+=3πϕ=()0f =sin3A π=2A =()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，则单调递增.5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,322x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦()f x 因为，则不是偶函数，22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：BC ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.11．如图，在四边形中，，，，E 为的中点，ABCD AB AD AC +=||2||2== AD AB 1AB AD ⋅= CD 与相交于F ，则下列说法一定正确的是（ ）AE DB A ．B ．在上的投影向量为1233AF AB AD=+BF ABC ．D ．若，则1AF AB ⋅= 12α=∠DEFtan α=【答案】ABC【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，ABCD AB AD AC +=ABCD 又，，所以，||2||2== AD AB 1AB AD ⋅=60BAD ∠=︒对于 A ：，设 ，12AE AD DE AD AB =+=+ AF AE λ== 1122AD AB AD AB λλλ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为三点共线，,,B F D所以，解得，所以，故选项A 正确；112λλ+=23λ=1233AF AB AD=+ 对于B ：设的夹角为，因为，，,BF AB θ1AB=2,AD BD ==所以，所以，即，222AD AB BD =+BD AB ⊥θ=90︒所以在上的投影向量为 ，故选项B 正确；BF AB||cos 00||||AB ABBF AB AB θ⨯=⨯=对于：由题意， ，故选项C 1233AF AB AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭ 21212112133332AB ABAD +⋅=+⨯⨯⨯=C 正确；对于D ： ，||AF==cos FAB ∠=||||AF AB AF AB ⋅==若，则，又因为，tan α=30α=︒113022DEF FAB α=∠=∠=︒所以，不满足，故选项D 不正确.260FAB α∠==︒cos FAB ∠=故选：ABC.12．对于，有如下命题，其中错误的是（ ）ABC A ．若，则为锐角三角形222sin sin cos 1AB C ++<ABC B ．若，，，则AB =1AC =30B =︒ABC C ．P 在所在平面内，若，则P 是的重心ABC 0PA PB PC ++=ABC D ．若，则为等腰三角形22sin sin A B =ABC 【答案】AB【分析】利用平方关系将不等式条件转化为正弦的表达式，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理得到角为钝角，从而判定A 错误；利用正弦定理求得角有两解，从而得到角也有两解，C C A 进而利用三角形面积公式求得面积有两个不同的值，从而判定B 错误；利用三角形重心的向量公式可判定C 正确；利用正弦定理角化边可得到D 正确，从而确定错误的选项为AB.【详解】若，，，222sin sin cos 1A B C ++<222sin sin 1cos A B C +<-222sin sin sin A B C +<，，故为钝角，故A 错误；222a b c +<222cos 02a b c C ab +-=<C，，，，故，AB c ==1AC b ==30B =︒c b >C B >或，所以或，sin sin c B C b ===60C =︒120︒90A =︒30︒所以面积为错误；ABC 1sin 902bc A =︒30︒=B 设的重心为，若，则ABC G 0PA PB PC ++= 00,33PA PB PC PG ++===所以，重合，故C 正确；,P G 若，根据正弦定理角化边得到,从而,∴为等腰三角形，故D 正确.22sin sin A B =22a b =a b =ABC 故选：AB三、填空题13．若,且三点共线,则＝______()()()1,2,4,8,5,A B C x --A B C 、、x 【答案】10【分析】先由三点坐标，写出向量与的坐标，再由向量共线即可得出结果.,,A B C AB AC【详解】因为，所以，，()()()1,2,4,8,5,A B C x --()5,10AB =()62AC x，=+又三点共线，所以与共线，A B C 、、AB AC因此，解得.()52600x +-=10x =故答案为10【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型.14．在锐角中，，，__________．ABC ∆1cos 3A =AC =ABC ∆BC =【答案】2【详解】分析：先可得出，再由面积公式：AB ，再由∠A 的sin A =1sin 2AC BC A ⋅余弦定理即可求出BC.详解：由题得,故sin A =1sin 2AC AB A ⋅=AB ⇒=2331cos 263BC A BC +-==⇒=答案为2.点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则()2π2sin sin 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x m <2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭实数m 的取值范围是________.【答案】()3,+∞【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析表达式，然后根据已知范围，利用不等式的基本性质和三角函数的性质求得函数在给定区间上的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值m 范围.【详解】()22π2sin sin 2sin cos 2f x x x x x x x⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，π1cos 222sin 216x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭当时，,,,当，即时2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭72,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦()(]0,3f x ∈226x ππ-=3x π=，()3f x =∴在区间上的最大值为3，()f x 2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭所以使得不等式在区间上恒成立，则实数m 的取值范围是.()f x m <2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭()3,+∞故答案为：()3,+∞四、双空题16．如图，平行四边形中，，，，，设ABCD 60DAB ∠=︒3AD =6AB =DE EC =13BF BC =，，用，表示______，______．AB a = AD b = a b AE =AE AF ⋅=【答案】；12a b +632【分析】根据平面向量加法的几何意义和共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】空一：因为，DE EC =所以；111222AE AD DE AD DC AD AB a b=+=+=+=+ 空二：因为，13BF BC =所以，111333AF AB BF AB BC AB AD a b=+=+=+=+ 因此，2211111)()2326(3a b a b a a E b F a b bA A ⋅+⋅+=+⋅+⋅=+ 因为，，，所以，60DAB ∠=︒3AD =6AB =3,6,,60AD b AB a a b ====〈〉=︒所以，1711633663926232AE AF ⨯+⨯⨯⨯⋅=+⨯=故答案为：；12a b + 632五、解答题17．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.ABC ∆,,A B C ,,a b c (),2m a c b =- ()cos ,cos n C A = m n ⊥ (1)求角的大小;A(2)若,求的周长5b c +=ABC ∆ABC ∆【答案】(1)；(2)3π5【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；cos A A （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.bc a 【详解】（1）m n ⊥ ()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-= 由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C CB A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0A C A CB A AC B A +-=+-= A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=sin 2sin cos 0B B A ∴-= ()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2） 11sin sin 223ABC S bc A bc π∆==== 4bc ∴=由余弦定理得：()22222cos 22cos 2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=的周长a ∴=ABC ∆∴5L a b c =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18．已知两个非零向量与不共线，a b (1)若，求证：A ､B ､D 三点共线；,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- (2)试确定实数k ，使得与共线；ka b + k + a b (3)若，且，求实数的值.(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ b c ⊥ λ【答案】(1)证明见解析(2)1k =±(3)32λ=-【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；,AB BD （2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；（3）由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】（1）∵，,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ∴，283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+= ∴共线，,AB BD 又∵它们有公共点B ，∴A ､B ､D 三点共线；（2）∵与共线，ka b + k + a b ∴存在实数，使，λ()ka b a kb λ+=+ 即，∴，ka b a kb λλ+=+ ()(1)k a k b λλ-=- ∵是两个不共线的非零向量，,a b ∴，10k k λλ-=-=∴，解得；210k -=1k =±（3）∵，(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ 且，b c ⊥ ∴，(1,2),120c b c λλλλ=++⋅=+++= 解得.32λ=-19．复数，其中为虚数单位．22i(1i)1i z =++-i (1)求及；z z (2)若，求实数，的值．223i z az b ++=+a b 【答案】(1)，13i z =-+z =(2)3,7.a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；z z （2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的13i z =-+a b 值.【详解】（1）∵，()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-∴z ==（2）由（1）可知，13i z =-+13iz =--由，得：，223i z az b ++=+2(13i)(13i)23i a b -++--+=+即，∴，解得(8)(63)i 23i a b a --++--=+82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩3,7.a b =-⎧⎨=⎩20．已知函数．44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】（1），（2），时T π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．x 24x π+【详解】解：（1），44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π+故的最小正周期；()f x T π=（2）由可得，，[0,]2x π∈2[44x ππ+∈5]4π当得即时，函数取得最小值．所以，时24x ππ+=38x π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =21．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM 于.CN P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+ x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅ 【答案】（1）；（2）.12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC = λ的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，k AP AB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅ 【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，，因此，；34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设，3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即，NP k NC = ()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以，314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+-=+⋅- .221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.22．某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形其中三角形区ABCDE ABE 域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所．其中，，，，为运动小道BCDE AB BC CD DE EA （不考虑宽度），，，千米．120BCD CDE ∠=∠=︒60=︒∠BAE 226DE BC CD ===（1）求小道的长度；BE （2）设，试用表示的面积，并求为何值时，球类活动场所的面积最大值，ABE x ∠=x ABE x ABE 并求出最大值．【答案】（1） （2）球类活动场所BE =ABE 2【分析】（1）连接，在中由余弦定理得的值，在中，求解的值即可.BD BCD △BD Rt BDE BE （2）设，在中，由正弦定理求解、，表示，然后求解最大值.ABE α∠=ABE AB AE ABE S 【详解】（1）如图，连接BD在中，，BCD △3()2DE BC CD km ===120BCD CDE ︒∠=∠=由余弦定理得：2222cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=BD ∴=又BC CD= CDB CBD∴∠=∠又120CDE ︒∠= 90BDE CDE CDB ︒∴∠=∠-∠=在中，Rt BDEBE ===（2）设ABE α∠=60120BAE AEB α︒︒∠=∴∠=- 在中，由正弦定理可知：ABEsin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠，)AB α︒∴=-AE α=011sin 60)sin 221cos(120)cos(120)22)01201202120120ABE S AB AE ααααααααα︒︒︒︒︒︒︒︒︒∴==⨯-⎧⎫⎡⎤=--+---⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-<<∴-<-< 当时，∴60α︒=ABE S=即球类活动场所ABE 2。

2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知、、，若，则的坐标是（ ）()3,4,5A ()0,2,1B ()0,0,0O 25OC AB =C A ． B ．648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可C (),,x y z x y z 得出点的坐标.C 【详解】设点坐标为，则， C (),,x y z (),,OC x y z =又，，()3,2,4AB =---2648,,5555OC AB ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以，，，，则点的坐标为.65x =-45y =-85z =-C 648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭故选：A.2．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（ ） A ．16 B ．15C ．12D ．8【答案】D【分析】根据分类加法计数原理即得.【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法． 故选：D.3．若点P 到点的距离比它到直线的距离大1，则点P 的轨迹方程为（ ） (0,2)1y =-A ． B ．C ．D ．24y x =24x y =28y x =28x y =【答案】D【分析】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到P (0,2)1y =-P (0,2)直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方=2y -P P 程．【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，P (0,2)1y =-∴点到点的距离等于它到直线的距离，P (0,2)=2y -∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是. P ()0,2=2y -P 28x y =故选：D.4．直线与圆的位置关系是（ ） 0()ax y a a +-=∈R 22(2)4x y -+=A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】由， 0(1)ax y a y a x +-=⇒=--所以直线恒过定点，0ax y a +-=()1,0因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆22(12)04-+<()1,022(2)4x y -+=0ax y a +-=相交. 22(2)4x y -+=故选：B5．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的A BCD -DA DB DC 3DB DC ==4=ADE BC 中点，则等于（ ）AE BC ⋅A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向{},,DA DB DC ,AE BC量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．【详解】以为基底向量，则， {},,DA DB DC 0DA DB DA DC DB DC ⋅=⋅=⋅= ∵，()()()1112,222AE AB AC DB DA DC DA DB DA DC BC DC DB =+=-+-=-+=-则()()122AE BC DB DA DC DC DB⋅=-+⋅- ， 2222111111222222DB DC DB DA DC DA DB DC DC DB DC DB =⋅--⋅+⋅+-⋅=-又∵，即，DB DC =22DC DB =∴．0AE BC ⋅=故选：D ．6．已知则“”是“”的（ ）条件. ()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=1m =12l l //A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判m m 断可得；【详解】解：因为若，则，解得()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=12l l //11224m m +-=≠2m =-或，当时，直线与直线重合，所以，若时1m =2m =-11224m m +-==1l 2l 1m =1m =11224m m +-=≠，所以“”是“”的充要条件； 1m =12l l //故选：C7．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，直线与双曲线的一条渐近线22221(0,0)x y a b a b-=>>F A x a =的交点为．若，则双曲线的离心率为 B 30BFA ∠=︒A B C ．2D ．3【答案】C【解析】先求解B 的坐标，再由. ||tan ||AB BFA FA ∠==【详解】由题意可得A （a ，0），双曲线的渐近线方程为：ay ±bx ＝0，不妨设B 点为直线x ＝a 与的交点，则B 点的坐标（a ，b ）， by x a=因为AB ⊥FA ，∠BFA ＝30°，所以e ＝2． ||tan ||AB b BFA FA a c ∠====+故选C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：()00,P x y ()222210x y a b a b+=>>P .已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的00221x x y y a b +=22:132x y C +=M 260x y --=M C 两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）MA MB A B ABA ．B ．C ．D ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA M MA ，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； ()1126132x t y t++=AB AB 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的M 260x y --=()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA 方程为，又在上，所以①，同理可得②； 11132x x y y+=M MA ()1126132x t y t ++=()2226132x t y t ++=由①②可得的方程为，即，即，所AB ()26132x t yt++=()22636x t yt ++=()()431260x y t x ++-=以，解得，故直线恒过定点4301260x y x +=⎧⎨-=⎩1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．在四棱维中，已知⊥底面，底面为正方形，则下列命题中正确的P ABCD -PA ABCD ABCD （ ）A ．平面B ．平面BD ⊥PAC BC ⊥PAD C ．为直线的方向向量 D ．直线的方向向量一定是平面的法向量CDAB BC PAB 【答案】ACD【分析】由条件，根据线面垂直判定定理判断A ，B ，根据方向向量和法向量的定义判断C ，D. 【详解】因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AC BD ⊥AC PA A ⋂=,AC PA ⊂PAC BD ⊥面，A 正确；PAC 因为，平面，平面，所以平面，B 错误；//BC AD AD ⊂PAD BC ⊄PAD //BC PAD 因为，所以为直线的方向向量，C 正确； //CD AB CDAB 因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AB BC ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB BC ⊥面，所以直线的方向向量一定是平面的法向量，D 正确； PAB BC PAB 故选：ACD.10．下列命题正确的是（ ）A ．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4 ()()3,4,0,1a b == a bB ．若向量的夹角为钝角，则 ,a b 0a b ⋅<C ．若向量满足，则或,a b 0a b ⋅= 0a = 0b =D ．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个21,e e 12122,a e e b e e =+=- ,a b基底【答案】ABD【分析】由投影向量的长度公式计算向量在方向上的投影向量的长度，判断A ，根据数量积的a b性质判断B ，C ，根据基底的定义判断D.【详解】对于选项A ，因为，所以向量在方向上的投影向量的长度为()()3,4,0,1a b == a b ，A 正确；4cos ,41a b a a b b⋅===对于选项B ，因为向量的夹角为钝角，所以，所以 ,a bcos ,0a b < ，B 正确；cos ,0a b a b a b ⋅=⋅<对于选项C ，当时，，但且，C 错误；()()3,0,0,1a b == 0a b ⋅=0a ≠ 0b ≠r r 对于选项D ，假设共线，则，又，所以，因为,a b a b λ=12122,a e e b e e =+=- 12122e e e e λλ+=- 不共线，所以，方程组无解，故假设错误，即不共线，所以可作为该平面的一21,e e 21λλ=⎧⎨=-⎩,a b ,a b 个基底，D 正确； 故选：ABD.11．已知抛物线C ：，过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，直线214y x =()()1122,,,A x y B x y AO ，分别于直线m ：相交于两点则下列说法正确的是（ ）BO =2y -,M N .A ．焦点F 的坐标为 ()0,2B ．121y y =C ．的最小值为4FA FB ⋅ D ．与的面积之比为定值 AOB MON △【答案】BCD【分析】A 选项，根据抛物线方程直接求出焦点坐标即可；B 选项设出直线，联立抛物线，根据韦达定理得到；C 选项，根据抛物线的性质得到，进而求出的121y y =121,1FA y FB y =+=+ FA FB ⋅最小值；D 选项，利用三角形面积公式及线段比值求出面积比为定值. 【详解】由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A 错误； 24x y =()0,1显然直线AB 的斜率存在，设斜率为k ，则直线AB 的方程为，1y kx =+联立，消去x 得到，214y kx x y=+⎧⎨=⎩()222410y k y -++=，，，故B 正确；4216160k k ∆=+ (2)1224y y k +=+121y y =由抛物线性质知， 121,1FA y FB y =+=+ 则， ()()()2121212111444FA FB y y y y y y k ⋅=++=+++=+ …当且仅当时，取得最小值为4，故 C 正确；0k =FA FB ⋅显然，（定AOB MON ∠=∠12121||||sin ||||121||||2244||||sin 2AOB MONOA OB AOBS y y y y OA OB S OM ON OM ON MON ∆∆⋅⋅⋅∠⋅===⋅==⋅⋅⋅⋅∠值），故D 正确． 故选：BCD ．12的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右()22122210x y C a b A A a b +=>>：，，12,B B 12,F F 焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）P CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴 D ．四边形的内切圆过左右两个焦点1PF x ⊥1221A B A B 【答案】BD【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，求出相应的离心率，结合“黄金椭圆”的定义判断.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a a b +=++化简得，即有， 220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，因为轴， 由，解得， 1PF x ⊥()22221Pc y a b-+=2P b y a =±无法确定椭圆的离心率，不符合题意，故C 错误；对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ，1221A B A B 1F 2F 1221A B A B则，可得 1122ab =222b a c =-()()2222222a a c c a c -=-即，又，所以 即D 正确. 42310e e -+=01e <<2e =e =故选：BD.三、填空题13．学校食堂在某天中午备有种素菜，种荤菜，种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可532以配制出不同的套餐______种． 【答案】30【分析】利用分步计数原理求解即可【详解】要配成一荤一素一汤的套餐，需要分三个步骤完成： 第一步：从5种素菜中任选1种有5种选法， 第二步：从3种荤菜中任选1种有3种选法， 第三步：从2种汤中任选1种有2种选法， 根据分步计数原理，一共可以配制出 种不同的套餐，53230⨯⨯=故答案为：3014．已知F 为双曲线的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于22:149x y C -=虚轴长的2倍，点在线段PQ 上，则的周长为________． A PQF △【答案】32【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解2a 决．求出周长即可．【详解】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右22:149x y C -=(F A 焦点，虚轴长为：6； 双曲线图象如图：① ||||24PF AP a -== ②||||24QF QA a -==而， ||12PQ =①＋②得：，||||||8PF QF PQ +-=∴周长为． ||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=故答案为32．【点睛】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐13-l 2222:1x y C a b+=0a b >>A B AB 标为，则椭圆的离心率等于______. ()1,1C【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．()1,1AB 13-C 【详解】解：设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则①，②， 2211221x y a b +=2222221x y a b+=是线段的中点，()1,1 AB ，， ∴121()12x x +=121()12y y +=直线的方程是，AB 1(1)13y x =--+，12121()3y y x x ∴-=--①②两式相减可得：， 222212122211()()0x x y y a b-+-=， ∴121212122211()()()()0x x x x y y y y a b -++-+=， 121222112()2()0x x y y a b∴⨯-+⨯-=， ∴2213b a =， 222213b e a ∴=-=e ∴=. 16．正方体棱长为2，E 是棱的中点，F 是四边形内一点（包含边1111ABCD A B C D -AB 11AA D D 界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为1FE FD ⋅=EF ABCD 1F AEB -__________．【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设，利用数量积的坐标运算表示出(0,,)F m n ,m n 的关系，进而表示出直线与平面所成的角的正切值，求得其取最大值时m 的值，即可求EF ABCD 得三棱锥的体积.1F AEB -【详解】如图，以A 为坐标原点，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，1,,AB AD AA则，设，(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)A E D (0,,),[0,2],[0,2]F m n m n ∈∈则，22(1,,)(0,2,)21FD m n m n m m n FE ⋅=--⋅--=-+=设与平面所成的角为，在平面内作,垂足为P, EF ABCD θ11AA D D FP AD ⊥由于正方体中，平面平面， 1111ABCD A B C D -11AA D D ⊥ABCD 平面平面，平面,11AA D D ⋂ABCD AD =FP ⊂11AA D D 则平面 ，连接,则 ,，FP ⊥ABCD EP π,[0,2FEP θθ∠=∈,FP n EP==所以tanθ====令1,tan t mθ=+∴==由于，当且仅当 222t t-+≥t =即时，最大，此时与平面所成的角最大， 1m =ta nθ=EF ABCD 此时三棱锥的体积为1F AEB -11111)12332AEB m S ⋅=⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.四、解答题17．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为，过点； ()12,0F 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)经过两点． ()2,1A B ⎛- ⎝，【答案】(1)221106x y +=(2)22182x y +=【分析】(1)由条件求出左焦点坐标，结合椭圆的定义求，再由关系求即可；a ,,abc b (2)设椭圆方程为，由条件求即可.()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠,m n 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，a b因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，1F ()2,0()22,0F -224a b -=又椭圆过点，所以， 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，122a PF PF =+所以2a =所以，故，所以椭圆的标准方程为；a =b 221106x y +=（2）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，()2210,0,mx ny mn m n +=>>≠()2,1A B ⎛- ⎝，所以，解得， 413212m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1812m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为.22182x y +=18．如图，在四棱锥中，，，底面为矩形.P ABCD -PA BC ⊥PA BD ⊥ABCD(1)证明：平面平面；PAB ⊥PAD (2)若，与所成角的大小. 1==PA AB AD =AB PC 【答案】(1)证明见解析 (2)60°.【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质的得到平面，根据面面垂直的判定证出平面AB ⊥PAD 平面；PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角），利用已知条件//AB CD AB PC PCD ∠，则，求出各边长度即可求解. CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=【详解】（1）证明：因为，， PA BC ⊥PA BD ⊥且，平面， BC BD B = ,BC BD ⊂ABCD 所以平面，PA ⊥ABCD因为平面，所以， AB ⊂ABCD PA AB ⊥又底面为矩形，所以， ABCD AD AB ⊥因为，平面， PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面， AB ⊥PAD 又平面， AB ⊂PAB 所以平面平面.PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）. //AB CD AB PC PCD ∠由（1）知，平面，因为，所以平面， AB ⊥PAD //AB CD CD ⊥PAD 因为平面，所以，从而， PD ⊂PAD CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=因为平面，所以，所以. PA ⊥ABCD PA AD ⊥PD ==故与所成的角为60°.tan PCD ∠=AB PC 19．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知P 射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游AB AC 120︒AB AC客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得M N P M N PM PN AM =.AN =（1）求线段的长度；MN （2）若，求两条观光线路与之和的最大值. 60MPN ∠=︒PM PN 【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．【分析】（1）用余弦定理，即可求出；AM AN =0120MAN ∠=MN（2）设，，用正弦定理求出，PMN α∠=120PNM α∠=︒-()120PM α=︒-PN α=，展开，结合辅助角公式可化为，由的取()120PM PN αα+=︒-+()6sin 30α+︒α值范围，即可求解．【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，AMN ∆，，22212cos12033292MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅︒=+--= ⎪⎝⎭3MN =所以线段的长度为3千米；MN （2）设，因为，所以， PMN α∠=60MPN ∠=︒120PNM α∠=︒-在中，由正弦定理得，PMN ∆()3sin sin 120sin sin 60MN PM PN MPN αα====∠︒-︒所以，， ()120PM α=︒-PN α=因此()120PM PN αα+=︒-+1sin 2ααα⎫=++⎪⎪⎭，()3cos 6sin 30ααα=+=+︒因为，所以.0120α︒<<︒3030150α︒<+︒<︒所以当，即时，取到最大值6. 3090α+︒=︒60α=︒PM PN +所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． PM PN 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 20．已知直线，点 22l x y +=：()()2,00,1A B --，(1)求线段的中垂线与直线的交点坐标； AB l (2)若点在直线上运动求的最小值．P l PA PB +【答案】(1)111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)先由点斜式求线段的中垂线方程，联立方程组求其与直线的交点坐标； AB l (2)求点关于直线的对称点的坐标，再求的长度即可.A l A 'AB '【详解】（1）因为，所以的中点坐标为，()()2,00,1A B --，AB 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线的方程为，所以线段的中垂线的斜率为2，AB 112y x =--AB 则线段的中垂线方程为，化简得，AB ()1212y x +=+322y x =+联立，解得，32222y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩151110x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以线段的中垂线与直线的交点坐标为；AB l 111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设A 点关于直线对称的点为，22l x y +=：(),A x y '则的中点坐标为，因为点在直线上，故： AA '2,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭22l x y +=：①，又直线的斜率为2，故：②， 222x y -+=AA '22yx =+联立①②解得：，因为，216,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭'PA PBPA PB A B ''+=+≥所以的最小值为PA PB +A B '=21．图是直角梯形，，，，，，，以1ABCD //AB CD 90D ∠= 2AB =3DC=AD =2CE ED =为折痕将折起，使点到达的位置，且.BE BCE C 1C 1AC =2(1)求证：平面平面；1BC E ⊥ABED (2)在棱上是否存在点，使得到平面的1DC P 1C PBE P BE A --大小；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线1,C BE ABE BE G 合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；1C G BE ⊥1C G AG ⊥（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向G (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果. P λ【详解】（1）在图中取中点，连接，，1CE F BF AE，，，，，2CE ED =3CD =2AB =1CF ∴=1EF =，，，四边形为矩形，，2DF AB == //DF AB 90D ∠= ∴ABFD BF CD ∴⊥，又，为等边三角形；2BE BC ∴===2CE =BCE ∴△又，为等边三角形； 2AE ==ABE ∴ 在图中，取中点，连接，2BE G 1,AG C G为等边三角形，，，1,C BE ABE 1C G BE ∴⊥AG BE ⊥，， 1C G AG ∴==1AC =22211AG C G AC ∴+=1C G AG ∴⊥又，平面，平面，AG BE G = ,AG BE ⊂ABED 1C G ∴⊥ABED 平面，平面平面.1C G ⊂ 1BC E ∴1BC E ⊥ABED （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， G 1,,GA GB GC,,x y z则，，，，，()0,1,0B ()0,1,0E-)A(1C 3,02D ⎫-⎪⎪⎭，，，132DC ⎛∴= ⎝ ()0,2,0EB =(1EC = 设棱上存在点且满足题意，1DC (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤即，解得：，即，3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩33,22P λ⎫-⎪⎪⎭则，31,22EP λ⎫=+⎪⎪⎭设平面的法向量，PBE (),,n a b c =则，令，则， 3102220EP n a b c EB n b λ⎧⎫⎛⎫⋅=++=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎭⎪⋅==⎩ 2a =01b c λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，12,0,n λλ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭到平面的距离为，解得：， 1C ∴PBE d 13λ=，()2,0,2n ∴=又平面的一个法向量， ABE ()0,0,1m =cos ,m n m n m n ⋅∴<>===⋅又二面角为锐二面角，二面角的大小为.P BE A --∴P BE A --4π22．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，且经过点xOy C 22221(0,0)x y a b ab -=>>()3,0．()(1)求双曲线的标准方程；C (2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线有且仅有一个公A B C AB l C 共点．当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方P P PAB x 3:2AB 程．【答案】(1)；22163x y -=(2). y =【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（2）分别将直线以及直线的方程与双曲线联立，表示出点与点的坐标，然后根据题意得AB l B P 到关于的方程组，解方程组即可求出结果.,k m 【详解】（1）因为的右焦点为，且经过点，22221(0,0)x y a ba b-=>>()3,0()所以，解得．22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2263a b ⎧=⎨=⎩故双曲线的标准方程为．C 22163x y -=（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为．AB AB y kx =联立消去，得．22163x x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩y ()221260k x --=由得且， 21200k k ⎧->⎨≠⎩k -<<0k ≠解得．22612x k =-因为与垂直，所以设的方程为． l AB l 1y x m k=-+联立消去，化简得．221631x y y x m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩y ()()222224230k x kmx k m -+-+=由且，得．k -<<0k ≠220k -≠因为与双曲线有且仅有一个公共点，l 所以，即，Δ0=()()22222168320k m k m k ++-=化简得，且点． ()22232k m k =-2222,22km mk P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭因为点位于第一象限，所以，． P 0m<0k <<不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为． A B BP x M 因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等， PAB x 3:2PAO PBO 所以与的面积比为，由此可得．POM BOM 1:44PB y y =-因此，即． 2242mk k ⨯=--()22222616122m k kk ⨯=--又因为，所以，解得． ()22232k m k =-223616212k k ⨯=--225k =因为，所以0k <<k =故直线的方程为． AB y =【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.。

山东省高二下学期期中考试数学试题(解析版)

山东省高二下学期期中考试数学试题(解析版)

一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（ ） ()ln 1y x x =-()2,0A ． B ． 24y x =-24y x =+C ． D ．2y x =+2y x =-【答案】A【分析】求函数在点 处的导数值，根据点斜式求切线方程.. ()ln 1y x x =-()2,0【详解】因为， ()ln 1y x x =-所以， ()ln 11xy x x '=-+-所以， ()22ln 21221x y ==-+=-'所以曲线在点处的切线斜率为，()ln 1y x x =-()2,02所以曲线在点处的切线方程为， ()ln 1y x x =-()2,0()22y x =-即， 24y x =-故选：A. 2．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）322(nx x +A ．60 B ．80 C ．100 D ．120【答案】B【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. n 【详解】当时，，解得，1x =3243n =5n =则的展开式第项， 322()n x x +1r +351532155152552C ()(C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===令，解得，所以，1550r -=3r =335C 210880=⨯=故选：B3．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．1101531025【答案】D【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；35A 54360=⨯⨯=要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.33A 3216=⨯⨯=33A 3216=⨯⨯=所以该三位数能被3整除的概率为. 242605=故选：D4．已知随机变量 分别满足，，且期望，又,X Y (8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =，则（ ） 1(3)2P Y ≥=p =A ．B ．C ．D ．18143858【答案】C【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，μ可求得答案.【详解】由题意知，，，(8,)X B p ~()2,Y N μσ:()()E X Y E =故， 8p μ=由，知，故， 1(3)2P Y ≥=3μ=383,8p p =∴=故选：C5．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件A ：“区域1和区域3颜色不同”，事件B ：“所有区域颜色均不相同”，则（ ）()P B A =A ．B ．C ．D ．27122334【答案】B【分析】根据条件概率的公式，分别计算出事件A 和事件B 的基本事件即可. 【详解】A 事件有 个基本事件， 21115322A C C C :::B 事件有 个基本事件，55A；()5521115322A 1|A C C C 2p B A ∴==:::故选：B. 6．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） 3212()33f x x x =+-1a -5a +a A ．[－5,1) B ．(－5,1) C ．[－2,1) D ．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间1a -5a +内，且在端点处的函数值不能超过极小值．【详解】由，令，可得或， 2()2f x x x =+'()0f x '=2x =-0x =由得：或，由得：，()0f x '><2x -0x >()0f x '<20x -<<所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，()f x (,2)-∞-(2,0)-(0,)+∞所以函数在处取得极小值，0x =2(0)3f =-令，解得或， ()32122333f x x x =+-=-0x =3x =-若函数在(,)内存在最小值，则，得． ()f x 1a -5a +3105a a -≤-<<+21a -≤<故选：C 7．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ） 21()cos 4f x x x =+()f x '()f x ()f x 'A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】求出导函数，根据奇偶性可得BD 不正确；根据可得C 不正确；()f x 'ππ()1024f '=-<【详解】因为，所以，21()cos 4f x x x =+1()sin 2f x x x '=-因为，所以为奇函数，其图象关于原点对称，故11()sin()sin ()22f x x x x x f x ''-=---=-+=-()f x '因为，故C 不正确；ππ(1024f '=-<故选：A8．已知，则（ ）66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 3a =A ．15 B ．20 C ．60 D ．160【答案】D【分析】由已知得，再根据二项式展开式的通项()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 公式求得的系数可得选项.()31x -【详解】因为，66016(1)(1)(1)x a a x a x +=+-++- 所以，()666016(1)2+1(1)(1)x x a a x a x +=-=+-++-⎡⎤⎣⎦ 所以展开式中含的项为，所以. ()31x -()()33336116012C x x ⨯⨯-=-3160a =故选：D.【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （1C rn rr r n T ab -+=）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展0,1,2,,r n =⋅⋅⋅1r +r rn C 开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意1r +1r +.0,1,2,,r n =⋅⋅⋅二、多选题9．一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到黑球记0分，记3次取球后的总得分为X ，则（ ） A ．X 服从二项分布 B ． 9(1)64P X ==C ． D ． 3()4E X =3()16D X =【答案】AC【分析】根据已知，即可判断A 项正确；求出每次取球后得1分的概率，可得，进而根13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭据二项分布求解，判断B 、C 、D.【详解】对于A 项，由题意知，每次取球的结果只有2个可能.取后放回，所以X 服从二项分布，对于B 项，每次取球后得1分的概率，则.14p =13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以，，故B 项错误； 12131127(1)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C 项，因为，所以，故C 项正确；13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭13()344E X =⨯=对于D 项，因为，所以，故D 项错误.13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭119()314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭故选：AC.10．已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则（ ） nA ．B ．二项式系数最大的项为中间项 9n =C ．系数最大的项为中间项D ．含的项是第6项3x 【答案】BC【分析】根据倒数第三项的系数求出，可知A 不正确；根据二项式系数的性质以及展开式的通项n 公式对另外三个选项进行分析可得答案.【详解】展开式的通项为，n 1C n kkk k n T -+=⋅11312=C k n knx-所以倒数第三项的系数为，故，即，所以， 2C n n -2C 45n n-=2C 45n =(1)452n n -=所以，得或（舍）.故A 不正确；(10)(9)0n n -+=10n =9n =-因为，所以展开式共有项，所以二项式系数最大的项为中间项，故B 正确； 10n =11因为展开式中各项的系数与该项的二项式相等，所以系数最大的项为中间项，故C 正确；因为，所以展开式的通项为，10n =10110C kkk k T -+=⋅113012=C k knx-令，得，所以含的项是第项，故D 不正确. 1130312k -=6k =3x 1617k +=+=故选：BC11．下列选项正确的是（ ）A ．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种B ．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C ．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D ．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 【答案】ABD【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可.【详解】对于A:,故A 正确；57A 2520=对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个，即或所以有种，故B 正确；722111,=++++731111,=++++22375722C C C 140A +=对于C:应用隔板法，C 选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C 错误；27C 21=对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数， 存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式； 存放2个盒子，有3种；71+6=2+5=3+4=存放3个盒子，有4种； 71+1+5=1+2+4=1+3+3=3+2+2=共有8种，故D 正确. 故选：ABD.12．若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数m ()f x m ≥x D ∈()f x D m 的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，()f x M ()f x M ≤x D ∈()f x D 其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说M ()f x 法正确的是（ ）A ．1是函数的一个下界()1(0)f x x x x =+>B ．函数有下界，无上界()ln f x x x =C ．函数有上界，无下界()2e xf x x =D ．函数有界()2sin 1xf x x =+【答案】ABD【分析】由基本不等式可判断A ；利用导数可确定，即可判断B ；由恒成()1e f x ≥-()2e 0xf x x=>立即可判断C ；利用放缩法即可判断D.【详解】对于A ，当时，（当且仅当时取等号）， 0x >12x x+≥1x =恒成立，是的一个下界，故A 正确；()1f x ∴>1∴()f x 对于B ，∵，()ln 1(0)'=+>f x x x 当时，；当，， ∴10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>在上单调递减，在上单调递增，∴()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，∴有下界，()11e e f x f ⎛⎫∴≥=- ⎪⎝⎭()f x 又当越来越大时，趋向于，∴无上界， x ()f x +∞()f x 综上所述，有下界，无上界，故B 正确；()ln f x x x =对于C ，，，，有下界，故C 错误；20x > e 0x>2e 0xx ∴>∴()f x 对于D ，，， sin [1,1]x Q Î-2221sin 1111x x x x -∴≤≤+++又，， 2111x -≥-+2111x ≤+，既有上界又有下界，故D 正确． 2111sin xx ∴-<<+()f x \故选：ABD ．【点睛】关键点睛：函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题．三、填空题13．的展开式中，项的系数为___________. ()62123x x ++3x 【答案】340【分析】由于，根据二项式定理，可得其展开式的通项为()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦，其中，由此可知，再结合的范围，即可求出6C C 23r k r k k r kr x -+06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈3r k +=,k r 结果.【详解】由于，()()6622123123x x x x ⎡⎤++=++⎣⎦所以其展开式的通项为，其中()22666C 23C C 23C C 23rrr k r k k r k k r k r k k r k r r x x x x x ---++==，06,N,N k r r k ≤≤≤∈∈为得到展开式中的系数，则，()62123x x ++3x 3r k +=当时，的系数为；2,1r k ==3x 2121162C C 23=180-当时，的系数为；3,0r k ==3x 303063C C 23=160所以展开式中的系数为. ()62123x x ++3x 180160340+=故答案为：.34014．某社区有2个核酸检测点，现有6名志愿者将被派往这2个检测点协助核酸检测工作，每个志愿者只去1个检测点，每个检测点至少需要2名志愿者，则不同的安排方法种数为___________.（请用数字作答） 【答案】50【分析】由题可知，存在两种分组情况，分类讨论，先分组，后排列，利用排列组合求每种分组情况的数值，最后求和即可. 【详解】根据题意分两种情况：第一种情况：将6人分为人数为2和4的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安246415C C =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =15230⨯=第二种情况：将6人分为人数为3和3的2组，有种分组方式，将分好的组全排列，安33632210C C A =排到2个核酸点，有种情况，则有种不同的安排方法；222A =10220⨯=故不同的安排方法总共有种. 302050+=故答案为：50.15．已知函数在上的最大值为2，则______． ()ln f x x x k =-+[]1,e ()f k =【答案】ln3【分析】直接对函数求导，利用函数在区间上单调性和条件，求出值，从而求出结果. []1,e k 【详解】因为，所以， ()ln f x x x k =-+()111x f x x x-'=-=又，所以在上恒成立，即在区间上单调递减， []1,e x ∈()0f x '≤[]1,e x ∈()f x []1,e 所以，得到，故， ()1ln112f k =-+=3k =()ln 3f x x x =-+所以.()(3)ln3f k f ==故答案为：.ln316．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中1A 2A 3A 取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是______．①事件，相互独立；②；③；④；⑤．1A 2A ()315P A =()922P B =()2911P B A =()159P A B =【答案】③⑤【分析】首先判断出，和是两两互斥事件，再判断与是否相等，可确1A 2A 3A ()12P A A ()()12P A P A ⋅定①；求出可判断②；利用全概率判断③；再利用条件概率判断④⑤. ()3P A 【详解】依题意，，和是两两互斥事件， 1A 2A 3A ，， ()1515232P A ==++()2215235P A ==++()33352310P A ==++又，①②错误；()()()12120P A A P A P A =≠⋅ ∴又，， ()()()11115525331112P BA P B A P A ⨯++=== ()()()22214454431115P BA P B A P A ⨯++===()()()3333441043431110P BA P B A P A ⨯++===()()()()()()()112233P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅，③正确，④错误； 5141439112115111022=⨯+⨯+⨯=，⑤正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===故答案为：③⑤.四、解答题17．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答） (1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序? (2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序?(3)如果歌曲甲不在第一个出场，舞蹈乙不在最后一个出场，那么有多少种不同的出场顺序? 【答案】(1) 576(2) 1440(3) 3720【分析】(1)捆绑法：先将4首歌曲捆绑，然后与3个舞蹈排序，有（种）不同的出场4444A A 576⋅=顺序.（2）插空法：先将4首歌曲排好，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，4345A A 1440⋅=（种）不同的出场顺序.（3）有条件限制类排列：可用排除法，7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场77A 时，有种情况，舞蹈乙在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且66A 66A 舞蹈乙在最后一个出场的情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲与3个舞蹈排序，有44A 44A 种情况，所以有（种）不同的出场顺序.4444A A 576⋅=（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情44A 35A 况，所以有（种）不同的出场顺序.4345A A 1440⋅=（3）方法一：7个节目全排列，有种情况，其中歌曲甲在第一个出场时，有种情况，舞蹈乙77A 66A 在最后一个出场时，有种情况，其中都包含了歌曲甲在第一个出场且舞蹈乙在最后一个出场的66A 情况，有种情况，故共有（种）不同的出场顺序.55A 765765A 2A A 3720-+=方法二：歌曲甲在最后一个出场时，其他节目可全排，有种情况；歌曲甲不在最后一个出场66A 时，可从余下的5个位置任选一个，有种情况，而舞蹈乙可排在除去最后一个位置后剩下的515A 个位置中，有种情况，其余节目全排列，有种情况，共有（种）不同的15A 55A 61156555A A A A 3720+=出场顺序.18．函数在和单调递增，在单调递减.32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x（2）求在上的最大值和最小值.()f x []1,2-【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为16和. 32()43185f x x x x =--+614-【分析】（1）．根据函数在和，单调递2()122f x x ax b '=++32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+增，在单调递减．可得，是的两个实数根．利用根与系数的关系即可得出； 3(1,)2-1-32()0f x '=（2）由已知可知函数在，单调递减，函数在，上单调递增．进而得出最值． ()f x [1-3)2()f x 3(22]【详解】（1）．2()122f x x ax b '=++函数在和，单调递增，在单调递减． 32()45f x x ax bx =+++(,1)-∞-3(2)∞+3(1,)2-，是的两个实数根． 1∴-322()1220f x x ax b '=++=，． 3126a ∴-+=-31212b -⨯=解得，．3a =-18b =-，满足条件． 23()1261812(1)(2f x x x x x ∴'=--=+-．32()43185f x x x x ∴=--+（2）因为函数在和单调递增，在单调递减.所以函32()43185f x x x x =--+(,1)-∞-3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭数在，单调递减，函数在，上单调递增． ()f x [1-3)2()f x 3(22]当时，函数取得极小值即最小值，． ∴32x =()f x 361()24f =-又，（2）．(1)16f -=f 11=-时，函数取得最大值为16．1x ∴=-()f x 所以函数在上的最大值和最小值分别为16和. ()f x []1,2-614-【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小()W x ()3123W x x x =+于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售()64727W x x x=+-完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成()P x x本-流动成本.）(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)； ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩(2)当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可；04x <<4x ≥()P x （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，04x <<()max 10()23P x P ==4x ≥()P x 比较即可得出答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，04x <<()33116224233x x x x x P x ⎛⎫=--+=-+- ⎪⎝⎭4x ≥. ()64646272725P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-- ⎪⎝⎭所以. ()3142,0436425,4x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，令，解得.04x <<()24P x x '=-+()0P x '=2x =易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，()P x ()0,2()2,404x <<. ()max 10()23P x P ==当时，， 4x ≥()6425259P x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取等号. 64x x=8x =综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元.20．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. 34（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为，求的分布列及数学期望和Y Y 方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，，. ()15E Y =75()4D Y =【分析】（1）分别利用超几何概型和二项分布计算甲、乙通过自主招生初试的概率即可； （2）乙答对题的个数服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用，即得X 5Y X =解.【详解】解：（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，甲通过自主招生初试的概率 ∴314626144881114C C C P C C =+=参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试. 在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为， 34乙通过自主招生初试的概率 ∴43324313189(444256P C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，甲通过自主招生初试的可能性更大. 1118914256> ∴（2）根据题意，乙答对题的个数的可能取值为0，1，2，3，4. X ~X B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭且()4431()0,1,2,3,444k k kP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5Y X =的概率分布列为：∴Y Y 0 510 15 20 P 1256364 27128 2764 81256 3()554154E Y np ∴==⨯⨯=. 3175()25(1)254444D Y np p =-=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了超几何分布和二项分布的概率和分布列，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21．为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用表示X 样本中次品的件数.(1)求的分布列（用式子表示）和均值；X(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过的概率.0.1参考数据：设，则(),0,1,2,,20k P X k p k === ，56780.06530,0.12422,0.17972,0.20078p p p p ====.91011120.17483,0.11924,0.06376,0.02667p p p p ====【答案】(1)的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X ()8E X =(2)0.79879【分析】（1）由题意随机变量服从超几何分布，从而即可求解；X （2）样本中次品率是一个随机变量，由题意，，根据参2020X f =()200.40.1(610)P f P X -≤=≤≤考数据即可求解.【详解】（1）解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立， 所以由题意随机变量服从超几何分布，X 所以的分布列为，的均值为； X ()20406020100,0,1,2,,20k k C C P X k k C -=== X 40()208100E X np ==⨯=（2）解：样本中次品率是一个随机变量， 2020X f =所以()200.40.1(610)(6)(7)(8)(9)(10)P f P X P X P X P X P X P X -≤=≤≤==+=+=+=+=.0.124220.179720.200780.174830.119240.79879=++++=所以误差不超过的概率为.0.10.7987922．已知函数.()2e e 7x f x ax =-+-(1)当时，求曲线在处的切线方程；7a =-()y f x =1x =(2)若，，求a 的取值范围. [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥【答案】(1)2(e 7)e 7y x =++-(2)2(,e 7]-∞-【分析】(1)根据导函数的几何意义求切线方程；(2)参变分离可得，利用导数讨论的最值即可求解. 224e 74e 284x x a x-+-≤224e 74e 28()x x g x x -+-=【详解】（1）当时，，则， 7a =-2()e 7e 7x f x x =++-()e 7x f x '=+则(1)e 7f '=+又，所以所求切线方程为， 2(1)e e f =+2(e e)(e 7)(1)y x -+=+-即.2(e 7)e 7y x =++-（2），等价于, [0,x ∀∈+∞）()274f x x ≥2270,)7[,e e 4x x ax x ∈+∞-+-≥①当时，显然成立;0x =2e 60-≥②当时，不等式 0x >227e e 74x ax x -+-≥等价于, 224e 74e 284x x a x-+-≤设，则. 224e 74e 28()x x g x x -+-=2224(1)e 74e 28()x x x g x x ---+'=设，22()4(1)e 74e 28x h x x x =---+则,()4e 142(2e 7)x x h x x x x '=-=-）时，，当）时，, 7(0,ln 2x ∈()0h x '<7(ln ,)2x ∈+∞()0h x '>则在上单调递减，上单调递增. ()h x 7(0,ln )27(ln ,)2+∞因为，所以，且, 2(0)4(6e )0h =-<7(ln 02h <()20h =则当时，，当）时，. ()0,2x ∈()0g x '<(2,x ∈+∞()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x (0,2)(2,)+∞则,2min ()(2)4e 28g x g ==-则，故a 的取值范围为. 244e 28a ≤-2(,e 7]-∞-。

高等数学C作业参考答案

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)f f f x((()))极限n−−−x→∞)时是无穷小；)时是无穷大.时是无穷小；0x +→以及）既不是无穷小，又不是无穷大；）前者是无穷小，后者是无穷大n x b <<连续，由最值定理知，在和最小值m ，即有,,(M m f ≤()()2n x f x n++由介值定理可知，在1[,]n x x 上至少存在一点)()2n f x ++e 2xx -=-上连续，且()0(0)F f =40>，由零点定理可知，()10f =()2arctan x =整理变形即可. 证毕2.71(1)!n +-函数的单调性与曲线的凹凸性1当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '<. 故函数()f x 在区间(,)-∞+∞内单调减少 证毕 2、解：2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得：121,3x x =-=. 列表解析：3、22[,]33-单调增, 2(,]3-∞-,2[,)3+∞单调减. 4、证略5、凸区间(,1]-∞，凹区间[1,)+∞, 拐点11(1,)9-6、39,22a b =-=2.10 函数的极值与最值1、单调增区间为()(),1,3,-∞-+∞； 单调减区间为()1,3-极小值(3)47f =-；极大值(1)17f -=. 2、2,05x x == 3、最大值为2,最小值为 -2.4、最小值327x y =-=5、储油罐底半径325Vr π=，高为3254Vh π= 6、43R 2.11 函数图形的描绘1. 水平渐近线0y =.2. 水平渐近线0y =；垂直渐近线0x =.2.12 曲率1. 曲率2K =,曲率半径12ρ=. 2. 2x π=处曲率最大,为1.综合练习题二1. （1）)(sec 25sin 5123cos 322x x xxx y ⋅+-=' （2）3e (cos sin )s ec tan xy x x x x '=--（3）22222(1)sin 4cos (1)cos x x x xy x x +-'=+(4)2sec (12)x y x -'=- (5)211y x'=-+(6)()1ln ln ln y x x x '=(7)'=++-y x x x x xx x 3222212123ln ()ln cos(8)arcsin2xy '==y xe ''=+ y x( (4)(=+ y x。

山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题+答案解析(附后)

山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题+答案解析(附后)

山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线的离心率为( )A. B.C.D.2.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.3.已知直线与平行，则( ) A. 1 B.C. 0D. 1或4.已知，，，则点A 到直线BC 的距离为( )A. B.C.D.5.若圆与圆恰有2条公切线，则m 的取值范围为( )A.B. C.D.6.如图，平面平面ABCD ，是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，且，E 是CD的中点，F 是AD 上一点，当时，( )A. 3B.C.D. 27.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为( )A.B.C.D.8.如图，把椭圆的长轴AB 分成6等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点，，，，，F 是椭圆C 的右焦点，则( )A. 20B.C. 36D. 30二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知曲线C的方程为，则( )A. 曲线C可以表示圆B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线10.直线与圆的交点个数可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 311.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O 为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则PB平分D. 若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点，下列说法不正确的是( )A. 平面B. 四边形面积的最大值为C.若四边形的面积为，则D. 若，则四棱锥的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省徐州市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省徐州市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省徐州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知()3,2,1A -，()4,5,3B -，则与向量AB平行的一个向量的坐标为（）A ．()1,3,2B ．()1,3,2--C ．()1,3,2--D ．()1,3,2-【答案】C【分析】根据空间向量共线定理判定即可.【详解】()()1,3,21,3,2AB =-=---,则与向量AB平行的一个向量的坐标为()1,3,2--.故选:C.2．若6671C C C n n n +-=，则n 的值为（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【分析】根据6771C C C n n n ++=即可求解.【详解】若6671C C C n n n +-=，则667711C C C C n n n n ++=+=，所以16713n +=+=,解得12n =.故选:C.3．已知直线l 的方向向量为()1,1,1a =- ，平面α的法向量为()22,,b x x x =+- ，若//l α，则实数x 的值为（）A ．2-B ．2±C ．2D ．2±【答案】D【分析】根据给定条件，可得a b ⊥，再利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为//l α，则a b ⊥ ，而()1,1,1a =- ，()22,,b x x x =+- ，因此222()()20a b x x x x ⋅=-+++-=-=，解得2x =±.故选：D4．一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件A =“第一次抽到红球”，B =“第二次抽到红球”，则概率(|)P B A 是（）A ．25B ．14C ．15D ．12【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件A 及事件AB 的概率，再利用条件概率公式计算得解.【详解】依题意，2()5P A =，211()5410P AB ⨯==⨯，所以1()110(|)2()45P AB P B A P A ===.故选：B5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 上任意一点，则11MA B C ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【分析】根据空间向量的线性运算法则可得MA MC CB CD =++，再根据数量积的运算律和运算公式结合图形求11MA B C ⋅【详解】由图形可得MA MC CA MC CB CD =+=++，所以()1111111111MA B C MC CB CD B C MC B C CB B C CD B C ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅ ，由正方体性质可得1111,MC B C CD B C ⊥⊥ ，所以11110,0MC B C CD B C ⋅=⋅=，所以1111MA B C CB B C ⋅=⋅ ，又111,1CB B C == ，CB 与11B C方向相反，所以111MA B C ⋅=-.故选：B.6．6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（）A ．720B ．360C ．240D ．120【答案】C【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.【详解】先将甲､乙两人排成一排共222A =种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有55120A =种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有2120240⨯=种排法.故选：C7．在1nx x-的展开式中含3x 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（）A ．4项B ．5项C ．6项D ．3项【答案】A【分析】分01x <<与1x ≥讨论，都可求得6n =，再根据二项式定理即可求解.【详解】由1nx x -可得0x >，当01x <<，1x x <,则11nnx x xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其展开式的通项为()()3211C 1C n rr n rrrr r nnT x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令332r n -=,得()1C 15rrn -=,解得6,4n r ==；当1x ≥,1x x ≥,则11nnx x xx ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其展开式的通项为()3211C 1C kn kk kn kk k nn T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令332n k -=，得()1C 15kk n -=，解得6,2n k ==.综上所述：6n =，所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项.故选:A.8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1AC 上一点，且12AP C P =，若11AP x AB y AD z AC =++，则x y z ++=（）A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】B【分析】取利用向量1,,AB AD AA ，分别表示出AP ，11,,AB AD AC，再由空间向量基本定理列出等式即可求出答案.【详解】因为P 是线段1AC 上一点，且12AP C P =,所以12AP PC = ，所以123AP AC = ,又11=++AC AB AD AA，所以1222++333AP AB AD AA = ，又因为1111=,,AB AB AA AD AD AA AC AB AD +=+=+,所以()()()111()()()AP x AB AA y AD AA z AB AD x z AB y z AD x y AA =+++++=+++++ ，所以232323x z y z x y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，化简得：1x y z ++=.故选：B二、多选题9．若1883m m C C ->，则m 的取值可能是（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】BC【解析】根据组合的公式列式求解,再结合m 的范围即可.【详解】根据题意,对于1883m m C C ->,有0≤m ﹣1≤8且0≤m ≤8,则有1≤m ≤8,若1883m m C C ->,则有883(1)!(9)!!(8)!m m m m >⨯-⋅-⋅-！！,变形可得：m ＞27﹣3m ,解可得：m ＞274,综合可得：274＜m ≤8,则m ＝7或8；故选：BC .【点睛】本题主要考查了组合数的公式运用,属于中档题.10．7张卡片上分别写有12，π，1i +，ln 2，1-，2，e ，其中i 为虚数单位.从这7张卡片中随机抽取一张，记“抽到的卡片上的数是正实数”为事件A ，“抽到的卡片上的数是无理数”为事件B ，则下列计算结果中正确的有（）A ．()37P A =B ．()47P B =C ．()2049P AB =D ．()45P B A =【答案】BD【分析】ABC 选项，利用列举法求出()()(),,P A P B P AB ，D 选项，利用条件概率求出答案.【详解】A 选项，7个数中，正实数为12，π，ln 2，2，e ，共5个，故()57P A =，A 错误；B 选项，7个数中，无理数为π，ln 2，2，e ，故()47P B =，B 正确；C 选项，7个数中，既是无理数，又是正实数的是π，ln 2，2，e ，共4个，故()47P AB =，C 错误；D 选项，由条件概率得()()()447557P AB P B A P A ===，D 正确.故选：BD11．若()102100121021x a a x a x a x -=++++ ，x ∈R ，则（）A ．2180a =B ．10012103a a a a ++++= C ．12101a a a +++= D ．31012231012222a a a a ++++=- 【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.【详解】因101021001210(12)(21)x x a a x a x a x -=-=++++ ，则22210C (2)180a =-=，A 正确；()1012x -展开式的通项()110C 2iii T x +=-，N,10i i ∈≤，当i 为奇数时，0i a <，当i 为偶数时，0i a >，则101001210012310[12(1)]3a a a a a a a a a ++++=-+-++=--= ，B 正确；01a =，而1001210(121)1a a a a ++++=-⨯= ，则12100a a a +++= ，C 不正确；01a =，而1031012023101(12)022222a a a a a +++++=-⨯= ，则31012231012222a a a a ++++=- ，D 正确.故选：ABD12．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，下列说法中不正确的是（）A ．1126AC =B ．BD ⊥平面1ACC C ．向量1B C 与1AA的夹角是60︒D ．直线1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】ACD【分析】利用向量的基底运算可求1AC ，利用向量垂直及线面垂直的判定可得B 的正误，利用向量的基底运算可求C,D 的正误.【详解】对于A ，111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅363636266cos 60266cos 60266cos 60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=，所以1||21666AC ==，选项A 错误；对于B ，11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅- 22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅=，所以10AC DB ⋅= ，即1AC DB ⊥，2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--= ，所以0AC BD ⋅= ，即AC BD ⊥，因为1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，选项B 正确；对于C ：向量1B C 与1BB 的夹角是18060120︒-︒=︒，所以向量1B C 与1AA的夹角也是120︒，选项C错误；对于D ，11BD AD AA AB =+- ，AC AB AD =+,所以()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅，1111||36363626626626662222BD ∴=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ，同理，可得||63AC =;11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=，所以111366cos 66362AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>===⨯ ，所以选项D 错误．故选：ACD ．三、填空题13．()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为．【答案】15-【分析】把5()x y -按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y +-的展开式中24x y 的系数．【详解】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-，故答案为：15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．组合数0243434343434C C C C +⋅⋅⋅+++被9除的余数是．【答案】8【分析】先求出0243434331111343434341...228(91)2C C C C +++=⨯===-，再利用二项式定理得到()11(91)918k =--+，求出组合数被9除的余数是8.【详解】∵024*******3434343434343434......C C C C C C C C +++=++++，∴0243434331111343434341...228(91)2C C C C +++=⨯===-011110221101111111111999...(1)9...991r r r C C C C C k =⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-⋅=-()918k =-+，其中N k ∈；∴该组合数被9除的余数是8．故答案为：8．15．甲､乙､丙､丁4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且甲､乙两名同学不能安排到同1个小区，则不同的安排方法共有种.【答案】30【分析】利用间接法：先把学生安排出去，再排除甲､乙两名同学安排到同1个小区的情况，结合捆绑法运算求解.【详解】根据题意：若每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，共有2343C A 6636=⨯=种安排方法，若甲､乙两名同学安排到同1个小区，共有33A 6=种安排方法，所以共有36630-=种安排方法.故答案为：30.16．三棱锥A BCD -中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，记二面角A BD C --的大小为θ，当π5π,66θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线AB 与CD 所成角的余弦值的取值范围是.【答案】520,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】取BD 中点O ，连AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围．【详解】取BD 中点O ，连接AO ，CO ，2AB BD DA === ．2BC CD ==，CO BD ∴⊥，AO BD ⊥，且1CO =，3AO =，AOC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，(0B ，1-，0)，(1C ，0，0)，(0D ，1，0)，设二面角A BD C --的平面角为θ，则π5π[,]66θ∈，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，(3cos ,0,3sin )A θθ，∴(3cos ,1,3sin )BA θθ=，(1,1,0)CD =- ，设AB 、CD 的夹角为α，则|||13cos |2|13cos |cos 4||||22AB CD AB CD θθα⋅--===⋅，π5π[,]66θ∈，33cos [,]22θ∴∈-，33153cos [,],13cos [,]2222θθ∴∈--∈-,|13cos |[0θ∴-∈,5]2,则2|13cos |520,48θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦52cos [0,]8α∴∈．故答案为：520,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．第八届“徐高好声音”高二年级复赛共有5个独唱节目和3个合唱节目，请按各小题要求排出一张节目单，求不同的排法种数（用数字作答）.(1)3个合唱节目两两互不相邻；(2)前4个节目中要有合唱节目.【答案】(1)14400；(2)37440.【分析】（1）先排5个独唱节目，再将合唱节目插空即可；（2）先求出三个合唱节目不出现在前四个位置的方法种数，根据“正难则反”原则求解.【详解】（1）先排5个独唱节目，有55A 种方法种数，再把3个合唱节目用插空法排在独唱节目的首尾或之间，有36A 种方法种数，所以一共有5356A A 12012014400⋅=⨯=种.（2）8个节目（无限制条件）的排法有88A 种方法，若三个合唱节目不出现在前四个位置，则应在后4个位置安排合唱节目，有3545A A ⋅种方法，所以符合题意的方法有835845A A A 403202412037440-⋅=-⨯=种.18．已知在3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第5项为常数项.(1)求n 的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)8n =(2)24x -，358，2116x -【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，由常数项即可求解8n =，（2）由通项以及有理项的定义即可求解.【详解】（1）展开式的通项公式为()2331311C C 22r rn r n rrr r nn T x xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为第5项为常数项，所以4r =时，有203n r-=，解得8n =；（2）由题意得，82Z 308Z r r r -⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，解得1r =，4，7，将其代入通项中可得224T x =-，5358T =，82116T x =-所以有理项分别为224T x =-，5358T =，82116T x =-19．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【答案】（1）310；（2）12.【分析】（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()P A 与()P AB ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则()131535C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()11321154310C C P AB C C ==.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3110325P AB P B A P A ===.20．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BA ⊥BC ，BA ＝BC ＝BB 1＝2．（1）求异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小；（2）若M 是棱BC 的中点．求点M 到平面A 1B 1C 的距离．【答案】（1）3π；（2）22.【分析】（1）1CAB ∠（或其补角）即为异面直线1AB 与11A C 所成角，连接1CB ，在1AB C V 中，即可求解．（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面11A B C 的法向量，结合1(0,2,1)MB =- ，利用空间距离公式求解即可．解法二：过点M 作1MN CB ⊥交1CB 于N ，证明MN ⊥平面11A B C ，然后求解三角形即可．【详解】解：（1）由于A 1C 1//AC ，所以∠CAB 1（或其补角）即为异面直线AB 1与A 1C 1所成角，连接CB 1，在 AB 1C 中，由于1122AB B C AC ===，所以 AB 1C 是等边三角形，所以13CAB π∠=，所以异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小为3π．（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C （0，0，2）、B 1（0，2，0）、A 1（2，2，0）、M （0，0，1）．设平面A 1B 1C 的法向量为(),,n n v w = ，则111,n CB n A B ⊥⊥ ．∵()10,2,2CB =- ，()112,0,0A B =- ，且1110,0n CB n A B ⋅=⋅= ，∴220200v w w v u u -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，取v ＝1，得平面A 1B 1C 的一个法向量为()0,1,1n =r ，且2n =r ，又∵()10,2,1MB =- ，于是点M 到平面A 1B 1C 的距离10012112222n MB d n⋅⨯+⨯-==== 所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于22．解法二：过点M 作MN ⊥CB 1交CB 1于N ，由1111111MN CB MN A B CB A B B ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒MN ⊥平面A 1B 1C ．在Rt CMN 中，由4MCN π∠=，CM ＝1，得22MN =，所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于22．21．已知等式（x 2+2x +2）5＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 10（x +1）10，其中ai （i ＝0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）101n n a =∑的值；（2）101n n na =∑的值．【答案】（1）31；（2）160．【分析】（1）利用（x 2+2x +2）5＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 10（x +1）10，采用赋值法可求得101n n a =∑的值；（2）对已知关系式两边求导后，令x ＝0即可求101n n na =∑的值．【详解】（1）∵（x 2+2x +2）5＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 10（x +1）10，∴令x ＝﹣1得：15＝a 0，即a 0＝1，再令x ＝0，有a 0+a 1+a 2+…+a 10＝25，∴101n n a =∑＝a 1+a 2+…+a 10＝25﹣a 0＝31；（2）∵（x 2+2x +2）5＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+…+a 10（x +1）10，∴两边求导得：5（x 2+2x +2）4•（2x +2）＝a 1+2a 2（x +1）+3a 3（x +1）2+…+10a 10（x +1）9，令x ＝0得：5×24×2＝a 1+2a 2+3a 3+…+10a 10，即101n n na =∑＝a 1+2a 2+3a 3+…+10a 10＝160；综上，10131n n a==∑，101160n n na==∑.22．如图1，在等边ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足//DE BC ，记DE BC λ=.将ADE V 沿DE 翻折到MDE 位置，使得平面MDE ⊥平面DECB ，连接MB ，MC 得到图2，点N 为MC 的中点.(1)当//EN 平面MBD 时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B MD E --的大小是否为定值？如果是，请求出二面角B MD E --的正弦值；如果不是，请求出二面角B MD E --的余弦值的取值范围.【答案】(1)12λ=(2)是，255【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解，（2）由法向量的夹角即可求解二面角.【详解】（1）取DE 的中点O ，连接AO 并延长与BC 相交，因为AD AE =，DO OE =，所以AO DE ⊥，即MO DE ⊥，又平面MDE ⊥平面DECB ，平面MDE 平面DECB DE =，MO ⊂平面MDE ，所以MO ⊥平面DECB ，建立如图空间直角坐标系，不妨设2BC =，则()0,0,3M λ，(),0,0D λ，(),0,0E λ-，()()1,31,0B λ-，()()1,31,0C λ--，()133,1,222N λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()133,1,222EN λλλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,3MD λλ=- ，()()1,31,0DB λλ=-- .设平面BMD 的法向量为(),,m x y z = ，则()()301310MD m x z BD m x y λλλλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令3x =，则1y =-，1z =，所以即()3,1,1m =- 是平面BMD 的一个法向量，因为EN ∥平面MBD ，所以EN m ⊥ ，()133310222EN m λλλ⎛⎫⋅=---+= ⎪⎝⎭ ，解得12λ=；（2）由（1）知，()3,1,1m =- 是平面BMD 的一个法向量，同理可求平面EMD 的一个法向量为()0,1,0n = ，15cos ,55m n m n m n⋅-===- ，即随着λ值的变化，二面角B MD E --的大小为定值.且225sin ,1cos ,5m n m n =-= ，所以二面角B MD E --的正弦值为255.。

07-08-2C期中试卷参考答案及评分标准(定)

07-08-2C期中试卷参考答案及评分标准(定)

共3页 第1页07-08-2高数C 期中试卷参考答案及评分标准一.填空题（每小题4分，满分24分）1．当n →∞时，111k k n n --与1cos (0)a a n->是等价无穷小，则3k =，a = 2．已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，则1a =，1b =-； 3．函数()f x =在[0,1]上满足Rolle 中值定理的23ξ=； 4．函数1()1x f x x-=+带Peano 余项的4阶Maclaurin 公式是 234412222()x x x x o x -+-++；5．2221e sin 2arctan 22e sin d d 313x x x x C x x ππ--⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝-+⎭+； 6．函数21()ln f x x x =的单调增加区间为()21,e ，极大值为24e -. 二.单项选择题（每题4分，满分12分）7．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =-+-+, 则方程()0f x '=的实根的个数是 [ C ](A )1 (B ) 2 (C )3 (D ) 48．极限1221lim 1e x x →-+ [ D ](A ) 1= (B ) 0= (C) =∞ (D ) 不存在，且不为无穷大9．设函数()1()f x x g x =-，且()g x 在1x =处连续，(1)0g ≠，则(1)f ' [ D ](A ) (1)g = (B)(1)g =- (C) 0= (D ) 不存在三.计算题（每小题8分，满分32分）10．0x → 解001s i n l i l l i m 112x x x x x →→→⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ （4+3+1分）共3页 第2页11. 设32ln(1)x t t y t t =-+⎧⎨=+⎩，求22d d y x . 解 d (32)(1)d y t t x =++（3分） 22d (65)(1)d y t t x t++=（5分） 12．设()2()sin f x x x x =+，求(10)()f x . 解 ()(10)2()sin 10(21)cos 90sin f x x x x x x x =-++++（2+3+3分） 13.试确定常数a 、b 的值，使得曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切，并求切线方程.解 2a b +=-，（2分）曲线2y x ax b =++点(1,1)-处的切线的斜率为12k a =+，（1分）曲线321y xy =-+点(1,1)-处的切线的斜率为21k =，（1分）由12k k =得1a =-，从而1b =-，（2分）切线方程为2y x =-（2分）四(14).（8分）讨论22()lim 3nn x f x x →∞-=+的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）. 解 22,130,12()lim 33,141,14n n x x x x f x x x x →∞-⎧<⎪⎪>⎪-⎪==⎨+=-⎪⎪⎪=⎪⎩，（3分）()f x 在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 上连续，间断点为1,1x x =-=，（1分）11lim ()0,lim ()1x x f x f x -+→-→-==， 111lim (),lim ()03x x f x f x -+→→==，两个间断点均为跳跃间断点（4分） 五(15).（8分）设2sin ,0()0,0x x x f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求()f x '.解 300()(0)sin 1(0)lim lim 6x x f x f x x f x x →→--'===，共3页 第3页 32sin (1cos ),0()1,06x x x x x f x x -+⎧≠⎪⎪'=⎨⎪=⎪⎩。

高数期中考试及答案详解

高数期中考试及答案详解

高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。

二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。

2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。

3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。

5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。

2012-13高数C(二)期中考试试卷答案

2012-13高数C(二)期中考试试卷答案

2012-2013高等数学C （二）期中考试试卷答案一、选择题（每小题3分，共12分） 1、当10<<a 时，定积分⎰-+=aadx x I )1(1，dx x I aa)1(22⎰-+=，dx x I aa)1(3⎰-+=，它们值的大小排列正确的是（ A ）A ．321I I I << B. 231I I I << C. 312I I I << D. 123I I I <<2、已知(,)f x y 在点P 00(,)x y 的某邻域内偏导数存在，且0),(,0),(0000==y x f y x f y x ，则00(,)x y 是(,)f x y 的（ D ）A ．连续点 B. 极值点 C. 可微点 D 上述结论都不正确3、曲面22y x z +=和平面1=y 的交线在)2,1,1(处的切线与x 轴正向的夹角为（ A ） A ．2arctan B. 4arctan C.4π D. 3π 4、x y sin =,(π≤≤x 0)与x 轴围成的图形面积为（ B ）A ． 1B. 2C.2π D.π二、填空题（每空3分，共18分）1、二重极限22(,)(0,2)sin ()lim x y xy x →= 42、某公司销售额)(t S (元)以te 20的速度连续增长，（t 是以天为单位的时间），则第2天到第5天的销售额共有 520()e e - 元 3、设x u dt tf z usin ,)(0==⎰，则=dxdz(s i n )c o s f x x 4、设yx ey x y x f ++=2),(，则)2,1(x f = _____34e +______5、设xy v x u u z v ===,,，则dz = (1ln )xyyx x + dx +____1ln xy xx +____dy三、计算题(共46分) 1、（6分）dx x x ⎰-5212、（6分） dx x ⎰22}1,max{t =， 解： =12211dx x dx +⎰⎰ dx x x ⎰-521=22112t tdt t+⋅⎰23113x =+2312()3t t =+ 103=203= 3、 （6分） ⎰πsin xdx x 4、（6分） dx x ⎰-21211解：0(cos )xd x π=-⎰解：1x =为瑕点00c o s c o s x x xd xππ=-+⎰dx x ⎰-2121121111211dx x x ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭⎰ 0sin x ππ=+ 2111ln 21x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭π= 11111ln lim ln 2321x x x +→-⎛⎫=-=+∞ ⎪+⎝⎭所以广义积分发散。

2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷附答案解析

2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷附答案解析

2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟2024.10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++= C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.33.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π34.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．2025届昆明市五华区高三数学上学期期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1.设复数z 在复平面内对应的点为(),Z x y ，若11z -=，则（）A.()2211x y -+= B.()2211x y ++=C.()2211x y +-= D.()2211x y ++=【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出i z x y =+，再利用复数的减法以及复数的模长公式化简可得结果.【详解】由复数的几何意义可得i z x y =+，所以，()11i 1z x y -=-+=，化简可得()2211x y -+=.故选：A.2.已知1e ，2e 都为单位向量，若1e 在2e 上的投影向量为212e，则12e e += （）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合投影向量可得1212e e ⋅= ，平方结合数量积的运算律分析求解.【详解】由题意可知：121==e e ，因为1e 在2e 上的投影向量为()12212222212e e e e e e e e ⎛⎫⋅ ⎪=⋅= ⎪⎝⎭u r u ru r u r u r u r u r u r ，可得1212e e ⋅= ，又因为()2112212221122132e e e e e e +=⋅+=+⨯++=u r u r u r u u r u r r，所以12e e += .故选：B.3.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列说法错误的是（）A.11AD AC ⊥ B.1AD 与BD 所成角为π3C.1//AD 平面1BDCD.1AD 与平面1ACC 所成角为π3【答案】D 【解析】【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,1,0C 、()0,0,0D 、()11,0,1A 、()11,1,1B 、()10,1,1C 、()10,0,1D ，对于A 选项，()11,0,1AD =- ，()11,1,1AC =--，则111010AD AC ⋅=+-=，所以，11AD AC ⊥，A 对；对于B 选项，()1,1,0DB =，则1111cos ,2AD DB AD DB AD DB⋅==-⋅，所以，1AD 与BD 所成角的大小为π3，B 对；对于C 选项，设平面1BDC 的法向量为()111,,m x y z = ，()10,1,1DC =，则1111100m DB x y m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =-，则()1,1,1m =- ，则11010AD m ⋅=-++= ，所以，1AD m ⊥ ，又因为1AD ⊄平面1BDC ，所以，1//AD 平面1BDC ，C 对；对于D 选项，设平面1ACC 的法向量为()222,,x n y z = ，()10,0,1CC = ，()1,1,0CA =-，则12220n CC z n CA x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取21x =，则()1,1,0n =r ，所以，1111cos ,2AD n AD n AD n⋅==-⋅，所以，1AD 与平面1ACC 所成角为为π6，D 错.故选：D.4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花㚏，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm ），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（）A.样本花卉高度的极差不超过20cmB.样本花卉高度的中位数不小于众数C.样本花的高度的平均数不小于中位数D.样本花升高度小于60cm 的占比不超过70%【答案】D 【解析】【分析】利用极差的定义可判断A 选项；利用中位数和众数的定义可判断B 选项；利用平均数公式求出样本花卉高度的平均数，可判断C 选项；计算出样本花升高度小于60cm 的占比，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的极差为()704030cm -=，A 错；对于B 选项，样本花卉高度的众数为()556057.5cm 2+=，设样本花卉高度的中位数为cm a ，前三个矩形的面积和为()0.0120.0280.03650.38++⨯=，前四个矩形的面积和为0.380.05650.66+⨯=，故()55,60a ∈，由中位数的定义可得()0.38550.0560.5a +-⨯=，解得()57.14cm a ≈，则57.5a <，所以，样本花卉高度的中位数小于众数，B 错；对于C 选项，由频率分布直方图可知，样本花卉高度的平均数为()42.50.0647.50.1452.50.1857.50.2862.50.2467.50.156.5cm x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，且x a <，所以，样本花的高度的平均数小于中位数，C 错；对于D 选项，由B 选项可知，样本花升高度小于60cm 的占比为66%，D 对.故选：D.5.设等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】要判断“1q >”与“等比数列{}n a 为递增数列”之间的条件关系.需要分别从充分性和必要性两方面进行分析，即看“1q >”能否推出“等比数列{}n a 为递增数列”，以及“等比数列{}n a 为递增数列”能否推出“1q >”.【详解】假设1q >.对于等比数列{}n a ，其通项公式为11n n a a q -=.当2q =，12a =-时，根据通项公式可得21224a a q ==-⨯=-.此时21a a <，等比数列{}n a 不是递增数列.这说明仅仅1q >不能保证等比数列{}n a 一定是递增数列，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的充分条件.假设等比数列{}n a 为递增数列，那么1n n a a +>.由通项公式可得11n n a a q-=，11n n a a q +=，所以111n n a q a q->.当10a <时，不等式两边同时除以11n a q -（因为10a <，10n q ->，不等号方向改变），得到1n n q q -<.例如当2n =时，2q q <，解得01q <<.这说明等比数列{}n a 为递增数列时，不一定有1q >，所以“1q >”不是“等比数列{}n a 为递增数列”的必要条件.则“1q >”是“为递增数列”的既不充分又不必要条件.故选：D.6.已知圆台的母线长为4，体积为，则圆台的侧面积为（）A.48πB.24πC.20πD.10π【答案】C 【解析】【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.【详解】如下图所示，设圆台上底面半径为r ，下底面半径为R ，则R r >，设AC 为圆台的一条母线，连接OA 、1O C ，则四边形1OO CA 为直角梯形，过点C 在平面1OO CA 内作CB OA ⊥，垂足为点B ，根据题意，4AC =，1OO =，1O C r =，OA R =，因为1//O C OA ，1OO OA ⊥，BC OA ⊥，则四边形1OO CB 为矩形，所以，1BC OO ==1OB O C r ==，则AB OA OB R r =-=-，由勾股定理可得222AB BC AC +=，即()2716R r -+=，可得3R r -=，①又因为圆台的体积为()2213V R Rr r =⨯++=2221R Rr r ++=，②所以，22321R r R Rr r R r-=⎧⎪++=⎨⎪>⎩，解得41R r =⎧⎨=⎩，所以，圆台的侧面积为()12π44π520π2S R r =⨯⨯+⨯=⨯=.故选：C.7.已知A 、B 为直线l 上的两个定点，2AB =，P 为l 上的动点．在平面直角坐标系中，()13,0F -、()23,0F ，以1F 为圆心，PA 为半径作圆1F ；以2F 为圆心，PB 为半径作圆2F ，则两圆公共点的轨迹方程为（）A.2218y x -= B.2218x y -= C.22198x y += D.22110x y +=【答案】A 【解析】【分析】作出图形，分析可知，点P 不在线段AB （不包括端点）上，对点P 的位置关系进行分类讨论，结合双曲线的定义可求得动点的轨迹方程.【详解】如下图所示：设圆1F 、圆2F 的半径分别为r 、R ，则r PA =，R PB =，设两圆的一个公共点为M ，由题意可知，点P 不能与点A 或点B 重合，若点P 在线段AB （不包括端点）上运动时，则122MF MF r R PA PB AB +=+=+==，事实上，12126MF MF F F +≥=，此时点M 不存在；当点P 在以点A 为端点以BA的方向为方向的射线上时，此时，212MF MF R r PB PA AB -=-=-==；当点P 在以点B 为端点且以AB的方向为方向的射线上时，此时，122MF MF r R PA PB AB -=-=-==.综上，121226MF MF F F -=<=，所以，动点M 的轨迹是以点1F 、2F 为焦点的双曲线，设该双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，焦距为2c ，则2226a c c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，可得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩因此，两圆公共点的轨迹方程为2218y x -=.故选：A.8.已知函数()ln f x x =和两点(1,0)A ，()e ,mB m ，设曲线()y f x =过原点的切线为l ，且l AB ∥，则m 所在的大致区间为（）A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】求导，利用导数求得切线l 的斜率1ek =，根据直线平行可得e e 10m m --=，构建()e e 1m g m m =--，可知m 为()g m 的非零零点，求导，利用导数判断其单调性结合零点存在性定理分析判断.【详解】由题意可知：()y f x =的定义域为()0,∞+，且1()f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，则切线l 的斜率001()k f x x '==，则切线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，若切线过原点，则()0001ln 1x x x -=-=-，解得0e x =，可在切线l 的1ek =，若l AB ∥，且直线AB 的斜率()0e 1AB mmk m =≠-，则AB k k =，即1e 1emm =-，整理可得e e 10m m --=，构建()e e 1mg m m =--，则()e e mg m '=-，可知m 为()g m 的非零零点，令()0g m '>，解得1m >；令()0g m '<，解得1m <；可知()g m 在(),1-∞内单调递减，在()1,+∞内单调递增，则()g m 分别在(),1-∞、()1,+∞内至多一个零点且()()()200,110,2e 2e 10g g g ==-<=-->，又因为0m ≠，所以m 所在的大致区间为()1,2.故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>）A.1ω=B.函数π4y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数C.()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则13π17π44m ≤<D.当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()cos f x y x=的值域为(-【答案】ABC【解析】【分析】对于A ：根据函数周期分析判断；对于B ：根据函数最值分析判断；对于C ：令()0f x =，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，以π4x -为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D ：整理可得()tan 1cos f x x x =-，结合正切函数分析求解.【详解】对于选项A ：因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，由图象可知：函数()y f x =的最小正周期5ππ22π44T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0ω>，则2π2πω=，解得1ω=，可得()sin cos f x x a x =+，故A 正确；对于选项B ：由图可知：当π5π3π4424x +==时，函数()y f x =取到最大值，则()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，整理可得()3π3π3πsin cos 104442f a a ⎛⎫=+=-=⎪⎝⎭，解得1a =-，则π()sin cos sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所有ππ42y f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，故B 正确；对于选项C ：令π()04f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为[0,]x m ∈，则πππ,444x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()y f x =在[0,]m 上有4个零点，则π3π4π4m ≤-<，解得13π17π44m ≤<，故C 正确；对于选项D ：因为()sin cos tan 1cos cos f x x xy x x x-===-，又因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则(tan x ∈，可得()tan 11,1x -∈-，所以函数()cos f x y x=的值域为()1-，故D 错误；故选：ABC.10.已知函数3()2()f x x ax a =-+∈R ，则（）A.(2)(2)4f f -+= B.若0a >，则()f x 的极大值点为x =C.若()f x 至少有两个零点，则3a ≥ D.()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：根据函数解析式运算求解即可；对于B ：求导，利用导数分析函数单调性和极值；对于CD ：分0a ≤和0a >两种情况，结合导数分析单调性和零点.【详解】对于选项A ：因为3()2f x x ax =-+，则()()()()33()224f x f x x ax x a x ⎡⎤+-=-++---+=⎣⎦，所以(2)(2)4f f -+=，故A 正确；对于选项B ：因为2()3f x x a '=-，且0a >，令()0f x '>，解得x <x >()0f x '<，解得x <<可知()f x 在,⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭内单调递增，在⎛ ⎝内单调递减，所以()f x 的极大值点为x =B 错误；对于选项C ：若()f x 至少有两个零点，当0a ≤时，则2()30f x x a '=-≥，可知()f x 在R 内单调递增，至多有一个零点，不合题意；当0a >时，结合选项B 可知：0f f ⎛≤≤ ⎝，即202≤≤，解得3a ≥；综上所述：3a ≥，故C 正确；对于选项D ：因为2()3f x x a '=-，当0a ≤，可知()f x 在R 内单调递增，符合题意；当0a >，则10a --<，对于(,1)x a ∞∈---，可得()()22()131353f x f a a a a a ''>--=---=++，此时2536110∆=-=-<，则2()3530f x a a '>++>，所以()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增；综上所述：()f x 在区间(,1)a -∞--上单调递增，故D 正确；故选：ACD.11.抛物线C ：24y x =的准线为l ，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A '，B '，记AA F ' ，A B F ''△，BB F ' 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则（）A.A B F '' 为锐角三角形B.2S 的最小值为4C.1S ，212S ，3S 成等差数列 D.1S ，212S ，3S 成等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】设:1AB x my =+，1,1,2,2，联立方程可得韦达定理.对于A ：根据直线垂直的斜率关系分析判断；对于B ：根据面积关系结合韦达定理分析判断；对于CD ：根据面积结合等差、等比数列性质分析判断.【详解】由题意可知：焦点1,0，准线:1l x =-，直线AB 的斜率不为0，且与抛物线必相交，设:1AB x my =+，1,1,2,2，则()()121,,1,A y B y --''，可得112212,12A F x my B F x my =+=+=+='+'，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y my --=，则12124,4y y m y y +=⋅=-，对于选项A ：因为12,22A F B F y y k k ''=-=-，可得1214A FB F y yk k ''⋅==-，可知A F B F ''⊥，所以A B F '' 为直角三角形，故A 错误；对于选项B ：因为12y y -===，可得2121242S y y =-⨯=≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以2S 的最小值为4，故B 正确；对于选项CD ：因为()()111322112,222S y my S y my =+=+，则()()()21311221212121112224224S S y my y my y y m y y m y y ⎡⎤=+⨯+=+++⎣⎦()()222221144844142m m m S ⎛⎫=⨯-++=+= ⎪⎝⎭，即213212S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然1231,,2S S S 不恒相等，且不为0，所以1S ，212S ，3S 成等比数列，不成等差数列，故C 错误，D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知1sin 23cos 25αα+=，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用二倍角公式、弦化切以及两角和的正切公式化简可得结果.【详解】因为()()()22222cos sin 1sin 2cos 2sin cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin αααααααααααααα++++==-+-πtan tancos sin tan 1π34tan πcos sin 1tan 451tan tan 4ααααααααα+++⎛⎫====+= ⎪--⎝⎭-.故答案为：35.13.在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，且613e a a =，则n a =______．【答案】21e n -【解析】【分析】推导出数列{}n a 是等比数列，利用等比中项的性质求出2a 的值，再利用等比数列的通项公式可求得n a 的表达式.【详解】在正项数列{}n a 中，1ln ln 2n n a a +=+，则11ln ln ln 2n n n na a a a ++-==，可得21e n n a a +=，所以，数列{}n a 是公比为2e 的等比数列，因为26132e a a a ==，且20a >，则32e a =，因为()22324212e e e e n n n n a a ---=⋅=⋅=.故答案为：21e n -.14.甲口袋中有标号为1、2、3的三张卡片，乙口袋中有标号为4、5、6、7的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种（用数字作答）【答案】26【解析】【分析】计算出从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片的抽法种数，以及抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数，利用间接法可得结果.【详解】从甲、乙两个口袋中，每个口袋至少抽一张卡片，共抽取三张卡片，不同的抽法种数为12213434C C C C 181230+=+=，其中，抽取的三张卡片都是奇数的抽法种数为34C 4=，因此，抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法种数为30426-=.故答案为：26.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A c b -=-．（1）求角A ；（2）已知A 的角平分线交BC 于点D ，若2c =，4AB AC ⋅=，求AD ．【答案】（1）π3A =（2）433AD =【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；（2）利用平面向量数量积的定义可求出b 的值，再利用ABC ABD ACD S S S =+ 结合三角形的面积公式可求得AD 的长.【小问1详解】解：因为cos cos a B b A c b -=-，由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin A B B A C B -=-，即()sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin A B B A A B B A B A B B -=+-=+-，所以，2cos sin sin 0A B B -=，因为A 、()0,πB ∈，则sin 0B >，可得2cos 10A -=，则1cos 2A =，故π3A =.【小问2详解】解：因为π1cos 432AB AC AB AC bc b ⋅=⋅=== ，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，即1π1π1πsin sin sin 232626bc c AD b AD =⋅+⋅，整理可得63AD b c ===+.16.如图，在多面体111ABC A B C -中，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求二面角11A B C C --的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）4【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，找到点的坐标，得出直线方向向量和平面内任意向量，得到向量垂直，从而得到线线垂直，即可证明线面垂直；（2）由空间直角坐标系求出面的法向量，由面的法向量求出二面角的余弦值的绝对值，由三角恒等变换得到角的正弦值.【小问1详解】过点B 在平面ABC 内作一条直线与BC 垂直，则以B 为原点，BC 为x 轴，BC 的垂直为y 轴，1BB 为z 轴如图建立空间直角坐标系，∴()0,0,0B ，()2,0,0C ∵120ABC ∠=︒∴()A -∴()14A -，()10,0,2B ，()12,0,1C ，∴()11,2AB = ，()112,0,1B C =-，()112B A =- ∵1111112201340AB B C AB B A ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，∴111AB B C ⊥，111AB B A ⊥又∵11111B C B A B = ，11B C ⊂平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ∴1AB ⊥平面111A B C 【小问2详解】由（1）可知：()11,2AB =，()13,AC = ，()12,0,2B C =- ，()10,0,1C C =，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，设平面11CB C 的一个法向量为()2222,,n x y z =，∴111100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，121200B C n C C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111112030x z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，2222200x z z -=⎧⎨=⎩则可取1115x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，222010x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即1n = ，()20,1,0n =设二面角11A B C C --为θ，则1212cos n n n n θ⋅==⋅∴sin 4θ==17.一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为()01p p <<，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为13，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为827．（1）求p ；（2）求甲参赛总分X 的分布列和数学期望．【答案】（1）12p =（2）分布列见解析，数学期望为74.【解析】【分析】（1）利用独立事件概率的乘法公式来求解，要根据甲参赛总分为2分的情况进行分析，求p 的值，（2）需要考虑X 所有可能的取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据分布列求数学期望.【小问1详解】甲参赛总分为2分有两种情况：第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负（概率为12C (1)p p -），然后在第二阶段三场比赛一胜两负（概率为12311C (1)33⨯⨯-）.第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜（概率为2p ），然后在第二阶段三场比赛全负（概率为31(13-）.根据甲参赛总分为2分的概率为827，可列出方程：11223231118C (1)C (1)(1)33327p p p -⨯⨯⨯-+⨯-=先计算组合数122!C 21!(21)!==-，133!C 31!(31)!==-.方程变为214882(1)3392727p p p -⨯⨯⨯+⨯=.化简得2888(1)92727p p p -+=.即2321p p -=.因式分解得(21)(1)0p p --=.解得12p =或1p =，因为01p <<，所以12p =.【小问2详解】甲参赛总分X 的可能取值为0，1，2，3，4，5.X 0=包括：在第一阶段两场全输，概率为2211(1)(1)24p -=-=.1X =包括：在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全输（概率为318(1327-=），所以184(1)22727P X ==⨯=.2X =：前面已求出为827.3X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段一胜两负（概率为123114C (1)339⨯⨯-=），此时1141499P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段两胜一负（概率为223112C ((1339⨯⨯-=）.此时2121299P =⨯=.则112(3)999P X ==+=.4X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），在第二阶段两胜一负（概率为223112C ()(1)339⨯⨯-=），此时31214918P =⨯=.也包括在第一阶段一胜一负（概率为12111C (1)2222p p -=⨯⨯=），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），此时411122754P =⨯=.则112(4)185427P X ==+=.5X =包括：在第一阶段两场全胜（概率为214p =），然后在第二阶段三场全胜（概率为311()327=），所以111(5)427108P X ==⨯=.所以X 的分布列为：X12345P14427827292271108根据数学期望公式，1482211897()012345427279271081084E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==18.设椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知11OF OA AF e +=，下中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求C 的方程；（2）设点P 为C 上一动点，过P 作不与坐标轴垂直的直线l ．①若l 与C 交于另一点T ，E 为PT 中点，记l 斜率为k ，OE 斜率为0k ，证明：0k k ⋅为定值；②若l 与C 相切，且与直线2x =相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）①证明见解析；②是，且定点坐标为1,0【解析】【分析】（1）根据11OF OA AF e +=可得出221e =，可得出关于a 的方程，解出a 的值，即可得出椭圆C 的方程；（2）①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，利用点差法可证得结论成立；②设()00,P x y ，证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，将切线方程与直线2x =的方程联立，求出点Q 的坐标，由对称性知，以PQ 为直径的圆过定点(),0M m ，由0PM QM ⋅=求出m 的值，即可得出结论.【小问1详解】解：因为椭圆()222:11x C y a a+=>的右焦点为F ，右顶点为A ，则OF c =，OA a =，AF a c =-，因为11OF OA AF e +=，即11e c a a c+=-，即a c a c e c a --+=，整理可得1e e e -=，可得221e =，即()22222121a c a a-==，解得a =所以，椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】解：①设点()11,P x y 、()22,T x y ，则点1212,22x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线1l 不与坐标轴垂直，则2212x x ≠，2212y y ≠，所以，1212y y k x x -=-，1212012120202y y y y k x x x x +-+==++-，因为221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，这两个等式作差可得2222121202x x y y -+-=，所以，2212121202212121212y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-；②设()00,P x y ，先证明出椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，联立00221212x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得2222000122y x x x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，整理可得22001102x x x y -+-=，即220011022x x x x -+=，即()200x x -=，解得0x x =，所以，椭圆2212x y +=在点P 处的切线方程为0012x x y y +=，因为直线0012x xy y +=与直线2x =交于点Q ，则00y ≠，联立00122x xy y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得001x y y -=，即点0012,x Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性可知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0M m ，则PM QM ⊥，且()00,PM m x y =-- ，0012,x QM m y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，则()()()()()200021110PM QM m x m x m x m ⋅=----=-+-= ，所以，()21010m m -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1m =，因此，以PQ 为直径的圆过定点()1,0M .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19.行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知a b c d 表示二阶行列式，规定a b ad bc c d=-；123123123a a ab b bc c c 表示三分行列式，规定123232323123111232323123a a ab b a a a a b b b a bc c c c c b b c c c =-+．设03()3011xxf x xx=---．（1）求()f x ；（2）以()(),n n n A x f x 为切点，作直线1n l +交()f x 的图象于异于n A 的另一点()()111,n n n A x f x +++，其中n ∈N ．若00x =，当1n ≥时，设点n A 的横坐标n x 构成数列．①求的通项公式；②证明：12111ln 1ln 1ln 11111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）32()39f x x x x =+-（2）①()21nn a =--；②证明见详解【解析】【分析】（1）根据行列式的定义运算求解即可；（2）①根据所给的规则求出切点为()32,39n n n n n A x x x x +-的切线方程，再进一步求得1n x +，结合等比数列的定义得出结果；②当0x >时，先证明()ln 1x x +<成立，得出()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，再结合等比数列求和得出结果.【小问1详解】由题意可得：()()232030303()30033339111111x xx x f x x x x x x x x xx x x x x--=-=-+=+-+=+-------.【小问2详解】①由（1）可知：()3239f x x x x =+-，()2369f x x x '=+-，则切点()32,39n n n n n A x x x x +-，切线斜率：()2369n n n k f x x x =+'=-，故切线方程为：()()23236939n n nn n n y x x x x xx x =+--++-，联立()3239f x x x x =+-得：()()232323693939n n nnn n x x x x xx x x x x +--++-=+-，化简得：()32232336230n n n n x x x x x x x +-+++=，因式分解得：()()2230n n x x x x -++=，故123n n x x +=--，上式亦满足由0A 作切线而得到的1A 的横坐标1x ，故13x =-，()1121n n x x ++=-+，则{}1n x +是以2-为首项，以2-为公比的等比数列,故()12nn x +=-，故()21nn x =--，即()21nn a =--；②构造()()ln 1g x x x =+-，()0x >则()11011x g x x x-=-=+'<+，故()g x 在()0,∞+上单调递减，故()()00g x g <=，可得当0x >时，()ln 1x x +<，则()1111ln 11122n n n n a a ⎛⎫+<== ⎪ ⎪++-⎝⎭，即1111ln 112a ⎛⎫+< ⎪⎪+⎝⎭，2211ln 112a ⎛⎫+< ⎪ ⎪+⎝⎭，……，将上式累加可得12121111111ln 11111112222n n n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，故12111ln 1111111n a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用导数证明数列不等式问题:常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n 的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的.。

福建高三高中数学期中考试带答案解析

福建高三高中数学期中考试带答案解析

福建高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子邮箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”，则正确的流程是A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→bC．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e2.在等差数列中，如果，那么数列的前项的和是A．54B．81C．D．3.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的A．充分不必要条B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A．B．C．D．5.已知，为直线，为平面，下列结论正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6.已知，，，则、、大小关系是A．<<B．<<C．<<D．<<7.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A．B．C．D．8.已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]9.已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为()A．B．C．D．10.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为（）A．B．C．D．11.若，则为( )A．B．C．D．12.已知是所在平面上一点，满足，则点 ()A．在过点与垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在过点边的中线所在直线上D．以上都不对二、填空题1.某冷饮店为了解气温对其营业额的影响，随机记录了该店1月份销售淡季中的日营业额（单位：百元）与该地当日最低气温（单位：℃）的数据，如表所示：由图表数据可知：=﹣0.7，则线性回归方程为________________.2.在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点. 若，，则等于_______（用，表示）.3.已知，观察下列算式：；；…若，则的值为_____________________．4.已知棱长为的正方体中，，，分别是线段、、的中点，又、分别在线段、上，且．设平面∩平面，现有下列结论：①∥平面；②⊥；③直线与平面不垂直；④当变化时，不是定直线．其中成立的结论是________．(写出所有成立结论的序号)三、解答题1.已知等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)若等比数列的前n项和为，，，求的最小正整数.2.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。

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高数C期中试卷答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案）
姓名 学号 班级 成绩
注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。

一、选择填空题（每空3分，共36分）
1、30
ln(1)
lim
sin x
x t dt t x x
→+-⎰
= 2 ； 解：上式=22
/lim cos 1)
1ln(lim
22
030==-+→→x x x
x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1
y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2
3-
解：积分区域⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤y x y
y D 121:，所以所求面积=-=⎰dy y y S )1(212ln 23-
3、1
21sin x xdx -⎰= 0 ； 解：奇函数在对称区间上的定积分为零
4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，1
0()5f x dx =⎰，则1
0()xf x dx '⎰=3-
解：根据分部积分：1
0()xf x dx '⎰352)()()(1
01
01
0-=-=-==⎰⎰dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解
为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。

6、方程2
2
14
y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱
面 ；
7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy - 8、二重极限22
(,)(0,0)lim x y xy
x y →+ 不存在 ；
解：由于2
2220
1lim
k
k
x k x kx x kx y x +=+⨯→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ；
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 无关条件
10、二元函数sin ,0,R (,)20,0R xy
x y f x y x x y ⎧≠∈⎪
=⎨⎪=∈⎩，，则(0,3)x f = 不存在
解：(0,3)x f =∞=∆-∆∆=∆-∆→∆→∆x
x x
x f x f x x 0
23sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx y x x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+= 二、计算题（共52分） 1、(6分)
计算0
-⎰ 解：被积函数在积分区域上连续
所以0
-⎰2ln 32
3
32
1
24-=-=
⎰
=+dt t t t
x 2、(6分)计算2
2
2||2x x dx x -++⎰
解：利用定积分的奇偶性
2
22||2x x dx x -++⎰3ln )2ln(22220
2202222=+=+=+=⎰⎰-x dx x x dx x x 3、(6分)计算4
1x
dx x
+∞
+⎰ 解：40
1x dx x +∞+⎰
4
arctan 2
1)(1210
20222π
=
=+=∞+∞+⎰x x dx
4、(6分)计算1sin(ln )e
x dx ⎰ 解：1sin(ln )e
x dx ⎰⎰⎰-==
=1
01
01
ln cos )sin (sin tdt e t e de
t t t
t
t x
⎰⎰--=-=1
1
1
sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t
所以1sin(ln )e
x dx ⎰)11cos 1sin (2
1
+-=e e
5、(6分)求微分方程1
2sin ,()xy y x y ππ
'+==
的特解
6、(6分)求微分方程ln 0dy
x
y y dx
-=的通解。

7、(8分)设(ln ,),z f x xy =其中(,)f u v 具有两阶连续偏导数，求2z
x y
∂∂∂
解：y f x
f z x ⨯'+⨯'=211
)0()0(1
222121211x f f y f x f f x
z xy ⨯''+⨯''+'+⨯''+⨯''=
22212
f yx f f ''+'+''= 8、(8分)设三元方程z x xyz e +=确定两元隐函数(,)z z x y =，求,z z
x y
∂∂∂∂ 解：令x z e xyz z y x F +-=),,(，
x z z y x z x e xy F xz F e yz F ++-==-=,,
所以：x
z y
x z x z z x x e xy xz
z e xy e yz F F z +++-=---=-=,
三、（共8分）当a 取何值时，曲线2y x =与直线,1x a x a ==+及x 轴所围平面图形面积最小；并求上述面积最小的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体体积。

解：])1[(3
1
)(331
2a a dx x a S a a -+==⎰
+ 2
1
0])1[()(22-=⇒=-+='a a a a S
方法一：32
)(41)21(24/102π
ππ=-⨯=⎰dy y V
方法二：32
22
/10
2π
π=
⨯=⎰dx x x V
四、设()f x 可导，且20()2x
x t f x f dt e ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 。

（4分）
解：等式两边对x 求导：x e x f x f +=')(2)(，再解此微分方程。

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