复变函数第4章测验题参考解答

2
防
科
4.2 泰勒展式 4.2.1 解析函数的泰勒展式 4.2.2 零点 （10 道小题）
大
复
变
国
(A)
(−1)n
n =0

z 4 n +1 (B) (2n)!
(−1)n
n =0

z 4 n +1 (2n + 1)!
函
). (C)
(−1)n
n =0

z 2 n +1 (D) (2n)!
4. 设幂级数 (A) 发散 【答案】 D
c ( z − 1)
n=0 n

n
在 z = i 处收敛, 则该幂级数在 z = −i 处 ( (C) 条件收敛 (D) 敛散性不确定
).
(B) 绝对收敛
n=0
n
绝对收敛, 但在圆周上 z − 1 = i − 1 , 幂级数可能收敛也可能发散, 因此在 z = −i 处敛散性 不确定, 故选 D.
an 和 bn 都条件收敛, 则复数项级数 ( an + ibn ) 也条件收敛 n 和 n 都绝对收敛, 则复数项级数 ( n + n ) 也绝对收敛
n=0 n=0 n =0
(C) 若复数项级数
(D) 若复数项级数 【答案】 D

n=0
n 和

b b −0 = . a a
3. 函数 f ( z ) =

e
0
z

d 在 z = 1 的泰勒级数为 (
1 z n + 2 (C) n = 0 ( n + 1)!

).
(A)
1 n +1 1 n z − z (B) n =0 n ! n =0 n !
e ( z − 1) n +1 (D) n =0 n !
科
n b n 1 a 1 + i n +1 n +1 a = 1 , 所以幂级数的收 a + ib 【解析】若 a b , 则 l = lim = lim n + 1 n → n → 1 b a n +1 n n a 1 + i a + ib a
( 2)
n!
变
O
en
n =1

n
, 由正项级数的比值判别法知

n =1

(1 + i )n = n! n =0
C

i
i n
(B) e

n i 2

(C)
1 − ni 1 + ni
(D)
n 1 + 5i 2
n=0
n 都条件收敛, 则复数项级数
(
n =0
n
+ n ) 也条件收敛
【解析】若复数项级数

n 和 n 都条件收敛, 则 ( n + n ) 条件收敛或绝对收敛.
n=0 n=0 n =0



例如:
(−1) n + (−1) n +1 (−1) n (−1) n +1 和 都条件收敛 , 但 是绝对收敛的, 故选 D. n +1 n =0 n =0 n + 1 n =0 n + 1
(B) 为 z 1

).
(C) 为 z 1 或 z 1
(D) 不存在
n n n n cos + i sin cos sin i 2 2 2 + i lim 2 =0, = lim = lim 【解析】 lim n → ln n n → n n → → ln n ln n ln n
O
c
n =1 n
O
cos arg cn 收敛， cos 收敛，从而级数
对收敛. ( ) 【答案】 正确
(−1)n
n =0
【答案】 A
(−1)n 2 2 n (−1)n 4 n +1 【解析】由于 z cos ( z ) = z ( z ) = (2n)!z , 故选 A. n = 0 (2n)! n =0

函
in 1 = ，由比较判断法可知原级数绝对收敛. 2 n 2 n n + (−1) n = 2 n + ( −1)

n
发散, 则幂级数
数 M
( )
c z
n =0 n
O
n
别法可知
zn 在闭单位圆盘 z 1 上一致收敛. 2 n =1 n

的收敛半径为 1.
O
( )
n n=0
【解析】 由于

1 −i 1 − ni n = lim = −1 , 故选 C. 【解析】由于 lim n → 1 + ni n → 1 +i n
O
(D)
(B)
cos in
n =1
函
(C)
(−1) n i n + n2 n =1


【答案】 C 【解析】

复

n =1

(1 + i )n = n! n =0
C
1 1 , } a b
不存在, 故选 D. 7. 函数项级数 (A) 为 z 1 【答案】 A 【解析】 容易验证该函数项级数的收敛域为 z 1 ， 并且在该收敛域上级数为内闭一致收敛， 因此和函数在收敛域上解析，这也是最大解析区域.
zn 和函数的最大解析区域( n n =1 1 − z
( 2)
n!
n
收
敛,故
(1 + i ) n 为绝对收敛, 故选 C. n! n =1
3. 下列结论不正确的是 (
科
大
).
防
(A) 若实数项级数
a
n=0 n=0

n
和
b
n=0 n=0

n
都绝对收敛, 则复数项级数
(a
n=0 n=0

n
+ ibn ) 也绝对收敛
国
(B) 若实数项级数
n
2．幂级数
复Baidu Nhomakorabea
3
n =0

n
n
( z + i ) n 的收敛半径为
变
或者
in 1 = → 0(n → ) ，由此值原序列极限为 0. ln n ln n
.
【答案】 2
国
(−1) n +1 2( n +1) z 2 z (n + 1)4n +1 = 【解析】因为 lim ，由此知原幂级数的收敛半径为 2 ，所以其和函 n → (−1) n 2 n 4 z n 4n
zn 1. 幂级数 2 在闭单位圆盘 z 1 上一致收敛. ( n =1 n
【答案】 正确

)
in 2. 复数项级数 2 是绝对收敛的. n n = 2 n + ( −1)
【答案】 正确 【解析】 由于



n=2

变
3. 设复数项级数 【答案】 正确
n=0
复
c
n
收敛, 而级数
c
n =0
1 (n = 1, 2, n 1 （B）存在函数在 z = 0 处解析且在 z = (n = 1, 2, n 1 （C）存在函数在 z = 0 处解析且在 z = (n = 1, 2, n 1 （D）存在函数在 z = 0 处解析且在 z = (n = 1, 2, n
（A）存在函数在 z = 0 处解析且在 z = 【答案】D 【解析】 f ( z ) =

cn 收敛，说明幂级数 cn z n 在 z = 1 处收敛，由阿贝尔第一定理可知，
n=0 n =0 n =0

大

n =0
防
cn z n 在 z 1 内绝对收敛；而 cn 发散，说明幂级数 cn z 在 z = 1 处发散，即
科
国
c z
n =0 n
n
在 z 1 内发散, 否则



【解析】 由于
n =1
数 M
c
n =1 n
c

n
收敛且 cn = cn (cos arg cn + i sin arg cn ) ，所以
又 0 cos cos arg cn ，于是由 cn cos cn cos arg cn 知

c
n =1
n
绝对收敛.
一、选择题
1. 函数 z cos z 在 z = 0 的泰勒级数为 (
c z
n =0 n

n
在 z = 1 处绝对收敛, 矛盾. 因此
c z
n =0 n

为 1. 4. 若幂级数
cn z n 的收敛半径为 R , 则幂级数 ( Re cn ) z n 的收敛半径也为 R . (
n =0 n =0 1 n 1 n 1 + i z z 的收敛半径为 2. 的收敛半径为 , 而 n n n =0 2 n =0 2
n
的收敛半径为 1, 即收敛圆盘为
z + 1 1 , 因此幂级数在 z = −
i i n 处发散, 从而函数 f ( z ) = (n + 1)( z + 1) 在 z = − 处 2 2 n =0
O
min{
【解析】 由阿贝尔第一定理可知
c ( z − 1)

n
在 z = i 处收敛, 则该幂级数在 z − 1 i − 1 内
1 = a ,同理可得, 当 b a 时, 幂级数的收敛半径为 b , 综上所述, 幂级数的收 l
n =0
(n + 1)( z + 1) n 在 z = −
(B) 的值为 2

大
复
变
1 1 , } a b
O
(D)
). （D）不存在
(C) 的值为 −4
【解析】由达朗贝尔法则可知 , 幂级数
(n + 1)( z + 1)


C
n
【解析】 因为在 z 1 上有
zn 1 1 ( n = 1, 2, ) ，而 收敛，所以由魏尔斯特拉斯判 2 2 2 n n n =1 n
的收敛半径
)
【答案】 错误 【解析】例如,
5.幂级数
zn 在圆周 z = 1 上有无穷多个发散的点. n =1 ln( n + 1)
2
2. 设 a, b 为非零的复数, f ( z ) =
1 在 z = 0 处的幂级数的收敛半径为 ( az + b
(C)
(A)
a
(B)
b
a b
(D)
b a
C

z 4 n +1 n!
).
【答案】 D 【解析】 由于函数 f ( z ) = 径为 −
1 在以 z = 0 为圆心的收敛圆盘内解析, 因此幂级数的收敛半 az + b

(
)
【答案】 错误 【解析】 设 z = e (0 2 ) ，则
i
zn cos n sin n ，由狄利克 = + i n =1 ln( n + 1) n =1 ln( n + 1) n =1 ln( n + 1)
雷判别法知当 0 时，实部和虚部对应的级数均收敛，所以原级数在单位圆周上发散的点 只有 z = 1 . 6. 若级数 且存在常数 (0, ) 使得 arg cn (n = 1, 2, ) ， 则级数 cn 绝 cn 收敛， 2 n =1 n =1
第四章级数 4.1 级数和序列的基本性质 4.1.1 复数项级数和复数序列 4.1.2 复变函数项级数和复变函数序列(*) 4.1.3 幂级数 (16 道小题) 一、选择题 1. 下列复数序列收敛的是 ( (A) ).
【答案】 C
2. 下列复数项级数绝对收敛的是 ( (A)
).
数 M
(1 + i )n n! n =1

5．设 a , b 为正实数，则幂级数 (A) max{ a , b } 【答案】 A
zn 的收敛半径是( n n n = 0 a + ib
函
i 处( 2
n =0
数 M
).
(B) min{ a , b }
(C) max{
敛半径 R =
敛半径为 max{ a , b } , 故选 A.
国
防
6．函数 f ( z ) = (A) 的值为 4 【答案】 D
.
c ( z + i)
n =0 n

n
在 z = 3i 处条件收敛，则该幂级数的收敛半径为
函
数 M
【答案】 0
O
.
1. 复数序列
in 当 n → 时的极限为 ln n
.
O
二、填空题
C
【解析】由阿贝尔定理，幂级数在圆盘 z + i 4 内解析，因此收敛半径 R 4 ，若 R 4 ， 由于幂级数在圆盘 z + i R 内绝对收敛，而 z = 3i 在该圆盘内，因此在该点处幂级数绝对 收敛，与已知条件矛盾. 三、是非题
数在 z 2 内解析，因此 a 的最大值为 2 . 4.若幂级数 【答案】4
防
3.若幂级数
科
【解析】由于 lim n
n →
(−1)n 2 n z 和函数在圆盘 z a 内解析，则 a 的最大值为 n n =1 n 4

大
【答案】 3
n 1 = , 所以该幂级数的收敛半径为 3. 3n 3
n ! ( z − 1)
n =0

1
n +1
0
( z − 1 +)
4.幂级数
n =0

5.下列说法正确的是（
防
n +1 n z 1 4 z = (n + 1)( ) n = = ( z 2) . n 2 z 2 n =0 2 n =0 (1 − ) 2 ( z − 2) 2
科