高数(一)00020所有章节总复习

第一章 函 数1. 1预备知识一元二次函数、方程和不等式不等式： 1大于取两边，大于大的，小于小的； 2 小于取中间。

绝对值不等式：|x|>a(a>0) x>a 或x<-a|x|<a 等价于 -a<x<a一元二次方程的两个根分别为x1,x2则有韦达定理：x 1+x 2= b a - x 1*x 2= c a 2b a-为曲线对称轴 不等式：算术平均值大于等于几何平均值：2a b+≥ a=b 时才相等. 因式分解与乘法公式22222222332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2)n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 等差数列和等比数列()()()11111 22n n n n a a n d n a a n n n S S na d=+-+-==+1.等差数列　通项公式：　前项和公式或()()1100n n n GP a a qa q -=≠≠2.等比数列 通项公式，()()()11.1111n n n a q q S qna q ⎧-⎪≠=-⎨⎪=⎩前项和公式 求定义域：1:分式的分母不能为0 2:根号内的大于等于0 3:对数内的要大于0 （对数为分母时真数不等于1）y=sinx, 奇函数 y=cosx, 偶 定义域（-∞，+∞） 值域：-1 <= x <= 1y=tanx, 定义域{x | x ∈R, X ≠k π+2π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数y=cotx 定义域{x | x ∈R, X ≠k π} k 为整数 值域：（-∞，+∞）奇函数判断奇偶性：f(-x)=f(x) 偶cosx,secx F(-x)=- f(x) 奇 sinx tanx cotx 等反函数：1先解出一个干净的Y ， 2 再把Y 写成X ，X 写成Y 就成了，复合函数要会看，谁是外衣，谁是内衣，P36页的公式要记住，初等函数的几个常见的图形要记住，初等数学基础知识 一、三角函数1．公式同角三角函数间的基本关系式：·平方关系： sin 2(α)+cos 2 (α)=1; tan 2 (α)+1=sec 2 (α); cot 2 (α)+1=csc^2(α) ·商的关系：tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα ·倒数关系：tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式：sin(2x)=2sinx·cosxcos(2x)=cos 2(x)-sin 2 (α)=2cos 2(x)-1=1-2sin 2 (x) tan(2x)=2tanx / [1-tan^2(x)] ·半角公式：sin 2 (α/2)=(1-cosα)/2 cos 2 (α/2)=(1+cosα)/2tan 2 (α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan 2 (α/2)] cosα=[1-tan 2 (α/2)]/[1+tan 2 (α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan 2 (α/2)] ·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]六边形记忆法：1：对角线上两个函数的乘积为12：阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点三角函数值的平方如：tan 2x+1= sec 2x 3:任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值和乘积。

如：sinx=cosx*tanx 画图口决：弦中切下层割，左正右余1中间2．特殊角的三角函数值只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。

3诱导公式：记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）1. 5经济学中的常用函数一：需求函数 Q=Q （P ）与供给函数S=S （P ）当供给量与需求量相等， 此时P 为均衡价格；Q 为均衡数量。

二：成本函数总成本C （q ）=固定成本+可变成本=C 1+C 2(q)平均成本是指总成本与产品数量之比C(q)/q ,记作C (q)三：收益函数与利润函数 ★★★★(常考点，选择，简单计算)总收益函数R=R （q ）=qP(q) R 表示收益；q 表示售出商品的数量，P （q ）为商品单价与售出数量的关系。

平均收益函数为：R =(q)R q=P （q ） 利润函数：总利润函数L=L （q ）=R （q ）-C(q), 平均利润函数：L = L （q ）= ()L q q当L=L(q)=R(q)-C(q)>0时,是盈余生产 当L=L(q)=R(q)-C(q)<0时,是亏损生产当L=L(q)=R(q)-C(q)=0时,是无盈余无亏损生产 q0为无盈亏点1 452 145 12 3060 3第二章 极限与连续一:极限X 趋于0时的等价无穷小量：（在极限乘、除运算时可用,加减不可用）0x → 1、sin xx 2、tan x x 3、arcsin xx 4、arctan x x 5、ln(1)x x + 6、1xe x - 7、 211cos 2x x - 8、1ln x a x a -9、22ln(1)x x +≈101-=12x 11、31tan sin 2x x x -≈重要极限一：0sin lim1x x x →= sin lim 0x x x →∞= 根据sinx 值域推出sin |1|lim 0x x x x→∞±==重要极限二：10lim(1)xx x e →+= 01lim(1)x x e x →+=二: 无穷大量和无穷小量★★★★(常考点，选择，简单计算，计算)无穷小乘以有界量为0无穷大的倒数为无穷小， 无穷小的倒数为无穷大，无穷小量的比较：设0lim ()0,lim ()0,x x x x f x g x →→== 若: 0()lim()x x f x c g x →= 1: 当c=0时,称f(x)是g(x)在x →x 0时的高阶无穷小量 如最后极限得出22x x2：当c ≠0且c ≠1时,称f(x)是g(x)在x →x 0时的同阶无穷小量 2xx=2 3: 当c=1时,称f(x)是g(x)在x →x 0时的等价无穷小量 sinx=xX 趋于无穷大求极限，有分式的：1分子分母同次数是系数之比；2 分子高次是无穷大；3 分母高次是无穷小0；定理6（零点定理,介值定理）三步骤：1，设f(x)是[a ，b]上是连续2．找异号 f(a)f(b)<0 3. 直接写根据零点定理得出零点定理的心得是求结论f(x)=x+1,是求等式的，就令g(x)= f(x)-x-1=0,接着来三部曲就成了，例：证明方程510x x +-=至少存在一个正根 证明：令f(x)= 51x x +- 则f(x)为连续函数。

f (0)=-1<0 f (1)=1>0 所以f (0) f (1)=-1<0 由介值定理可知(0,1)ξ∃∈使得()0f ξ= 即510ξξ+-=,ξ就是方程的根，且为正根.可去型间断点(左右极限相等，但与函数值不相等或函数值不存在)函数的间断点:第一类间断点： 如x=0,为sin ()xf x x=的可去型间断点；x=1为21()1x f x x -=-可去间断点跳跃型间断点(左右极限存在，但不相等) 如x=0为sgn(x)的跳跃型间断点;第二类间断点：若函数f(x)在点x 0处的左右极限中至少有一个不存在（ 极限为无穷）(无穷，振荡（在两个数来回徘徊）如：x=0为f(x)= 1x , g(x)= 1x e , h(x)= 1sin x的第二类间断点。

函数的间断点，找无意义的点，有两大类：分母为0就是可去间断，出现无穷就是无穷间断，出现绝对值的就是跳跃。

出现分段的没分母，没真数，没根号的就求一下左右极限看看是可去还是跳跃。

相等就是可去,不相等就是跳跃连续函数的概念与性质★★★★★(必考点，选择，简单计算,综合题)第三章 导数和微分3.11导数的定义：★★★★(常考点，选择，简单计算,) 设函数y=f(x)在x 0及其附近有定义，如果极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f(x)在x=x 0处可导,极限的值称为函数f(x)在x=x 0处的导数。

记作000()(),|;|x x x x dy df x f x dx dx=='等。

000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆ = 0()f x '定义也可表述为：若极限00()lim x f x x∆→∆∆存在，则称函数f(x)在x=x 0处可导,极限的值称为函数f(x)在x=x 0处的导数例：用定义求f(x)=ln(x)在x(x>0)处的导数解：因为 00()()ln()ln limlimx x f x x f x x x xx x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆ 0ln(1)11limx x x x x x x∆→∆+==∆ 2：函数在一点处的单侧导数定义：设函数y=f(x)在x 0及其附近有定义; 如果极限000()()limx x f x f x x x →--存在，则称函数f(x)在x=x 0处左可导,极限的值称为函数f(x)在x=x 0处的左导数。