排列组合综合问题

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苏教版2-1排列组合与概率--9.10排列组合综合问题(第一课时)

苏教版2-1排列组合与概率--9.10排列组合综合问题(第一课时)
④ Ba-------------Ab 先组后排
A A 2 2
1 2
1 2
分离排列问题:
引例(曾经作过的题): 4名运动员出 组成4×100米接力队,参加校运会,其 中甲,乙两人不同时跑中间两棒的安排 4 2 2 方法有多少种?间接法方便:A4 A2 A2 20. 例4:高二某班要从7名运动员出4名组成4×100 米接力队,参加校运会,其中甲,乙两人都不跑中 间两棒的安排方法有多少种? 分析:从7人中选出4人分别安排在第一、二、三、四 棒这个事,与组合和排列都有关,这里对甲、乙又有特 殊的要求,这就有几种不同的情况,所以要分类考虑, 先考虑4人的选取有几类?再考虑谁跑哪棒。 直接法:先组: 分三类。第一类,没有甲、乙,有 C54种;第二类,有甲无乙或有乙无甲,有 2C53种; 第三类,既有甲又有乙。有C52种。
结论:给出组名(非平均中未指明
各组个数)的要在未给出组名的种 数的基础上,乘以组数的阶乘。
分离排列问题:
例2:求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排,2女相邻; ② 6男2女排成一排,2女不能相邻; ③4男4女排成一排,同性者相邻; ④4男4女排成一排,同性者不能相邻。
分析: ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列, 有A77.A22种 “捆绑法” ②把6男2女8人全排列,扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相 邻”,所以有A88-A77.A22种。“排除法” ② 还可用“插空法”直接求解:先把6男全排列,再在6男相 邻的7个空位中排2女,所以共有A66.A72种.
3、在∠MON的边ON上有5个异于O点的点, OM上有4 个异于O点的点, 以这十个点(含O)为顶点,可以得到多 少个三角形?
C C C C C C 90

排列组合综合(1-3)

排列组合综合(1-3)

排列、组合综合题(1)常见的解题策略有以下几种:(1)特殊元素优先安排的策略;(2)合理分类与准确分步的策略;(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;(4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略;(6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题除法处理的策略;(8)分排问题直排处理的策略; (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;(10)构造模型的策略.1、若436m m C A =,则=m ( )A 、9B 、8C 、7D 、62、把6名同学排成前后两排,每排3人,则不同排法的种类( )A 、36B 、120C 、720D 、14403、某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得3分;平一场,得1分;负一场,得0分; 一球队打完15场,积33分,若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况共有( ) A 、3种 B 、4种 C 、5种 D 、6种4、在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有( ) A 、56个B 、57个C 、58个D 、60个5、如图1所示,为某市的四个小镇,现欲修建三条 公路,将这四个镇连接起来,则不同的修路方案种 数为( )(图1)A 、6B 、12C 、16D 、246、某电视台连续播放6个广告,三个不同的商业广告,两个不同的奥运宣传广告,一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放,两个奥运宣传广告也不能连续播放,则不同的播放方式有( ) A .48种 B .98种 C .108种 D .120种7、 将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子里,每个盒内放一个球,恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不.一致的放入方法种数为( ) A .120B .240C .360D .7208.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,求该外商不同的投资方案有多少种?解 可先分组再分配,据题意分两类,一类:先将3个项目分成两组,一组有1个项目,另一组有2个项目,然后再分配给4个城市中的2个,共有2423A C 种方案;另一类1个城市1个项目,即把3个元素排在4个不同位置中的3个,共有34A 种方案.由分类计数原理可知共有342423A A C +=60种方案.9.二次函数y =ax 2+bx +c 的系数a 、b 、c ,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取3个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?解 由图形特征分析,a >0,开口向上,坐标原点在内部⇔f (0)=c <0;a <0,开口向下,原点在内部⇔f (0)=c >0,所以,对于抛物线y =ax 2+bx +c 来讲,原点在其内部⇔af (0)=ac <0,则确定抛物线时,可先定一正一负的a 和c ,再确定b ,故满足题设的抛物线共有16221413A A C C =144(条).10、个人坐在一排个座位上,问 (1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 个空位只有个相邻的坐法有多少种?(3) 个空位至多有个相邻的坐法有多少种?11. 4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中,现从中取出4个球. (1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法?(2)取出一个红球记2分,取出一个白球记1分,若取出4个球总分不少于5分,则有多少种不同的取法?解 (1)依题意可知,取出的4个球中至少有2个红球,可分为三类: ①全取出红球,有44C 种不同的取法;②取出的4个球中有3个红球1个白球,有34C ×16C 种取法;③取出的4个球中有2个红球2个白球,有24C ×26C 种不同的取法. 由分类计数原理知,共有44C +34C ×16C +24C ×26C =115种不同的取法. (2)依题意知,取出的4个球中至少要有1个红球,从红白10个球中取出4个球,有410C 种不同的取法,而全是白球的取法有46C 种,从而满足题意的取法有:410C -46C =195(种).6104342排列、组合综合题(2)1、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有( )A 、4448412C C C 种 B 、34448412C C C 种 C 、3348412A C C 种 D 、334448412AC C C 种2、从某班学生中,选出四个组长的不同选法有m 种,选出正、副组长各一名的不同选法有n 种,若m:n=13:2,则该班的学生人数是( )A 、10B 、15C 、20D 、223、从1,2,3,4,5,6,7,8,9中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数,共可得到不同的对数值( )A 、53个B 、55个C 、57个D 、59个4、若国际研究小组由来自3个国家的20人组成,其中A 国10人,B 国6人,C 国4人,按 分层抽样法从中选10人组成联络小组,则不同的选法有( )种.A .B .C .D .5. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是A. 60B. 48C. 42D. 366.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 (A )6种 (B )12种 (C )24种 (D )30种7、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有( )A 、24种B 、18种C 、12种D 、6种8. 12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2 人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )A .B .C .D .9.用4种不同的颜色为正方体的六个面着色,要求相邻两个面颜色不相同,则不同的着色方法有( )种。

排列、组合的综合问题

排列、组合的综合问题
答案:1 560
从 1,3,5,7,9 中任取三个数,从 2,4,6,8 中任取两 个数,则可以组成没有重复数字的五位数的个数为________. 解析:“先取元素后排列”,分三步完成:第一步,从 1,3, 5,7,9 中任取三个数,有 C35种取法;第二步,从 2,4,6,8 中任取两个数,有 C24种取法;第三步,将取出的五个数全排列, 有 A55种排法.共有符合条件的五位数 C35C24A55=7 200(个). 答案:7 200
• 处理有附加条件的排列、组合应用题的策略: • (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,
再考虑其他元素; • (2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,
再考虑其他位置; • (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,
再减去不合要求的排列数或组合数.
【基础检测】
1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜中选
个,再加上 3 开头的排列数才共有 180 个,如果加
上 4 开头的,则共有 240 个,所以第 200 项应该是
4 开头的数.
而形如 4 1
数,有 A24=12 个.
故 200 项在形如 4 2
中.
又 421
, 423
各有 3 个数,故此数应在形如 4 2 5 中 的 第 二 个数、即符合 180+12+3+3+2=200. 故所求第 200 项为:4253.
A.24
B.48
C.120
D.72
D
【解析】解法一:特殊位置法:第一步:从除
A 外的 4 人中选 2 人参加理、化竞赛,有 A24种选法; 第二步:从剩余 3 人中选 2 人参加数、英竞赛,有 A23种选法,共 A24·A23=72 种.
解法二:特殊元素法:分选 A 及不选 A 两种, 共 C34·C12A33+A44=72 种.

排列组合难题21种题型及方法

排列组合难题21种题型及方法

高考数学排列组合难题21种方法排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。

1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 443练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

小学数学《排列组合的综合应用》练习题(含答案)

小学数学《排列组合的综合应用》练习题(含答案)

小学数学《排列组合的综合应用》练习题(含答案)例1 从5幅国画,3幅油画,2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室,问有几种选法?分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况,即可分三类,自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时,利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解:符合要求的选法可分三类:不妨设第一类为:国画、油画各一幅,可以想像成,第一步先在5张国画中选1张,第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅,由乘法原理有 5×2=10种选法.第三类油画、水彩各一幅,由乘法原理有3×2=6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此,依加法原理,选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15+10+ 6=31种.注运用两个基本原理时要注意:①抓住两个基本原理的区别,千万不能混.不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完)数之间做加法,可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法(全程分成几个阶段(步),其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法,可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时,要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例:从若干件产品中抽出几件产品来检验,如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类:第一类抽出的产品中有2件次品,第二类抽出的产品中有1件次品,那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如:把能被2、被3、或被6整除的数分为三类:第一类为能被2整除的数,第二类为能被3整除的数,第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时,要注意当每个步骤都做完时,这件事也必须完成,而且前面一个步骤中的每一种方法,对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次,试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列,利用树形图是一种直观方法.为了方便,树形图常画成倒挂形式.解:由此可知,排列共有如下八种:正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0~9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题,首先弄清楚限制条件表现为:①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件:千位上不能排0,或说千位上只能排1~9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同,下面分别介绍三种解法.解法1:分析某位置上不能排某元素.分步完成:第一步选元素占据特殊位置,第二步选元素占据其余位置.解:分两步完成:第一步:从1~9这九个数中任选一个占据千位,有9种方法.第二步:从余下的9个数(包括数字0)中任选3个占据百位、十位、个位,百位有9种.十位有8种,个位有7种方法.由乘法原理,共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答:可组成4536个无重复数字的四位数.解法2:分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成:第一步让特殊元素先占位,第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素,在组成的四位数中,有一类根本无0元素,另一类含有0元素,而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解:组成的四位数分为两类:第一类:不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类:含0的四位数的组成分为两步:第一步让0占一个位有3种占法,(让0占位只能在百、十、个位上,所以有3种)第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理,共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3:从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数(称为排除法).此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解:从0~9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7,其中0在千位的排列数有9×8×7个(0确定在千位,百、十、个只能从9个数中取不同的3个)∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×(10-1)=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种?要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点,可画出多少个三角形?分析首先,构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题,另外考虑特殊点的情况:如三点在一条直线上,则此三点不能构成三角形,四点在一条直线上,则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解:组合总数为C311,其中三点共线不能构成的三角形有7C33,四点共线不能构成的三角形有2C34,∴C311-(7C33+2C34)=165-(7+8)=150个.例5 7个相同的球,放入4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种?(请注意,球无区别,盒是有区别的,且不允许空盒)分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式,容易得到以下三种情况:①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次,将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类:有一个盒子里放了4个球,而其余盒子里各放1个球,由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一,有4种放法,而其他盒子只放一个球,而球是相同的,任意调换都是相同的放法,所以第一类只有4种放法.第二类:有一个盒子里放1个球,有4种放法,其余盒子里都放2个球,与第一类相同,任意调换都是相同的放法,所以第二类也只有4种放法.第三类:有两个盒子里各放一个球,另外两个盒子里分别放2个及3个球,这时分两步来考虑:第一步,从4个盒子中任取两个各放一个球,这种取法有C24种.第二步,把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球,这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理,可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20(种)答:共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底,使盒不空,剩下3个球,放入4个有区别盒的放置方式数.例6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种,或两种,或三种,或四种,分别涂在正四面体各个面上,一个面不能用两色,也无一个面不涂色的,问共有几种不同涂色方式?分析首先介绍正四面体(模型).正四面体四个面的相关位置,当底面确定后,(从上面俯视)三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种(当三个侧面的颜色只有一种或两种时,顺时针和逆时针的颜色分布是相同的).先看简单情况,如取定四种颜色涂于四个面上,有两种方法;如取定一种颜色涂于四个面上,只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色,涂于四个面上有六种方法,如下图①②③(图中用数字1,2,3分别表示红、橙、黄三色)如果取定两种颜色如红、橙二色,涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里,每次取出四种颜色,有C47种取法,每次取出三种颜色有C37种取法,每次取出两种颜色有C27种取法,每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2C47+6C37+3C27+C17=350种.习题六1.有3封不同的信,投入4个邮筒,一共有多少种不同的投法?2.甲、乙两人打乒乓球,谁先连胜头两局,则谁赢.如果没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止,问有多少种可能情况?3.在6名女同学,5名男同学中,选4名女同学,3名男同学,男女相间站成一排,问共有多少种排法?4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数?5.如右图:在摆成棋盘眼形的20个点中,选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形,问总共能作多少个三角形?6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币,能组成多少种不同的币值?并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值(总和)之间的所有可能的币值.习题六解答1.若投一封信看作一个步骤,则完成投信的任务可分三步,每封信4个邮筒都可投,即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理:共有不同的投法4×4×4=64种.2.甲(或乙)胜就写一个甲(或乙)字,画树形图:由图可见共有14种可能.甲甲、甲乙甲甲、甲乙甲乙甲、甲乙甲乙乙、甲乙乙甲甲、甲乙乙甲乙、甲乙乙乙、乙甲甲甲、乙甲甲乙甲、乙甲甲乙乙、乙甲乙甲甲、乙甲乙甲乙、乙甲乙乙、乙乙.3.现有4名女同学,3名男同学,男女相间站成一排,则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号,第1、3、5、7号位是女同学,第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步:第一步:从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法.第二步:从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位,有P35种排法.因此,由乘法原理排出不同队形数为P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.4.图示:分两类:第一类:十万位上是3或5之一的六位偶数有P12·P14·P45个.第二类:十万位上是4或6之一的六位偶数有P12·P13·P45个.∴P12P14P45+P12P13P45=1680.5.五点共线有4组,四点共线的有9组,三点共线的有8组,利用排除法:C320-4C35-9C34-8C33=1140-4×10-9×4-8=1056.6.因为任一张人民币的币值都大于所有币值比它小的人民币的币值的和,例如1角的大于1分、2分、5分的和,因此不论取多少张,它们组成的币值都不重复,所以组成的币值与组合总数一致,有C110+C210+……+C1010=210-1=1023种.因为由这些人民币能组成的最小的币值是1分,最大的币值是十张币值的和,即1888分,而1023<1888,可见从1分到1888分中间有一些币值不能组成.。

【排列组合(9)】排列与组合综合(一)

  【排列组合(9)】排列与组合综合(一)

排列与组合综合(1)一、选择题1.如图,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种2.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有()种(用数字作答).A. 720B. 480C. 144D. 3603.篮子里装有2个红球,3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个红球,一个白球”,则P(B|A)等于()A. 16B. 313C. 59D. 234.已知某旅店有A,B,C三个房间,房间A可住3人,房间B可住2人,房间C可住1人,现有3个成人和2个儿童需要入住,为确保安全,儿童需由成人陪同方可入住,则他们入住的方式共有()A. 120种B. 81种C. 72种D. 27种5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种6.世博会期间,某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种7.某企业有4个分厂,新培训了一批6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 3008.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种9.若有5本不同的书,分给三位同学,每人至少一本,则不同的分法数是()A. 120B. 150C. 240D. 30010.将6本不同的数学用书放在同一层书架上,则不同的放法有()A. 6B. 24C. 120D. 720二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)11.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教,每学校至少1人,其中甲和乙必须在同一学校,甲和丙一定在不同学校,则不同的选派方案共有______ 种.12.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______.13.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有______种不同的涂色方法.14.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为______ (用数字回答)三、解答题15.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子.问:(1)共有多少种放法?(2)恰有一个空盒,有多少种放法?(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法?16.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.17.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生须全排在一起,有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果男生按固定顺序,有多少种不同的排法?(5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法?18.晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目,分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单:(1)3个舞蹈节目排在一起;(2)3个舞蹈节目彼此分开;(3)3个舞蹈节目先后顺序一定;(4)前4个节目中既要有歌唱节目,又要有舞蹈节目.19.在产品质量检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现在从98件正品和2件次品共100件产品中,任意抽出3件检查.(1)共有多少种不同的抽法?(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)至少有一件是次品的抽法有多少种?(4)恰好有一件是次品,再把抽出的3件产品放在展台上,排成一排进行对比展览,共有多少种不同的排法?20.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算:(1)能组成多少个没有重复数字的三位数?(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数?(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和.(注:每小题结果都写成数据形式)排列与组合综合(1)一、选择题21.如图,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.若5个花池栽了5种颜色的花卉,方法有A55种,若5个花池栽了4种颜色的花卉,方法有2A54种,若5个花池栽了3种颜色的花卉,方法有A53种,相加即得所求.【解答】解:若5个花池栽了5种颜色的花卉,方法有A55种,若5个花池栽了4种颜色的花卉,则2、4两个花池栽同一种颜色的花;或者3、5两个花池栽同一种颜色的花,方法有2A54种,若5个花池栽了3种颜色的花卉,方法有A53种,故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案.故选D.22.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有()种(用数字作答).A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,比较基础.甲、乙、丙等六位同学进行全排,再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23,即可得出结论.【解答】解:甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种,∵甲乙丙的顺序为甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6种,∴甲、乙均在丙的同侧,有4种,∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23,∴不同的排法种数共有23×720=480种.故选B.23. 篮子里装有2个红球,3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球,记事件A 为“取出的两个球颜色不同”,事件B 为“取出一个红球,一个白球”,则P(B|A)等于( )A. 16B. 313C. 59D. 23【答案】B【解析】【分析】本题考查组合数公式、古典概型和条件概率计算公式等知识,属于中档题.利用组合数公式与古典概型公式,分别算出事件A 发生的概率P(A)和事件A 、B 同时发生的概率P(AB),再利用条件概率公式加以计算,即可得到P(B|A)的值. 【解答】解:事件A 为“取出的两个球颜色不同”,事件B 为“取出一个红球,一个白球”, ∵篮子里装有2个红球,3个白球和4个黑球, ∴取出的两个球颜色不同的概率为P(A)=C 21C 31+C 21C 41+C 31C 41C 92=1318.又∵取出两个球的颜色不同,且一个红球、一个白球的概率为P(AB)=C 21C 31C 92=16,∴P(B|A)=P(AB)P(A)=161318=313.故选B .24. 已知某旅店有A ,B ,C 三个房间,房间A 可住3人,房间B 可住2人,房间C 可住1人,现有3个成人和2个儿童需要入住,为确保安全,儿童需由成人陪同方可入住,则他们入住的方式共有( ) A. 120种 B. 81种 C. 72种 D. 27种 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是排列问题,并且元素的要求很多,把排列问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质,把实际问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题.安排住宿时要分四种情况,第一,三个大人一人一间,小孩在A 、B 两个房间排列,第二,三个大人一人一间,两个孩子在A 住,第三空出C 房间,两个大人住A ,一个大人住B ,两个大人住B ,列出算式,得到结果. 【解答】解:由题意知:三个大人一人一间,小孩在A 、B 两个房间排列有A 33A 22=12种住法, 三个大人一人一间,两个孩子在A 住有A 33=6种住法,空出C 房间,两个大人住A ,一个大人住B 有C 32A 22=6种住法,两个大人住B ,空出C 房间,有C 32种住法, 综上所述共有12+6+6+3=27种住法. 故选D .25. 六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.【解答】解:最左端排甲,共有A55=120种,最左端排乙,最右端不能排甲,有C41A44=96种,根据加法原理可得,共有120+96=216种.故选B.26.世博会期间,某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用,属于中档题.根据题意中甲要求不到A馆,分析可得对甲有2种不同的分配方法,进而对剩余的三人分情况讨论,①其中有一个人与甲在同一个展馆,②没有人与甲在同一个展馆,易得其情况数目,最后由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,首先分配甲,有2种方法,再分配其余的三人:分两种情况,①其中有一个人与甲在同一个展馆,有A33=6种情况,②没有人与甲在同一个展馆,则有C32·A22=6种情况;则若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有2×(6+6)=24种.故选C.27.某企业有4个分厂,新培训了一批6名技术人员,将这6名技术人员分配到各分厂,要求每个分厂至少1人,则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 300【答案】C【解析】【分析】本题考查两种计数原理与排列组合知识的运用,属于中档题.先把6名技术人员分成4组,每组至少一人,再把这4个组的人分给4个分厂,利用乘法原理,即可得出结论.【解答】解:先把6名技术人员分成4组,每组至少一人,若4个组的人数按3、1、1、1分配,则不同的分配方案有C63=20种不同的方法,若4个组的人数为2、2、1、1分配,则不同的分配方案有C62C422!·C212!=45种不同的方法,故所有的分组方法共有20+45=65种,再把4个组的人分给4个分厂,不同的方法有65×A44=1560种.故选C.28.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C【解析】【分析】本题考查组合及组合数公式,考查两个计数原理的综合应用,是基础题.任意取出三台,其中至少要有甲型和乙型电视机各1台,有两种方法,一是甲型电视机2台和乙型电视机1台;二是甲型电视机1台和乙型电视机2台,分别求出取电视机的方法,即可求出所有的方法数. 【解答】解:甲型电视机2台和乙型电视机1台,取法有C 42C 51=30种;甲型电视机1台和乙型电视机2台,取法有C 41C 52=40种; 共有30+40=70种. 故选C .29. 若有5本不同的书,分给三位同学,每人至少一本,则不同的分法数是( )A. 120B. 150C. 240D. 300 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用,属于中档题.根据题意,分2步进行分析:①:5本不同的书分成3组,②:将分好的三组全排列,对应3人,由排列数公式可得其情况数目,进而由分步计数原理计算可得答案 【解答】解:根据题意,分2步进行分析: ①:将5本不同的书分成3组, 若分成1、1、3的三组,有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法; 若分成1、2、2的三组,有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法;则有15+10=25种分组方法;②,将分好的三组全排列,对应三人,有A 336种情况, 则有25×6=150种不同的分法. 故选:B .30. 将6本不同的数学用书放在同一层书架上,则不同的放法有( )A. 6B. 24C. 120D. 720 【答案】D【解析】解:6本不同的数学用书,全排列,故有A 66=720种, 故选:D .本题属于排列问题,全排即可.本题考查了简单的排列问题,分清是排列和组合是关键,属于基础题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)31. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教,每学校至少1人,其中甲和乙必须在同一学校,甲和丙一定在不同学校,则不同的选派方案共有______ 种. 【答案】30【解析】【分析】本题考查了分类加法和分步乘法计数原理,关键是分类,属于中档题.甲和乙同校,甲和丙不同校,所以有2,2,1和3,1,1两种分配方案,再根据计数原理计算结果. 【解答】解:因为甲和乙同校,甲和丙不同校,所以有2,2,1和3,1,1两种分配方案, ①2,2,1方案:甲、乙为一组,从余下3人选出2人组成一组,然后排列,共有:C 32A 33=18种;②3,1,1方案:在丁、戊中选出1人,与甲乙组成一组,然后排列,共有:C21A33=12种;所以,选派方案共有18+12=30种.故答案为30.32.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______.【答案】544【解析】【分析】本题考查了组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题.利用间接法,先选取没有条件限制的,再排除有条件限制的,问题得以解决.【解答】解:由题意,不考虑特殊情况,共有C163种取法,其中每一种卡片各取三张,有4C43种取法,故所求的取法共有C163−4C43=560−16=544种.故答案为544.33.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有______种不同的涂色方法.【答案】732【解析】【分析】本题考查排列组合中的涂色问题,考查分类思想的运用,尽可能多的分类能减少每一类的复杂程度,属于中档题.分三类讨论:A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E用3种颜色,利用分步计数原理,可得结论.【解答】解:考虑A、C、E用同一颜色,此时共有4×3×3×3=108种方法.考虑A、C、E用2种颜色,此时共有C42×6×3×2×2=432种方法.考虑A、C、E用3种颜色,此时共有A43×2×2×2=192种方法.故共有108+432+192=732种不同的涂色方法.故答案为732.34.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为______ (用数字回答)【答案】72【解析】【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数,可以看作是填5个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从3个奇数中任选1个填入,其它4个数在4个位置上全排列即可.本题考查了排列、组合及简单的计数问题,此题是有条件限制排列,解答的关键是做到合理的分布,是基础题. 【解答】解:要组成无重复数字的五位奇数,则个位只能排1,3,5中的一个数,共有3种排法,然后还剩4个数,剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列,共有A 44=24种排法.由分步乘法计数原理得,由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个. 故答案为72.三、解答题35. 有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子.问:(1)共有多少种放法?(2)恰有一个空盒,有多少种放法?(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法? 【答案】解:(1)本题要求把小球全部放入盒子, ∵1号小球可放入任意一个盒子内,有4种放法. 同理,2、3、4号小球也各有4种放法, ∴共有44=256种放法.(2)∵恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球, 且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起,有C 42种方法,然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有A 43种放法.∴由分步计数原理知共有C 42·A 43=144种不同的放法.(3)恰有2个盒子内不放球,也就是把4个小球只放入2个盒子内,有两类放法: ①一个盒子内放1个球,另一个盒子内放3个球.先把小球分为两组,一组1个,另一组3个,有C 41种分法, 再放到2个盒子内,有A 42种放法,共有C 41·A 42种方法;②2个盒子内各放2个小球.先把4个小球平均分成2组,每组2个,有C 42A 22种分法,再放入2个盒子内,有A 42种放法,共有C 42A 22·A 42.∴由分类计数原理知共有C 41·A 42+C 42A 22·A 42=84种不同的放法.【解析】本题考查计数问题,考查排列组合的实际应用,排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素.(1)本题要求把小球全部放入盒子,1号小球可放入任意一个盒子内,有4种放法,余下的2、3、4号小球也各有4种放法,根据分步计数原理得到结果.(2)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起,与其他两个球看成三个元素,在三个位置排列. (3)恰有2个盒子内不放球,也就是把4个小球只放入2个盒子内,有两类放法:一个盒子内放1个球,另一个盒子内放3个球;2个盒子内各放2个小球.写出组合数,根据分类加法得到结果.36. 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.【答案】解:(1)无序不均匀分组问题. 先选1本有C 61种选法;再从余下的5本中选2本有C 52种选法; 最后余下3本全选有C 33种选法.故共有C 61C 52C 33=60(种)不同的分配方式; (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在第(1)题的基础上,还应考虑再分配,故共有C 61C 52C 33A 33=360(种)不同的分配方式; (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是C 62C 42C 22种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若第一步取了A ,B ,第二步取了C ,D ,第三步取了E ,F ,记该种分法为(AB,CD ,EF),则C 62C 42C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD),(CD,AB ,EF),(CD,EF ,AB),(EF,CD ,AB),(EF,AB ,CD),共有A 33种情况, 而这A 33种情况仅是AB ,CD ,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法, 故分配方式有C 62C 42C 22A 33=15(种);(4)有序均匀分组问题.在第(3)题的基础上再分配给3个人, 共有分配方式C 62C 42C 22A 33·A 33=C 62C 42C 22=90(种);(5)无序部分均匀分组问题. 共有分配方式C 64C 21C 11A 22=15(种);(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)题的基础上再分配给3个人,共有分配方式C 64C 21C 11A 22·A 33=90(种);(7)直接分配问题.甲选1本有C 61种方法,乙从余下5本中选1本有C 51种方法,余下4本留给丙有C 44种方法.共有分配方式C 61C 51C 44=30(种).【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查计算能力,理解能力.正确区分无序不均匀分组问题、有序不均匀分组问题、无序均匀分组问题,是解好组合问题的一部分.37. 三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生须全排在一起,有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果男生按固定顺序,有多少种不同的排法?(5)如果三个女生站在前排,五个男生站在后排,有多少种不同的排法?【答案】解:(1)女须全排在一起,把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素,再和5个男生全排,故有A 33A 66=4320种;(2)女生必须全分开,先排男生形成了6个空中,插入3名女生,故有A 55A 63=14400种;(3)两端都不能排女生,从男生中选2人排在两端,其余的全排,故有A 52A 66=14400种;(4)男生按固定顺序,从8个位置中,任意排3个女生,其余的5个位置男生按照固定顺序排列,故有A 83=336种,(5)三个女生站在前排,五个男生站在后排,A 33A 55=720种【解析】本题考查排列的应用,相邻问题一般看作一个整体处理,不相邻,用插空法,属于中档题.根据特殊元素优先安排,相邻问题用捆绑,不相邻用插空法,即可求解.38. 晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目,分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单:(1)3个舞蹈节目排在一起;(2)3个舞蹈节目彼此分开;(3)3个舞蹈节目先后顺序一定;(4)前4个节目中既要有歌唱节目,又要有舞蹈节目.【答案】解:(1)根据题意,3个舞蹈节目要排在一起,可以把三个舞蹈节目看做一个元素,三个舞蹈节目本身有A 33种顺序,再和另外5个元素进行全排列,则有A 66A 33=4320不同的节目单.(2)3个舞蹈节目彼此要隔开,可以用插空法来解,先把5个唱歌节目排列,形成6个位置,选三个把舞蹈节目排列,有A 55A 63=14400不同的节目单.(3)8个节目全排列有A 88=40320种方法,其中三个舞蹈节目本身有A 33种顺序,若3个舞蹈节目先后顺序一定,则有A 88A 33=6720种不同排法. (4)∵8个节目全排列有A 88=40320种方法,若前4个节目中“既要有歌唱节目,又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有A 54A 44,∴前4个节目中要有舞蹈有A 88−A 54A 44=37440不同的节目单.【解析】(1)要把3个舞蹈节目要排在一起,则可以采用捆绑法,把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列,不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列.(2)3个舞蹈节目彼此要隔开,可以用插空法来解,即先把5个唱歌节目排列,形成6个位置,选三个把舞蹈节目排列.(3)使用倍分法分析:先求出8个节目全排列的排法数目,分析三个舞蹈节目本身的顺序,由倍分法计算可得答案,(4)先不考虑限制条件,8个节目全排列有A88种方法,前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44,用所有的排列减去不符合条件的排列,得到结果.本题考查排列、组合的应用,要掌握常见问题的处理方法,如相邻问题用捆绑法.39.在产品质量检验时,常从产品中抽出一部分进行检查.现在从98件正品和2件次品共100件产品中,任意抽出3件检查.(1)共有多少种不同的抽法?(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种?(3)至少有一件是次品的抽法有多少种?(4)恰好有一件是次品,再把抽出的3件产品放在展台上,排成一排进行对比展览,共有多少种不同的排法?3=161700种不同的抽【答案】解:(1)100件产品,从中任意抽出3件检查,共有C100法,(2)事件分两步完成,第一步从2件次品中抽取1件次品,第二步从98件正品中抽取2件正品,根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有C21C982=9506种不同的抽法.3种不同的抽法,全是正品的抽法有(3)利用间接法,从中任意抽出3件检查,共有C100C983,则至少有一件是次品的抽法有C1003−C983=9604种不同的抽法.(4)恰好有一件是次品,再把抽出的3件产品放在展台上,排成一排进行对比展览,共有9506×6=57036种不同的排法.3种不同的抽法;【解析】(1)100件产品,从中任意抽出3件检查,共有C100(2)事件分两步完成,第一步从2件次品中抽取1件次品,第二步从98件正品中抽取2件正品,根据乘法原理计算求得;(3)利用间接法,从中任意抽出3件种数,排除全是正品的种数,得到至少有一件是次品的抽法种数;(4)在(2)的基础上,再进行全排,即可得出结论.本题考查计数原理及应用,考查排列组合的实际应用,解题时要认真审题.40.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算:(1)能组成多少个没有重复数字的三位数?(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数?(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和.(注:每小题结果都写成数据形式)【答案】【解答】解:(1)根据题意,分2步进行分析:①、对于百位,百位数字只能是2、3、4、6中之一,有C41种选法,②、百位数字确定后,在剩下的4个数字中选取2个,排在十位和个位,则十位和个位数字的组成共有A42种方法,故可以组成没有重复数字的三位数共有N1=C41A42=48个;(2)由题意,能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成.分4种情况讨论:①、三位数由2、4、0组成,首位数字有2、4两种情况,在剩下的3个数字中选取2个,排在十位和个位,此时共有C21A22种选法;②、三位数由2、4、3组成,将3个数字全排列,排在百位、十位和个位,此时有A33种选法;③、三位数由2、4、6组成,将3个数字全排列,排在百位、十位和个位,此时有A33种选法;④、三位数由0、3、6组成,首位数字有3、6两种情况,在剩下的3个数字中选取2个,排在十位和个位,此时共有C21A22种选法;共有N2=C21A22+2A33+C21A22=20个被3整除的没有重复数字的三位数,(3)根据题意,144=24×32,则144的所有正约数的和为N3=(1+2+22+23+24)(1+3+32)=403.【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理、分类计数原理的应用,以及正确运用约数和公式.(1)根据题意,分2步进行分析:①、对于百位,百位数字只能是2、3、4、6中之一,②、百位数字确定后,在剩下的4个数字中选取2个,排在十位和个位,计算出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案;(2)由题意,能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成,据此分4种情况讨论,求出每一步的选法数目,由分类计数原理计算可得答案;(3)根据题意,分析可得144=24×32,进而由约数和公式计算可得答案.。

综合算式题解简单的排列组合问题

综合算式题解简单的排列组合问题

综合算式题解简单的排列组合问题在数学中,排列组合是一个重要的概念,它用于解决关于对象排列和选择的问题。

在这篇文章中,我们将探讨一些简单的排列组合问题,并提供解决这些问题的方法。

一、排列问题在排列问题中,我们关心的是对象的顺序。

假设有n个不同的对象,要从中选择r个进行排列,那么可以使用排列公式来计算可能的排列数。

排列公式如下:P(n, r) = n! / (n-r)!其中,n!表示n的阶乘,表示从n到1连乘。

根据这个公式,我们可以计算出不同的排列数。

例1:有8个人参加一个比赛,只有3个名次,求可能的排列数。

解:根据排列公式,P(8, 3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5! = 8 * 7 * 6 = 336。

二、组合问题在组合问题中,我们关心的是对象的选择,而不考虑顺序。

假设有n个不同的对象,要从中选择r个进行组合,那么可以使用组合公式来计算可能的组合数。

组合公式如下:C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中,n!表示n的阶乘,r!表示r的阶乘。

根据这个公式,我们可以计算出不同的组合数。

例2:有10个人参加一个派对,要从中选择4个人参加游戏,求可能的组合数。

解:根据组合公式,C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)!) = 10! / (4! * 6!) = 210。

三、排列组合问题在实际应用中,有些问题既涉及排列又涉及组合。

解决这类问题时,需要分别考虑对象的顺序和选择。

下面是一个简单的排列组合问题。

例3:一个班级有10个学生,要从中选出5个人参加学术比赛,要求其中有1个团委成员参赛,可能的方案有多少种?解:首先,我们可以从中选出1个团委成员,有10种选择;然后,从剩余的9个学生中选出4个人参赛,有C(9, 4)种选择。

根据乘法原理,总的方案数为10 * C(9, 4) = 10 * 126 = 1260。

综上所述,排列组合是解决关于对象排列和选择的问题的重要方法。

(完整版)排列组合练习题与答案

(完整版)排列组合练习题与答案

排列组合习题精选一、纯排列与组合问题:1.从9人中选派2人参加某一活动,有多少种不同选法?2.从9人中选派2人参加文艺活动,1人下乡演出,1人在本地演出,有多少种不同选派方法?3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么男、女同学的人数是( )A.男同学2人,女同学6人B.男同学3人,女同学5人C. 男同学5人,女同学3人D. 男同学6人,女同学2人4.一条铁路原有m 个车站,为了适应客运需要新增加n 个车站(n>1),则客运车票增加了58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票),那么原有的车站有 ( )A.12个B.13个C.14个D.15个答案:1、 2、 3、选 B. 设男生人,则有。

4、2936C =2972A =n 2138390n n C C A -=2258m nm A A +-=选C.二、相邻问题:1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列,若A 、B 必相邻,则有多少种不同排法?2. 有8本不同的书, 其中3本不同的科技书,2本不同的文艺书,3本不同的体育书,将这些书竖排在书架上,则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数为( ) A.720 B.1440 C.2880 D.3600答案:1. (2) 选B 242448A A =3253251440A A A =三、不相邻问题:1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目都不相邻,有多少种不同排法?2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中奇数不相邻的有多少个?3.4名男生和4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有( ) A.2880 B.1152 C.48 D.1444.排成一排的8个空位上,坐3人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法?5.8张椅子放成一排,4人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种?6. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法?7. 排成一排的9个空位上,坐3人,使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位,有多少种不同坐法?8. 在一次文艺演出中,需给舞台上方安装一排彩灯共15只,以不同的点灯方式增加舞台效果,要求设计者按照每次点亮时,必须有6只灯是熄灭的,且相邻的灯不能同时熄灭,两端的灯必须点亮的要求进行设计,那么不同的点亮方式是 ( )A.28种B.84种C.180种D.360种答案:1. (2) (3)选B (4) (5)43451440A A =3434144A A =444421152A A =3424A =(6) (7) (8)选A 4245480A A =333424A C =3334144A A =6828C =四、定序问题:1. 有4名男生,3名女生。

微专题:排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)

微专题:排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)

【学生版】微专题:排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排;2、合理分类与准确分步;3、排列、组合混合问题先选后排;4、相邻问题捆绑处理;5、不相邻问题插空处理;6、定序问题倍除法处理;7、分排问题直排处理;8、“整体”排列问题先整体后局部;9、构造模型;10、正难则反,等价条件。

【典例】题型1、特殊元素(位置)问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种【提示】;【答案】;【解析】;【说明】题型2、相邻、相间问题例2、(1)某大厦一层有A,B,C,D四部电梯,现有3人在同一层乘坐电梯上楼,其中2人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方式有()A.12种B.24种C.18种D.36种【答案】【解析】;(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.168【答案】【解析】;题型3、分组、分配问题例3、(1)现有三本相同的语文书和一本数学书,分发给三个学生,每个学生至少分得一本,不同分法的种数为()A.36 B.9 C.18 D.15(2)若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有种不同的分法.题型4、涂色问题例4、(1)如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?(2)如图,一个地区分为5个行政区域,现给该地区的地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色.现在有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有________种.(用数字作答)【说明】解决涂色问题,关键还是阅读理解与用好两个计数原理;【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上的问题.其基本的解题步骤为:第一步:选,根据要求先选出符合要求的元素;第二步:排,把选出的元素按照要求进行排列;第三步:乘,根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数,得到结果;均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关,有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数;【即时练习】1、有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有()A.34种B.48种C.96种D.144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法种数为()A.C210P48B.C19P59C.C18P59D.C18P583、北京APEC峰会期间,有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在两端,3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A.12种B.24种C.48种D.96种4、如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有种5、在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答)(1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法?(2)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?(3)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等)(4)从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵,有多少种选派方法?6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.(1)若4人被分到育才中学,2人被分到星云中学,1人被分到明月湾中学,则有多少种不同的分配方案?(2)一所学校去4个人,另一所学校去2个人,剩下的一个学校去1个人,有多少种不同的分配方案?【教师版】微专题:排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排;2、合理分类与准确分步;3、排列、组合混合问题先选后排;4、相邻问题捆绑处理;5、不相邻问题插空处理;6、定序问题倍除法处理;7、分排问题直排处理;8、“整体”排列问题先整体后局部;9、构造模型;10、正难则反,等价条件。

高三数学排列组合综合应用试题答案及解析

高三数学排列组合综合应用试题答案及解析

高三数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用数字1,2,3,4可以排成没有重复数字的四位偶数,共有____________个.【答案】12【解析】由题意,没有重复数字的偶数,则末位是2或4,当末位是时,前三位将,,三个数字任意排列,则有种排法,末位为时一样有种,两类共有:种,故共有没有重复数字的偶数个.【考点】排列组合.2.在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为()A.24B.36C.48D.60【答案】D【解析】先排3个女生,三个女生之间有4个空,从四个空中选两个排男生,共有=72(种),若女生甲排在第一个,则三个女生之间有3个空,从3个空中选两个排男生,有=12(种),∴满足条件的出场顺序有72-12=60(种)排法,选D.3. 20个不加区别的小球放入1号,2号,3号的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数为________.【答案】120【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个,2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1个,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可,共有=120(种)方法.4.将5名学生分到A,B,C三个宿舍,每个宿舍至少1人至多2人,其中学生甲不到A宿舍的不同分法有()A.18种B.36种C.48种D.60种【答案】D【解析】由题意知A,B,C三个宿舍中有两个宿舍分到2人,另一个宿舍分到1人.若甲被分到B宿舍:(1)A中2人,B中1人,C中2人,有=6种分法;(2)A中1人,B中2人,C中2人,有=12种分法;(3)A中2人,B中2人,C中1人,有=12种分法,即甲被分到B宿舍的分法有30种,同样甲被分到C宿舍的分法也有30种,所以甲不到A宿舍一共有60种分法,故选D.5.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有()A.8种B.10种C.12种D.32种【答案】B【解析】从A到B若路程最短,需要走三段横线段和两段竖线段,可转化为三个a和两个b的不同排法,第一步:先排a有种排法,第二步:再排b有1种排法,共有10种排法,选B项.6. 5位同学站成一排准备照相的时候,有两位老师碰巧路过,同学们强烈要求与老师合影留念,如果5位同学顺序一定,那么两位老师与同学们站成一排照相的站法总数为()A.6B.20C.30D.42【答案】D【解析】因为五位学生已经排好,第一位老师站进去有6种选择,当第一位老师站好后,第二位老师站进去有7种选择,所以两位老师与学生站成一排的站法共有6×7=42种.7.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有种不同选法,从5名女男医生中选出2名有种不同选法,根据分步计数乘法原理可得,组成的医疗小组共有15×5=75种不同选法.【考点】计数原理和排列组合.8. [2014·南京模拟]用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个.(用数字作答)【答案】14【解析】分类讨论:若2出现一次,则四位数有C14个;若2出现二次,则四位数有C24个;若2出现3次,则四位数有C34个,所以共有C14++=14个.9.[2014·郑州模拟]将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有________种不同的分法.【答案】360【解析】将6名教师分组,分三步完成:第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有种取法;第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有种取法;第3步,余下的3名教师作为一组,有种取法.根据分步乘法计数原理,共有=60种取法.再将这3组教师分配到3所中学,有=6种分法,故共有60×6=360种不同的分法.10. [2013·浙江高考]将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).【答案】480【解析】如图六个位置.若C放在第一个位置,则满足条件的排法共有种情况;若C放在第2个位置,则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A,B,再在余下的3个位置排D,E,F,共·种排法;若C放在第3个位置,则可在1,2两个位置排A,B,其余位置排D,E,F,则共有·种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A,B,再在其余3个位置排D,E,F,共有·种排法;若C在第4个位置,则有+种排法;若C在第5个位置,则有种排法;若C在第6个位置,则有种排法.综上,共有2(+++)=480(种)排法.11.[2013·怀化模拟]将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B【解析】先将1,2捆绑后放入信封中,有种方法,再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中,有种方法,所以共有=18(种)方法.12.从6名教师中选4名开发A、B、C、D四门课程,要求每门课程有一名教师开发,每名教师只开发一门课程,且这6名中甲、乙两人不开发A课程,则不同的选择方案共有()A.300种 B.240种 C.144种 D.96种【答案】B【解析】依题意可得从除甲、乙外的四位老师中任取一位开发A课程共有种,再从剩下的5位老师中分别选3位开发其他项目共有.所以完成该件事共有种情况.【考点】1.排列组合问题.2.有特殊条件要先考虑.13.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司,其中有两个公司各有两辆汽车,如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻,那么不同的分配方法共有________种.(用数字作答)【答案】24【解析】此问题相当于将4个公司全排列,因为,则此问题的不同分配方法共有24种。

高三数学排列组合综合应用试题

高三数学排列组合综合应用试题

高三数学排列组合综合应用试题1. 7个人排成一排,按下列要求各有多少种排法?(1)其中甲不站排头,乙不站排尾;(2)其中甲、乙、丙3人必须相邻;(3)其中甲、乙、丙3人两两不相邻;(4)其中甲、乙中间有且只有1人;(5)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列.【答案】(1)3720种(2)720种(3)1440种(4)1200种(5)840种【解析】(1)方法一(直接法):如果甲站排尾,其余6人有种排法,如果甲站中间5个位置中的一个,而乙不站排尾,则有种排法,故共有排法+=3720种.方法二(间接法):7个人排成一排有种排法,其中甲在排头有种排法,乙在排尾有种排法,甲在排头且乙在排尾共有种排法,故共有排法--+=3720种.(2)(捆绑法)将甲、乙、丙捆在一起作为一个元素与其他4个元素作全排列有种,然后甲、乙、丙内部再作全排列有种,故有不同的排法=720种.(3)(插空法)先排甲、乙、丙外的4人有种排法,这四人之间及两端留出五个空位,然后把甲、乙、丙插入到五个空位中有种排法,故共有=1440种排法.(4)甲、乙两人有种排法,现从剩下的五人中选一个插入甲、乙中间,有种排法,然后再将这三人看作一个元素,和其他四个元素作全排列,有种排法,故共有=1200种排法.(5)七个人的全排列为,其中若只看甲、乙、丙不同顺序的排法有种排法,但只有一种顺序符合要求,故符合要求的不同排法有=840种.2.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C.【解析】由已知可得不同的选法共有,故选C.【考点】排列组合.3.把5件不同产品摆成一排,若产品与产品相邻,且产品与产品不相邻,则不同的摆法有种.【答案】36【解析】先考虑产品A与B相邻,把A、B作为一个元素有种方法,而A、B可交换位置,所以有种摆法,又当A、B相邻又满足A、C相邻,有种摆法,故满足条件的摆法有种.【考点】排列组合,容易题.4.甲乙两人从4门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种A.30B.36C.60D.72【答案】A【解析】甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:(1)甲、乙所选的课程中2门均不相同,甲先从4门中任选2门,乙选取剩下的2门,有种.(2)甲、乙所选的课程中有且只有1门相同,分为2步:①从4门中先任选一门作为相同的课程,有种选法;②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有种选法,由分步计数原理此时共有种.综上,由分类计数原理,甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种.【考点】计数原理,排列组合.5.设是的一个全排列,把排在左边且小于的数的个数称为的顺序数(),例如在排列6,4,5,3,2,1中,5的顺序数是1而3的顺序数是0.在的全排列中,8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3的不同排列的种数是( )A.48B.96C.144D.192【答案】C【解析】据题意,在8的左边有2个比8小的数,在7的左边有3个比7小的数,在5的左边有3个比5小的数.由于8是最大的数,故8必排在第3位,而7必须排在第5位:.若6在5的右边,则:,共有种;若6在5的左边,则5必在倒数第二位,,共有.所以总共有种.【考点】排列组合.6.一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种 .【答案】186【解析】设取红球个,白球个,则,取法为.【考点】古典概型.7.用0,1,2,3,4这五个数字组成没有重复数字的五位数中,奇数的个数是()A.24B.36C.48D.72【答案】B【解析】第一步排个位,有2种排法;第二步排万位,有3种排法;第三步排中间3位,有种排法.所以共有种排法.【考点】计数原理与排列.8.将名教师,名学生分成个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由名教师和名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种【答案】A【解析】先安排老师有=2种方法,再安排学生有=6,所以共有12种安排方案,选A.9. 8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为()A.B.C.D.【答案】A【解析】8名学生共有种排法,把2位老师插入到9个空中有种排法,故共有种排法.10.在“学雷锋,我是志愿者”活动中,有名志愿者要分配到个不同的社区参加服务,每个社区分配名志愿者,其中甲、乙两人分到同一社区,则不同的分配方案共有()A.种B.种C.种D.种【答案】B【解析】由题意,将问题分成2步.第1步,甲乙分到3个社区中的1个社区,有种方法;第2步,将余下4个人分配到另外2个社区,有种方法,则最终不同的分配方案共有种.故选B.【考点】1.分步计数原理的应用;2.人员分配问题.11.某搬运工不慎将4件次品与6件正品混在一起,由于产品外观一样,需要用仪器对产品一一检测,直至找到所有次品为止,若至多检测6次就能找到所有次品,则不同的检测方法共有()种.A.1950B.2130C.7800D.8520【答案】D【解析】若恰好检测4次就能找到所有次品,不同的检测方法共有种;若恰好检测5次就能找到所有次品,不同的检测方法共有种;若恰好检测6次就能找到所有次品货所有正品,不同的检测方法共有.故满足条件的不同检测方法有种.【考点】排列组合.12.编号为1,2,3,4,5,6的六个同学排成一排,3、4号两位同学相邻,不同的排法()A.60种B.120种C.240种D.480种【答案】C【解析】将34看一个整体,连同1、2、5、6共5个元素进行全排列,共有5!种排法.由于3、4还要进行排列,故共有种排法.【考点】排列.13.科技活动后,名辅导教师和他们所指导的名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),要求人排成一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______.(用数字作答)【答案】.【解析】由于学生与其指导老师相邻,先将学生与其指导教师进行捆绑,形成三个整体,考虑每个整体中教师与学生的顺序,以及三个整体的排列,因此共有种不同的站法种数.【考点】排列组合14.从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数,这样的四位数有个.【答案】【解析】依题意,只需组成的四位数各位数字的和能被整除.将这六个数字按照被除的余数分类,共分为类:,,,若四位数含,则另外个数字为、之一、之一,此时有种;若四位数不含,则个数字为,此时有种,由分类计数原理,这样的四位数有个.【考点】排列和组合.15.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答).【答案】324【解析】∵个位、十位和百位上的数字之和为偶数,∴这三个数或者都是偶数,或者有两个奇数一个偶数.当个位、十位和百位上的都为偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=6×3=18(个).当个位、十位和百位上有两个奇数一个偶数时,则①此三位中有0,则有·4=3×6×4=72(个);②此三位中没有0,则有·3=162(个),∴总共有72+18+72+162=324(个).【方法技巧】1.解决排列组合综合问题,应遵循三大原则:先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则.2.解决排列组合综合问题的基本类型基本类型主要包括:排列中的“在与不在”、组合中的“有与没有”,还有“相邻与不相邻”“至少与至多”“分配与分组”等.3.解决排列组合综合问题中的转化思想转化思想就是把一些排列组合问题与基本类型相联系,从而把问题转化为基本类型,然后加以解决.16.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.36【答案】A【解析】从集合A,B,C中各取一个数有1×2×3=6种取法.其中1,1,5三数可确定空间不同点的个数为3个,另5种每种可确定空间不同点的个数都是6.所以可确定空间不同点的个数为3+5×6=33.17.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】A【解析】【思路点拨】先排第一列三个位置,再排第二列第一行上的元素,则其余元素就可以确定了.解:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.18.某化工厂生产中需要依次投放2种化工原料,现已知有5种原料可用,但甲、乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲先投放,则不同的投放方案有()A.10种B.12种C.15种D.16种【答案】C【解析】分类完成此事,一类是使用甲原料,则不同的投放方案有1×3=3(种);一类是不使用甲原料,不同的投放方案有4×3=12(种);由分类加法计数原理可知,不同的投放方案有3+12=15(种).19.用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数的个数为()A.11B.12C.13D.14【答案】D【解析】数字2出现一次的四位数有4个,数字2出现2次的四位数有6个,数字2出现3次的四位数有4个,故总共有4+6+4=14个.20.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有()A.4种B.10种C.18种D.20种【答案】B2=6种方法;②选1本画【解析】分两种情况:①选2本画册,2本集邮册送给4位朋友,有C41=4种方法.所以不同的赠送方法共有6+4=10(种).册,3本集邮册送给4位朋友,有C421.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学,若每所大学至少保送1人,且甲不能被保送到北大,则不同的保送方案共有多少种().A.150B.114C.100D.72【答案】C【解析】先将五人分成三组,因为要求每组至少一人,所以可选择的只有2,2,1,或者3,1,1,所以共有=25种分组方法.因为甲不能去北大,所以有甲的那组只有交大和浙大两个选择,剩下的两组无约束,一共4种排列,所以不同的保送方案共有25×4=100种.22.某班有38人,现需要随机抽取5人参加一次问卷调查,抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有种. (结果用数值表示)【答案】【解析】甲乙是两个特殊的元素,甲抽到了,而乙未抽到,因此还要从余下的36人中抽4人,共有种抽法.【考点】组合.23.某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者),要求这3名志愿者中男、女大学生都有,则不同的选派方案共有 ().A.210种B.420种C.630种D.840种【答案】B【解析】从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教,则有种选派方案,3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有+种,故符合条件的选派方案有-(+)=420种.24.数列共有12项,其中,,,且,则满足这种条件的不同数列的个数为()A.84B.168C.76D.152【答案】A【解析】∵,∴前一项总比后一项大一或小一,到中4个变化必然有3升1减,到中必然有5升2减,是排列组合的问题,∴.【考点】1.数列的递推公式;2.排列组合问题.25.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个,相同颜色的球不加以区分,将此9个球排成一排共有种不同的排法.(用数字作答)【答案】1680【解析】可以考虑将此9个球同色加以区分的排成一排,然后再加以区分,除以相同颜色的球的排列数即可.所以满足题意的排列种数共有.【考点】排列组合26.高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()A.1800B.3600C.4320D.5040【答案】B【解析】先排除了舞蹈节目以外的5个节目,共种,把2个舞蹈节目插在6个空位中,有种,所以共有种.【考点】排列组合.27.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】先安排2,4,因为2,4不在个位和万位,所以2,4只能在十、百、千三个位置,①若2,4均为在百位,即2,4只占十位和千位,则数字5只能从个位和万位选择一个位置,这样共有个五位数;②若2,4某一个数字占据了百位,另一数字占据十位或千位,共有种可能,此时剩下的三个数字安排到余下的三个位置即可,这样的五位数就有个.由①②可知,这样的五位数一共有32个,故选A.【考点】排列组合综合.28. 2011年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人从事,则不同的派给方案共有()A.25种B.150种C.240种D.360种【答案】B【解析】5个人全部参加工作,可以分先分组为2人、2人、1人或3人、1人、1人,故5个人全部工作共有安排方案种。

1.2.3排列组合综合题型

1.2.3排列组合综合题型

例14.已知方程x y z 5,求 ⑴有多少组正整数解? ⑵有多少组非负整数解?
4
2 ( 4
4 3 3 C - (2)甲、乙二人有且仅有1人参加,有 2 ( )种; A A 4 3 4
(3)甲、乙二人均参加,有 C
A
4 - 2 4
A +A
3 3
2 2 )种
共有252种.
例6.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力,如 果其中甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,问共有多少种参 赛方法? 解法二:六人中取四人参加的种数为

1 4 共有 A4 A4 种;

解法二:对特殊位置 :第一节和第六节进行分类解决. 例7 某天课表共六节课,要排政治、语文、数学、 物理、化学、体育共六门课程,如果第一节不排体育, 最后一节不排数学,共有多少种不同的排课方法? 2 第一类 第一节和第六节均不排数学、体育,有 A4 种 4 共有 A42 A44 种; 其他有 A4 种, 第二类 第一节排数学、第六节排体育有 一 种,
甲乙 丙丁
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 5 2 2 由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 =480 为一个元素 ,再与其它元素一起作排列,同时 种不同的排法 要注意合并元素内部也必须排列.
相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即 将相邻的元素当成“一个”元素进行排列,然后再局部排 列.
练习: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
解: (1) C C C C 3150 2 2 C C C (2) 6 4 C 18900

常见排列组合综合问题的多种方法小结

常见排列组合综合问题的多种方法小结

排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 443由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合综合问题

排列组合综合问题

例题3: 本不同的书全部分给3个人 例题 :将4本不同的书全部分给 个人, 本不同的书全部分给 个人, 且每人至少一本,有多少种分法? 且每人至少一本,有多少种分法?
练习:将7本不同的书分给 个人, 本不同的书分给5个人 练习: 本不同的书分给 个人, 且每人至少一本, 每人至少一本,有多少种不同的 分法? 分法?
封信投入到5个信箱中 将5封信投入到 个信箱中 封信投入到 (1)有多少种不同的投信方法? )有多少种不同的投信方法? (2)每个信箱投一封信,有多少种投信方法? )每个信箱投一封信,有多少种投信方法? 个信箱, (3)投入其中 个信箱,有多少种投信方法? )投入其中4个信箱 有多少种投信方法?
小结:对于排列组合的综合问题, 小结:对于排列组合的综合问题,一般原 则是先选后排
练习: 练习:从0,1,2,…,9这十个数字 , , , , 这十个数字 中取出3个奇数和 个奇数和2个偶数组成没有重复 中取出 个奇数和 个偶数组成没有重复 数字的五位数,共有多少个? 数字的五位数,共有多少个?
例题2: 本不同的书, 例题 :有6本不同的书,分给甲、乙、丙三个人 本不同的书 分给甲、 (1)甲得 本,乙得 本,丙得 本,有多少种不 )甲得1本 乙得2本 丙得3本 同的分法? 同的分法? (2)一人得 本,一人得 本,一人得 本; )一人得1本 一人得2本 一人得3本 (3)每人得2本; )每人得 本 (4)若平均分成 堆,每堆 本; )若平均分成3堆 每堆2本 (5)若分成 堆,一堆 本,一堆 本,一堆 本; )若分成3堆 一堆1本 一堆2本 一堆3本
排列组合的综合应用
例题1: 个男生, 个女生 个女生, 例题 :有6个男生,4个女生,从中 个男生 选出5人去完成 人去完成5项不同的任务 选出 人去完成 项不同的任务 个男生, 个女生 个女生, (1)要求 个男生,2个女生,有多 )要求3个男生 少种不同的分配方法? 少种不同的分配方法? (2)要求甲指定完成某项任务; )要求甲指定完成某项任务; (3)要求男生必须多于女生: )要求男生必须多于女生:

高二数学排列组合综合应用试题答案及解析

高二数学排列组合综合应用试题答案及解析

高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是()A.48B.36C.28D.12【答案】C【解析】解:根据题意,在0,1,2,3,4中有3个偶数,2个奇数,可以分3种情况讨论:①、0被奇数夹在中间,先考虑奇数1、3的顺序,有2种情况;再将1、0、3看成一个整体,与2、4全排列,有种情况;故0被奇数夹在中间时,有2×6=12种情况;②、2被奇数夹在中间,先考虑奇数1、3的顺序,有2种情况;再将1、0、3看成一个整体,与2、4全排列,有种情况,其中0在首位的有2种情况,则有6-2=4种排法;故2被奇数夹在中间时,有2×4=8种情况;③、4被奇数夹在中间时,同2被奇数夹在中间的情况,有8种情况,则这样的五位数共有12+8+8=28种.【考点】排列、组合的应用.2.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?【答案】108【解析】(1)排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关,如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同,才是不同的组合;(2)排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合,复杂的问题往往是先选后排,有时是排中带选,选中带排;(3)对于排列组合的综合题,常采用先组合(选出元素),再排列(将选出的这些元素按要求进行排序)试题解析:用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法.第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.由分类加法计数原理得:6个广告不同的播放方式有36+36+36=108种.【考点】排列组合的综合应用.3.个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有A.B.C.D.【答案】C【解析】本题可用插空法,先排除甲、乙两人外的其余四人应为,剩余两人插在5个空中应为,甲、乙两人不相邻的不同排法共有.【考点】排列组合的有关内容.4.现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选,若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生,则不同的安排方法的种数为_________(用数字作答).【答案】1440.【解析】由题意知,可分三步完成本件事情,第一步,选1男生为体育课代表,第二步,选1女生为英语课代表,剩下的5人进行全排列,最后根据分步计数原理得不同的安排方法的种数为.【考点】计数原理的应用.5.在所有两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有_________ 个.【答案】36【解析】当十位数字为1时有8个,当十位数字为2时有7个,…,当十位数字为8时有1个,当十位数字为9时有0个,所以共个数为8+7+…+2+1+0=36,答案为36.【考点】分步加法计数原理6.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )A.6个B.9个C.18个D.36个【答案】C【解析】完成这件事分为两步,第一步先排好1,2,3有种不同方法;第二步将第四个数(可以为1,2,3中的任一个)插到排好的3个数的4个间隔中,又同一数字不能相邻出现,所以每个数字只能放两个位置,有不同方法,这样每一个四位数都出现了两次,从而这样的四位数共有个,答案选C.【考点】记数原理与排列组合7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( )A.12种B.18种C.24种D.48种【答案】C【解析】分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A,有种方法;然后A与戊形成三个“空”,有种方法;再将丙、丁插入空中有种方法.可知共有种不同的着舰方法.故选C【考点】简单排列组合问题;捆绑法和插空法的应用.8. 7颗颜色不同的珠子,可穿成种不同的珠子圈.【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分,将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排,即共有种排法.由于n个元素共有n种不同的剪法,则环状排列共有种排法,而珠子圈没有反正,故7颗颜色不同的珠子,可穿成种不同的珠子圈.故应填入:360.【考点】计数原理.9.已知100件产品中有97件正品和3件次品,现从中任意抽出3件产品进行检查,则恰好抽出2件次品的抽法种数是()A.B.C.D.【答案】C【解析】恰好抽出2件次品则有种,1件是正品种,所以任意抽3件恰好2件次品的抽法种数是。

排列组合综合

排列组合综合

掌握排列组合的几个常见方法:一、 信箱问题:例:四个人争夺3项冠军,有多少种不同的结果?冠军是信,人是箱:4*4*4=64强化:4本不同的书分给三个人,有多少种不同的分法?书是信,人是箱:3*3*3*3=81二、涂颜色问题:例:将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有 42 种(以数字作答)这里要求是三种都种若只用两种:如所以:C 32*2 答案:48-6=42强化:有四种不同的颜色涂在四棱锥A-BCDE 的五个定点 处,要求同一线段的两个端点颜色不同,那么不同的 染色方案有 72 种。

这里没有要求用几种A :4B :3C :2 DC 同: 1 E : 2A :4B :3C :2 DC 不同: 1 E : 1 4*3*2*1*2+4*3*2*1*1=72三、相邻问题:例、六名同学排成一列,要求甲、乙、丙三名同学必须相邻,有多少种排法?捆绑法:A 44A 33=144强化:有语、数、外、理、化、生六种书各一本,现要排成一列,要求语文和数学必须放在一起,则不同的排列方法有多少种?捆绑法:A 55A 22=240四、不相邻问题:例、现有男生4人,女生3人要排成一列,要求女生不能站在一起,有多少种站法?插空法:男生排队A 44 ,留有5个空挡,所以:A 44A 53=1440强化:1、现有一排椅子共9把,有四人要坐,要求每两人之间有空椅子,有多少种不同的坐法? 九把椅子拿走四把,剩下五把有六个空挡,四人带椅子插空:A 64=3602、有路灯9盏,现为了省电,要关闭其中三盏,要求关闭的灯不相邻且两端不关闭,则有多少AE C D B种不同的关闭方法?九盏灯拿走三盏,剩下六盏灯不要两边,有五个空挡,四盏灯插空:C 53=10(无顺序)五、相对顺序不变问题:例、在一个已经排好的6个节目的节目单中临时插入4个新节目,那么新节目单有多少种排法? A 1010/A 66=5040强化:有语、数、外、理、化、生六种书各一本,现要排成一列,要求语文必须在数学的左边,数学必须在外语的左边,则不同的排列方法有多少种?A 66/A 33=120六、不同元素平均分组问题:例、把6个人平均分成三组,有多少种不同的分法?把6个人平均分成甲、乙、丙三组呢?C 62 C 42 C 22/A 33=15 C 62 C 42 C 22=90强化:1. 12名同学到三个不同的路口进行调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有( ) A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种 2.把5名新来的同学分到三个班级,每班至少一人,有多少种分配方式?3 1 1 分组:C 53 C 21 C 11/A 22 分配:再乘以A 33 结果:602 2 1 分组:C 52 C 32 C 11/A 22 分配:再乘以A 33 结果:90最终答案:150七、相同元素分配问题:例、现有5个三好学生名额分给三个班级,每班至少一个,有多少种分法?隔板法:五个相同元素排成一排,除去两边,中间有四个空,插入两个隔板,分成三份,对应位置分别为一班二班三班的名额,无顺序:C 42=6强化:10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?C 96=C 93=84八、网格问题:B 例、如右图,从A 点到达B 点,按最短路线走, 共有多少种走法?C85=C83=56 A九、小球不在其位问题:例、我们有带有号码1,2,3....的小球和带有号码1,2,3...盒子若干,求把小球放入盒子时,小球号码与盒子的号码不同的放法有多少种?1.两个球,两个盒子,分别标有号码1,2,12.三个球,三个盒子,分别标有号码1,2,3 23.四个球,四个盒子,分别标有号码1,2,3,4 94.五个球,五个盒子,分别标有号码1,2,3,4,5 44习题:某班级有30人,班主任计划随机给班里三个人调位,所有的可能有多少种?C303*2十、成双成对问题例、有五双鞋子,随机取出四只,则恰有两只是一双的取法有120种取一双C51 ,剩下四双取两双各取一只:C42C21C21 C51C42C21C21习题:十对夫妻受邀参加学校组织的家长会,班主任随机找四人发表意见,则恰有两人是夫妻的可能有1440种。

高二数学排列组合综合应用试题

高二数学排列组合综合应用试题

高二数学排列组合综合应用试题1.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有种不同的方法.(用数字作答)【答案】1260【解析】9个求排成一列,相当于排队,从9个位置选2个排红球,共有种,从剩余7个选3个排黄球,共有,剩余4个位置排白球,因此共有.【考点】排列问题2.五个人站成一排,求在下列条件下的不同排法种数:(1)甲必须在排头;(2)甲、乙相邻;(3)甲不在排头,并且乙不在排尾;(4)其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻.【答案】(1)24;(2)48;(3)78;(4)36【解析】(1)特殊元素(位置)法:首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种共有24种;(2)捆绑法:把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)对立法:甲在排头和乙在排尾的各种,其中甲在排头且乙在排尾的有种,五个人站成一排的不同排法数是种,所以甲不在排头,并且乙不在排尾的有种;(4)插空法:先将其余3个全排列种,再将甲、乙插入4个空位种,所以,一共有种不同排法.试题解析:(1)特殊元素是甲,特殊位置是排头;首先排“排头”不动,再排其它4个位置有种,所以共有:种把甲、乙看成一个人来排有种,而甲、乙也存在顺序变化,所以甲、乙相邻排法种数为种;(3)甲不在排头,并且乙不在排尾排法种数为:种;先将其余3个全排列,再将甲、乙插入4个空位,所以,一共有种不同排法.【考点】排列组合3.设有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?【答案】(1)70种;(2)59种.【解析】(1)由题意可分三步完成,第一步选国画有5种,第二步选油画有2种,第三步选水彩画有7种,根据分步计数原理,问题得以解决.(2)由题意可分三类,第一类,选国画和油画,第二类,选国画和水彩画,第三类,选油画和水彩画,根据分类计数原理,问题得以解决.试题解析:(1)分三步完成,第一步选国画有5种,第二步选油画有2种,第三步选水彩画有7种,根据分步计数原理得,共有5×2×7=70种.(2)分三类,第一类,选国画和油画共有5×2=10种,第二类,选国画和水彩画共有5×7=35种,第三类,选油画和水彩画共有2×7=14种,根据分类计数原理共有10+25+14=59种.【考点】分类和分步计数原理.4.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本;(3)甲、乙、丙各得3本.【答案】(1)1260(2)7560(3)1680【解析】(1)分步:甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本;(2)分两步完成:先分组,再分给甲、乙、丙三名同学;(3)平均分组问题,先分成3组,再分给甲乙丙三名同学.试题解析:(1)分三步完成:第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有种方法;第二步:从余下的5本书中,任取3本给乙,有种方法;第三步:把剩下的书给丙有种方法,∴共有不同的分法有 (种).(2)分两步完成:第一步:将4本、3本、2本分成三组有种方法;第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有种方法,∴共有=7560(种).(3)用与(1)相同的方法求解,得=1680(种).【考点】排列、组合及简单计数问题;计数原理的应用.5.设全集I={1,2,3,4,5,6},集合A,B都是I的子集,若A B={1,3,5},则称A,B为“理想配集”,记作(A,B),问这样的“理想配集”(A,B)共有()A.7个 B.8个 C.27个 D.28个【答案】C【解析】由于交集是1,3,5,所以A,B集合中都必有1,3,5;分情况讨论:1)当A有3个元素,那么B有种选择;2)当A有4个元素,那么A要从1,3,5外再挑一个,有3种,这时B 有种选择,总共有种;3)当A有5个元素,那么A从1,3,5之外再挑两个,有3种,这时B有种选择,总共有种;4)当A有6个元素,B只有唯一一种可能;由分类计数原理得共有:8+12+6+1=27种;故选C.【考点】分类计数原理.6.将排成一排,要求在排列中,顺序为“”或“”(可以不相邻),这样的排法有种.【答案】【解析】将排成一排,共有排列的种数为,若按的顺序可分为六类,即(可以不相邻),而每类的排列数是一样的均为种,所以顺序为“”或“”(可以不相邻),这样的排法有种,注意等可能方法的使用.【考点】有限制条件的排列计数问题.7. A、B、C、D、E五人并排站成一排,若A,B必须相邻,且B在A的左边,那么不同的排法共种.【答案】24【解析】将A,B看成一个人,和其他三人一起作全排列,又B在A的左边,故有不同的排法共有:种,故应填入:24.【考点】排列与组合.8.(12分)3名教师与4名学生排成一横排照相,求:(1)3名教师必须排在一起的不同排法有多少种?(2)3名教师必须在中间(在3、4、5位置上)的不同排法有多少种?(3)3名教师不能相邻的不同排法有多少种?【答案】(1); (2); (3).【解析】(1)捆绑法,将3名教师作为一整体与4名学生全排列有种,3名教师各自排列有,分步乘法原理;(2)3名教师排法有,4个学生在4个位子上全排列共有种,分步乘法原理;(3)插空法,4名学生共有种,形成5个空位由3个老师排列有种,再用分步乘法原理.解:(1)3名教师的排法有,把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有种,则共有(种) 4分(2)3名教师的排法有, 4个学生在4个位子上的全排列共有种,则共有(种)---8分(3) 12分【考点】1.分步乘法原理;2.排列组合.9.用四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为,则= 。

常见排列组合综合问题的多种方法小结

常见排列组合综合问题的多种方法小结

常见排列组合综合问题的二十种方法小结排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: .1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C !最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法 .二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。

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排列组合综合问题教学目标通过教学,学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上,掌握有关排列、组合综合题的基本解法,提高分析问题和解决问题的能力,学会分类讨论的思想.教学重点与难点重点:排列、组合综合题的解法.难点:正确的分类、分步.教学用具投影仪.教学过程设计(一)引入师:现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法.今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上,来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法.先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!生:解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等.求解过程中要注意做到“不重”与“不漏”.师:回答的不错!解排列问题和组合问题时,当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法;当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法;这两种方法又称作直接法.当问题的反面简单明了时,可通过求差排除采用间接法求解;另外,排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”;“分离”问题可能用“插空法”等.解排列问题和组合问题,一定要防止“重复”与“遗漏”.(教师边讲,边板书)互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法(二)举例师:我下面我们来分析和解决一些例题.(打出片子——例1)例1 有12个人,按照下列要求分配,求不同的分法种数.(1)分为两组,一组7人,一组5人;(2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人;(3)分为甲、乙两组,一组7人,一组5人;(4)分为甲、乙两组,每组6人;(5)分为两组,每组6人;(6)分为三组,一组5人,一组4人,一组3人;(7)分为甲、乙、丙三组,甲组5人,乙组4人,丙组3人;(8)分为甲、乙、丙三组,一组5人,一组4人,一组3人;(9)分为甲、乙、丙三组,每组4人;(10)分为三组,每组4人.(教师慢速连续读一遍例1,同时要求学生审清题意,仔细分析,周密考虑,独立地求解.这是一个层次分明的排列、组合题,涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合.各小题之间有区别、有联系,便于学生分析、比较、归纳,有利于学生加深理解,提高能力) 师:请一位同学说一下各题的答案(只需要列式). 生:(1),(2),(3)都是55712C C ;(4),(5)都是66612C C ;(6),(7),(8) 都是3347512C C C ;(9),(10)都是4448412C C C师:从这个同学的解答中,我们可以看出他对问题的考虑分先后次序,用位置法求解是掌握 了的.但是还请大家审清题意,看(3)与(1),(2);(5)与(4);(8)与(6), (7);(10)与(9)是否分别相同,有没有出现“重复”和“遗漏”的问题. (找班里水平较高的一位学生回答) 生:(3)和(1),(2);(5)和(4);(8)和(6),(7);(10)和(9)并不相 同.(3),(5),(8),(10)的答案都错了,既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题.(3)的答案是2255312PC C ;(5)是2266612P C C ;(8)是333347512P C C C (10)是334448412P C C C (教师在学生回答时板书各题答案)师:回答的正确,请说出具体的分析. 生:(3)把12人分成甲、乙两组,一组7人,一组5人,但并没有指明甲、乙谁是7人,谁是5人,所以要考虑甲、乙的顺序,再乘以22P ;(8)也是同一道理.(5)把12人分成两组,每组6人,如果是分成甲组、乙组,那么共有66612C C 种不同分法,但是(5)只要求平均分成两组,这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序,甲乙、乙甲共P22个就是同一种分组了,所以(5)的答案是2266612P C C ;(10)的道理相同. 师:分析的很好!我们大家必须认识到,题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的 .如果在解题过程中不加以区别,就会出现“重复”和“遗漏”的问题,这是解决排列、组 合题时要特别注意的. 例1中,(1),(2),(6),(7)都是非平均分配问题,虽然(1),(6)都没有指出 组名,而(2),(7)给出了组名,但是在非平均分配中是一样的.这是因为(2),(7)不仅给出了组名,而且还指明了谁是几个人,这一点上又与(3),(8)有差异.(3),(8)给了组名却没有指明谁是几个人. 题中(4),(5),(9),(10)都属于平均分配问题,在平均分配中,如果没有给出组 名,一定要除以组数的阶乘!如果12个人分成三组,其中一组2人,另外两组都是5人,求所有不同的分法种数.这里有不平均(一组2人),又有平均(两组都是是5人).怎么办?生:分两步完成.第一步:12个人中选2人的方法数C212;第二步:剩下的10个人平均分成两组,每组5人的方法数2255510P C C ,根据乘法原理得到,共有2255510212P C C C •种不同的分法.师:很好!大家已经理解了不平均分配的、平均分配,以及部分平均分配的计算,部分平均分配问题先考虑不平均分配,剩下的仍是平均分配,平均分配要商除.这样分配问题已彻底解决了. 请看例题2.(打出片子——例2)(1)6男2女排成一排,2女相邻; (2)6男2女排成一排,2女不能相邻; (3)4男4女排成一排,同性者相邻; (4)4男4女排成一排,同性者不能相邻. (教师读题、巡视) 师:请一位同学说出(1),(2)的答案.生甲:N 1=2277P P ;N 2=227788P P P -师:完全正确!他是用捆绑法解决“相邻”问题的,把2女“捆绑”在一起看成一组,与6男共7组,组外排列为77P ,女生组排列为22P ,得2女相邻排法数N 1=2277P P •;(2)是用捆 绑法结合排除法来解得,从总体排列88P 中排除N 1得2女不相邻的排法数N 2=227788P P P -(教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路,了解分析方法,真正理解解法) 师:(2)的不相邻的分离排列还有没有其它解法?生乙:可以用插空法直接求解.6男先排实位,再在7个空位中排2女,共有N 2=2766P P 种不同排法. (板书(1),(2)算式)师:对于(2)的两种解法思路不同,但殊途同归,结果一样,都是正确的.两种解法解决分离问题是否都很方便呢?试想,如果“5男3女排成一排,3女都不能相邻“336688P P P -与3655P P 一样吗?大家动手计算一下.生:前者是36 000,后者是14 400,不一样,肯定有问题.师:3366P P 是什么?生:3女相邻.师:3女相邻的反面是什么?生:336688P P P -是3女不都相邻,其中有2女相邻,不是3女都不相邻.师:这一例题说明什么?生:不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些.师:请大家下课后想一想,用捆绑法结合排除法能否解决上述问题,如果能解决,应该怎么 做?我们继续分析和解决(3),(4)两小题.N 3=444433P P P ; N 4=44442P P .(板书(3),(4)的算式)师:非常正确!(4)吸取了(2)的教训,没有用44443388P P P P -,并且没有简单的用4544P P插空,而是考虑到了男、女都要排实位,否则会出现. (板书)(女男男女男女男女)两男或两女相邻的问题.这时同性不相邻必须男女都排好,即男奇数位,女偶数位,或者对调. (通过对例2的讨论和分析,能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认 识,只有这样学生才会找到合理的解法,提高分析和解决问题的能力.) 师:我们再来看一个例题. (打出片子——例3)例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员,现进行混合双打练习,两边都必须是1男1女,共有多少种不同的搭配方法? (教师朗读一遍例3后巡视) 师:请同学说一下答案. 生:N =442728P C C (板书此式). 师:怎么分析的呢?生:每一种搭配都需要2男2女,先把4名队员选出来,有2728C C 种选法,然后考虑4人的排法,故乘以44P师:选出的4名队员做全排列,那么(板书)男A 男B 、女A 女B 行吗? 生:不行,有“重复”了,应该乘以什么呢?师:这就需要我们再把问题想想清楚了,当选出2男2女队员进行混合双打时,有几种搭配方法呢?(板书)男——男女 ①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四种吗?生:不是!③与②,④与①属于同一种,只有2种搭配,应该乘以2.师:这就对了.N=27282C C ,还可以用下面的思路:先在8男中选2男各据一侧,是排列问题,有28P 种方法;再在7女中选2女与之搭配,是组合问题,有27C 种方法,一共有N=2728C P 种搭配方法. (板书)解法1:N=27282C C解法2:N=2728C P师:最后看例4(打出片子——例4)例4 高二(1)班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队,参加校运会,其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种? (教师读题,引导分析)师:从7人中选4人分别安排第一、二、三、四棒这四个不同任务,一定与组合和排列有关, 对甲、乙有特殊要求,这就有了不同情况,要分类相加了.先不考虑谁跑哪棒,就说4人的选择有几类情况呢?生:三类,第一类,没有甲乙,有54C 种选法;第二类,有甲没乙或有乙没甲,有352C 种选 法;第三类,既有甲也有乙,有25C 种选法. 师:如果把上述三类选法数相加再乘以44P 行不行?生:不行,对于上面三类不同选法,并不能都有P44种安排方法.考虑甲、乙二人都不跑中间两棒,应有不同的安排方法数是:N=22222533123544452P P C P P C P C ++.师:第二项中的3312P P 是什么意思呢?生:第二类中甲、乙两人只有1人选中时,甲(乙)的排法数量是12P ,其他三人的排法数是33P .师:很好,这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要,大家要认真体会,了解其思路和 方法. (三)小结我们通过对4个例题的分析和讨论,总结了分配问题,分离排列问题的解法,以及排列、组 合综合题的解法.解排列、组合综合题,一般应遵循:先组后排的原则. 解题时一定要注意不重复、不遗漏. (四)作业1.四名优秀生保送到三所学样去,每所学样至少得1名,则不同的保送方案总数是 种.(363324=P C )2.有印着0,1,3,5,7,9的六卡片,如果允许9当作6用,那么从中任意以组成多少个不同的三位数?(1522215262422122433342212142214111425=+++=+P P P C P C P P C P C C P P 或)课堂教学设计说明关于排列组合的应用题,由于其容独特,自成体系;种类繁多,题目多变;解法别致,思 维抽象;条件隐晦,难以捉摸;得数较大,不易检验.所以这一课历来是学生学习中的难点.为了降低解题的难度,在教会学生基本方法的同时,一定要使学生学会转化,分类的思想方法,将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题.基于这一点,在例题的选排上,特别安排了例1,在复习巩固前面所学基本解法的基础上,总结了分配问题的解法,并引出了简单的排列组合综合问题.通过例2来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题,以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项.例3、例4是典型的排列、组合综 合题,分别侧重了分步和分类两个难点.教学方法上,以问答形式,通过讨论分析,引导学生正确思维,培养学生分析问题和解决问 题的能力.操作过程中也要根据学生的具体情况,采取多变的方式.学生配合的好,就以学 生为主,学生回答问题不尽如人意时,就需要教师在提高语言、方式等方面多做文章,或以 教师的讲授为主.。

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