高考数学真题分类专题五 平面向量第十四讲 向量的应用答案

专题五 平面向量

第十四讲 向量的应用

答案部分

2019年

1.解析 设()2

AD AB A AO C λ

λ==

+，

1()(1)3

AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μ

μμμμμ-=+=+=+-=-+=

+，

所以1232

λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12

14λμ⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，

所以11()24AO AD AB AC ==+，1

3

EC AC AE AB AC =-=-+， 2211312

66()()()43233

AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=

2213

22

AB AB AC AC -+⋅+， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+，所以2213

22

AB AC =，

所以

22

3AB AC

=，所以

AB

AC

=. 2.解析：正方形ABCD 的边长为1，

可得AB AD AC +=，BD AD AB =-，0AB AD ⋅=，

123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++

12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-

++ =

由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=错误!未找到引用源。2，3，4，5，错误!未找到引用源。取遍1±， 可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，

可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0；

由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，

可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-

可得所求最大值为

3.解析 因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=， 又AB =，所以2

5

BE AD =-. 因为AE AB BE =+，所以2

5

AE AB AD =-. 又BD BA AD AB AD =+=-+， 所以()

22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫

⋅=-+⋅-

=-+⋅-= ⎪⎝

⎭

2

272

cos 55

AB AB AD A AD -+

⋅-=7212525155

-+⨯⨯-⨯=-. 2010-2018年

1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，

因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以(0,0)A ，(1,0)B

，1(,22

D -

，设(1,)C m ,

(,)E x y ， 所以3(,2DC m

=

，1(2AD =-， 因为AD CD ⊥，所以31(,(02

2m ⋅-=，

即

31()02222

m ⨯-+-=

，解得m =

C ， 因为E 在CD

上，所以

2

y ≤CE CD k k =，

2112

=

+

，即2x =-， 因为(,)AE x y =，(1,)BE x y =-，

所以2222

(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=--++

246y =-+

，令2()46f y y =-+

，y ∈．

因为函数2

()46f y y =-+

在

上单调递减，在上单调递

增，所以2min 21

()4(

68816

f y =⨯-+=． 所以⋅AE BE 的最小值为

21

16

，故选A ． 2．A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，

由2

430-⋅+=b e b 得2

2

430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是

以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为

3

π

，所以不妨令点A

在射线y =(0x >)上，如图，

数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．

解法二 由2

430-⋅+=b e b 得2

2

43()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．

设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，

所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．

设OA =a ，作射线OA ，使得3

AOE π

∠=

，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b

|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．

3．A 【解析】如图建立直角坐标系，

则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,

)P x y 所以圆的方程为22

4(2)5

x y -+=

， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =， 由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ

=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12x

y -+，

设12x z y =

-+，即102

x

y z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102

x

y z -+-=的距离小于半径，