基于最小区域法的形位公差精确算法

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用最小区域法求解平面度误差

用最小区域法求解平面度误差
平面度误差是指一个平面上的点与该平面最小二乘面之间的偏
差大小，通常用于检测平面加工的精度。

而最小区域法是一种求解平面度误差的常用方法。

最小区域法的基本思想是，将平面上的点按照一定的方式划分成若干个小区域，并将每个小区域内的点拟合成一个平面，然后计算这些小平面与最小二乘面之间的偏差大小，最终将所有小区域的偏差大小加起来得到平面度误差。

具体操作步骤如下：
1. 将平面上的点按照一定的方式划分成若干个小区域，常用的
方式有网格法、分层法等。

2. 对于每个小区域内的点，采用最小二乘法拟合成一个平面，
即求出该平面的法向量和截距。

3. 计算每个小区域拟合出的平面与最小二乘面之间的偏差大小，通常采用欧几里得距离。

4. 将所有小区域的偏差大小加起来得到平面度误差。

最小区域法能够较准确地评估平面度误差，但需要注意的是，划分小区域的方式和大小会对结果产生影响，因此需要根据具体情况进行选择。

- 1 -。

尺寸和形位公差

寸公差对外形控制 1）要求 a.特征的任何点都不能超过MMC 限制的边界；即整个长度范围内要满足SPEC.要求. b.剖面的任何点都不能超过 LMC 限制的边界；即每个局部范围都要满足SPEC.要求.
尺寸与尺寸公差
尺寸公差对外形控制举例 a. 外部特征如Pin的控制
早期标识
现在标识
一、尺寸与尺寸公差
7）最大实体状态（MMC） a. 特征包含最多材料时的状态(孔径最小，轴径最大)； b. 对于外部特征，尺寸处于最大极限尺寸(最大实体尺寸)，如下图； c. 对于内部特征，尺寸处于最小极限尺寸(最大实体尺寸)，如下图；
一、尺寸与尺寸公差
8）最小实体状态（LMC） a. 特征包含最少材料时的状态(孔最大,轴最小)； b. 对于外部特征，尺寸处于最小极限尺寸(最小实体尺寸)，如下图； c. 对于内部特征，尺寸处于最大极限尺寸(最小实体尺寸)，如下图；
8. 同轴度(REFER ONLY)
公差带是直径为公差值t，且与基准轴线同轴的圆柱面内的区域。
Example 1
d
D
0.1
0.1
基准轴线
被测轴线
表示零件上两对称中心要素保持在同一平面内的状况。
对称度
公差带是距离为公差值t，且相对基准中心平面(或中心线、轴线)对称配置的两平行平面(或直线)之间的区域。若给定互相垂直的两个方向，则是正截面为公差值t1 X t2的四棱柱内的区域。
Example 3
圆柱d的轴线必须位于直径为公差值0.05mm，且垂直于基准平面的圆柱面内。 A 0.05 A d 基准平面圆柱轴线 0.05
表示零件上两要素相对方向保持任意给定角度的正确状况。
7. 倾斜度 (REFER ONLY)

形位公差测量方法

平行度(一)基本概念平行度是表示零件上被测实际要素相对于基准保持等距离的状况。

也就是通常所说的保持平行的程度。

平行度公差是：被测要素的实际方向，与基准相平行的理想方向之间所允许的最大变动量。

也就是图样上所给出的，用以限制被测实际要素偏离平行方向所允许的变动范围。

(二)举例说明面对基准平面的平行度要求是指被测要素与基准要素均为平面。

图a所示要求表示：被测实际表面必须位于距离为工程值0.05mm且平行于基准平面B的两平行平面之间的区域内，如图b所示。

线对基准平面的平行度要求是指被测要素为一直线(轴线)，而基准要素为一平面。

图a所示要求表示：Φ20H7孔的实际轴线必须位于距离为公差值0.05mm，且平行于基准平面的两平行平面之间的区域内，如图b所示。

面对基准直线的平行度要求是指被测要素为一平面，基准要素为一直线(轴线)。

图a所示要求表示:被测实际表面必须位于距离为公差值0.08mm，且平行于基准轴线的两平行平面之间的区域内，如图b所示。

线对基准直线的平行度要求是指被测要素和基准要素都是直线(轴线)。

图a所示要求表示：被测轴线应位于，在垂直方向上平行于基准轴线B，且距离为公差值0.02mm的两平行平面之间的区域，如图b所示。

(三)常用检测方法垂直度(一)基本概念垂直度是表示零件上被测要素相对于基准要素，保持正确的90°夹角状况。

也就是通常所说的两要素之间保持正交的程度。

垂直度公差是：被测要素的实际方向，对于基准相垂直的理想方向之间，所允许的最大变动量。

也就是图样上给出的，用以限制被测实际要素偏离垂直方向，所允许的最大变动范围。

(二)举例说明面对基准平面的垂直度要求是指被测要素与基准要素都是平面。

图a所示要求表示:被测实际表面应位于，距离为0.02mm，且垂直于基准平面B的两平行平面之间的区域内，如图b所示。

线对基准平面的垂直度要求是指被测要素为一直线(轴线)，基准要素为一平面。

图a所示要求表示:被测实际轴线应在给定的方向上，距离为公差值0.02mm，且垂直于基准平面B的两平行平面之间的区域内，如图b所示。

基于最小区域法的形位公差精确算法

ａｌｇｏｉｒｔｈｍｓｏｆｍｉｎｉｍｕｍｚｏｎｅｍｅｔｈｏｄｉｓｖｅｒｙｃｏｍｐｌｅｘａｎｄｔｈｅｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｈｉｇｈ．Ａｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎａｌｇｏｉｒｔｈｍｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｆｏｕｒｋｉｎｄｓｏｆｃｏｍｍｏｎｏｒｆｍ — ｐｏｓｉｔｉｏｎｔｏｌｅｒａｎｃｅｏｆｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｓｅｔｔｉｎｇａｎｄｓｏｌｖｉｎｇｓｔｅｐｓｗｅｒｅｓｏｌｏｅｄａｎｄｔｈｅａｌｇｏｉｔｒｈｍｌｆｏｗｅｈａａｏｆｔａｋｉｎｇｔｈｅｃｉｒｃｕｌａｉｒｔｙｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｓｅｘａｍｐｌｅｗａｓｄｒａｗｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅａｌｇｏｉｔｒｈｍ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗ
ｔｈａｔｔｈｅｉｎｉｔｉａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｎｄｉｄｅａｓｏｆｔｈｅａｌｇｏｉｒｔｈｍａｒｅｅａｓｙａｎｄｔｈｅａｌｇｏｉｒｔｈｍｉｓｅａｓｙｔｏｂｅｐｒｏｇｒａｍｍｅｄ．ｈｅＴａｌｇｏｉｒｔｈｍｈａｓｎｏｔ

最小区域法圆度误差

最小区域法圆度误差
最小区域法圆度误差是指在评估圆度误差时，选取一个最小的区域来拟合实际轮廓，这个最小区域可以是一个圆，使得所有的实际轮廓点到这个圆的最大距离最小。

这种方法又称为最小外接圆法，是评定圆度误差的一种有效方法。

在最小区域法圆度误差评定过程中，通常会涉及到以下几个步骤：
1. 数据采集：获取待评定圆的轮廓数据，这些数据可以通过各种测量设备获得，如圆度仪、三坐标测量机等。

2. 数据处理：将采集到的轮廓数据进行数字化处理，通常需要进行滤波和数据平滑操作，以消除噪声和测量误差的影响。

3. 圆心搜索：在处理好的轮廓数据中搜索可能的圆心位置，这一步骤可能涉及到复杂的迭代和优化算法。

4. 最小区域确定：根据搜索到的圆心，计算覆盖所有轮廓点的最小区域，这个区域通常是一个圆。

5. 误差评定：计算所有轮廓点到最小区域圆心的距离，并找出最远点的距离作为圆度误差的评价值。

最小区域法圆度误差评定方法具有计算简单、易于实施等特点，广泛应用于机械制造、航空航天、汽车工业等领域的圆度误差检测。

各类形位公差的测量方法

如何测量直线度?方法1：借用“导轨激光直线度检测仪”或“准直仪”方法2：是一根活塞杆，假设分三点A、B、C点，用V型铁和百分表测量。

A点在0°、90°、180°、270°测量值分别为0、-0.01、0、0；B点0°、90°、180°、270°测量值分别为0、0、0.01、0.005；C点在0°、90°、180°、270°测量值分别为0、0.03、0.02、0。

问怎样算出此轴的直线度和A、B、C三点的圆度和圆柱度？请各位大哥详细讲解，越详细越好！先感谢各位大哥了。

（假设轴的外径为70mm）。

取的点太少了，示意一下吧。

A点0°90°180°270°测量值为0、-0.01、0、0；B点0°90°180°270°测量值为0、0、0.01、0.005；C点0°90°180°270°测量值为0、0.03、0.02、0直线度：在给定的方向上，偏离基准的误差最大距离。

0°母线直线度误差——090°母线直线度误差——0.04180°母线直线度误差——0.02270°母线直线度误差——0.005方法3：将长300mm的轴用V型铁架在平板上，转动该轴，用千分表测量轴各段圆柱面跳动情况，跳动量的一半，代表该测量点所在截面的中心偏离两V型铁支撑处截面圆心连线的偏移量（如下图）。

如何测量平面度?对于精度要求不高的平面度可以用此法测量，还可以用调整块或量块打表找平3点后，拖动指示表，在整块平板上求最大值与最小值之差，即为该平面的平面度，我们公司有三坐标测量仪，在平面上打点，测平面度又快又精确如何测量圆度?圆度测量有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法等方法。

圆度误差评定中最小区域法的计算机叠代算法

圆度误差评定中最小区域法的计算机叠代算法回转体零件其横截面轮廓是否为一正圆，需要与一理想圆进行比较才能得出结论圆度误差的评定过程就是将被测横截面的实际轮廓与理想圆比较的过程。

最小条件法是圆度误差评定中寻找理想圆的基本原则，目前经常采用的方法有最小二乘法、最小外接圆法、最大内切圆法和最小区域法。

其中最小区域法是一种新的优良评定方法，它不仅可以获得最小的误差评定结果，而且对零件的性质有稳定的约束通过包边界因而是现代测量技术致力研究的评定方法。

在传统圆度测量仪中实现最小区域圆评定的方法是测量仪通过传感器描绘出被测工件的轮廓误差曲线，然后测量人员用同心圆模板来试凑包容轮廓误差曲线，直到符合最小区域圆条件为止。

当用计算机对传统圆度仪进行改造时，首先要解决的就是各种评定方法的算法，我们用计算机叠代法推导了最小区域圆的算法。

1、零件坐标系的建立当被测零件放在测量仪器的工作台上时，零件圆心不能与工作台圆心绝对重合，所以零件坐标系不等于仪器坐标系在实际测量中测量点的坐标值是仪器坐标值而圆度误差测量的基准参考系应是零件基准坐标系因此，必须将测量点的仪器坐标值转换成零件坐标值。

最小区域圆的评定过程就是根据基于仪器坐标的实际测量值，寻找满足最小区域圆条件的零件坐标原点，并将仪器坐标值转换成零件坐标值的过程。

1。

最小区域圆条件最小区域圆是指用两同心圆包容基于仪器坐标的实际测量曲线，且两同心圆与测量曲线应至少有内外交替的四点接触，满足此条件的两同心圆半径差为最小，两圆的圆心为满足最小区域圆条件的零件坐标系原点 1所示两圆的半径差为被测工件的圆度误差1。

确立零件坐标原点．1确立初始零件坐标原点零件坐标系应基于仪器坐标系，在测量点均匀分布的情况下，可采用最小二乘法确立零件初始坐标原点，在测量非均匀分布的情况下可取前点求圆确定其圆心为零件初始坐标原点。

设有个测量点 Pi i1 ，n基于仪器坐标值为Xi，i ，所求初始零件坐标原点基于仪器坐标系的坐标值为XY则根据最小二乘圆原理可求得X n XiY 2 n i我们可以将（XY 作为最初零件坐标原点基于仪器坐标的坐标值，但该值不一定满足最小区域圆条件，它只能作为寻找满足最小区域圆条件的坐标原点的初值。

形位公差详解

William Liu Nov.2005形位公差概述1、定义形位公差：是表示零件的形状和其相互间位置的精度要求。

2、形状和位置公差的分类形位公差：☹形状公差：A：直线度；B：平面度；C：圆度；D：圆柱度；E：线轮廓度；F：面轮廓度。

☹位置公差：A：定向公差：a:平行度；b:垂直度c:倾斜度。

B：定位公差：a:同轴度；b:位置度；c:对称度。

C：跳动：a:圆跳动；b:全跳动。

1形狀公差•形状公差的特点：可将其分成两组•1、直线度、平面度、园度、圆柱度：•特点：都是单一要素；没有基准；公差带位置是浮动的；•公差带方向为形位误差安最小区域法所形成的•方向一致。

•2、线轮廓度、面轮廓度：•特点：•1)、当线、面轮廓度是用来控制形状时，它是单一要素，•没有基准，公差带位置是浮动的。

•2)、当线、面轮廓度是用来控制形状和位置时，它是关•联要素，有基准，公差带位置是固定的。

•3)、当线轮廓度是封闭形状时，它是单一要素，没有基准•，公差带位置是固定的。

直線度公差1、定义：直线度是用来限制被测实际直线形状误差的一项指标。

2、平面上的直线度公差带是夹在距离为公差值的两条理想的平行线之间的区域。

0.01f＝0.01空間直線度公差3、空间的直线度公差带：是直径为公差值Ф0.04mm的圆柱面内区域。

Ø0.04Ø0.04平面差公差1、定义：平面度是用来限制实际平面形状误差的一项指标。

0.012、平面度公差带：是距离为公差值0.01mm的两平行平面间的区域。

圓度公差0.05f ＝0.052、公差带是半径差为公差值0.05mm 的两同心园之间区域。

1、定义：圓度是限制回转体的正截面或过球心的任意截面轮廓圓形状误差的一项指标。

圓柱度公差1、定义：圆柱度是综合限制圆柱体正截面和纵截面的圆柱形状误差的一项指标。

0.052、圆柱度公差带：是半径差为公差值0.05mm 的两同轴圆柱面之间区域。

1、定义：是限制平面曲线形状误差的一项指标。

基于最小区域法的形位公差精确算法

基于最小区域法的形位公差精确算法计自飞;丁拳【摘要】最小区域法是真正符合国际形位公差定义的评价方法.针对现有的最小区域法的实现算法存在思路复杂、对初始计算条件要求较高等问题,提出1种逐次逼近算法.详细阐述了依据此算法求解4种常见形位公差的初始计算条件设置和求解步骤,绘制了以圆度计算为例的算法流程图.结果表明:该算法初始计算条件和思路简单,易于编程,对测点坐标分布及运行环境无特殊要求;可以准确有效地实现圆度等形位公差的评定.【期刊名称】《航空发动机》【年(卷),期】2014(040)006【总页数】5页(P33-37)【关键词】形位公差;最小区域法;逐次逼近算法;最小二乘法;航空发动机【作者】计自飞;丁拳【作者单位】中航工业沈阳发动机设计研究所,沈阳110015;中航工业沈阳发动机设计研究所,沈阳110015【正文语种】中文【中图分类】V232航空发动机是由成千上万的各种零部件组成，因此，其高性能源于优秀设计，更离不开优秀制造工艺的可靠保证。

零部件的精密程度将直接影响到发动机的稳定性和可靠性。

在发动机的各式零部件中，回转体构件数量众多，且具有特殊的重要作用。

因此，对发动机回转体构件的圆度、圆柱度和直线度等的测量分析十分重要。

而其准确的测量结果和快速评估对于判定精密回转类零部件的合格与否至关重要。

形位公差的评定方法有很多种，其中，最小区域法和最小二乘法适用于每种形位公差的计算。

最小二乘法尽管发展较为完善，但是，方法本身存在一些缺陷，而最小区域法是完全符合形位公差定义的评定方法[1-2]。

对此，国内外的专家学者已做过很多研究，并提出了一些优化方法，但这些方法有些思路复杂，如遗传算法[3]、仿增量算法[4]等，有些方法对初始条件要求过高，如区域搜索算法[1-5]等，需以最小二乘法的计算结果作为初始条件，且搜索步长难于控制，过小则计算量大，过大则精度不够，因而都不易于在工程领域广泛采用。

有些研究者利用MATLAB自带的优化工具箱来实现最小区域法求解圆度误差的问题[6-8]，但使用这种方法需要精通MATLAB软件，推广应用有诸多不便。

基于最小区域法的平面度误差评定及其软件设计_刘瑜

Instrument Engineering Workbench）的简称［5］，它是一种基于图形化的计算机编程语言，用图标来代替文本行创建应用程序。 LabVIEW 编写的程序称为虚拟仪器 VI，它的界面和功能与真实仪器十分相像，并且可以将数据采集、分析与显示功能集中于同一个环境中，在自己的平台上无缝地集成一套完整的应用方案。因此采用 LabVIEW 作为本软件开发的平台，将数据测量、处理、模型显示集中于一体。
达到最大迭代
否
根据给出的平面度误差评定的数学模型，在 MATLAB 中运用
是
粒子群算法实现平面度误差逼近。粒子群算法（Particle Swarm
结束
Optimization，PSO）是一种基于迭代的优化工具［3］，系统初始化一
图 2 算法流程图
机电信息 2011 年第 6 期总第 288 期 29
由于matlab简单易用并且具有开放式可扩展环境使得它成为计算机辅助设计和分析算法研究和应用开发的基本工具和首选平台在科学研究和工程应用各个领域得到了广泛的应用根据给出的平面度误差评定的数学模型在matlab中运用粒子群算法实现平面度误差逼近
Sheji yu Zhizao◆设计与制造
基于最小区域法的平面度误差评定及其软件设计
并由 LabVIEW 调用 DLL 文件，实现了 LabVIEW 和 MATLAB 的有效混合编程。借助 Visual C++ 与 MATLAB 的接口，可以将 M 文件编译为动态链接库（DLL），在 LabVIEW 中可以调用生成的 DLL 中封装的函数来实现算法，便于脱离 MATLAB 运行环境和程序
v（ij t+1）=ωv（ij t）+cr1（j t）（p（ij t）-x（ij t））+c2r2（j t）（pg（j t）-xi）j （7）

最小包容区域

形状误差值的大小：用最小包容区域（简称最小区域）的宽度或直径表示。
最小包容区域：指包容被测要素时，具有最小宽度和直径的包容区域。
用最小包容区域评定形状误差值的方法，称为最小区域法。
1.直线度评定 1）最小区域法：相间准则 2）近似法：两端点连线法
2.平面度评定 1）最小区域法：交叉准则直线准则三角形准则 2）近似法：对角线法三点法
2）定位误差：
指被测实际要素对一具有确定位置的理想要素的变动量。
定位误差值用定位最小包容区域的宽度或直径表示。
定位最小区域指以理想要素定位来包容被测实际要素时，具有最小宽度或直径的包容区域。
3）跳动：分为圆跳动和全跳动。圆跳动指被测实际表面绕基准
轴线作无轴向的回转一周时，在指定方向上指示器测得的最大读数差。
3.圆度误差测量
5.3.2 位置误差：
位置误差可分为：定向误差定位误差跳动误差
1）定向误差指被测实际要素对一具有确定方向的
理想要素的变动量。定向误差值用定向最小包容区域（简
称定向最小区域）的宽度或直径表示。定向最小区域是指按理想要素的方向
包容被测实际误差时，具有最小宽度或直径的包容区域。
例：用测微仪按下图所示的分布方法测量9个点，测得值如图所示。请确定其平面度误差值。
0 -6 -16 -7 +3 -7 -10 +12 +4
选0和+12为最高点、-10和-16为最底点，则旋转量为： 0 + 0 = + 12 + P + 2Q - 10 + 2Q = - 16 + 2P
得：
0 -11/2 -30/2
= -19/2 –2/2 -17/2

4.形位公差4-7

方向或位置的依据，在规定位置公差时，一般都要注出
基准。
在实际应用时，由于基准的提取要素存在形位误差，则由基准提取要素（实际要素）的拟合要素来确定。应先对实际基准要素作符合最小条件最小包容区域，再来确定基准。
1) 单一基准中心要素（轴线）由实际轴线建立基准轴线
被测提取轴线最小区域拟合轴线
1) 模拟法
通常采用具有足够形位精度的表面来体现基准平面和
基准轴线。用平板表面体
现基准平面。
用心轴表面体现内圆柱面的轴线。
用V形块表面
体现外圆柱面的轴线。
2）直接法
当基准实际要素具有足够形状精度时，可直接作为基
准。如在平板上测量零件，就是将平板作为直接基准。
3）分析法通过对基准提取要素进行测量，然后通过数据处理求出符合最小条件的拟合要素。 4）目标法以基准提取要素上规定的若干点、线和面构成基准。
2.作误差曲线如图所示。过点（0，0）和（5，-3）作
一条直线，再过点（4，-9）作它的平行线。最小区域的确定条件为两平行线包容误差曲线，且三接触点为 “高一低一高”或“低一高一低”的情况。由图可见，此二平行线间的区域符合条件，是最小区域，两平行线
在y方向的距离面即为直线度误差值。
4-7 形状误差的检测
一、形位误差及其评定
1、形状误差及其评定形状误差是被测提取要素对其拟合要素的变动量（f）。拟合要素的位置符合最小条件。被测提取要素相对于拟合要素的最大变动量为最小。此时，对被测提取要素评定的误差值为最小。由于符合最小条件的拟合要素是唯一的，所以按此评定的形状误
差值也将是唯一的。
4）任选基准有相对位置要求的两要素中，基准可以任意选定。主要用于两要素的形状、尺寸和技术要求完全相同的零件，

形位误差的评定及检测

三、形位误差的检测
3. 直线度误差的检测（1）指示器测量法（2）刀口尺法（3）钢丝法（4）水平仪法（5）自准直仪法
三、形位误差的检测 4. 平面度误差的检测
图4-20 平面度误差的检测
三、形位误差的检测
5. 跳动误差的检测（1）径向圆跳动误差的检测（2）端面圆跳动误差的检测（3）斜向圆跳动误差的检测（4）径向全跳动误差的检测（5）端面全跳动误差的检测
的形状分别与各自的公差带形状相同，但前者的宽度或直径则由实际被测要素本身决定。
图4-17 最小条件和最小区域
二、位置误差评定 1. 模拟法模拟法就是采用足够精确的实际要素来体现基准平面、基准轴线、基准点等。 2. 分析法分析法就是通过对基准实际要素进行测量，再根据测量数据用图解法或计算法按最小条件确定的理想要素作为基准。 3. 直接法直接法就是以基准实际要素为基准。
一、形状误差的评定
1. 形状误差的评定准则——最小条件所谓最小条件是指确定理想要素位置时，应使理想要素与实际要素相接触，并使被测实际要素对其理想要素的最大变动量为最小。
一、形状误差的评定 2. 形状误差的评定方法——最小区域法所谓最小包容区域，是指包容实际被测要素时具有最小宽
度f或直径Φf的包容区域。各个形状误差项目的最小包容区域
三、形位误差的检测 1. 形位误差的检测原则
形位公差的项目较多，为了便于准确选用，概括出评定形位误差的五种检测原则。（1）与理想要素比较原则（2）测量坐标值原则（3）测量特征参数的原则（4）测量跳动原则（5）控制实效边界原则
三、形位误差的检测
2. 形位误差的检测步骤（1）根据误差项目和检测条件确定检测方案，根据方案选择检测器具，并确定测量基准。（2）进行测量，得到被测实际要素的有关数据。（3）进行数据处理，按最小条件确定最小包容区域，得到形位误差数值。