2020-2021学年高考数学(理)考点：三角函数的图象与性质

2020-2021学年高考数学（理）考点：三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭

⎫3π2，－1，(2π，0)．

(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭

⎫3π2，0，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

⎧⎫

π

概念方法微思考

1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？

提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π

2＋k π(k ∈Z )；

(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．

1．（2019•新课标Ⅱ）若14

x π

=

，234

x π

=

是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= ) A ．2 B ．

32

C ．1

D ．

12

【答案】A 【解析】14

x π

=

，234

x π

=

是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点， 322(

)44T πππ

πω

∴=-==

2ω∴=，

故选A ．

2．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以2π为最小正周期且在区间(4π，)2

π

单调递增的是( ) A ．()|cos2|f x x = B ．()|sin 2|f x x =

C ．()cos ||f x x =

D ．()sin ||f x x =

【答案】A

【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项； ()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项； ()|sin 2|f x x =在

4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2

π

单调递增，可排除B ． 故选A ．

3．（2019•新课标Ⅲ）设函数()sin()(0)5f x x π

ωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下

述四个结论：

①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,

)10

π

单调递增

④ω的取值范围是12

[5

，29)10

其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③

C ．①②③

D ．①③④

【答案】D

【解析】当[0x ∈，2]π时，[

5

5x π

π

ω+

∈，2]5

π

πω+，

()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，

5265

π

ππωπ∴+

<，

∴

1229

510

ω<，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,

)10

x π

∈时，[

5

5

x π

π

ω+

∈，

(2)]10

ωπ

+， 若()f x 在(0,)10

π

单调递增，

则

(2)102ωππ

+<，即3ω<， 1229

510

ω<，故③正确． 故选D ．

4．（2018•新课标Ⅲ）函数2tan ()1x

f x tan x

=+的最小正周期为( )

A ．

4

π B ．

2

π C ．π D ．2π

【答案】C 【解析】函数222tan sin cos 1

()sin 21cos sin 2

x x x f x x

tan x x x ===++的最小正周期为22ππ=， 故选C ．

5．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则( ) A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B

【解析】函数22()2cos sin 2f x x x =-+ 22222cos sin 2sin 2cos x x x x =-++ 224cos sin x x =+ 23cos 1x =+ cos21

3

12

x +=+

3cos25

22

x =

+， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为35

422

+=，

故选B ．

6．（2017•天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕπ<．若5()28f π=，11()08

f π

=，且()f x 的最小正周期大于2π，则( ) A ．23ω=

，12

π

ϕ= B ．2

3

ω=

，1112πϕ=-

C ．13ω=，1124π

ϕ=-

D ．13ω=，724

π

ϕ=

【答案】A

【解析】由()f x 的最小正周期大于2π，得42

T π>， 又5(

)28f π=，11()08f π=，得11534884

T πππ

=-=

， 3T π∴=，则

23π

πω

=，即2

3

ω=

． 2

()2sin()2sin()3

f x x x ωϕϕ∴=+=+，

由525(

)2sin()2838f ππϕ=⨯+=，得5sin()112πϕ+=． 52122

k ππ

ϕπ∴+

=+，k Z ∈． 取0k =，得12

π

ϕπ=

<．

∴23ω=

，12

πϕ=． 故选A ．

7．（2017•新课标Ⅱ）函数()sin(2)3f x x π

=+的最小正周期为( )

A ．4π

B ．2π

C ．π

D ．

2

π

【答案】C

【解析】函数()sin(2)3

f x x π

=+的最小正周期为：22ππ=．

故选C ．

8．（2017•新课标Ⅲ）函数1()sin()cos()536

f x x x ππ

=++-的最大值为( )