二次函数中的利润问题

22.3 二次函数中的利润问题

教学目标

1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．

2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．

3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．

教学重点

1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．

2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．

教学难点

将实际问题转化成二次函数问题．

教学过程

一、导入新课

二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的性质：顶点式,对称轴和顶点坐标公式:

♦ 利润=售价-进价.

♦ 总利润=每件利润×销售数量.

二、探究新知

1、日用品何时获得最大利润

♦ 1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,.44222

a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a

b x 2-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a

c a b 44,22

那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?

♦ 设销售价为x 元(x ≥30元), 利润为y 元,则

♦

探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．

（1）我们先看涨价的情况．

设每件涨价x 元，每星期则少卖l0x 件，实际卖出(300－l0x )件，销售额为(60 + x ) (300－l0x )元，买进商品需付40(300－10x )元．因此，所得利润y ＝(60+x )(300－l0x )一40(300－l0x )，

即y ＝－l0x 2+100x +6 000．

列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x 的取值范围呢？ 由300－l0x ≥0，得x ≤30．再由x ≥0，得0≤x ≤30．

根据上面的函数，可知：

当x ＝5时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．

（2）我们再看降价的情况．

设每件降价x 元，每星期则多卖20x 件，实际卖出(300＋20x )件，销售额为(60－x ) (300＋20x )元，买进商品需付40(300＋20x )元．因此，所得利润

y ＝(60－x )(300＋20x )－40(300＋20x )，

即

y ＝－20x 2＋100x ＋6 000．

怎样确定x 的取值范围呢？

由降价后的定价(60－x )元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x ≤20．

当x ＝2.5时，y 最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，()()[]

202040020---=x x y 20000

140202-+-=x x ().450035202

+--=x

即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．

由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？

学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时，利润最大．

解决这类题目的一般步骤

（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；

（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.

三、巩固练习

3、旅行社何时营业额最大

某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？

4、直击中考

（2010·荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.

（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入－购进成本）四、小结

（1）这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

（2）解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？（3）你学到了哪些思考问题的方法？