数学思维训练导引 (四年级)
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超越篇 1. 观察下面算式的规律： 2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最 后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？
2. 从 1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样 的乘积全部加起来，总和是多少？ 3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－……+4950.
10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：
(1) 5☺8; (2) 8☺5;
(3) (6☺5)4;
(4)6☺ (54)
拓展篇
1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12);
(2) 31×121－88×125÷(1000÷121).
2. 计算：(1) 555×445－556×444;
4. 爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的 3 倍. 冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了 24 块 砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的 2 倍. 请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？
5. 四年级三班买来单价为 5 角的练习本若干. 如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得 15 本；如果 将这些练习本只分给男生，平均每人可得 10 本. 请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多 少本？此时每人应付多少钱？
8. 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是 131 人；不算丁班，其余三个班的 总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人. 问：这四个班共有多少人？
9. 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满 30 天，工厂将给他一套工作服和 70 玩钱，但由于学校另有 安排，他工作了 20 天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和 20 元钱. 请问：这套工作服值多少元？
8. 小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅. 她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子. 其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样. 第一款桌椅中有 6 把椅子，总价为 700 元；第二款桌椅中 有 9 把椅子，总价为 970 元. 请问：一张桌子的价钱是多少元？
9. 小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了. 小白兔当天吃了 4 个 胡萝卜，小黑兔则一口气吃了 12 个胡萝卜. 小白免往后每天都吃 4 个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得太多， 往后每天只吃 2 个胡萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完. 小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝 卜？
2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44
(2) 222×33+889×66.
3. 计算：(1) 37×47+36×53
(2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.
5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.
8. 求有多少个这样的三位数. 图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？
第 2 讲 和差倍问题三 内容概述 数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数关系变化的问题；需要利用 比较或分组的方法进行分析的问题。 典型问题
兴趣篇 1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的 3 倍. 将它们插入水塘中，插入水中的长度都是 40 厘米，而露出水面部分的总长为 160 厘米. 请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？
(2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.
3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.
4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.
5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.
10. 小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看 50 页，接着每天看 15 页；冬冬则打算每天看 22 页，最 后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？
11. 某食堂买来的大米的袋数是面粉的 4 倍，该食堂每天消耗面粉 20 袋，大米 60 袋，几天后面粉全部用 完，大米还剩下 200 袋，这个食堂买来大米多少袋？
4. 已知平方差公式： a2 b2 (a b) (a b) , 计算： 1002 992 982 972 962 952 942 932 42 32 22 12
5. a b 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：4 3=4+5+6=15, 5 4=5+6+7+8=26, 请计
算：(1) 4 15
(2) 在算式（ 7） 11=1056 中，方框里的数应该是多少？
6. 定义两种运算：a b=a－b+1, a b=a×b+1, 用“ ”、“ ”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不
能用别的计算符号）：7 3 4 5=2
7.现定义四种操作的规则如下： ①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1， 然后除以 2. 例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14. ②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8. （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数 字“8”，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28. （不含数字 7 和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作） ④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成 0. 例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900. (个位是 0 的自然数不能进行“十全十美”操作) (1) 请写出对 4176 依次进行③①③②④操作后的结果： (2) 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？ (3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是
6. 甲班和乙班共 83 人，乙班和丙班共 86 人，丙班和丁班共 88 人. 问：甲班和丁班共多少人？
7. 小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出 60 千克与 90 千克之间的重量，因 此他们三人只能两个两个称重. 如果小悦和冬冬一起称，总重量是 73 千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是 80 千克；阿奇和小悦一起称，总重量是 75 千克，三人的体重分别是多少千克？
2. 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花. 其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的 4 倍，也是蓝花盆数的 3 倍，如果蓝花比红花多 20 盆，请问：学校门口一共有多少盆花？
3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生. 如果只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如果只分给第二群， 则每只猴子可得 15 粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒，试问：现在将这些花生平均分给三群 猴子，每只可得多少粒？
6. 在不大于 1000 的自然数中，A 为所有个位数字为 8 的数之和，B 为所有个位数字为 3 的数之和. A 与 B
的差是多少？
7. 求图 1-1 中所有数的和.
8. 已知平方差公式： a2 b2 (a b) (a b) ，计算： 202 192 182 172 162 152 22 12
6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多 5 人，比丙校多 7 人. 如果乙、丙两校一共有 40 人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？
7. 有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是 83 千克、85 千克和 86 千克. 问：其中最轻的箱子 重多少千克？
指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“8→7，”在
第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少？
9. 规定运算“ ”为：a b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8 10; (2) 10 8.
6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).
7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.
8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的
口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是
12. 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的 3 倍还多 10 颗，售货员将这些糖包 装成相同的小袋，每袋内装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下 170 颗. 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？
超越篇 1. 在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的. 前 20 道题中，小时做对了 15 道；余下的题中，他做对的 题仅是做错的一半，最后一共得了 50 分. 如果满分是 100 分，那么小明做对了多少道题？
4. 养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的 3 倍. 一天有 10 只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数 是是东院的 2 倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？
5. 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸帮冬冬 搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 5 倍；如果冬冬帮爸爸搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬 的 2 倍. 请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
9. 计算：951×949－52×48.
10. 规定运算“ ”为：a b=a+2b－2, 计算：(1) (8 7) 6; (2) 8 (7 6)
11. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果 6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什么数？
12. 规定：符号“ ”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如：3 5=5， 3 5=3 请计算：1 2 3 4 5 6 7 … 100.（运算的顺序是从左至右）
第 1 讲 整数计算综合 内容概述 熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列 的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题
兴趣篇
1. 计算：(1) 121×32÷8;
(2) 4×(250÷8)
(3) 25×83×32×125
10. 一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售. 福特汽车的数量是丰田汽车的 3 倍.如果每周 销售 2 辆丰田汽车和 4 辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下 30 辆福特汽车. 请问：原有丰田汽车和福特 汽车各多少辆？
拓展篇 1. 李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的 2 倍，每件产品需要 5 个甲零件和 2 个乙零件，生产 30 件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？
2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆 零件的个数相等；如果从乙堆中拿出 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍. 问：甲堆原来有 零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？
3. 一个六边形广场的边界上插有 336 面红旗和黄旗. 六边形的每个Leabharlann Baidu点处都插有红旗，每条边上的红旗数 目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗. 已知每条边上黄旗比红旗的 2 倍还多 12 面，那么每两 面红旗间插有几面共旗？
2. 从 1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样 的乘积全部加起来，总和是多少？ 3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－……+4950.
10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：
(1) 5☺8; (2) 8☺5;
(3) (6☺5)4;
(4)6☺ (54)
拓展篇
1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12);
(2) 31×121－88×125÷(1000÷121).
2. 计算：(1) 555×445－556×444;
4. 爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的 3 倍. 冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了 24 块 砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的 2 倍. 请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？
5. 四年级三班买来单价为 5 角的练习本若干. 如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得 15 本；如果 将这些练习本只分给男生，平均每人可得 10 本. 请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多 少本？此时每人应付多少钱？
8. 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是 131 人；不算丁班，其余三个班的 总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人. 问：这四个班共有多少人？
9. 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满 30 天，工厂将给他一套工作服和 70 玩钱，但由于学校另有 安排，他工作了 20 天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和 20 元钱. 请问：这套工作服值多少元？
8. 小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅. 她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子. 其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样. 第一款桌椅中有 6 把椅子，总价为 700 元；第二款桌椅中 有 9 把椅子，总价为 970 元. 请问：一张桌子的价钱是多少元？
9. 小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了. 小白兔当天吃了 4 个 胡萝卜，小黑兔则一口气吃了 12 个胡萝卜. 小白免往后每天都吃 4 个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得太多， 往后每天只吃 2 个胡萝卜，最后它俩同时把自己的胡萝卜吃完. 小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝 卜？
2. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44
(2) 222×33+889×66.
3. 计算：(1) 37×47+36×53
(2) 123×76－124×75。
4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.
5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.
8. 求有多少个这样的三位数. 图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？
第 2 讲 和差倍问题三 内容概述 数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数关系变化的问题；需要利用 比较或分组的方法进行分析的问题。 典型问题
兴趣篇 1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的 3 倍. 将它们插入水塘中，插入水中的长度都是 40 厘米，而露出水面部分的总长为 160 厘米. 请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？
(2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.
3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.
4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.
5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.
10. 小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看 50 页，接着每天看 15 页；冬冬则打算每天看 22 页，最 后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？
11. 某食堂买来的大米的袋数是面粉的 4 倍，该食堂每天消耗面粉 20 袋，大米 60 袋，几天后面粉全部用 完，大米还剩下 200 袋，这个食堂买来大米多少袋？
4. 已知平方差公式： a2 b2 (a b) (a b) , 计算： 1002 992 982 972 962 952 942 932 42 32 22 12
5. a b 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：4 3=4+5+6=15, 5 4=5+6+7+8=26, 请计
算：(1) 4 15
(2) 在算式（ 7） 11=1056 中，方框里的数应该是多少？
6. 定义两种运算：a b=a－b+1, a b=a×b+1, 用“ ”、“ ”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不
能用别的计算符号）：7 3 4 5=2
7.现定义四种操作的规则如下： ①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以 2；如果是奇数，就先加上 1， 然后除以 2. 例如从 16 可以得到 8，从 27 可以得到 14. ②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从 5304 可以得到 50，从 408 可以得到 8. （不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数 字“8”，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28. （不含数字 7 和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作） ④“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成 0. 例如从 111 可以得到 110，从 905 可以得到 900. (个位是 0 的自然数不能进行“十全十美”操作) (1) 请写出对 4176 依次进行③①③②④操作后的结果： (2) 从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到 0？ (3) 一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是
6. 甲班和乙班共 83 人，乙班和丙班共 86 人，丙班和丁班共 88 人. 问：甲班和丁班共多少人？
7. 小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出 60 千克与 90 千克之间的重量，因 此他们三人只能两个两个称重. 如果小悦和冬冬一起称，总重量是 73 千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是 80 千克；阿奇和小悦一起称，总重量是 75 千克，三人的体重分别是多少千克？
2. 学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花. 其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的 4 倍，也是蓝花盆数的 3 倍，如果蓝花比红花多 20 盆，请问：学校门口一共有多少盆花？
3. 动物园的饲养员给三群猴子分花生. 如果只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如果只分给第二群， 则每只猴子可得 15 粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒，试问：现在将这些花生平均分给三群 猴子，每只可得多少粒？
6. 在不大于 1000 的自然数中，A 为所有个位数字为 8 的数之和，B 为所有个位数字为 3 的数之和. A 与 B
的差是多少？
7. 求图 1-1 中所有数的和.
8. 已知平方差公式： a2 b2 (a b) (a b) ，计算： 202 192 182 172 162 152 22 12
6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多 5 人，比丙校多 7 人. 如果乙、丙两校一共有 40 人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？
7. 有三个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是 83 千克、85 千克和 86 千克. 问：其中最轻的箱子 重多少千克？
指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“8→7，”在
第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。
如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的 6 个数的和是多少？
9. 规定运算“ ”为：a b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8 10; (2) 10 8.
6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).
7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.
8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个 7 和 8 组成的
口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是
12. 超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的 3 倍还多 10 颗，售货员将这些糖包 装成相同的小袋，每袋内装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下 170 颗. 请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？
超越篇 1. 在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的. 前 20 道题中，小时做对了 15 道；余下的题中，他做对的 题仅是做错的一半，最后一共得了 50 分. 如果满分是 100 分，那么小明做对了多少道题？
4. 养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的 3 倍. 一天有 10 只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数 是是东院的 2 倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？
5. 爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸帮冬冬 搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的 5 倍；如果冬冬帮爸爸搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬 的 2 倍. 请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？
9. 计算：951×949－52×48.
10. 规定运算“ ”为：a b=a+2b－2, 计算：(1) (8 7) 6; (2) 8 (7 6)
11. 规定运算“ ”为：a b=(a+1) ×(b－2). 如果 6 ( 5)=91, 那么方格内应该填入什么数？
12. 规定：符号“ ”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如：3 5=5， 3 5=3 请计算：1 2 3 4 5 6 7 … 100.（运算的顺序是从左至右）
第 1 讲 整数计算综合 内容概述 熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列 的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。
典型问题
兴趣篇
1. 计算：(1) 121×32÷8;
(2) 4×(250÷8)
(3) 25×83×32×125
10. 一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售. 福特汽车的数量是丰田汽车的 3 倍.如果每周 销售 2 辆丰田汽车和 4 辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下 30 辆福特汽车. 请问：原有丰田汽车和福特 汽车各多少辆？
拓展篇 1. 李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的 2 倍，每件产品需要 5 个甲零件和 2 个乙零件，生产 30 件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？
2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆 零件的个数相等；如果从乙堆中拿出 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍. 问：甲堆原来有 零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？
3. 一个六边形广场的边界上插有 336 面红旗和黄旗. 六边形的每个Leabharlann Baidu点处都插有红旗，每条边上的红旗数 目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗. 已知每条边上黄旗比红旗的 2 倍还多 12 面，那么每两 面红旗间插有几面共旗？