职高第8章平面向量知识点小结

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平面向量复习基本知识点及结论总结

平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。

平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。

1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。

-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。

-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。

-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。

-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。

4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。

5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。

-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。

6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。

-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。

以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。

为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。

本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。

一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。

通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。

2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。

设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。

3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。

4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。

二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。

2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。

3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。

4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。

平面向量知识点归纳总结

平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。

例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。

二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。

三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。

设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。

新的线段即为向量A + B。

2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。

设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。

即A - B = A + (-B)。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。

任何向量与零向量相加等于该向量本身。

四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。

2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。

3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。

4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。

5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。

6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。

五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。

平面向量知识点归纳总结

平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。

●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。

2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。

3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。

●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。

4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。

●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。

●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。

5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。

●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。

●点积满足交换律：a ·b = b ·a。

●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。

●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。

●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。

●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。

●共线向量指在同一直线上的向量。

●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。

8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。

●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。

(完整版)职高第8章平面向量知识点小结

平面向量知识点小结1. 有向线段:具有叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB u u u r,应注意:始点一定要写在终点的前面,2. 已知AB u u u r ,线段AB 的叫做有向AB u u u r 线段AB u u u r的长(或模),的长度记作: .有向线段包含三个要素: 、、 .3. 向量:具有和的量叫做向量,只有大小和没有方向的向量叫做 .有向线段的长度表示向量的 ,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB u u u r 表示向量时,我们就说向量AB u u u r.另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a r 、b r 、c r、…等.4. 相等向量: 的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a r 和b r同向且等长,即a r 和b r相等,记作5. 零向量:长度等于零的向量叫做 ,记作 .零向量的方向 .6. 平行向量(共线向量):两个向量的方向则称两个向量平行，平行向量也称 (另一种理解：如果表示两个向量的有向线段所在的直线互相平行或重合为共线向量.向量a r 平行于向量b r ,记作a r ∥b r. 与任一个向量共线(平行).7. 相反向量:与向量a r 等长且的向量叫做向量a r的相反向量,记作 .显然, ()0a a +-=r r r.8. 单位向量:长度等于1的向量,叫做 .与向量a r同方向的单位向量通常记作 .9. 已知向量a r 、b r ,在平面上任取一点A,作AB a =u u u r r ,BC b =u u u r r,作向量AC u u u r ,则向量叫做向量a r 与b r 的和(或和向量),记作a r +b r ,即a r +b r== .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.10. 已知向量a r 、b r ,在平面上任取一点A,作AB a =u u u r r ,AD b =u u u r r,如果A 、B 、D 不共线,则以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC u u u r= = .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.11. 已知向量a r 、b r ,在平面上任取一点O,作OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ,则b r +BA u u u r =a r ,向量BA u u u r 叫做向量a r 与b r 的差,并记作a r -b r ,即BA u u u r== .12. 由向量的减法推知:(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到的向量;(2) 一个向量BA u u u r等于它的终点相对于点O 的位置向量OA u u u r 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB uuu r;(3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的 .13. 向量加法满足如下运算律: (1) ; (2)14. 数乘向量的一般定义:实数λ和向量a r 的乘积是一个向量,记作a λr.当0λ>时,a λr 与a r同方向,a a λλr r ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ<时,a λr 与a r反方向,a a λλr r ││ =│ ∣│ │ ; 当0λ=或0a =r r 时,000a λ⋅=⋅=r r r. ;15. 数乘向量满足以下运算律:(1)1a r =a r ,(-1)a r =a -r ; (2)()()a a λμλμ=r r()a a a λμλμ+=+r r r ; (4)()a b a b λλλ+=+r r r r .16. 平行向量基本定理:如果向量0b ≠r r,则a b r r ∥的充分必要条件是,存在唯一的实数λ,使 .17. 设1212(,),(,)a a a b b b ==r r则→a ∥→b ⇔18. 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量→a ，都有且只有一对实数1a ，2a 使得。

平面向量的数学知识点总结

平面向量的数学知识点总结一、向量的定义及基本性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

在平面坐标系中，向量可以用有序数对表示。

向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。

2. 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。

即向量a=b当且仅当|a|=|b|且a与b的方向相同。

3. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。

4. 向量的数乘向量的数乘满足结合律和分配律。

即k*(a+b)=k*a+k*b，(k+m)*a=k*a+k*m。

5. 向量的减法向量的减法可以用加法和数乘表示。

即a-b=a+(-1)*b。

6. 向量的数量积向量的数量积（又称点积、内积）是向量的一种乘法。

定义为a·b=|a|*|b|*cos(θ)，其中θ为a和b之间的夹角。

7. 向量的性质（1）向量的模长：|a|=√(a1²+a2²)；（2）向量的共线：如果向量a与向量b共线，那么它们的数量积为0，即a·b=0；（3）向量的夹角：cos(θ)=a·b/(|a|*|b|)。

二、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示。

如向量a可以表示为(a1,a2)。

2. 平面向量的坐标运算（1）向量的加法：a+b=(a1+b1,a2+b2)；（2）向量的数乘：k*a=(k*a1,k*a2)；（3）向量的减法：a-b=a+(-1)*b。

三、向量的线性运算1. 向量的线性相关性如果存在不全为0的实数λ1、λ2，使得λ1a+λ2b=0，则向量a与向量b线性相关。

2. 向量的线性无关性如果向量a与向量b线性无关，那么不存在不全为0的实数λ1、λ2，使得λ1a+λ2b=0。

3. 向量的线性表示对于线性无关的n个向量a1、a2、…、an，可以表示任意向量b的线性组合。

即存在唯一的实数λ1、λ2、…、λn，使得b=λ1a1+λ2a2+…+λnan。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。

在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。

本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。

1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。

它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。

平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。

2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。

向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。

向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。

3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。

设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。

4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。

否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。

线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。

5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。

向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。

向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。

6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。

设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。

7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。

根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学中的基础知识之一。

它在几何、代数、物理等方面有着广泛的应用，因此对平面向量的理解和掌握是非常重要的。

接下来，我将对平面向量的基本概念、性质和运算进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 平面向量的基本概念。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y 轴上的投影。

平面向量的模可以表示为|AB|，方向可以用角度或者方向角来表示。

2. 平面向量的性质。

平面向量具有以下性质：平行向量，如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

相等向量，具有相同大小和方向的向量称为相等向量。

零向量，模为0的向量称为零向量，记作0。

共线向量，如果存在实数k，使得向量a=kb，则称向量a与b共线。

3. 平面向量的运算。

平面向量具有加法、数乘和数量积等运算。

加法，向量a和向量b的和记作a+b，其坐标分别相加。

数乘，实数k与向量a的数乘记作ka，其坐标分别乘以k。

数量积，向量a与向量b的数量积记作a·b，其大小为|a|·|b|·cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

4. 平面向量的应用。

平面向量在几何、代数和物理等方面有着广泛的应用。

几何，平面向量可以用来表示线段、向量共线、向量共面等几何性质。

代数，平面向量的运算可以用来解决代数方程组、向量方程等问题。

物理，平面向量可以用来表示力、速度、位移等物理量，并且可以进行运算和分解。

总结，平面向量是数学中的重要内容，它具有基本概念、性质和运算，应用广泛。

通过对平面向量的学习，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学解决问题的能力。

希望以上内容能够帮助大家更好地理解和掌握平面向量的知识点，欢迎大家在学习过程中多加练习，加深对平面向量的理解和运用。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是解析几何中的重要概念，是用来表示平面上的点的有方向的量。

平面向量的运算和性质有很多，下面将对其进行详细总结。

一、平面向量的定义平面向量是一个有方向的量，可以用有序数对表示。

通常使用大写的字母如A、B、C等来表示平面向量。

二、平面向量的表示平面向量可以用有序数对(a, b)表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

表示为AB(a, b)。

三、向量的长度和方向角向量的长度就是向量的模，用||AB||表示，可以根据勾股定理计算向量的模。

向量的方向角指向量与x轴的夹角，用α表示，可以根据三角函数来计算。

四、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点，连成一个新的向量。

2. 向量的减法：向量的减法相当于加上一个负向量，即将向量取负后进行加法运算。

3. 向量与常数的乘法：向量与常数相乘，即将向量的每个分量都乘以该常数。

4. 向量的数量积：数量积也叫点积或内积，表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosα，其中α为向量A与向量B的夹角。

5. 向量的向量积：向量积也叫叉积或外积，表示为A×B，计算公式为A×B=|A||B|sinαn，其中α为向量A与向量B的夹角，n为向量A与向量B所在平面的法向量。

五、向量的性质1. 交换律：向量的加法满足交换律，即A+B=B+A。

2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。

3. 数乘结合律：向量与常数的乘法满足数乘结合律，即k(A+B)=kA+kB。

4. 分配律：向量的加法对乘法满足分配律，即(k+m)A=kA+mB。

5. 向量的相等性：向量的相等性表示向量的模和方向都相等。

六、平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等学科中，常用于求解平面上的几何问题和运动问题。

例如，可以利用平面向量求解线段的垂直、平行及相交关系，求解角平分线、边中垂线等几何问题；还可以运用平面向量解决速度、加速度等物理问题。

中职数学平面向量知识点归纳

中职数学平面向量知识点归纳
平面向量是中职数学中的一个重要概念，以下是关于平面向量知识点的归纳：
1. 向量的基本概念：向量是一个既有大小又有方向的量。

向量的大小称为向量的模。

向量可以用箭头表示，起点在原点，终点为坐标点的有向线段。

2. 向量的运算：
向量加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。

三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点。

向量数乘：一个实数与一个向量的乘积是一个向量，其模为该实数与原向量模的乘积，方向与原向量相同或相反。

向量的模：向量的大小称为向量的模，记作a。

3. 向量的数量积：两个向量的数量积是一个标量，记作a·b。

数量积的模等于两向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 向量的向量积：两个向量的向量积是一个向量，记作a×b。

向量积的模
等于两向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

5. 向量的混合积：三个向量的混合积是一个标量，记作a·b×c。

混合积的模等于三向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

6. 向量的应用：向量可以用于描述现实生活中的各种物理现象，如力、速度、加速度等。

同时，向量也在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。

以上是关于平面向量知识点的归纳，掌握这些知识点有助于更好地理解向量的概念和运算，并能够在数学和实际问题中灵活运用。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。

物理学中的位移、力、速度等都是向量。

例如，一个物体从点A移动到点B的位移，它不仅有移动的距离（大小），还有移动的方向，这就是一个向量。

向量可以用有向线段来表示。

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

以A为起点、B 为终点的向量记作AB，向量也可以用小写字母a,b,c等来表示。

2. 向量的模向量的大小叫做向量的模。

向量AB的模记作AB，向量a的模记作。

例如，在平面直角坐标系中，若向量a=(x,y)，则\t=x^2+y^2。

模为1的向量叫做单位向量，单位向量的方向是任意的，对于任意非零向量a，与它同方向的单位向量是\fracat。

3. 零向量模为0的向量叫做零向量，记作0。

零向量的方向是任意的，规定vert = 0。

零向量在向量的加法和减法等运算中有特殊的性质，例如a+0=a，aa=0等。

4. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

规定零向量与任意向量平行。

平行向量也叫做共线向量，因为平行向量可以平移到同一条直线上。

例如，在平行四边形ABCD中，AB与DC是平行向量，AD与BC也是平行向量。

如果a与b 是平行向量，记作ab。

5. 相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

向量相等有传递性，即若a=b，b=c，则a=c。

例如，在正方形ABCD中，AB=DC，因为它们的模相等且方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。

三角形法则适用于求两个向量的和，并且可以推广到多个向量的加法，即a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。

平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则AC=a+b。

平行四边形法则只适用于求两个不共线向量的和。

平面向量的计算知识点总结

平面向量的计算知识点总结一、基本概念1. 平面向量的定义在二维空间中，若给定两个不平行的线段AB和CD，其起点O重合，那么可以确定一个平面向量a，记作a=→AB。

平面向量a表示由有向线段AB所确定的量，它的大小为线段AB的长度，方向为从A指向B。

2. 平面向量的表示平面向量可以用有向线段来表示，也可以用坐标表示。

若O为坐标原点，i为x轴正向单位向量，j为y轴正向单位向量，那么平面向量a可以表示为a=xi+yj，其中x为a在x轴上的投影，y为a在y轴上的投影。

3. 平行向量与相等向量如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的方向相同，则称它们为平行向量；如果两个平面向量a=→AB和b=→CD的大小和方向均相同，则称它们为相等向量。

4. 向量的模和方向角给定平面向量a=xi+yj，它的模记作|a|，定义为平面向量a的长度，即|a|=sqrt(x^2+y^2)；它的方向角记作θ，定义为平面向量a与x轴正向的夹角，即tanθ=y/x。

二、平面向量的运算1. 平面向量的加法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的和记作c=a+b，c=→AC，其中C为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，即将起点O作为共同点，以a和b为两条边作平行四边形或三角形的第三边。

2. 平面向量的减法给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的差记作c=a-b，c=→AD，其中D为有向线段AB和CD的终点。

平面向量的减法可以理解为将向量b取反后与向量a进行加法运算。

3. 数乘运算给定平面向量a=xi+yj和实数k，那么ka=kxi+kyj，它的模为|ka|=|k||a|，它的方向与向量a的方向相同（k>0）或相反（k<0），即乘积ka为向量a的长度的k倍或-k倍。

4. 数量积给定平面向量a=→AB和b=→CD，它们的数量积记作a·b，定义为|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和b的模，θ为向量a和b之间的夹角。

平面向量知识点总结(精华)

平面向量知识点总结(精华)一、平面向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如\(\vec{a}\)。

向量的大小称为模，记为 \(|\vec{a}|\) 或\(\vec{a}\) 的长度；向量的方向是从起点指向终点的方向。

2. 向量的表示向量可以用坐标表示，设向量 \(\vec{a}\) 的起点为 \(O\)，终点为 \(A\)，则 \(\vec{a}\) 可以表示为 \(\vec{OA}\)。

在平面直角坐标系中，向量 \(\vec{a}\) 可以表示为 \(\vec{a} = (x, y)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别是向量在 \(x\) 轴和 \(y\) 轴上的分量。

3. 向量的运算（1）向量的加法：两个向量相加，是将它们的坐标分别相加。

即 \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)。

（2）向量的减法：两个向量相减，是将它们的坐标分别相减。

即 \(\vec{a} \vec{b} = (x_1 x_2, y_1 y_2)\)。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数，是将向量的坐标分别乘以这个实数。

即 \(k\vec{a} = (kx_1, ky_1)\)。

（4）向量的点乘：两个向量的点乘，是将它们的坐标分别相乘后求和。

即 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 +y_1y_2\)。

（5）向量的叉乘：两个向量的叉乘，是将它们的坐标分别相乘后求差。

即 \(\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2x_2y_1\)。

二、平面向量的数量积1. 数量积的定义数量积又称点积，是两个向量的乘积，其结果是一个实数。

数量积的定义为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 是两个向量的夹角。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳平面向量是二维空间内的向量，由两个有大小和方向的向量组成，可以用于描述平面内的位移、速度、加速度等物理量。

平面向量的知识点总结如下：一、平面向量的定义1. 平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示，记作→AB。

2. 平面向量的大小称为模，记作|→AB|或AB，表示向量的长度。

3. 平面向量的方向可以用与x轴的夹角来表示，记作θ。

二、平面向量的表示方法1. 基底表示法：使用坐标系中的两个非零向量作为基底，根据向量分解的原理将向量表示为基底的线性组合。

2. 基底表示法的基底选择：通常选择单位向量i和j作为基底，i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。

三、平面向量的运算1. 加法：向量相加的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的和，方向等于两个向量的夹角的平分线方向。

2. 减法：向量相减的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的差，方向等于两个向量的夹角的平分线反方向。

3. 数乘：向量乘以一个标量得到的是一个新的向量，新向量的大小等于标量与原向量大小的乘积，方向与原向量相同（正向量）或相反（负向量）。

4. 内积：向量的内积是两个向量的大小之积与它们夹角的余弦值之积，可以用于求夹角、判断垂直和平行等。

5. 外积：向量的外积又称为叉乘，结果是一个新的向量，大小等于两个向量的大小之积与它们夹角的正弦值之积，方向垂直于这两个向量构成的平面。

6. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，大小等于原向量与投影方向的夹角的余弦值与原向量大小之积，方向与投影方向相同。

四、平面向量的性质1. 平面向量相等的充要条件是它们大小相等且方向相同。

2. 平面向量相反的充要条件是它们大小相等且方向相反。

3. 平面向量与其负向量的和等于零向量。

4. 平面向量的模可以为零，只有零向量的模为零，其它向量的模都大于零。

5. 平面向量与标量相乘，改变的是向量的大小，不改变其方向。

平面向量及其应用知识点总结

平面向量及其应用知识点总结
一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平
面向量。

2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。

（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。

（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。

二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。

2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。

三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。

2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。

3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。

4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。

5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。

四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。

2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作
用力等物理量，通过分解力求解问题。

3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。

4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。

平面向量知识点总结

平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB 按向量(1,3)a =-平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量〔与AB 共线的单位向量是||AB AB ±〕；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！〔因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.举例2如下列命题：〔1〕若||||a b =，则a b =.〔2〕两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. 〔3〕若AB DC =，则ABCD 是平行四边形. 〔4〕若ABCD 是平行四边形，则AB DC =. 〔5〕若a b =，b c =，则a c =.〔6〕若//a b ，//b c 则//a c .其中正确的是. 结果：〔4〕〔5〕二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y =叫做向量a 的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理定理设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.〔1〕定理核心：1122a λe λe =+；〔2〕从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成. 〔3〕向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解．举例3〔1〕若(1,1)a =，(1,1)b =-，(1,2)c =-，则c =.结果：1322a b -. 〔2〕下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =-B.1(1,2)e =-，2(5,7)e =C.1(3,5)e =，2(6,10)e =D.1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭〔3〕已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为.结果：2433a b +.〔4〕已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是. 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：〔1〕模：||||||a a λλ=⋅；〔2〕方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直. 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积〔或内积或点积〕，记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 〔1〕ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.〔2〕已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k =____. 结果：1.〔3〕已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____. 结果：23.〔4〕已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30.3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：〔1〕0a b a b ⊥⇔⋅=；〔2〕当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=；||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. 〔3〕非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例6 〔1〕已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值X 围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；〔2〕已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值X 围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭；〔3〕已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-〔其中0k >〕. ①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算〔1〕向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.〔2〕向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 〔1〕化简：①AB BC CD ++=；②AB AD DC --=；③()()AB CD AC BD ---=.结果：①AD ；②CB ；③0；〔2〕若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++=.结果：〔3〕若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为.结果：直角三角形；〔4〕若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为. 结果：2；〔5〕若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为. 结果：120.2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则〔1〕向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 〔1〕已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；〔2〕已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y +=.结果：6π或2π-；〔3〕已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是.结果：(9,1).〔2〕实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.〔3〕若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-.〔4〕平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. 〔1〕若3x π=，求向量a 、c 的夹角；〔2〕若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：〔1〕150；〔2〕12或1. 〔5〕向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝. 〔6〕两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .〔1〕若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；〔2〕求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：〔1〕2；〔2〕2210x y xy ++-=.七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：①()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；②()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b ba a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+. 其中正确的是. 结果：①⑥⑨.说明：〔1〕向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；〔2〕向量的“乘法〞不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件60221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同.结果：2. 〔2〕已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x =. 结果：4. 〔3〕设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k =_____时，,,A B C 共线.结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若OA OB ⊥，则m =.结果：32m =；〔2〕以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是.结果：(1,3)或〔3，－1〕〕；〔3〕已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是.结果：(,)b a -或(,)b a -.十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系〔1〕P 内分线段12P P ，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>；〔2〕P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为. 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)Px y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：〔1〕在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标. 〔2〕在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ. 举例17〔1〕若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为.结果：7(6,)3--；〔2〕已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a =.结果：２或4-.十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：〔1〕函数按向量平移与平常“左加右减〞有何联系？〔2〕向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 〔1〕按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______.结果：(8,3)-；〔2〕函数sin 2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________.结果：(,1)4π-.十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.〔1〕右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+；〔2〕左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+；〔3〕当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+.3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为.结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心〞的向量表示〔1〕1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔为△ABC 的重心.〔2〕PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.〔3〕||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||ABAC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=. 7.向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是. 结果：直线AB .。

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平面向量知识点小结1. 有向段 : 具有叫做有向段 , 通常在有向段的点画上箭uuur表示它的方向 . 以 A 始点 ,B 点的有向段作AB , 注意 : 始点一定要写在点的前面 ,uuur uuur uuur2. 已知 AB , 段 AB 的叫做有向 AB 段 AB 的 ( 或模 ), 的度作 : .有向段包含三个要素 : 、、 .3. 向量 : 具有和的量叫做向量 , 只有大小和没有方向的向量叫做.有向段的度表示向量的, 有向段的方向表示向量的方向. 用有向段 uuur uuurAB 表示向量 , 我就向量 AB . 另外 , 在印刷常用黑体小写字母 a 、b 、c 、⋯等表示向量 ; r r r手写可写作箭的小写字母 a 、 b 、 c 、⋯等 .4. 相等向量 :的有向段表示同一向量或相等的向量r r. 向量 a 和 b 同rr向且等 , 即 a 和 b 相等 , 作5. 零向量 : 度等于零的向量叫做 , 作 . 零向量的方向.6. 平行向量 ( 共向量 ) : 两个向量的方向称两个向量平行，平行向量也称( 另一种理解：如果表示两个向量的有向段所在的直互相平rr rr行或重合共向量 . 向量 a 平行于向量 b , 作 a ∥ b .与任一个向量共 ( 平行 ).7.rr相反向量 : 与向量 a 等且的向量叫做向量 a 的相反向量 , 作 .r r r然 , a ( a) 0 .8. 位向量 : 度等于 1 的向量 , 叫做.r与向量 a 同方向的位向量通常作.9. r ruuur r uuur r已知向量 a 、 b , 在平面上任取一点A, 作 AB a , BC b , 作向uuur rr r rr r量 AC , 向量叫做向量 a 与 b 的和 ( 或和向量 ), 作 a + b , 即 a + b = = . 种求两个向量和的作法 , 叫做向量求和的三角形法 .10.r r uuur r uuur r已知向量 a 、 b , 在平面上任取一点 A, 作 AB a , AD b ,如果 A 、B 、D 不共 , 以 AB 、AD 作平行四形 ABCD,uuur= .角上的向量 AC =种求两个向量和的作法 , 叫做向量求和的平行四形法 .11. 已知向量 r r O,作 uuur r , uuur r , ra 、 , 在平面上任取一点OA a OB b bbuuur ruuur rr r r uuur + BA = a , 向量 BA 叫做向量 a 与 b 的差 , 并作 a - b , 即 BA ==. 12. 由向量的减法推知 :(1) 如果把两个向量的始点放在一起 , 两个向量的差是减向量的点到的向量 ;(2)uuuruuur一个向量 BA 等于它的点相于点O 的位置向量 OA 减去它的始点相uuur于点 O 的位置向量 OB ;(3) 一个向量减去另一个向量 , 等于加上个向量的 .13. 向量加法足如下运算律 : (1) ; (2)14.rr数乘向量的一般定 : 数和向量 a 的乘是一个向量 , 作 a .0 , r r r r 当a 与 a │ a │= │ ∣│a │ 同方向 ,;, r r rr ; 当a与 a│ a │= │ ∣│a │反方向 ,当r r r r r0 或 a 0 , 0 a0 0 . ;15. 数乘向量足以下运算律 :(1)1r rr rr r a =a ,(-1) a = a ; (2) ( a) ()a(r r r (4)r r r r)a aa ;(a b)a b .16. r r r r23. 中点公式 : 若 A( x1, y1) ,B ( x2, y2) , 点 M(x,y) 是线段 AB的中点 , 则平行向量基本定理 : 如果向量b 0 , 则a∥b的充分必要条件是 , 存在唯一的实数, 使.17. r r 24. 已知 a 与 b 为非零向量，则叫做 a 与 b 的内积，也称为数量积设 a ( a1 ,a2 ), b (b1 ,b2 ) 则 a ∥ b 或点积，记作即：18. 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有一对实数a1，a2使25. 设 a 与 b 为两个非零向量，则 a ⊥ b得。

职高向量知识点总结

职高向量知识点总结一、向量的定义1. 向量的概念向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 向量的表示向量通常用字母加上箭头来表示，例如a⃗。

另外，向量也可以用坐标表示，如(a, b)。

3. 零向量零向量是长度为0的向量，表示为0⃗。

4. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

5. 直线向量如果一个向量为零向量，或者与一条直线上的另一个向量平行，则它是这条直线的向量。

二、向量的运算1. 向量的加法向量a⃗和向量b⃗的加法定义为：a⃗ + b⃗ = c⃗，其中c⃗的大小为|a⃗| + |b⃗|，方向与a⃗和b⃗相同。

2. 向量的减法向量a⃗和向量b⃗的减法定义为：a⃗ - b⃗ = c⃗，其中c⃗的大小为|a⃗| - |b⃗|，方向与a⃗和b⃗相反。

3. 向量的数乘向量a⃗和一个实数k的乘积定义为：k a⃗，其大小为|k|×|a⃗|，方向与a⃗的方向相同（k>0）或相反（k<0）。

4. 向量的数量积向量a⃗和向量b⃗的数量积定义为：a⃗·b⃗ = |a⃗|×|b⃗|×cosθ，其中θ为a⃗和b⃗之间的夹角。

5. 向量的叉积向量a⃗和向量b⃗的叉积定义为：a⃗×b⃗ = |a⃗|×|b⃗|×sinθ⃗，其中θ为a⃗和b⃗之间的夹角。

6. 向量的投影向量a⃗在向量b⃗上的投影定义为：|a⃗|×cosθ⃗，其中θ为a⃗和b⃗之间的夹角。

7. 向量的求模向量a⃗的模定义为：|a⃗| = √a₁² + a₂²。

三、向量的应用1. 平面向量的应用平面向量可以用于描述物体的位移、力等。

2. 空间向量的应用空间向量可以用于描述物体的位移、力的合成等。

3. 向量的正交如果两个向量的数量积为0，则它们是正交向量。

4. 向量的垂直如果两个向量的叉积为0，则它们是垂直向量。

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平面向量复习基本知识点及结论总结

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平面向量知识点归纳总结

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