二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)

高中数学专题训练二次函数与幂函数
一、选择题
1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件( )
A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>1
4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)>f(3)
B．f(3)>f(2)
C．f(3)＝f(2)
D．f(3)与f(2)的大小关系不确定
5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2]
6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则( ) A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)<f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
二、填空题
8．已知y＝(cos x－a)2－1，当cos x＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________．
9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
10．设函数f1(x)＝x 1
2
，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝
________.
11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．
12．已知幂函数f(x)＝x 1－α
3
在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是
减函数，那么最小的正整数a＝________.
13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
14．已知函数f(x)＝2
x
－x m，且f(4)＝－
7
2
.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
15．已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．
练习：
1．若函数f (x )＝log 1
2
(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范
围是( )
A ．(－∞，1]
B ．(3，＋∞)
C ．(－∞，3)
D ．[5，＋∞)
2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( )
A ．1
B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52
3.
如图所示，是二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( )
A.c a B ．－c a C ．±c
a
D ．无法确定
4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2
5．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( )
A ．0≤a ≤1
B ．0≤a ≤2
C ．－2≤a ≤0
D ．－1≤a ≤0
B 组
1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________.
2．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )
A ．减函数
B ．增函数
C ．常函数
D ．可能是减函数，也可能是常函数
3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α、β是方程f (x )＝0的两个根(α<β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( )
A ．α<a <b <β
B ．a <α<β<b
C ．a <α<b <β
D ．α<a <β<b
4．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c
5．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥－1
B ．a ≥0
C ．a ≤3
D ．a ≤1
6．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于________．
答案：一、1.A 2 C 3 C 4 C 5 C 6 D 7 B
8．解析 由题意知⎩⎨
⎧
－a ≤0
－1≤a ≤1
∴0≤a ≤1
9． 9或25 10． 1
2010
11． 大 －3
12． 3 13． 2<m <5
2
三、解答题
14 (1)m ＝1 (2)递减
练习；1． D 2. B 3． B 4 C 5 D
B 组1． x 2－x ＋1
2 D 3A 4 B 5A 详析
1． A
解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
2． C
解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－b a
<0，不符合，∴选C.
3． C
解析 类比函数y ＝x 1
2
即可．
4． C
解析 ∵f (4)＝f (1)
∴对称轴为5
2
，∴f (2)＝f (3)．
5． C
解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.
6． D
解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b
2a
＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.
7． B
解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵
x 1＋x 22＝
1－a
2∈(－1，1
2
)，
又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．
解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 2
2＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1
＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )
又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B.
二、填空题
8．解析 由题意知⎩
⎨⎧
－a ≤0
－1≤a ≤1
∴0≤a ≤1 9． 9或25
解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －
m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －1162
∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －1162
＝0，∴m ＝9或25. 10． 1
2010
解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2
f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝1
2010
.
11． 大 －3
解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0 ∴f (x )有最大值，最大值为c －b 2
4a ＝－3.
12． 3
13． 2<m <5
2
解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1
由题意知⎩⎨⎧
f 1<0f 2>0
⇒2<m <5
2.
三、解答题
14 (1)m ＝1 (2)递减
解析 (1)∵f (4)＝－7
2
，
∴24－4m ＝－7
2
.∴m ＝1. (2)f (x )＝2
x
－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：
任取0<x 1<x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝(2
x 1－x 1)－(2
x 2－x 2)
＝(x 2－x 1)(
2
x 1x 2
＋1)．
∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，
2x 1x 2
＋1>0.
∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2
x
－x 在(0，＋∞)上单调递减．
15． [－9
4
，9]
解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，
∴－3
2
≤a≤2.
①当－3
2
≤a<1时，
g(a)＝(a＋1)(－a＋3)＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4，∴由二次函数图象可知，
－9
4
≤g(a)<4.
②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2，∴当a＝1时，g(a)min＝4；
当a＝2时，g(a)max＝9；
∴4≤g(a)≤9.
综上所述，g(a)的值域为[－9
4
，9]．
练习；1．D
解析f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.
2．B
解析∵b>0，∴不是前两个图形，
从后两个图形看－b
2a
>0，∴a<0.
故应是第3个图形．
∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.
3.B
解析∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|c
a
|＝－
c
a
(∵a<0，c>0)．
4．C
解析函数在[1，＋∞)上单增
∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)．
5．D
解析f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2
若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，
则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选D.
B组1．x2－x＋1
解析设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a ＋b＝2x
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
2． D
解析 函数f (x )是偶函数，∴a 2－1＝0 当a ＝1时，f (x )为常函数
当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D. 3． A
解析 设g (x )＝(x －a )(x －b )，则f (x )＝g (x )－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a <b <β，故选A.
4． B
解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋3
2
＝1，
所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．
5． A
解析 令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立．
令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1 则f (0)＝1>0
(1)当－a －1
2≤0即a ≥1时恒成立
(2)当－a －1
2
>0即a <1时．
由Δ＝(a －1)2－4≤0 得－1≤a ≤3 ∴－1≤a <1 综上：a ≥－1. 6． c
解析 ∵f (x 2)＝f (x 1)，∴x 2＋x 1＝－b a ，∴f (x 1＋x 2)＝f (－b a
)＝c .。