人教版初二数学与三角形有关的角教案

【例 2－1】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β 的度数是 ( )．
A．43°
B．47°
C．30°
D．60°
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC 中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC 是直角三角形． 提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为 180°，如果有两个角的和
的度数还能判定等腰三角形、等边三角形，因此根据三角形内角和定理求出三角形某些角的度
数，不仅可以按角分类判断三角形的形状，还可以按边分类判断三角形的形状，进而了解边的
大小关系．
解技巧 利用三角形内角和确定三角形的形状 运用三角形内角和定理求角判断三角形形
状问题比求角度问题多一步判断，但不同点是：判断形状不是求出所有角，而是根据所给三角
形各内角关系，求某些关键的角，一般是最大角，然后进行判断．
【例 9－1】 一个三角形三个内角的度数之比为 2∶3∶7，这个三角形一定是( )．
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【例 9－2】 在△ABC 中，若∠A＝2∠B＝3∠C，试判断这个三角形的形状．
10．角平分线的夹角与三角形内角关系的探究 根据三角形的内角和，三角形外角与内角的关系及角平分线的意义，可以探究有关角平分 线的夹角问题． (1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点 O，求∠BOC 与∠A 之间的 关系．
第十一章 三角形
第一节：与三角形有关的角
1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于 180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角 和是 180°.如图所示，过 C 作 CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB 转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或 过 A 点作 DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C 转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.
【例 3】 在△ABC 中，∠A 等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B 的两倍， 那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.
4.三角形外角性质 (1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C (或 ∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的 和.
(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻 内角的度数；
②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等． 析规律 三角形外角的性质的理解 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是 由三角形内角和是 180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出 的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具
【例 6－2】 已知在△ABC 中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C＝ __________.
【例 6－3】 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC 是( )．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
【例 6－4】 锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B＋
的定理．如图所示，∠1 是△ABC 的一个外角，在∠1，∠B，∠C 三个角中，知道任意两个角 就可以求出第三个角．
①∠1＝∠B＋∠C； ②∠B＝∠1－∠C； ③∠C＝∠1－∠B. 破疑点 利用三角形外角的性质求一个角的方法 因三角形外角的性质是由三角形内角和 与邻补角定义推出的，所以用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外 角时，应用外角性质更简便，所以要改变原来习惯用三角形内角和定理的思维定式，学会运用 外角性质定理解决问题． 8．三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用 三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重 要地位．同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、 同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证 明角相等． 解技巧 三角形内角和、外角性质的综合运用 因为三角形的内角、外角以及形成的邻补 角、对顶角等都是通过图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于 发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系． 【例 6－1】 在△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.
__________°. (3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.
【例 8－1】 如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2 等于( )．
A．12Байду номын сангаас° C．300°
B．240° D．360°
【例 8－2】 如图，a∥b，则下列式子中值为 180°的是( )．
A．∠α＋∠β－∠γ
有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形． 【例 4】 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则 ∠1＋∠2＝
__________.
5．三角形外角和
(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做 三角形的外角和．
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于 360°. 注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的 和． 【例 5】 如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.
B．∠α＋∠β＋∠γ
C．∠β＋∠γ－∠α
D．∠α－∠β＋∠γ
9.运用三角形内角和定理判断三角形形状
判断三角形形状是三角形问题中经常遇到的题目，而判定三角形形状方法多样，其中运用
三角形内角和定理求角，进而判断三角形形状是最常用的方法．
因为三角形按角分类可以分为三类：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，此外根据角
结论：三角形两内角的平分线所夹的钝角等于 90°加上第三角的一半，即∠BOC＝90°＋12 ∠A.
(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系 如图，在△ABC 中，BP，CP 分别是△ABC 的外角∠DBC 和∠ECB 的平分线，试探究 ∠BPC 与∠A 的关系．
结论：三角形的两个外角的平分线所夹的锐角等于 90°减去第三个角的一半，即∠BPC＝ 90°－12∠A.
6.三角形内角和定理应用 三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是 其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面： (1)已知两角求第三角 这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三 角，比较简单，直接用 180°减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系． (2)已知三角的比例关系求各角 这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份 为 x 度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是 180°列方程求解，然 后再求出每一个角的度数． 有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中 可以直接确定三角形的形状． (3)已知三角之间相互关系求未知角 这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同 的角表示其他两角，然后根据内角和是 180°列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的 数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数． 解技巧 利用三角形内角和求三角形的内角 运用三角形内角和定理求角的度数题目形式 多样，方法也不同，要根据实际灵活运用． 7．三角形外角性质的应用 外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用
为 90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形．
【例 2－2 】 如图所示，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，∠BEF 的平分线与 ∠DFE 的平分线相交于点 P，求证：△EPF 是直角三角形．
3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就 是△ABC 其中的一个外角．
【例 10－2】 如图，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的两条平分线，∠A＝100°，则∠BOC 的度数是( )．
A．80°
B．90°
C．120°
D．140°
【例 10－3】 如图所示，∠ABC 的平分线和△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点 D，∠D ＝30°，∠A 的度数是__________；当∠D＝__________时，∠A 的度数是 90°.
(3)理解与延伸： 因为三角形内角和为 180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中 最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于 60°；③直角三角形两锐角互 余；④等边三角形每个角都是 60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点 三角形内角和定理的理解 三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度 数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例 1】 填 空： (1)在△AB C 中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC 的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°， ∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在 Rt△ABC 中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.