用特征曲线法求解线性偏微分方程
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
一阶线性偏微分方程的特征线解法
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),
偏微分方程解法
偏微分方程解法导言偏微分方程是数学中一个重要的研究领域，它涉及到物理、工程、经济等众多学科，对于解决现实世界中的问题起着至关重要的作用。
本文将深入探讨偏微分方程的解法，包括常见的求解方法和应用示例。
偏微分方程简介在分析偏微分方程之前，我们先了解一下什么是偏微分方程。
简单来说，偏微分方程是由未知函数及其偏导数构成的方程。
它包含多个自变量和多个偏导数，用于描述有多个变量的物理现象或者其他现象。
常见的偏微分方程求解方法分离变量法分离变量法是解偏微分方程的主要方法之一。
它的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后进行求解。
具体步骤如下： 1. 分离变量：将未知函数表示为多个单变量函数的乘积。
2. 将方程化为两端只含单变量函数的方程。
3. 求解单变量函数的方程。
4. 将求解得到的单变量函数组合在一起，得到原方程的解。
特征线法特征线法是另一种常用的偏微分方程求解方法。
它的基本思想是通过引入曲线方程（特征线），将偏微分方程转化为常微分方程，然后再进行求解。
特征线法的步骤如下： 1. 引入曲线方程，将偏微分方程转化为常微分方程。
2. 求解常微分方程。
3. 将常微分方程的解代回原方程，得到原方程的解。
变换方法除了分离变量法和特征线法，还有一些其他的变换方法可以用来求解偏微分方程。
其中比较常用的有变换坐标法和变换函数法。
变换坐标法的基本思想是通过适当的坐标变换，将原方程转化为更简单的形式，然后再进行求解。
变换函数法的基本思想是通过引入新的未知函数，将原方程转化为只含有新未知函数的形式，然后再进行求解。
偏微分方程解法的应用示例偏微分方程解法广泛应用于各个领域，下面将简要介绍一些应用示例。
热传导方程热传导方程是物理学中的一个重要方程，它描述了热量在物体中的传导过程。
通过对热传导方程进行求解，可以得到物体温度分布随时间的变化规律，从而可以预测物体的热传导行为。
斯托克斯方程斯托克斯方程是流体力学中的一个基本方程，描述了流体在静止或者稳定的情况下的运动规律。
特征线方法及其在求解偏微分方程中的应用
一
（ １ ｏ ）
的影响 区域 ， 将其记成 Ｄ， 为 了简单化 ， 建设 ａ （ ｔ ， ｘ ）＝ａ ０ 作 为
其常数 ， 因此通 过公式 （ ３ ） 和公式 （ ４ ） 可 以得 出， 过点 （ ０ ， ａ ）
的特 征 线 主要 是 为 直线 ， 为： Ｘ＝ａ ０ ｔ ＋ａ Ｕ（ ｔ ）＝ａ （ ｔ ， ａ ０ ｔ ＋ａ ） （ ５ ） （ ６ ）
（ ８ ）
从 而容易验证公式（ ７ ） 能够满 足方程 （ １ ） 以及 初始 条件 （ ２ ） ， 在上述求解 的过程 中所用 的方法便称 之为特征线方法 。 然而特别的 ， 在 ｂ ｆ －０的时候 ， 公式（ ７ ） 主要是 可 以 化作成为 ： Ｕ （ ｔ ， ｘ ）＝‘ ｐ （ ｘ—ａ ｏ ｔ ） ， 并且这也 直接 的表现 出沿 着 每一条的特征线 ， 在解 题 的过 程 中主要 是 为一 个常 数 ， 同 时 对于 ａ （ ｔ ， ｘ ） ， 具有 下面的结论 。 定理一 ： 函数 ａ ， ｂ ， ｆ ， ａ ， ｂ ， ｆ ｘ 是 自变量 （ ｔ ， Ｘ ）∈［ ０ ， ｏ 。）Ｘ Ｒ的连续 函数 ， 并且初值 ‘ ｐ （ ｘ ） Ｒ是 ｘ∈Ｒ的 ｃ 光滑 函数 ， 那么 Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ问题 （ １ ） 和（ ２ ） 在其影 响的区域 Ｄ中存在 唯一的
（ ７ ）
、
关 于 特 征 线 的 方 法
在这之中 ：
主要方程为 ： ｕ ＋ａ （ ｔ ， ｘ ） ｕ ＋ｂ （ ｔ ， Ｘ ） Ｕ＝ｆ （ ｔ ， ｘ ） Ｕ Ｉ ｏ ＝‘ Ｐ （ ｘ ） （ １ ） （ ２ ）
Ｑ （ Ｔ ） ＝ ｅ ｘ ｐ ｛一 ｆ ： ｂ （ ｓ ， ａ ０ ｓ ＋ ｓ 一 ８ ｏ ｔ ） ｄ ｓ ）
求解偏微分方程的几种特殊方法
求解偏微分方程的几种特殊方法程哲 PB06001070（中国科学技术大学数学系， 合肥， 230026）摘要：经过一个学期偏微分方程课程的学习，我们掌握了几种求解初等拟（半）线性方程，特别是三种典型方程的方法，如特征曲线法、反射法、降维法、分离变量法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhamel 原理等。
此外，我们通过学习还掌握了求解波动方程的D＇Alembert 公式，求解高维波动方程的Kirchhoff 公式和Poisson 公式，求解位势方程的Green 公式等等。
这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程，故而是基本而重要的。
本文还将总结作者了解的几种求解偏微分方程的特殊方法，它们是：级数法，Laplace 变换法，Fourier 变换法。
关键词：偏微分方程 级数法Laplace 变换 Fourier 变换1. 级数法求解偏微分方程1.1 波动方程Cauchy 问题的级数解法1.1.1 问题引入我们以三维波动方程的初值问题(P)为例：2()0,(1)()(,,,0)(,,),(,,,0)(,,)tt xx yy zz t u a u u u P u x y z x y z u x y z x y z ⎧−++=⎪⎨=Φ=Ψ⎪⎩ 由叠加原理易知问题(P)可分解为两个问题的叠加：2()0,()(,,,0)0,(,,,0)(,,)tt xx yy zz t u a u u u I u x y z u x y z x y z ⎧−++=⎪⎨==Ψ⎪⎩ 2()0,()(,,,0)(,,),(,,,0)0tt xx yy zz t u a u u u II u x y z x y z u x y z ⎧−++=⎪⎨=Φ=⎪⎩首先，受一维波动方程的D＇Alembert 公式启发，我们可以假设问题()I 有如下形式的解：221(,,,)(,,)(2)4at w x y z t t dS a t ξηζπ=⋅Ψ∑∫∫其中球面22222:()()()atx y z a t ξηξ−+−+−=∑。
数学物理方程- _特征线法 2014-12
u( uy
x,0) f ( ( x,0)
x) 1
3
g(x) f ( x)
3x2 g( x)
0
1 3
f (x)
g( x)
C
解 出f ( x) 9 x 2 C, g( x) 3 x 2 C
u( x,
y)
9
(
4
x
1
y)2
3(x
4
y)2
3x2
y2.
43
4
线性二阶偏微分方程：叠加原理
联立（A）（B）两式，可得
f (x) 1 (x) 1
x
(
)d
1
(
f
(0)
g (0))
2
2a 0
2
g(x) 1 (x) 1
x
(
)d
1
(
f
(0)
g (0))
2
2a 0
2
所以
u(x,t) f (x at) g(x at)
(B) (7) (8)
1 (x at) 1
xat
(
)d
1
有
3u 3(u u ) 3u
ut 3ux x t
43 .
所以
3u
4
3
.
3
即
u
4
9
1.
9
对 两边积分，可得
u 22 1 g( ),
99
其中，g() 为一个可微函数。
由
u( ,) 2 2 1 g( ),
99
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x g(x 3t),
定义1 考虑下面一阶线性微分方程
aut bux cu f
偏微分方程的数值解法与逼近方法
偏微分方程的数值解法与逼近方法一、引言偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中重要的研究对象，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
由于PDEs的解析解往往难以得到，因此数值解法和逼近方法成为解决PDEs问题的重要手段。
二、数值解法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为离散的差分形式，利用差分近似代替微分运算，从而得到数值解。
其中，向前、向后和中心差分是常用的差分近似方法。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种将求解区域划分为有限个小单元，在每个小单元上建立局部近似函数，并通过将这些局部函数组合得到整个解的近似。
该方法适用于复杂几何形状和非均匀网格的情况。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法将求解区域划分为小单元，但与有限元法不同的是，它考虑了守恒量在每个小单元中的变化情况。
通过建立控制体积并利用守恒定律，将偏微分方程转化为积分形式进行计算。
三、逼近方法1. 特征线方法（Method of Characteristics）特征线方法利用特征线的性质对偏微分方程进行求解。
通过对特征线方程进行积分，可以将PDEs转化为常微分方程（ODEs），从而得到数值解。
2. 辛方法（Symplectic Method）辛方法是一种在保持系统辛结构的同时进行数值求解的方法。
它适用于哈密顿系统和保守系统的求解，具有优秀的长期数值稳定性和能量守恒性。
3. 射影方法（Projection Method）射影方法是通过将PDEs投影到更低维度的空间中进行近似求解的方法。
通过将偏微分方程分解为几个步骤，如速度-压力分裂和时间分裂，可以以更高效的方式求解复杂的PDEs。
四、数值算例为了验证偏微分方程的数值解法和逼近方法的有效性，我们选取了经典的热传导方程（Heat Equation）作为例子进行数值算例演示。
偏微分方程的基本概念和求解方法
偏微分方程的基本概念和求解方法偏微分方程是数学分析的一个分支，被广泛应用于物理、工程、计算机等领域中。
在现代科学和技术中，很多问题都可以用偏微分方程描述和解决。
本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是指包含未知函数及其偏导数的方程。
偏微分方程通常以自变量和各个偏导数的函数形式表示。
偏微分方程的解是满足方程的函数。
偏微分方程的解和初始条件有关。
初始条件是指方程的解在某一时刻的取值。
常见的一维偏微分方程有：热传导方程、波动方程、扩散方程等。
热传导方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$波动方程：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$扩散方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$表示温度、振动、物质密度等量；$k$表示热传导系数；$c$表示波速；$D$表示扩散系数。
二、偏微分方程的求解方法偏微分方程的求解一般采用分离变量法、特征线法和有限差分法。
1. 分离变量法分离变量法是常见的求解偏微分方程的方法。
它的基本思想是通过一些变换，把偏微分方程转化为一系列常微分方程。
例如，对于热传导方程：设 $u(x,t)=X(x)T(t)$，代入原方程得：$$XT' = kX''T$$将式子两边分离变量，得到：$$\frac{1}{k}\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\omega^2$$分别解出 $T$ 和 $X$，再将它们组合起来即可得到原方程的解。
2. 特征线法特征线法也是求解偏微分方程的重要方法之一。
偏微分方程的求解与应用实例解读
偏微分方程的求解与应用实例解读偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的一类重要方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将探讨偏微分方程的求解方法，并通过应用实例解读其在实际问题中的应用。
一、偏微分方程的基本概念和分类偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程，通常涉及多个自变量。
常见的偏微分方程包括椭圆型、抛物型和双曲型方程。
椭圆型方程描述稳态问题，如静电场分布；抛物型方程描述热传导、扩散等过程；双曲型方程描述波动、振动等动态问题。
二、偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法。
通过假设解可以表示为各个自变量的乘积形式，将偏微分方程转化为一系列常微分方程，再求解常微分方程得到解的形式。
2. 特征线法特征线法适用于一阶偏微分方程的求解。
通过找到特征曲线，将原方程转化为常微分方程，进而求解得到解析解。
3. 变换法变换法是通过引入适当的变换将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
4. 数值方法对于复杂的偏微分方程，常常无法找到解析解，此时可以借助数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用实例解读1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的典型代表，描述了物体内部的温度分布随时间的变化规律。
在工程领域中，热传导方程被广泛应用于热传导、传热系统的设计与优化等问题。
2. 波动方程波动方程是双曲型偏微分方程的典型代表，描述了波动现象的传播规律。
在物理学中，波动方程被用于描述声波、光波等传播过程。
在地震学中，波动方程被用于模拟地震波的传播与地震灾害的预测。
3. 斯托克斯方程斯托克斯方程是椭圆型偏微分方程的典型代表，描述了流体的运动规律。
在流体力学中，斯托克斯方程被广泛应用于流体的稳定性分析、流体的流动模拟等问题。
四、结语偏微分方程作为数学中重要的研究对象，不仅具有严谨的理论基础，还在各个领域的实际问题中起到了重要的作用。
用特征曲线法求解线性偏微分方程
嗍
） ：
ｌ
， ，
一
圳故变为 ， 换 逆
。
ａｓ
ｆ
ｖ
，
给 ｌ 两 边 乘 以 （ 得 ： 式 ｆ ）
与 参数 ｔ 间 的 函数 关 系 。 之
特 征 曲线 （ 取 定 ） Ｃ ， 为 任 意 的 一 阶 连 ，．
涉 及到 多 元 函数 的 偏导 数 及 一元 函数导 数 。
若 （， ） ） ｆ Ｙ（， （ 已知 ， Ｙｔ＝厂 ， ， ： ） ｆｚ ｆ 记 （ ＿ （）则 ） （ ）
设 曲线 ｙ ｔ ＝ ｘ ｔ ， （ ｃ ） 取定 ） （ ） （ （ ） ｔ ｏ （ ， ， ｙ ，）
函数 ， 中 ， ） Ｉ ， 其 ， Ｃ 函数 ） ∽
ｅ Ｄ， （１
用 表 Ｄ为 Ｒ 中 一 区 域 ， （ ｃＤ； 复 合 函 数 做 正 则 曲 线 ｒ， Ｓ 示 曲 线 的 弧 长 变 量 ， 且 ， ） 则 １ ｒ的 参 数 方 程 为 ： ｌ（ ｆ 对 ｔ求 导 有 ： 厂 （） ） 尹＝ ） （ ） ｚ （ Ｏ） （） （ ＾ ＝ ， （ ） ｆ， ， ， ） ）
求 其逆 变 换（） 入（） 即得 原 方程 （） ４代 ６式 １
的解。
２ 一阶线性 偏微 分方程的求解及例
２ １常系 数方 程 ．
１ ２几 何意 义 （ Ｒ 中 问题为 例 ） ． 以
设 ｆ： （，， ∈ ） Ｄ ∈Ｒ 。 Ｄ 内 ｆｘ ｚ Ｃ（ ， Ｙ ） Ｄ ’在
‘ 『 １ ＝ （ｙ ， ＋２ ３ ｇｘ ）系数 『 ＋ ｕ ， ，不全为零。 ，
摘 要： 特征 曲线法 是一 种求 解线性 偏微 分方程 的基 本方 法 ． 由于 与几何 背景 相联 系 ， 易理 解掌握 ． 但 不 本文 总结 了用特征 曲线求解一 阶线性偏微 分 方程的 思想 方法 ， 在此基 础上 ， 出特 征 曲线法在 一类 二阶 常 系数 线性偏微 分 方程求 解 问题 上的推 广 。 给 关键 词 ： 偏微 分方程 变量替换 特 征 曲线 方向导数 曲纹坐标 中 图分 类 号 ： １ Ｏ ２ ７ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： ６ ３ ９ （ ０ ｏ （ ） ０ １ －０ １ － ７ １ ２ １ ） ２ ａ一 ２ ７ ２ ７ ２ ｏ
特征值方法
(1) (2)
x 3t , x. 则 ut u t u t u (3) u 0 3u ,
ux u x u x u 1 u 1 u u
即 ut 3u , ux u u , 代入 有
2 2 2 2
此解法关键之处是找到直线 x 3t c ，偏微分方程转化为 常微分方程。直线 x 3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
x2 8t 2 5xt
ut 3ux x t ,0 t , x 2 u ( x ,0) x , x
方程（1）的左端
(1) (2)
ut 3ux
是 u ( x, t ) 的一阶偏导数的线性
组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为 u ( x, t ) 关于t的全 导数。 du
dt 在这条直线 x 3t c 上，即 x c 3t ，在这个直线上，上述
定解问题转化为
ut u xx x t
(1) (2)
dx x 3 t c 特征线 是方程 3 0 的解，方程 dt dx 3 0 称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。 dt
沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 征线法的基本思想。 对定解问题（1）（2）
ut 3ux x t ,0 t , x 2 u ( x ,0) x , x
2 2 1 u g ( ), 9 9 2 2 1 u ( , ) g ( ), 9 9
其中，g () 为一个可微函数。 由
由方程（2）
2 2 1 u ( x, t ) x ( x 3t ) x g ( x 3t ), 9 9
利用特征线法求解方程u+b·Du+cu=f（x,t）的初值问题
利用特征线法求解方程u+b·Du+cu=f（x,t）的初值问题利用特征线法求解方程u +b·Du+cu=f（x，t）的初值问题【摘要】本文研究具有初值条件u（x，0）=g（x）的方程u+b·Du+cu=f（x，t）的初值问题。
方程u+b·Du+cu=f（x，t）是具有常系数的一阶非齐次线性偏微分方程，这类方程在变分法、质点力学和几何学中都出现过，因此研究这类方程的目的是更好地应用于这些学科。
求解这类方程的最基本方法是特征线法。
它是把偏微分方程转化为常微分方程或常微分方程组，通过求解这些常微分方程得到所要求的解。
本文分别运用特征线法以及特征线法的特殊情况求解了该初值问题，两种方法所得到的解是一致的，都是u（x，t）=g（x-bt）（x+b（u-t），u）du。
因此，有了通过特征线法所求得的该初值问题的解的公式，我们可以更好地研究相关的一些实际问题。
【关键词】线性偏微分方程；初值问题；特征线法；常微分方程0 引言1）初值问题其中，c∈R1，b=（b1，b2，…，bn）∈R都是常数。
x=（x1，x2，…，xn）是n维空间变量，t是时间变量（x，t）是已知函数。
2）分析上述初值问题中的方程（1）是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。
实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。
例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。
一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。
偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法
偏微分方程掌握偏微分方程的基本概念与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，PDEs）是数学中一种重要的方程类型，在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
掌握偏微分方程的基本概念与解法对于深入理解和应用相关领域的知识至关重要。
本文将介绍偏微分方程的基本概念，并详细讨论几种常见的偏微分方程解法。
一、偏微分方程的基本概念在介绍偏微分方程的解法之前，我们有必要先了解一些偏微分方程的基本概念。
偏微分方程是包含多个未知函数的方程，这些未知函数的导数以及它们本身都可能出现在方程中。
偏微分方程通常用来描述物理、化学、工程等自然科学领域中的过程和现象。
常见的偏微分方程类型包括椭圆型方程、双曲型方程和抛物型方程。
椭圆型方程常用于描述稳态问题，如静电场分布；双曲型方程常用于描述波动传播过程，如声波、电磁波的传播；抛物型方程常用于描述热传导、扩散以及其他变化速度较慢的现象。
二、偏微分方程解法1. 分离变量法分离变量法是解偏微分方程中常用的一种方法。
它适用于一些特定的偏微分方程类型，如线性齐次方程。
分离变量法的基本思想是假设待求解函数可以表示为若干个单变量函数的乘积形式，然后将原方程中的导数进行分离，并且令各个单变量函数分别等于常数。
通过求解这些常数，再将各个单变量函数组合起来，得到最终的解函数。
2. 特征线法特征线法常用于解决双曲型方程。
该方法通过分析偏微分方程的特征线和特征曲面来求解方程。
首先，通过特征曲线对自变量进行参数化，并将其代入原方程，得到关于未知函数的常微分方程（ODE）。
然后，通过求解此常微分方程，得到未知函数的一般解。
最后，通过特征线与边界条件的关系确定未知常数，得到特定的解。
3. 变换法变换法是通过对偏微分方程进行变量变换，将原方程转化为更简单的形式，从而求解方程的方法。
常见的变换方法有齐次化变量、特征变量法等。
通过适当的变量替换，可以将原方程转化为常微分方程、分离变量的偏微分方程或者恒定系数的变系数常微分方程。
偏微分方程求解算法研究及应用
偏微分方程求解算法研究及应用偏微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。
从最简单的热传导方程到流体力学中的Navier-Stokes方程，这些方程的求解能够获得很多实际问题的解答。
随着计算机技术的飞速发展，可解决的偏微分方程问题的范围和复杂性也得到了提高。
在本文中，我们将讨论偏微分方程的一些求解算法及其应用，以及这些算法如何在实践中发挥作用。
第一部分：解析方法解析方程的基本思想是寻找满足特定条件的解析表达式。
在偏微分方程的求解中，常见的解析方法包括分离变量法、变量参数法和特征线方法等。
1.1 分离变量法分离变量法是解决大多数运筹学、物理学和工程学问题的重要方法。
它的基本思想是，假设找到一种函数形式，使得偏微分方程中的某些变量可以单独表示，这样就可以得到关于单个变量的一组普通微分方程。
通过求解这些方程，就可以获得原始问题的解。
例如，考虑一个双曲型偏微分方程：$$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0 $$我们可以假设$u(x,t)$的解有如下形式：$$ u(x,t)=X(x)T(t) $$将它代入原方程得到：$$ \frac{X''}{X}=\frac{T''}{T}=-\lambda $$其中$\lambda$是分离常数。
然后，我们可以解出关于$X$和$T$的两个普通微分方程：$$ X''+\lambda X=0, T''+\lambda T=0 $$这两个方程都是熟悉的谐振动方程，其解可以表示为正弦波和余弦波的线性组合。
因此，原方程的通解可以写成：$$ u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}(A_n\cos(\sqrt{\lambda_n}x)+B_n\sin(\sqrt{\lambda_n}x))(C_n\cos(\sqrt{\lambda_n}t)+D_n\sin(\sqrt{\lambda_n}t)) $$其中，$A_n,B_n,C_n$和$D_n$是一些常数，根据边界条件和初始条件来确定。
数学物理方程--- 6 特征线法
第 六 章 特 征 线 法
定义1
考虑下面一阶线性微分方程
aut bu x cu f
数 学 物 理 方 程
4
第 方程 dx 六 a b 0 5 章 dt 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。 特 征 注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数 线 法 c，即为特征线的初始值x (0) 。当参数 c x(0) 在 x 轴滑动时，
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。 为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
b t 其中 a 、 、c 和 f 均为自变量 x 、 的函数。
x(0) , 变化相当于 x (0) 在 x 轴上滑动。
西安交通大学 数学与统计学院
例2 求解线性方法柯西问题 ut ( x cos t )u x 0, t 0, x (6) 1 (7) u ( x, 0) 1 x 2 , x 数 第 学 dx x cos t 0, 而过点 ( , 0) 六 物 解 方程(6)式的特征方程为 章 dt 理 方 的特征线就是下面问题的解 特 程 dx 征 x cos t 0, t 0 线 dt 法 x(0) 解之可得 x esin t。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为 du dt ut ( x cos t )u x 0, t 0 u (0) u ( , 0) 1 1 2 西安交通大学 数学与统计学院所以(11)源自第 六 章 特 征 线 法
1 1 t u ( x, t ) ( x t 1) e ( x t 1)e 2t 2 2
微分方程PPT(罗兆富等编)第七章 特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法
(7.1.05) (7.1.04)
(7.1.06)
所以不妨设
是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分.
因为函数a1, a2, … , an 不同时为零, 准形式的常微分方程组
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a an a这样特征方程组 an ( x 等价于下面标 1 ( x1 , x2 ,, xn )u x1 0. 2 ( x1 , x2 ,, xn )ux2 (7.1.03) 1 , x2 ,, xn )u xn 0
a1 ( x1 , x2 ,, xn , u )Vx1 a2 ( x1, x2 ,, xn , u)Vxi an ( x1, x2 ,, xn , u)Vxn
b( x1 , x2 ,, xn , u )Vu 0
(7.1.15)
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14
结束
a1 ( x1 , x2 ,, xn , u )u x1 a2 ( x1 , x2 ,, xn , u )u x2 an ( x1, x2 ,, xn , u )u xn
1 ( x1 , x2 , , xn ) C1 2 ( x1 , x2 , , xn ) C2 n 1 ( x1 , x2 , , xn ) Cn 1
(7.1.04)
我们的目标是通过求(7.1.03)的首次积分(7.1.04)来求 一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解. 偏微分方程 (7.1.01) (7.1.03)的首 dx1 dx2的解与它的特征方程 dxn (7.1.03) a1 ( x1, x2 ,, xn ) a2 ( x1, x2 ,, xn ) 次积分之间的关系有如下的定理 . an ( x1, x2 ,, xn )
一阶偏微分方程的特征线法
一阶偏微分方程的特征线法魏雪蕊(绍兴文理学院数学系 , 浙江绍兴 312000摘要 :介绍了一阶偏微分方程特征线法的由来、几何意义及求解的基本思想 .关键词 :一阶偏微分方程 ; 特征方程 ; 特征线中图分类号 :G642. 41 文献标识码 :A 文章编号 :1008-293X(2010 07-0095-030 引言在大多数常微分方程和偏微分方程教程中 1-5 , 一阶偏微分方程通常受到简单的处理 , 原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程 . 实际上 , 一阶偏微分方程在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用 . 例如在种群分析中 , 个体 (不必是生物体 , 如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合根据统计样本随着时间的变化会变得不合格 , 因此研究起来有着实际意义 6 . 利用特征方程转化成常微分方程组是求解一阶偏微分方程的常用方法 1-2, 7-10 , 我们称其为特征线法 . 但一般教材中只给出了特征方程与特征线的定义 , 并没有讲明这样定义与求解的根据 , 学生看到的只是生硬的定义 , 不明就里 , 实际教学效果并不好 . 本文指明特征方程与特征线的由来 , 以及特征线的几何意义 , 可以帮助学生更好掌握此法 .1 一阶偏微分方程的特征线法的定义与几何意义1. 1 一阶变系数线性偏微分方程a(x , y u x +b (x , y u y +c(x , y u =f (x , y , u =u(x , y(1 其中 a, b , c 和 f 是给定的 x 和 y 的 C 1函数 .定义 1 称 d x =a (x , y , y (0 =c,a(x , y ! 0为式 (1 的特征方程 , 特征方程的解为式 (1 的特征线 .为简单起见 , 对于一阶常系数线性偏微分方程au x +bu y +cu =f (x , y , u =u(x , y , a 2+b 2>0,u x =0= (y ,(2 其中 a, b 和 c 是给定的常数 , f (x , y 为连续函数 , (y 连续可微 . 事实上 au x +bu y =u x i +u y j ∀ a i +b j = u ∀ a i +b j . au x +bu y 即为 u 在向量 a i +b j 方向的方向导数 . 对 xy -平面引入新坐标系 , 使新坐标轴之一指向 a i +b j 方向 , 则 au x +bu y 沿此新坐标轴关于另一个坐标轴的偏导数为零 , 这样即可简化方程 , 转化成为常微分方程 .方程 (2 的特征线为 y =a +c, 沿特征线 y =y (x , t , u =u(x , y (x , c 满足如下常微分方程第 30卷第 7期 2010年 3月绍兴文理学院学报 JOURNAL OF S HAOXING UNIVERSITY Vol. 30No. 7Mar. 2010收稿日期 :2009-12-29( , , , , . :d x =+d x=+a=f -cu,u x =0=u (0, c = (c ,求解得到 u =u(x , c , 将 c =y -a代入 , 消去参数 c, 得到原问题的解 u =u(x , y .对于更一般的变系数一阶偏微分方程a(x , y u x +b(x , y u y = u ∀ a(x , y i +b(x , y j ,令 g (x , y =a(x , y i +b (x , y j , 则 g(x , y 是平面上的向量场 . 把 g (x , y 看作 xy -平面上流体流 . 特征线的几何意义 :g (x , y ∀ u 是 u 沿向量 g (x , y 的切线方向的方向导数 , 取与 g(x , y 的切线平行的直线 , 即满足切线为 d x =a(x , y的曲线作为新坐标线 . 在曲线上的每 (x 0, y 0 点 , 向量 g (x 0, y 0 =a (x 0, y 0 i +b(x 0, y 0 j 都与曲线相切 , 沿此坐标线关于另一个坐标轴的变量的偏导数为零 , 转化为常微分方程求解 .例 1 求解下列 Cauchy 问题2u t =u x -xu , x #R , t >0u t =0=2x exp22. x #R解 d t=-2 x (0 =c , 解 x (t, c =-2t +c 为方程的特征线 , 其中 c 为常数 .沿着特征线 x =x (t, c , u =u(x (t, c , t 满足如下常微分方程 d t =+d t =-2=-2u ,u(x (0, t , 0 =u(c, 0 =2c exp2 2 ,的解为u (x (t, c , t =2c exp 8 t 2-2ct + 2 2 .将 c =x + 2 t 代入上式 , 得到解 u(x , t =2(x +2t exp ( 2 2 .1. 2 高维的一阶线性偏微分方程以三维一阶线性偏微分方程为例 :a(x , y , z u x +b(x , y , z u y +c(x , y , z u z +d (x , y , z u =f (x , y , z , u =u(x , y , z , (3 其中 a, b , c, d 和 f 是给定的 C 1函数 .定义 2 称d t =a(x (t , y (t , z (t ,d t=b(x (t , y (t , z (t ,d t=c(x (t , y (t , z (t为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 . 定义 2∃称a (x (t , y (t , z (t =b (x (t , y (t , z (t=c(x (t , y (t , z (t(假设 a(x , y , z ! 0, b (x (t , y (t , z (t ! 0, c(x (t , y (t , z (t ! 0为方程 (3 的特征方程组 , 特征方程组的解为 (3 的特征曲线 .方程 (3 特征线的几何意义 :由特征方程组的解依赖于两个任意常数 , 设为和 ! , 解可写作 y =y (x ; , ! , z =z (x ; , ! . 对固定的和 ! , 随着 x 变化 , 由点 (x , y (x ; , ! , z (x ; , ! 绘出的曲线是特征曲线 . 设 =A(x , y , z , ! =B (x , y , z , 其中 A, B 为某函数 . 特征曲线是两曲面的交线 , 做坐标变换 , 使特 (x ,绍兴文理学院学报 (自然科学第 30卷分方程 .定义 2中与常微分方程课程中特征方程定义一致 7-9, 这样将一阶偏微分方程转化为常微分方程组处理 . 一阶偏微分方程理论上局部可转化为一阶常微分方程组 .例 2 9求解初值问题x +y +z =0,当 z =1时 , f =xy ,的通解 , 这里 a, b 为常数 .解特征方程 ==z, 得到 x -y =c 1, 2y -ln z =c 2.偏微分方程的通解为 f = (-, 2-ln z .又当 z =1, f =xy , 得到 f = (x -y , 2y =xy , 变量代换 , 整理得到f =4(2y -ln z 2 (- +2(2y -ln z 2.对于一阶拟线性偏微分方程 , 特征线法同样适用 .参考文献 :1 姜礼尚 . 数学物理方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 1996.2 纳克莱∀ H ∀亚斯马 . 偏微分方程教程 M . 北京 :机械工业出版社 , 2005.3 陈祖墀 . 偏微分方程 M . 合肥 :中国科学技术大学出版社 , 2002.4 Harold Levine. 偏微分方程 M . 葛显良 , 译 . 北京 :高等教育出版社 , 2007.5 (美约翰 . 偏微分方程 M . 朱汝金 , 译 . 北京 :科学出版社 , 1986.6 Bleekcer David. 基础偏微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 2006.7 王高雄 . 常微分方程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1983.8 管志成 . 常微分方程与偏微分方程 M . 杭州 :杭州大学出版社 , 2001.9 丁同仁 . 常微分方程教程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1991.10 姜礼尚 . 应用偏微分方程讲义 M . 北京 :高等教育出版社 , 2008.Method of Characteristics of theFirst-order Partial Differential EquationsWei Xuerui(Department of Mathematics, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang, 312000Abstract:By the characteristic equation, the first-order partial differential equations translate into the syste m of ordi nary differential equations. This is called the method of characteristics. The present paper introduces the origin, the geo metric significance and the fundamental idea of solving the method of characteristics.Key words:first-order partial differential equations; characteristic equation; method of characteristics第 7期魏雪蕊 :一阶偏微分方程的特征线法。
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相 应 地 ，（３）式 的 解 记 为 ：
U (t ) = u ( x (t , ξ ,η ), y (t , ξ ,η ), z (t , ξ ,η )) （６）
不相交。 在整个区域 D 内， 所有的特征曲线 “平行” 地布满 D 。 此时方程（１）的未知函数的 v 一阶偏导数线性组合在各特征曲线 γ 上只随 换 t 的变化而变化，从而可转化为对 t 的导数。 句 话 说 ， 将 ( x, y , z , u ) 所 在 区 域 ( D, u ) ⊂ R4 沿 v v 曲面 (γ , u ) （即 (ξ ,η ) 取定）剪开，在曲面 (γ , u ) 内未知函数是参数 t 的一元函数。 方程（１）在此 曲面上就是一常微分方程。
5x − 2 y − 2( x7+ y ) x+ y )e − 1) + C1 ( ，其 7 7 中 C1 为 任 意 的 一 阶 连 续 可 导 函 数 。 再用特征曲线法解方程： v = 7e
− x+ y 7
于 是 ， 原 方 程 变 为 U t + L3U = G (t ) ， 其 中 U = u(x(t,ω), y(t,ω)) ， L3 = l3(x(t,ω), y(t,ω)) ，
学 术 论 坛
２０１０ ＮＯ．０４ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
科技资讯
用特征曲线法求解线性偏微分方程
王建鹏 １ 林毅 ２ 李祯 ３ （ １ ． 河海大学常州校区数理部 江苏常州 ２ １ ３ ０ ２ ２ ； ２ ．常州机电职业技术学院基础部 江苏常州 ２ １ ３ １ ６ ４ ； ３ ． 陕西省杨凌区西北农林科技大学理学院应用数学系 陕西杨凌 ７ １ ２ １ ０ ０ ） 摘 要 ： 特征曲线法是一种求解线性偏微分方程的基本方法． 但由于与几何背景相联系， 不易理解掌握． 本文总结了用特征曲线求解一 阶线性偏微分方程的思想方法，在此基础上，给出特征曲线法在一类二阶常系数线性偏微分方程求解问题上的推广。 关键词：偏微分方程 变量替换 特征曲线 方向导数 曲纹坐标 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号 ：１６７２－３７９１（２０１０）０２（ａ）－０２１７－０２
C1 (ω ) = ω , C2 (ω ) = 0 ， 即 得
x′(t ) f x + y′ (t ) f y + z′(t ) f z =
dF (t ) dt
显然， 利用此式我们可将 f 的各一阶偏 导 数 的 线 性 组 合 转 化 为 某 一 元 函 数 F (t ) 的 导数。 考虑一阶线性偏微分方程： l1u x + l2u y + l3 u z + l4 u = g ( x , y, z ) （１） 其中 l1 , l2 , l3 不 全 为 零 。 若对于某变元， 有： x′(t ) = l1 , y ′(t ) = l2 , z ′(t ) = l3 （２） 则： U ′(t ) + L4 (t )U (t ) = G (t ) 。 （３） 其 中 U(t) = u(x(t), y(t), z(t)) ， L4(t) =l4(x(t), y(t), z(t)) ，
（２） 得到。 z = z (t ) 可 通 过 解 常 微 分 方 程 组 （ ３ ）式 是 一 线 性 常 微 分 方 程 ，易 用 系 数 变 易 法或积分因子法求解。 为 求 解 方 程（１）的解，注 意 到 变 换
x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) 并 不 可 逆 ， 引 入 另 外 x = x(t , ξ ,η ) y = y (t , ξ ,η ) 两个参数 ξ ,η 使 变 换 为可逆变 z = z(t , ξ ,η ) 换， 记其逆变换为： t = t ( x, y, z ) ξ = ( x, y, z )
２ ． １ 常系数方程 l1ux + l2uy + l3u = g(x, y) ，系数 l1 , l2 不全为零。
D 为 R 3 中 一 区 域 ，且 γ ( I ) ⊂ D ； 则 复 合 函 数 v f (γ (t )) 对 t 求 导 有 ：
v
v 设曲线 γ (t , ω ) = ( x (t , ω ), y (t , ω )) （ ω 取定）
因此，函数的一阶偏导数的线性组合 与沿某正则曲线切向量的方向导数（也即 函 数 在 该 曲 线 上 对 弧 长 的 导 数） 成 比 例 ， 并 且等于函数在该曲线上对某参数的导数。 而此正则曲线即为以线性组合的系数向量 为切向量的曲线，相应的参数变化时点
( x, y, z) 即在 R 3 中 描 绘 出 该 曲 线 。
∂( x, y) l1 1 因 ∂(t, ω ) = l 0 = −l2 ≠ 0 ， 故 逆 变 换 为 2
t=
y l ω = x− 1 y。 于是 l2 ， l2
l1ux + l2 u y = l1 (uω ωx + ut t x ) + l2 (uω ω y + ut t y )
= (l1ω x + l2ω y )uω + (l1t x + l2t y )ut = ut
１ 基本思想
１ ． １ 偏－常微分方程转化 设 γ (t ) = ( x (t ), y (t ), z (t )), t ∈ I 为 一 向 量 值 函 数 ，其 中 x(t), y(t), z(t) ∈C1(I ) ，函 数 f (x, y, z) ∈C1(D) ，
v
２ 一阶线性偏微分方程的求解及例
易知（５）式本质上仍为常微分方程组， 可解得：
x = x(t , ξ ,η ), y = y (t , ξ ,η ), z = z (t , ξ ,η )
求其逆变换（４）代入（６）式即得原方程（１） 的解。 １ ． ２ 几何意义（ 以 R 3 中问题为例） 设 f = f ( x, y, z ) ∈ C1 ( D) ， D ∈ R 3 。 在D内 做正则曲线 Γ ，用 s 表示曲线的弧长变量， 则 Γ 的参数方程为： v v γ = γ (s) = (x(s), y(s), z(s))= (x(s(t)), y(s(t)), z(s(t)))t ∈ I， 其中 t 为任意参数， s = s (t ) 为弧长变量 与 参 数 t 之间的函数关系。
涉及到多元函数的偏导数及一元函数导数。 若 x′(t ), y′ (t ), z′(t ) 已 知 ， 记 F (t ) = f (γ (t )) ， 则 ：
v
v v 作 函 数 ϕ (τ , s) = f (γ ( s ) + τγ ′( s )) ， 则 f
特 征 曲 线 （ ω 取 定 ） ， C1 , C2 为 任 意 的 一 阶 连 续 可 微 函 数 ， 不 妨 设 l2 ≠ 0 ， 取
x = l1t + ω 。 y = l 2t
给 上 式 两 边 同 乘 以 s′(t ) 得 ：
dγ ∂f df (γ (s)) df (γ (s( t))) s′(t ) = s ′(t ) = ∇f (γ (s(t )))R = ds dt dt ∂γ ′() s
v v
df γ s = ∇f (γ()) s Rγ′() s= ds
学 术 论 坛
cv x + dv y = acu xx + (bc + ad )u xy + bdu yy = l1u xx + l2uxy + l3u yy = g ( x, y )
方 程 cvx + dv y = g ( x, y ) （ v = v( x, y ) ） 和 构 造 方 程 2vx + 5vy + 2v = x + y （ v = v ( x, y ) ） 和 3u x + u y = v （ u = u ( x, y ) ）。 用特征曲线法解方程 2vx + 5vy + 2v = x + y 得
为特征曲线的参数方程。
t = t(x, y) ∂(x, y) 当 ∂(t,ω) ≠ 0 时， 求 得 逆 变 换 为 ω =ω(x, y) ，
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２１７
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２０１０ ＮＯ．０４ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
使得
v x = l1t + C1 (ω ) ∂γ (t, ω) = (l1 , l2 ) 。 解得 y l t C 为 ∂t = 2 + 2 (ω )
v df ( r (t )) v v v = f x ( r (t )) x′(t ) + f y ( r (t )) y′(t ) + f z ( r (t )) z ′(t ) dt 上式中左边是对一元函数求导， 而右边
l1 ( x , y )u x + l 2 ( x, y )u y + l3 ( x, y )u = g ( x, y ) ，
l1 , l2 不 全 为 零 函 数 。 v 设 γ (t , ω ) = ( x(t , ω ), y (t , ω )) 曲线（ ω 取定） 使得
v x = x(t , ω ) ∂γ (t,ω) = (l1( x, y), l2 ( x, y)) ，解得 ∂t y = y (t , ω )
dγ ′ = (l1 , l2 , l3 ) 决 定 的 对 于 方 程 （１），称由 dt 曲线为方程（１） 的特征曲线。 显然方程（ １ ）的特征曲线就是将方程中 未知函数的一阶偏导数线性组合转化为未 知函数对某参数的导数所需的正则曲线， 而参数 t 即为相应的求导变元。 在 区 域 D 内作一组曲纹坐标 (t , ξ ,η ) 并 建 立 其 与 坐 标 ( x, y, z ) 的 一 一 对 应 ， 使 得 当 (ξ ,η ) 取定时，随着 t 的变化， (t , ξ ,η ) 正好描绘 出 特 征 曲 线 ； 而 对 于 不 同 的 (ξ ,η ) 取 值 ， (t , ξ ,η ) 则描绘出不同的特征曲线， 并且彼此