2020-2021学年高考数学(理)考点：三角函数的图象与性质
核心热点突破 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查.1.(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x答案 BC解析 由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC.2.(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )＝( ) A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．故选B.3．（2021·全国甲卷）已知函数f （x ）＝2cos （ωx ＋φ）的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ Ｗ．答案 － 3解析 由图象可得，函数的周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入f （x ）＝2cos （2x ＋φ）中，得2×π3＋φ＝2k π＋π2（k ∈Z ），解得φ＝2k π－π6（k ∈Z ），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋2k π－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝－ 3.4．（2020·全国Ⅲ卷）关于函数f （x ）＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称． ④f （x ）的最小值为2.其中所有真命题的序号是 ． 答案 ②③解析 ∵f （x ）＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又 f （－x ）＝sin （－x ）＋1sin （－x ）＝－f （x ），而f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，∴f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称，③正确． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f （x ）<0，④错误．故填②③.5．(2021·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R ). (1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ， 所以y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ()sin x ＋cos x ＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.1．常用的三种三角函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π 周期2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).(2)y ＝sin xy ＝sin ωx ―――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).热点一 三角函数的定义与同角关系式【例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则点P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)如图，以Ox 为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝ ．答案 (1)C (2)1825解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1. 故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．2．应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【训练1】 (1)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( ) A ．－53B.53C ．－52D.52(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255D ．1答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin θ＝5cos(2π－θ)， ∴sin θ＝5cos θ，得tan θ＝5， ∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝251－（5）2＝－52. (2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 热点二 三角函数的图象【例2】 (1)(多选)(2021·唐山二模)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则( )A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则满足条件⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0的最小正整数x 为 ．答案 (1)BD (2)2解析 (1)对于A 选项，曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，(平移变换指的是对“x ”的变换)所以A 选项不正确；对于B 选项，曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得到曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以B 选项正确；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1≠0，所以C 选项不正确；对于D 选项，因为x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为f (x )最小正周期的一半，即π2，所以D 选项正确．故选BD.(2)由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ).点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－7π4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π3＝2cos π3＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0，即(f (x )－1)f (x )＞0，可得f (x )＞1或f (x )＜0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＞12或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，不符合题意；当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0，符合题意，所以满足题意的最小正整数x 为2.探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．这两种变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置．【训练2】 (1)(多选)(2021·湖南名校测评)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋xD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x(2)将曲线y ＝f (x )·cos 2x 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π4个单位长度，得到曲线y ＝cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．1B ．－1 C. 3D.－ 3答案 (1)ABD (2)D解析 (1)由题图可知5π6－π12＝3π4＝3T4(T 为f (x )的最小正周期)， 所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ).由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，得2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 得φ＝2k π＋π3(k ∈Z ).因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此A 选项正确；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以B 选项正确； 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，所以C 选项不正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以D 选项正确.故选ABD.(2)把y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应函数为y ＝－sin(2·2x )＝－sin 4x .依题设y ＝－sin 4x ＝f (x )·cos 2x .因此f (x )＝－2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－ 3.热点三 三角函数的性质【例3】 (1)(多选)(2021·天津适应性考试)已知x 1，x 2是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的两个不同零点，且|x 1－x 2|的最小值是π2，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增B.函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称 C.函数f (x )的图象关于点(π，0)中心对称 D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，函数f (x )的值域是[－2，1]答案 ABD解析 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π＝2πω， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 对于选项A ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，故A 正确；对于选项B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，故B 正确；对于选项C ，f (π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－1≠0，∴f (x )的图象不关于点(π，0)中心对称，故C 错误； 对于选项D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，f (x )∈[－2，1]，故D 正确. 综上，选ABD.(2)(2021·南京调研)已知函数f (x )＝4a cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.①求a 的值及f (x )的最小正周期；②若f (x )在[0，m ]上单调递增，求m 的最大值.解 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4a ×12×12＝1，解得a ＝1.所以f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin x cos x －2cos 2x＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小正周期为π.②由①知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.当x ∈[0，m ]时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2m －π6， 若f (x )在[0，m ]上单调递增， 则有－π6<2m －π6≤π2，即0<m ≤π3.所以m 的最大值为π3.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究三角函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【训练3】 (1)(2021·苏州调研)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数模型.纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，通常我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝sin x ＋12sin 2x ，则下列有关函数f (x )的结论正确的是( ) A.2π不是f (x )的一个周期 B.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.f (x )的最大值为334D.f (x )在[0，2π]上有2个零点(2)(多选)(2021·青岛模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2ωx －1)sin 2ωx ＋12cos 4ωx (ω>0)，则下列说法正确的是( )A.若f (x )的两个相邻的极值点之差的绝对值等于π4，则ω＝2B.当ω＝12时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最小值为－12C.当ω＝1时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递增D.当ω＝1时，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象答案 (1)C (2)BD解析 (1)由于f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋12sin(2x ＋4π)＝sin x ＋12sin 2x ＝f (x )，∴2π是函数f (x )的一个周期，A 不正确；当x ∈[0，2π]时，f ′(x )＝cos x ＋cos 2x ＝cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x ＋cos x －1，由f ′(x )>0，得12<cos x ≤1，所以0≤x <π3或5π3<x ≤2π；由f ′(x )<0，得－1<cos x <12，所以π3<x <5π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3，⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，2π上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3上单调递减，故B 不正确；易知x ＝π3为函数f (x )的极大值点，x ＝5π3为函数f (x )的极小值点，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝－334，f (2π)＝0，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，故C 正确；由f (x )＝sin x ＋12sin 2x ＝0，得sin x ＋sin x cos x ＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－1，当x ∈[0，2π]时，x ＝0或x ＝π或x ＝2π，则f (x )在[0，2π]上有3个零点，故D 不正确.(2)f (x )＝12sin 4ωx ＋12cos 4ωx ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4ωx ＋π4.选项A ：由题意得T 2＝π4，∴12×2π4ω＝π4，∴ω＝1，A 不正确；选项B ：当ω＝12时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，22，B 正确； 选项C ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0时，4x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上不单调递增，C 不正确；选项D ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，所得图象的解析式为g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4，D 正确.故选BD. 热点四 三角函数性质与图象的综合应用【例4】 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω 的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)的单调递减区间. 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4. 又f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，解得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12. (2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3.∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0， 即φ－π3＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练4】 (2021·武汉诊断)已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)，且函数f (x )的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合. 解 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π，得ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π12，k ∈Z }.一、选择题1.(2021·湖南大联考)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝( ) A.513 B.－113C.－513D.113答案 B解析 由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α，所以tan α＝32，从而原式＝sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113. 2.(2021·石家庄模拟)刘徽(约公元225年～295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin 4°的值为( )A.0.052 4B.0.062 8C.0.078 5D.0.069 8答案 D解析 将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°， 因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以90×12×1×1×sin 4°＝45sin 4°≈π， 所以sin 4°≈π45≈0.069 8.3.(2021·北京卷)已知函数f (x )＝cos x －cos 2x ，则该函数为( ) A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为98答案 D解析 函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数.f (x )＝cos x －cos 2x ＝cos x －(2cos 2x －1)＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，又cos x ∈[－1，1]，故f (x )的最大值为98，故选D.4.古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同.数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，图象的解析式是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A.ω＝3，φ＝π6 B.ω＝6，φ＝π3 C.ω＝3，φ＝π4 D.ω＝6，φ＝5π6答案 C解析 由图象知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π－712π＝2π3，∴2πω＝2π3，则ω＝3.又A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋φ＝0，∴74π＋φ＝2k π(k ∈Z )，由φ∈(0，π)，得φ＝π4.5.(2021·广东七校联合体二联)如图，点P 在以AB 为直径的半圆弧上沿着BA ︵运动，AB ＝2，记∠BAP ＝x .将点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 C解析 法一 由题意可知，△P AB 为直角三角形，P A ＝2cos x ，PB ＝2sin x ， 所以P A ＋PB ＝2cos x ＋2sin x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即y ＝f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2，22]，当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时函数f (x )取得最大值22，故排除B ，D ；又函数f (x )的解析式为正弦型，故排除A ，故选C.法二 由题意可知，△P AB 为直角三角形.当x ＝π4时，△P AB 为等腰直角三角形，此时P A ＝PB ＝2，则P A ＋PB ＝22>2，故排除B ，D ； 当x ＝π6时，P A ＋PB ＝2cos π6＋2sin π6＝3＋1，当x ＝π12时，P A ＋PB ＝2cos π12＋2sin π12＝6＋22＋6－22＝6，又22－（3＋1）π4－π6≠（3＋1）－6π6－π12，所以当0<x <π4时，函数f (x )的图象不是直线型，故排除A ，故选C.6.(多选)(2021·南京调研)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图象，则( )A.函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称 B.函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增D.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点答案 ACD解析 将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象. 对于A ，由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称，故A 正确；对于B ，当x ＝π6时，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32≠0，所以函数g (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，故B 不正确；对于C ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，又⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增，故C 正确； 对于D ，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z ).当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6时，x ＝π3，5π6，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点，故D 正确.综上所述，选ACD. 二、填空题7.(2021·八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f (x )＝ . 答案 sin πx (答案不唯一)解析 可考虑三角函数中的正弦型函数f (x )＝A sin ωx (A ≠0)，满足f (－x )＝ －A sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数.根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中任一个，可取f (x )＝sin πx (答案不唯一).8.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数图象与x 轴的交点，点G 在图象上)，则A ＝ ，f (1)的值为 .答案 22解析 依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.9.(2021·山东中学联盟联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则函数f (x )在[0，π]上存在 个极小值点，实数ω的取值范围是 . 答案 1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196解析 根据三角函数图象的平移和伸缩变换，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象可由y ＝ sin x 的图象向右平移π6个单位长度，然后所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω得到，则f (x )的大致图象如图所示.图中O 点右侧的零点依次为π6ω，7π6ω，13π6ω，19π6ω，….由题意，f (x )在[0，π]上有且仅有3个零点，则f (x )在[0，π]上有1个极小值点，且13π6ω≤π<19π6ω，解得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196.三、解答题10.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象重合.(1)求ω和φ的值；(2)若函数h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，求h (x )的单调递增区间及其图象的对称轴方程. 解 (1)由题意得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos(2x ＋φ).∵|φ|＜π2，∴φ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，∴h (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 11.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π或x ＝11π12.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π(易证x 1＋x 2＝11π6不合题意)，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.12.(多选)(2021·济南诊断)已知函数f (x )＝a sin(2x ＋φ1)＋b cos(2x ＋φ2)(f (x )不恒为0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，则下列说法一定正确的是( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12为奇函数 B.f (x )的最小正周期为πC.f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增 D.f (x )在区间[0，2 021π]上有4 042个零点答案 BD解析 f (x )＝a (sin 2x cos φ1＋cos 2x sin φ1)＋b (cos 2x cos φ2－sin 2x sin φ2) ＝(a cos φ1－b sin φ2)sin 2x ＋(a sin φ1＋b cos φ2)cos 2x .令m ＝a cos φ1－b sin φ2，n ＝a sin φ1＋b cos φ2， 则f (x )＝m sin 2x ＋n cos 2x ＝m 2＋n 2sin(2x ＋θ)(其中tan θ＝n m )，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 选项正确；由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以x ＝π6是f (x )的零点，其相邻的2个零点为x ＝π6－π2＝－π3和x ＝π6＋π2＝2π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12不是奇函数，A 选项错误； 零点x ＝π6相邻的两个对称轴方程为x ＝π6－π4＝－π12和x ＝π6＋π4＝5π12，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上可能单调递增，也可能单调递减，C 选项错误； 由于f (x )在[0，π]上的零点有2个，而f (x )的最小正周期为π，所以f (x )在区间[0，2 021π]上有2 021×2＝4 042(个)零点，D 选项正确.故选BD.13.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ . 答案 2解析 由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0.所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx .由g (x )的最小正周期为2π， 可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2. 14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是①ω＝32；②周期T ＝π；③f (x )的图象过点(0，0)；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32. (1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离.解 (1)所满足的三个条件是②③④，∵f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＋m .又f (x )的图象过点(0，0)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32， ∴sin φ＋m ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋m ＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ－sin φ＝32， ∴32cos φ－12sin φ－sin φ＝32，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ－32sin φ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝32.又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π6.又∵sin φ＋m ＝0，∴－12＋m ＝0，∴m ＝12，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. (2)由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＝1， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝12， ∴2x －π6＝2k π＋π6或2x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π6或x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离为π2－π6＝π3.。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
第20讲 三角函数的图像与性质(
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第20讲三角函数的图像与性质（精讲）题型目录一览一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中Zk∈)(1)在正弦函数xy sin=，]20[π，∈x的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22ππππ-，，，，，，，，，．(2)在余弦函数xy cos=，]20[π，∈x的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22ππππ-，，，，，，，，，．π二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．对称与周期(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T ； (2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T ； (3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T ； 2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．题型一 正弦函数的图像与性质【题型训练】一、单选题1．函数(]2sin ,0,4πy x x =+∈的图象与直线2y =的交点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．“αβ=”是“sin sin αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题6．函数()sin 2|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =的交点个数可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3三、填空题题型二 余弦函数的图像与性质2π,π3⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦5π,π6⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦【题型训练】一、单选题1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A．B．C．D．⎫⎪⎭⎛ ⎝二、多选题70)sin18> 三、填空题21m =+，且m ∈题型三 正切函数的图像与性质【题型训练】一、单选题2,3ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭2,23ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭⎫⎪⎭二、多选题三、填空题。
高考数学三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质（1）一、知识梳理1二、例题讲解 1、函数的定义域例1、求下列函数的定义域 （1）xxx x f cos 1tan cos )(+⋅=（2）29)3sin 2lg()(x x x f -++=2、函数的值域例2、求下列函数的值域（1）x x x y cos sin 42cos 31++= （)22(cos 3sin ππ≤≤-+=x x x y ）（2）)3sin(sin π-=x x y （()()1cos 1sin ++=x x y ）(3) 1sin 23sin 4-+=x x y （2cos 1sin 2+-=x x y ）例3、（1）若ππ2<<x ，kk x --=432sin 有意义，求实数k 的取值范围； （2）问a 为何值时，函数()1sin 2cos 3log )(221++=x a x x f 的定义域为R ？例4、已知函数b a x x a x a x f ++-=cos sin 32sin 2)(2的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，值域为[]1,5-，求常熟b a ,的值。
作业：1、 1. 求函数x x y tan log 221++=的定义域；2. 已知函数)0)(63sin(>+-=b x b a y π的最大值为23，最小值为21-，分别求出b a ,的值。
3. 若x x f ωsin 2)(=（10<<ω）在区间]3,0[π上的最大值是2，求ω的值。
4. 求函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--的值域 5. 若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值。
6. 求函数xx xx y cos sin 1cos sin ++⋅=的最大值和最小值。
7. 已知函数a x x x f ++-=sin sin )(2。
重难点11 三角函数的图像与性质—2023年高考数学(原卷版)
重难点11 三角函数的图像与性质1.三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． ②求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式． (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解． ②利用三角函数的图象求解．2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3.函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法五点法设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变 换法由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”多少值．4.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．2023年高考仍将重点考查三角函数的图像与性质及三角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题或中档题，也可以是压轴题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 2．函数ππ4sin 33cos 344y x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是( )A ．6πB ．2πC ．2π3 D ．π33．函数()cos cos 2f x x x =-是（ ） A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为984．函数f （x ）＝sin x 3x （x ∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（ ） A ．[﹣π，﹣56π] B ．[﹣56π，﹣6π] C ．[﹣3π，0] D ．[﹣6π，0] 5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．126．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移512π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向右平移56π个单位长度 7．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（ ） A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │11．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是（ ） A ．f (x )的一个周期为−2π B ．f (x )的图像关于直线x=83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x=6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 12．已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13．记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．14．函数()sin 3cos f x x x =+在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为__________．15．已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题17．已知函数22()sin 3cos 2cos ,f x x x x x x =+∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和严格增区间；（2）函数()f x 图像可以由函数sin2()y x x =∈R 的图象经过怎样的变换得到？18．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.。
2020-2021学年高考数学(理)考点：三角函数的图象与性质
f
11 (
)
0
，得
T
11
5
3
，
8
8
48 84
T 3 ，则 2 3 ，即 2 ．
3
f (x) 2sin( x ) 2sin( 2 x ) ， 3
由
f
5 (
)
2sin( 2
5
)
2 ，得 sin(
5
) 1．
8
38
12
5 2k ， k Z ． 12 2
取 k 0 ，得 ． 12
2
2
3
__________．
【答案】 6
【解析】 y
sin(2x )(
)
的图象关于直线 x
对称，
2
2
3
2 k ， k Z ，
3
2
即 k ， 6
，
2
2
当 k 0 时， ， 6
故答案为： ． 6
17．（2017•新课标Ⅱ）函数 f (x) sin2 x 3 cos x 3 (x [0, ]) 的最大值是__________．
【答案】
2 【解析】 f (x) sin2 (2x) ，
f (x) 1 cos(4x) 1 ，
2
2
f (x) 的周期 T ， 2
故答案为： ． 2
15．（2018•北京）设函数
f
(x)
cos( x
)(
0)
，若
f
(x)„
f
(
)
对任意的实数
x
都成立，则
的
6
4
最小值为__________．
4 cos2 x sin2 x
新高考三角函数知识点归纳总结
新高考三角函数知识点归纳总结三角函数在新高考数学考试中扮演着重要的角色。
掌握三角函数的相关知识点，不仅可以帮助我们解决各类与角度、长度及图形性质相关的问题，还能够为以后的高等数学学习打下坚实的基础。
本文将对新高考中的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和应对考试。
一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的函数，表示角与某一边的长度的比值。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(A) = a/c。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(A) = b/c。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值，即tan(A) = a/b。
此外，我们还需了解三角函数在单位圆上的定义和性质：4. 单位圆的角度：单位圆的半径为1，角度以弧度制表示，其中360°等于2π弧度。
5. 弧度与角度的转换关系：1弧度约等于57.3°，即1弧度≈ 57.3°。
6. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
二、三角函数的基本关系及推导1. 三角函数之间的基本关系：根据三角恒等式，我们可以推导出三角函数之间的基本关系。
例如，sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA等。
2. 三角函数的和差化积公式：通过和差化积公式，我们可以将两个三角函数的和差表示为一个三角函数的乘积。
三、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复。
2. 余弦函数的图像和性质：余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复，与正弦函数的图像相位差90°。
3. 正切函数的图像和性质：正切函数的图像有无数个渐近线，它在每个π的整数倍处有一个垂直渐近线，且在每个π/2的整数倍处有一个水平渐近线。
高考数学：专题二 第一讲 三角函数的图像和性质课件
题型与方法
变式训练 1 已知点
Psin
第一讲
3π 3π 落在角 θ 的终边上，且 ，cos 4 4 ( D ) 5π C. 4 7π D. 4
θ∈[0,2π)，则 θ 的值为 π 3π A. B. 4 4 本
讲 3π π 2 栏 目 解析 ∵sin 4 ＝sin 4＝ 2 ， 开 2 3π π 2 关
答案 A
考点与考题
第一讲
3.(2012· 浙江)把函数 y＝cos 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 然后向左平移 1 个单位长度， 再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是
本 讲 栏 目 开 关
(
)
考点与考题
第一讲
本 讲 栏 目 开 关
解析 利用三角函数的图象与变换求解. 横坐标伸长2倍 y＝cos 2x＋1―――――――→ 纵坐标不变 向左平移1个单位长度 y＝cos x＋1――――――――――→ 向下平移1个单位长度 y＝cos(x＋1)＋1――――――――――→
∴ω＝6n(n∈N*)，
∴当 n＝1 时，ω 取得最小值 6.
考点与考题
第一讲
2.(2011· 天津)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0， π －π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π，且当 x＝ 时，f(x)取 2
本 讲 栏 目 开 关
得最大值，则 A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数 B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数 C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数 D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
2π 由点 M 3 ，－2在函数 f(x)的图象上得， 2π 4π 2× ＋φ＝－2，即 sin ＋φ＝－1. 2sin 3 3
2020年高考数学专题复习三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质2.周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期；函数y＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|. 3．对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( ) (2)若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值是k ＋1.( )(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( ) (4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )(5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D.由3x ≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .故选D.(2019·温州市十校联合体期初)下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．y ＝cos 4x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x4解析：选B.A.y ＝cos 4x 的周期T ＝2π4＝π2，本选项错误；B.y ＝sin 2x 的周期T ＝2π2＝π，本选项正确；C.y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π，本选项错误；D.y ＝cos x4的周期为T＝2π14＝8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y ＝sin 2x. (2019·金华十校联考)函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________．解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]的减区间为________．解析：当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π三角函数的定义域和值域(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．【解析】 (1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(2)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z .【答案】 (1)1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；③(换元法)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；④(换元法)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选B.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－32，3]，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.2．(2019·温州市十校联合体期初)已知函数f (x )＝2cos x ·(sin x －cos x )，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________，f (x )的最大值是________． 解析：f (x )＝2cos x (sin x －cos x ) ＝2cos x sin x －2cos 2x ＝sin 2x －1－cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1. 当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π4－1＝0.由正弦函数的图象和性质可得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最大值为1.所以f (x )的最大值为2－1. 答案：02－1三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题．主要命题角度有：(1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数； (3)利用三角函数的单调性比较大小；(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．(见本节例1(1)及跟踪训练T1)角度一 求已知三角函数的单调区间(2017·高考浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．角度二 已知三角函数的单调区间求参数函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，则常数φ的值可能是( )A ．0B ．π2C ．πD ．3π2【解析】 法一：结合选项，当φ分别取选项中的值时，A ：f (x )＝sin x ；B ：f (x )＝cos x ；C ：f (x )＝－sin x ；D ：f (x )＝－cos x ．验证得D 选项正确．法二：⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3⊆f (x )的递增区间，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－φ＋2k π，π2－φ＋2k π，⇒－5π6＋2k π≤φ≤－π6＋2k π(k ∈Z )，k ＝0，选项中无值符合；k ＝1，7π6≤φ≤11π6，φ＝3π2符合； k ＝2，19π6≤φ≤23π6，选项中无值符合．可知φ的可取值逐渐增大，故只有D 选项符合题意．【答案】 D角度三 利用三角函数的单调性比较大小已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上递增，所以c <a <b .【答案】 B(1)求三角函数单调区间的两种方法①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．(2)利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．(3)利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．1．(2019·浙江宁波质检)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪[6，＋∞)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：选D.当ω>0时，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，由题意知π4ω≤－π2，所以ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(]－∞，－2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ( )A ．－1B ．－22C ．22D ．0解析：选B.由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin(2x －π4)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． 解析：(同增异减法)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )三角函数的奇偶性、周期性及对称性(1)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关(2)已知ω>0，f (x )＝1＋tan ωx 1－tan ωx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则ω的最小值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2(3)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 【解析】 (1)由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.(2)因为f (x )＝1＋tan ωx 1－tan ωx ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋π4， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋tan ⎝ ⎛ω2π3－ωx ＋ωπ3＋⎭⎪⎫π4＝0， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ－π4，所以π4＝－ωπ－π4＋k π，(k ∈Z )，ω＝－12＋k ，(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝1时，ω取最小值为12，故选A.(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增． 【答案】 (1)B (2)A (3)D三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．[提醒] 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．1．(2019·舟山市普陀三中高三期中)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4， 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋φ＋π4－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋φ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4，所以－2x ＋φ＋π4＝2x ＋φ＋π4＋2k π，或－2x ＋φ＋π4＋2x ＋φ＋π4＝π＋k π，即x ＝－k π2，k ∈Z (舍)或φ＝π4＋k π2，k ∈Z . 因为|φ|<π2，所以φ＝π4.2．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝sin 2x ·(1－2sin 2x )＋1，则f (x )的最小正周期T ＝________，f (T )＝________．解析：由题意得，f (x )＝sin 2x cos 2x ＋1＝12sin 4x ＋1，所以最小正周期T ＝2π4＝π2，f (T )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.答案：π213．已知函数f (x )＝sin x 的图象与直线kx －y －k π＝0(k >0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3，则tan （x 2－x 3）x 1－x 3＝________．解析：如图所示，易知x 2＝π，x 1＋x 3＝2x 2＝2π，则k ＝sin x 3－0x 3－x 2＝sin x 312（x 3－x 1），又直线与y ＝sin x 相切于点A (x 3，sin x 3)， 则k ＝cos x 3， 则sin x 312（x 3－x 1）＝cos x 3⇒tan （x 2－x 3）x 1－x 3＝tan x 3x 3－x 1＝12，故答案为12.答案：12奇偶性对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π2(k∈Z )．函数图象的对称中心、对称轴(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是先把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 图象的对称轴或对称中心进行求解． (2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.易错防范(1)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0时的情况，避免出现增减区间的混淆．[基础达标]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tanx |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.5．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为 [k π＋π2，k π＋3π2]，k ∈Z ，由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z ，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z ，由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤23，当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.7．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.答案：729．(2019·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝5π6.答案：5π610．(2019·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)11．(2019·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝32cos(2x ＋φ)＋sin 2x .(1)若φ＝π6，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的最大值是32，求φ的值．解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π6.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z .(2)由题意f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大值为32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin φ2＝1，从而cos φ＝0，又0≤φ＜π，故φ＝π2.12．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间．解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z . 由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3.(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .[能力提升]1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则必有( )A ．α2＜β2B ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β解析：选B.α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________．解析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2kπ，k ∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22＝sin x －22的零点个数是8个． 答案：1＋12k (k ∈N ) 84．(2019·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫B2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π， 所以ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝0⇒B ＝π3，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝12，所以ac ＝a 2＋c 2－9≥2ac －9，ac ≤9， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤934.故△ABC 面积的最大值为934.5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
高中数学第七章三角函数7.3三角函数的性质与图像7.3.2正弦型函数的性质与图像学案含解析第三册
7．3.2 正弦型函数的性质与图像［课程目标］1。
了解正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．2．会用“五点法”及“图像变换法”作正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像．［填一填］1．正弦型函数（1）形如y＝A sin(ωx＋φ)（其中A，ω,φ都是常数,且A≠0，ω≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．（2）函数y＝A sin（ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R）的周期T＝错误!,频率f＝错误!，初相为φ，值域为[－｜A|，|A｜］，｜A|也称为振幅,|A|的大小反映了y＝A sin（ωx＋φ）的波动幅度的大小．2．正弦型函数的性质正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)( A〉0,ω〉0）有如下性质．(1）定义域:R。
(2)值域：［－A，A]．(3）周期:T＝错误!。
(4)单调区间：单调增区间由2kπ－错误!≤ωx＋φ≤2kπ＋错误!(k∈Z）求得，单调减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z）求得．3．利用图像变换法作y＝A sin（ωx＋φ)＋b的图像［答一答] 1．怎样得到y＝A sin（ωx＋φ)的图像？提示:(1)“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像：画函数y＝A sin(ωx＋φ）的简图,主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是作变量代换．设X＝ωx＋φ，由X取0，错误!，π，错误!，2π来确定对应的x 值．(2）由函数y＝sin x图像变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图像:步骤1:画出正弦曲线在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤2：沿x轴平行移动，得到y＝sin(x＋φ）在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤3：横坐标伸长或缩短，得到y＝sin（ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤4：纵坐标伸长或缩短,得到y＝A sin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤5：沿x轴伸展,得到y＝A sin（ωx＋φ），x∈R的简图．上述变换步骤概括如下：步骤1错误!步骤2错误!步骤3错误!步骤4―→步骤5其中相位变换中平移量为｜φ|单位,φ>0时向左移，φ<0时向右移;周期变换中的纵坐标不变,横坐标变为原来的错误!倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．2．三角函数图像的平移变换和伸缩变换的规律是什么?提示：(1）平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减"规律；②沿y轴平移，按“上加下减"规律．（2）伸缩变换:①沿x轴伸缩：ω>1时,横坐标缩短到原来的错误!倍，0<ω〈1时,横坐标伸长到原来的1ω倍，纵坐标保持不变；②沿y轴伸缩：当A>1时，把纵坐标伸长到原来的A倍,当0〈A〈1时，纵坐标缩短到原来的A倍，横坐标保持不变．3．怎样由图像或部分图像求正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的解析式？提示：关键在于确定参数A，ω，φ。
2020-2021学年高考数学(理)考点：同角三角函数基本关系式及诱导公式
A． 2 3
B． 2 3
C． 2 3
D． 2 3
【答案】B 【解析】
tan 645 tan(2 360 75) tan 75 tan(45 30) 1 tan 30 1 3 2 3 ． 1 tan 30 1 3
故选 B ．
14．（2020•福州一模）若
tan(
联立①②，解得 sin 3 ， cos 4 ，
5
5
则 sin cos 1 ． 5
故选 C ． 2．（2019•新课标Ⅰ） tan 255 ( )
A． 2 3
B． 2 3
C． 2 3
D． 2 3
【答案】D
【解析】 tan 255 tan(180 75) tan 75 tan(45 30)
故选 D ．
15．（2020•大观区校级模拟）若 sin( ) 3 ，则 sin(2 2 ) ( )
12
2
3
A． 1 2
B． 1 2
C． 3 2
D． 3 2
【答案】A
【解析】因为 sin( ) 3 ，
12
2
所以
cos(
2 )
1
2(
3)2 1 ，
6
2
2
所以 sin(2
)
34
2 cos
cos
2 sin
sin
34
34
2 1 2 2 3 2
22
22
2 6． 2
故选 D ．
7．（2020•新疆模拟）已知 是第二象限角，且 cos(3 ) 1 ，则 cos ( )
2
4
A． 15 4
B． 1 4
C． 1 4
D． 15 4
2024年高考数学---三角函数的图象及性质
3
2
3
2sin
2
x
3
.将
函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得y= 2 sin 2 x- + =
3
33
2
sin
2
x
3
的图象,故选C.
答案 C
例2 (2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所
示,则f
2
=
.
解析
由题图可知点
3
,
0
,
2
2)ω由周期得到.
3)利用峰点、谷点或零点列出关于φ的方程,结合φ的范围解得φ的值,所 列方程如下:
峰点:ωx+φ= +2kπ;谷点:ωx+φ=- +2kπ.
2
2
利用零点时,要区分该零点是升零点,还是降零点.升零点(图象上升时与x
轴的交点的横坐标):ωx+φ=2kπ;降零点(图象下降时与x轴的交点的横坐
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后 描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
0
A
π
3π
2
=-
3 ,k∈Z.
答案 - 3
考法二 三角函数的性质的应用 1.三角函数的单调性 1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式进行化简,并注意复合 函数单调性法则“同增异减”. 2)求形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B(其中ω>0)的单调区间时,要 视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助 诱导公式将x的系数化为正数. 3)已知三角函数的单调区间求参数,先求出函数的单调区间,然后利用集 合间的关系求解. 2.三角函数的奇偶性
高考数学三角函数的图像与性质
课堂考点探究
[-1,1]
[思路点拨]设t=sin x-cos x,先将原函数化为关于t的二次函数,注意t的取值范围,再求值域;[解析]设t=sin x-cos x,-1≤t≤,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,即sin xcos x=,所以原函数等价于y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,ymax=1;当t=-1时,ymin=-1.所以函数f(x)的值域为[-1,1].
D
(2)函数y=lg(2sin x+1)的定义域为( )A. B.C. D.
课堂考点探究
[思路点拨] 根据对数函数的定义域可得2sin x+1>0,求解即可;[解析]由2sin x+1>0,得sin x>-,即2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,∴函数y=lg(2sin x+1)的定义域为.故选D.
D
B
[总结反思](1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的对称性与最小正周期T之间有如下结论:①若函数图像的相邻两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则最小正周期T=2|b-a|; ②若函数图像相邻的两个对称中心分别为点(a,0)与点(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则最小正周期T=4|b-a|.
三角函数的图象与性质-备战高考数学(理)一轮复习考点
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
D．函数 的一个单调递减区间为
7．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在区间 上单调递减D．若 ，则 的值为
8．已知函数 的部分图象如图所示，下列结论正确的有（）
A．函数 的最小正周期为
B．直线 为函数 的一条对称轴
【解析】由题图可知A＝2，T＝4π，故 ＝4π，解得ω＝ .所以f(x)＝2sin .
把点 代入可得2sin ＝2，即sin ＝1，所以φ－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋ (k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝ .所以f(x)＝2sin .
5.已知函数 ( )的部分图象如图所示，若 ，则 的最小值为。
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
解得 .
8.函数 的最小正周期为。
【答案】
【解析】因为 ，所以最小正周期为 .
2020年高考数学(理)之高频考点解密07 三角函数的图象与性质(解析版)
解密07 三角函数的图象与性质考点1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式题组一 利用三角函数的定义求三角函数的值 调研1 角α的终边与单位圆交于点1(,2P cos αα-=A ．2B ．2- CD ．【答案】B【解析】根据角α的终边与单位圆交于点1(,22P -，可得1122x y r ==-==，，∴1cos ,sin ,22x y r r αα====-1cos ( 2.22αα-=--=-故选B ． 【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义及其应用，属于基础题．利用三角函数的定义求出sin α，cos αcos αα-即可．调研2 已知角α的终边过点()1,2P ，则πtan()4α-= A ．13B ．13-C ．3D ．3-【答案】A【解析】∵角α的终边过点()1,2P ，即1x =，2y =，tan 2yxα∴==． ∴πtan tanπ2114tan()π41231tan tan 4ααα---===++．故选A ． 【名师点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，和正切的两角差公式的计算，基本知识的考查．直接利用任意角的三角函数，求出tan α，根据正切的两角差公式展开求解即可．☆技巧点拨☆任意角的三角函数值的求解策略（1）确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离；（2）若已知角的大小，只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点的坐标，即可求出该角的三角函数值；（3）检验时，注意各象限三角函数值的正号规律：一全二正弦，三切四余弦．题组二 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值 调研3 已知π[,2π]2α∈，4cos 5α=，则tan α= A ．34± B ．34 C ．34-D ．43【答案】C【解析】因为π[,2π]2α∈，4cos 5α=，所以α在第四象限，所以3sin 5α==-，3tan 4α=-．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及三角函数在各象限的符号，属于中档题．根据同角三角函数的关系，先求出sin α，再求出tan α即可． 调研4 已知12tan ,5x =-π(,π)2x ∈，则3πcos()2x -+= A ．513 B ．−513 C ．1213D ．−1213【答案】D【解析】12tan ,5x =-Q π123π12(,π),sin ,cos )sin 213213x x x x ∈∴=∴-+=-=-（． 故选D ．【名师点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了诱导公式，考查运算能力及推理能力，属于基础题．由已知条件利用同角三角函数基本关系式求出sin x ，再利用诱导公式可得结果．调研5 已知()0,πα∈,且sin cos αα+=2,则sin cos αα-的值为______________．【答案】2【解析】因为21(sin cos )12sin cos 2αααα+=+=,所以12sin cos 2αα=-， 又()0,πα∈，所以sin 0,cos 0αα><,则sin cos 0αα->．因为()23sin cos 12sin cos 2αααα-=-=,所以sin cos αα-． 调研6 如图直角坐标系中，角απ(0)2α<<和角βπ(0)2β-<<的终边分别交单位圆于A ，B 两点，若B点的纵坐标为－513，且满足S △OAB ＝sin π()6α+的值为______________．【答案】1213【解析】由图知xOA α∠=，xOB β∠=-，且sin β=－513．由于S △OAB ＝4知π3AOB ∠=，即π3αβ-=，即π3αβ=+．则sin ππ()sin()cos 62αββ+=+==＝1213． 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的坐标定义，考查了诱导公式，考查了分析推理计算能力，解题的关键是化简原式为sin β=－513，再求得π3AOB ∠=，即π3αβ=+sin β的值求解即可．☆技巧点拨☆1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等．考点2 三角函数的图象题组一 已知三角函数的图象求函数的解析式调研1 某函数的部分图象如图所示,则它的函数解析式可能是A ．y =sin(-56x+3π5)B ．y =sin(65x-2π5)C ．y =sin(65x+3π5)D ．y =-cos(56x+3π5)【答案】C【解析】方法1：不妨令该函数解析式为y =A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0), 由题图知A =1,T4=3π4-π3=5π12,于是2πω=5π3,即ω=65,又π3是函数的图象递减时经过的零点,于是65×π3+φ=2k π+π,k ∈Z ,所以φ可以是3π5． 方法2：由图象知过点⎝⎛⎭⎫π3，0，代入选项可排除A 、D ．又过点⎝⎛⎭⎫34π，－1，代入B ，C 知C 正确．调研2 已知函数()2cos()(0,)f x x ωϕωϕ=->-π<<π的部分图象如下图所示，则ϕ=A ．56π- B ．6π-C ．6πD ．56π【答案】D【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，则由题可得353()41234T πππ=--=， 即T =π，所以2T ωπ=2=，所以52212k ϕπ⨯-=π，k ∈Z ， 即2k ϕ=-π+56π，k ∈Z ，因为ϕ-π<<π，所以56ϕπ=．故选D ．调研3 已知函数()cos()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如下所示，其中π(,0)2A ，3π(,2)2B 是函数()f x 图象的一个最高点，则当5π[2π,]4x ∈--时，函数()f x 的最小值为A ．1-B ．2-C ．D ．2-【答案】D【解析】依题意，2A =，3π4T =，故4π3T =，则2π32T ω==，故3()2cos()2f x x ϕ=+. 将π(,0)2A 代入可得3ππ2π()222k k ϕ⨯+=+∈Z ，故π2π()4k k ϕ=-+∈Z ，因为||πϕ<，所以π4ϕ=-，故3π()2cos()24f x x =-.因为5π[2π,]4x ∈--，所以315π[3π,]28x ∈--，则3π13π17π[,]2448x -∈--， 故函数()f x 的最小值为2-，故选D ．调研4 已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则11π()24f 的值为A ．B ．C ．D ．−1【答案】D【解析】由函数的最小值可知：A =，函数的周期：7π4(π)π123T =⨯-=，则2π2π2πT ω===， 当7π12x =时，()73π2π2π122x k k ωϕϕ+=⨯+=+∈Z ， 据此可得：()π2π3k k ϕ=+∈Z ，令0k =可得：π3ϕ=，则函数的解析式为：()π)3f x x =+，所以11π11ππ5π())sin 1242434f =⨯+==-．本题选择D 选项． 【名师点睛】首先求得函数的解析式，然后求解11π()24f 的值即可．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ．（2）代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图象解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 题组二 三角函数的图象变换调研5 为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数sin2y x ＝的图象A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【答案】A【解析】∵函数ππsin(2)sin[2()]36y x x =-=-， ∴为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数y =sin2x 的图象向右平移π6个单位长度．故选A ．【名师点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x 的系数，属于基础题．先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 调研 6 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，因为函数的图象关于原点对称，所以，，即，． ()cos(2)f x x ϕ=+6π()g x ()g x ||ϕ6π3π23π56π()cos(2)f x x ϕ=+6π()cos(2)3g x x ϕπ=-+()g x 32k ϕππ-+=π+k ∈Z 6k ϕ5π=π+k ∈Z令，可得的最小值为，故选A ． 调研7 已知函数23()cos(2)sin(2)32f x x x ππ=-+-，将函数()f x 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π【答案】A【解析】由题可得11()cos 22cos 22cos 2sin(2)22226f x x x x x x x π=-++=+=+， 所以()sin[2()]sin(22)66g x x x ϕϕππ=++=++， 因为函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，即,62k k ϕππ=+∈Z ， 又0ϕ>，所以ϕ的最小值是6π．故选A ． 调研8将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】C【解析】π()2cos 4cos()3f x x x x =-=+，将其图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度， 所得图象对应的解析式为π4cos()3y x ϕ=++，由于π4cos()3y x ϕ=++为偶函数，则ππ,3k k ϕ+=∈Z ，则ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，由于0ϕ>，故当1k =时，2π3ϕ=．故选C ．【名师点睛】本题考查的知识点是余弦型函数的图象和性质，余弦型函数的图象平移，熟练掌握余弦型函数的图象和性质，是解答本题的关键．根据辅助角公式，我们可将函数()2cos f x x x =-化为余弦函数型函数的形式，进而得到平移后函数的解析式，结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质，即可求出答案．1k =-||ϕ6π调研9 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，当|()()|4f m f n -=时，||m n -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为A ．9πB ．6π C ．29πD ．3π【答案】C【解析】由题可得()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=+=+，因为当|()()|4f m f n -=时，||m n -的最小值为3π，所以函数()f x 的最小正周期2233T ππ=⨯=， 则223ωππ=，解得3ω=，所以()f x =2sin(3)6x π+， 将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位后得到函数2sin[3()]6y x ϕπ=-+=2sin[3(3)]6x ϕπ+-的图象，因为函数2sin[3(3)]6y x ϕπ=+-的图象关于y 轴对称，所以36ϕπ-=()2k k ππ+∈Z ，解得()39k k ϕππ=--∈Z ，因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为2399πππ-=．故选C ．☆技巧点拨☆作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω＞0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．考点3 三角函数的性质题组一 三角函数的单调性调研1 已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是A ．ππ[π,π]()36k k k -+∈Z B ．π2π[π,π]()63k k k ++∈Z C ．π[π,π]()2k k k +∈ZD ．π[π,π]()2k k k -∈Z【答案】B【解析】若π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，则π()6f 等于函数的最大值或最小值，即ππ2π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，，则ππ6k k ϕ=+∈Z ，， ∵π()(π)2f f >，即sin 0ϕ<，令1k =，此时5π6ϕ=-，满足条件，令5πππ2[2π2π]622x k k -∈-+，，k ∈Z ，解得π2π[ππ]63x k k ∈++，，k ∈Z ． 故选B ．【名师点睛】本题考查的知识点是()sin y A x ωϕ=+的部分图象变换，其中根据已知条件求出满足条件的初相角ϕ的值，是解答本题的关键．根据π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，结合函数最值的定义，易得π()6f 等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角ϕ的值，结合π()(π)2f f >，易求出满足条件的具体的ϕ的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，可得到答案．调研2 已知函数2()2cos o 1c s f x x x x --=． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移12π个长度单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的单调递减区间．【答案】（1）π；（2）5(,)224224k k ππππ-+，k ∈Z ．【解析】（1）由题可得()cos 21212cos(2)3f x x x x π-=+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T π==π． （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个长度单位，得函数[2()]2cos(2)12362cos x x y πππ-+=+=的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()2cos(4)6x x g π=+的图象，由2426k x k ππ<+<π+π，k ∈Z ，解得5224224k k x ππππ-<<+，k ∈Z ，所以函数()g x 的单调递减区间为5(,)224224k k ππππ-+，k ∈Z ． 调研3 已知函数f(x)=2√3sin (2ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,π))的图象中相邻两条对称轴间的距离为π2，且点(−π4,0)是它的一个对称中心． （1）求f(x)的表达式； （2）求f(x)的单调递增区间；（3）若f(ax)(a>0)在(0,π3)上是单调递减函数，求a的最大值．【答案】（1）f(x)=2√3cos2x；（2）[kπ+π2,kπ+π],k∈Z；（3）32．【解析】（1）由题意得f(x)的最小正周期为π，∴T=π=2π2ω,∴ω=1．∴f(x)=2√3sin(2x+φ)．又(−π4,0)是它的一个对称中心，∴2×(−π4)+φ=kπ，k∈Z，∴φ=kπ+π2，k∈Z，∵φ∈(0,π), ∴φ=π2．∴f(x)=2√3sin(2x+π2)=2√3cos2x．（2）由2kπ+π≤2x≤2kπ+2π(k∈Z),得kπ+π2≤x≤kπ+π(k∈Z),∴f(x)的单调递增区间为[kπ+π2,kπ+π],k∈Z．（3）∵f(ax)=2√3cos2ax,f(ax)在(0,π3)上是减函数,∴π3≤π2a，又a>0，∴0<a≤32，即a的最大值为32．☆技巧点拨☆1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律．2．对于三角函数的定义域有范围限制时，在求单调区间时应给予关注，一定要在定义域范围内研究其单调区间．3．已知三角函数的单调区间求参数的问题，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．题组二三角函数的值域与最值调研4 求函数f(x)=2sin2x+2sin x-12,x∈[π6,5π6]的值域为________________．【答案】[1,72]【解析】令t=sin x,因为x∈[π6,5π6],所以12≤sin x≤1,即12≤t≤1．则g(t)=2t2+2t-12=2(t+12)2-1,t∈[12,1],且该函数在[12,1]上是增加的，所以g (t )的最小值为g (12)=1,最大值为g (1)=72． 即函数f (x )的值域为[1,72]．调研5 函数2()sin(2)sin 23f x x x π=++，(0,)2x π∈的值域为________________．【答案】(【解析】由题可得函数21()sin(2)sin 2sin 22sin 2232f x x x x x x x π=++=-++=+1sin 2sin(2)23x x π=+，因为(0,)2x π∈，所以42333x πππ<+<，所以sin(2)123x π-<+≤，故函数()f x 的值域为(,1]2-． 调研6 函数()()πsin (0,)2f x x ωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是5π11π[,]1212．将y =()f x 的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ． （1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在区间π[0,]4x ∈上的最大值和最小值．【答案】（1）π()sin(4)6g x x =+；（2）最大值为1，最小值为12-． 【解析】（1）∵1151πππ,212122T =-=2ω∴=, 又5πsin(2)1,12ϕ⋅+=π2ϕ<，π3ϕ∴=-， ∴π()sin(2)3f x x =-，∵将()y f x =的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，π()sin(4)6g x x ∴=+．（2）因为g (x )在π[0,]12x ∈为增函数，在ππ[]124x ∈，上为减函数，所以max π()()112g x g ==，min π1()()42g x g ==-,故函数()g x 在π[0,]4x ∈上的最大值和最小值分别为1和12-． 【思路点拨】（1）根据已知及周期公式求得ω的值，然后求出ϕ的值，从而可求出()f x 的解析式，进而得到()g x 的解析式；（2）确定()g x 的单调性，然后求出最值．☆技巧点拨☆求解三角函数的值域（最值）的类型与方法：（1）形如sin cos y a x b x c =++的三角函数，可先化为()sin y A x ωϕ=+的形式，再求解； （2）形如c x b x a y ++=sin sin 2的三角函数，可先设sin x=t ，转化为关于t 的二次函数求解． （3）形如sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+的三角函数,可先设sin cos ,t x x =±得212sin cos t x x =±,把原解析式化为关于t 的二次函数，再求解．题组三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性调研7 已知函数22()cos sin ()6f x x x π=++，则A ．()f x 的最小正周期为2π，最小值为12-B ．()f x 的最小正周期为π，最小值为12-C ．()f x 的最小正周期为2π，最小值为12D ．()f x 的最小正周期为π，最小值为12【答案】D【解析】由题可得函数1111111()(1cos2)[1cos(2)]cos2(cos222322222f x x x x x π=++-+=++--11)cos21sin(2)1426x x x x π=++=++，则函数()f x 的最小正周期为π，最小值为11122-+=，故选D ． 调研8 已知函数()cos )3(f x x π=+，则下列结论错误的是 A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线83x =π对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ上单调递减【答案】D【解析】由题可得函数()f x 的最小正周期为2π，A 正确；因为()cos )cos3cos 1388(33f π=+=π=ππ=-π，所以()f x 的图象关于直线83x =π对称，B 正确； 因为(()cos )cos 06632f ππππ+π=+π+=-=，所以()f x +π的一个零点为6x π=，C 正确；因为()(28)133f f ππ==-，所以()f x 在(,)2ππ上不单调，D 错误．故选D ．调研9 已知函数()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<．将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数()f x ，下列命题正确的是A ．函数()f x 在区间ππ(,)63-上有最小值 B ．函数()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增C ．函数()f x 的一条对称轴为π12x =D ．函数()f x 的一个对称点为π(,0)3【答案】B【解析】由题意知平移后图象对应的函数的解析式为：2πsin(2)3y x ϕ=++， 因为此函数为偶函数，所以y 轴为其对称轴之一，所以将0x =代入可得()2πππ32k k ϕ+=+∈Z ，解得()ππ6k k ϕ=-+∈Z ， 由ϕ的取值范围可得π6ϕ=-，所以原解析式为π()sin(2)6f x x =-．A 选项，将区间代入函数，可得πππ2262x -<-<，根据sin y x =图象可知无最值，B 选项，将区间代入函数，可得πππ2262x -<-<，根据sin y x =图象知函数单调递增，C 选项，将π12x =代入函数，可得0y =，所以应为对称中心的横坐标，D 选项，将π3x =代入函数，可得ππ262x -=，所以应为对称轴与x 轴交点．故选B ．【名师点睛】本题综合考查函数图象的变换以及对称轴、对称中心、单调区间、最值等知识点，需要明确解题思路，注意结合图象解题，会更容易理解．求出函数平移后的解析式，由偶函数的性质求出参数ϕ，判断最值、单调区间、对称轴、对称中心时需将结论代入原函数，根据sin y x =的图象与性质判断正确与否．调研10 已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><<满足下列两个条件：①函数()12y f x π=-是奇函数；②12max |()()|2f x f x -=，且12min (||)3x x π-=．若函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，则实数t 的最小值为______________． 【答案】512π 【解析】由12max |()()|2f x f x -=可得1A =，由12min (||)3x x π-=可得23T π=， 所以223T ωππ==，解得3ω=，所以()sin(3)f x x ϕ=+，所以()sin(3)124y f x x ϕππ=-=+-， 因为函数()12y f x π=-是奇函数，所以()4k k ϕπ-=π∈Z ，即()4k k ϕπ=π+∈Z ，因为02ϕπ<<，所以4ϕπ=，所以()sin(3)4f x x π=+，当4x t π-<≤时，33244x t πππ-<+≤+，因为函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，所以3342t ππ+≥，即512t π≥，故实数t 的最小值为512π．调研11 已知函数f (x )＝2sin 2x ＋b sin x cos x 满足f ⎝⎛⎭⎫π6＝2．（1）求实数b 的值以及函数f (x )的最小正周期；（2）记g (x )＝f (x ＋t )，若函数g (x )是偶函数，求实数t 的值． 【答案】（1）b ＝23，最小正周期T ＝π；（2）t ＝k π2＋π3，k ∈Z ． 【解析】（1）由f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，得2×14＋b ×12×32＝2，解得b ＝23． 则f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．（2）由（1）得π()2sin[2()]16f x t x t +=+-+， 所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＋1，又函数g (x )是偶函数，则对于任意的实数x ，均有g (－x )＝g (x )成立． 所以sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2t －π6＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2t －π6－2x ，整理得cos ⎝⎛⎭⎫2t －π6sin 2x ＝0． 则cos ⎝⎛⎭⎫2t －π6＝0，解得2t －π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以t ＝k π2＋π3，k ∈Z ．☆技巧点拨☆1．整体思想在三角函数性质中的应用在求解y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将ωx ＋φ看作整体，利用y ＝A sin x 的图象与性质进行求解．2．三角函数最小正周期的变化仅与自变量x 的系数有关，与其他因素无关． 3．研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用．1．（安徽省示范高中名校2019-2020学年高三上学期10月月考）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(2,1)-，则tan(2)2απ+= A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】C【分析】根据任意角的正切的定义可知tan α的值，然后根据同角的三角函数的商式关系得到tan(2)2απ+的表示，利用诱导公式进行化简并根据tan α的值求值．【解析】由题意可得1tan 2α=-，所以2sin(2)cos 2tan 132tan(2)2sin 22tan 4cos(2)2αααααααπ+π-+====π-+． 故选C ．【名师点睛】本题考查任意角的计算、同角三角函数求值、诱导公式化简，难度一般．对于形如2222sin cos sin cos a b c d αααα++形式的式子进行化简时可将分式的分子分母同除以2cos α，都变为tan α为底的指数幂形式，可简化运算．2．（广东省惠州市2019-2020学年高三第二次调研）若1sin()3απ-=，且322αππ≤≤，则sin 2α的值为A ．9-B ．9-C ．9D ．9【答案】A【分析】由诱导公式可得sin α，再根据平方关系求cos α，之后利用二倍角的正弦公式即可得到答案． 【解析】由题意，根据诱导公式得1sin()sin 3ααπ-==，又322αππ≤≤且sin 0α>，所以2a π≤≤π，根据22sin cos 1αα+=可得cos α=，所以1sin 22sin cos 2(3ααα===⨯⨯， 故选A ．3．（山西省晋中市平遥县第二中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知tan 3α=，则cos()2απ-= A ．35±B ．310±C ．34±D ．10±【答案】D【分析】根据tan α=sin cos αα及正弦、余弦的平方关系22sin cos 1αα+=，即可得解． 【解析】由tan 3α=，则sin 3cos αα=，又22sin cos 1αα+=，所以22sin sin()13αα+=，所以29sin 10α=，即sin α=又cos()sin 2ααπ-=，所以cos()2απ-10=±， 故选D ．4．（安徽省示范高中名校2019-2020学年高三上学期10月月考）将函数sin()y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移12π个单位后得到的函数图象关于原点中心对称，则sin 2ϕ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【分析】先根据条件写出图象变换后的函数解析式，然后根据图象关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果． 【解析】因为变换平移后得到函数sin(2)6y x ϕπ=++，由条件可知sin(2)6y x ϕπ=++为奇函数，所以6k ϕπ+=π，sin 2sin(2)sin()33k ϕππ=π-=-= 故选C ．【名师点睛】本题考查三角函数的图象变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般．正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+为奇函数时,k k ϕ=π∈Z ，为偶函数时,2k k ϕπ=π+∈Z ．5．（山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期中）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的周期为π，将其图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称，现将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ，若π()3g -=π()4f =AB ．C D 【答案】B【分析】由周期求ω，由平移对称求ϕ，由()g x 求A ，然后可得答案． 【解析】由周期为π，可得=2ω．由图象向右平移6π个单位长度后关于y 轴对称， 可得ππ2()π()62k k ϕ⨯-+=+∈Z ，结合0πϕ<<，可得5π=6ϕ．所以5π()sin(2)6f x A x =+，5π()sin()6g x A x =+．所以ππ5π()sin()336g A A -=-+==所以ππ5π()sin()426f =+=． 故选B ．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质．一般可以通过周期性、对称性等性质求出A ωϕ，，等参数的值．6．（山西省晋中市平遥县第二中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知03x π=是函数()f x =sin(2)x ϕ+的一个极大值点，则()f x 的一个单调递增区间是A ．2(,)63ππB ．5(,)36ππC ．ππ(,)63-D ．2(,)3ππ 【答案】C【分析】先由03x =π是函数的一个极大值点，则可求得()sin(2)6f x x π=-，再利用三角函数单调增区间的求法求得函数增区间为[,],63k k k πππ-π+∈Z ，再利用集合间的包含关系逐一判断各选项即可得解．【解析】因为03x π=是函数()sin(2)f x x ϕ=+的一个极大值点，所以2232k ϕππ⨯+=π+，即2,6k k ϕπ=π-∈Z ，所以()sin(22)sin(2)66f x x k x ππ=+π-=-，由222262k x k ππππ-≤-≤π+，解得63k x k ππππ-＃+，k ∈Z ， 即函数()f x 的增区间为[,],63k k k πππ-π+∈Z ，又ππ(,)63-⊆[,]63k k πππ-π+，所以()f x 的一个单调递增区间是ππ(,)63-，故选C ．【名师点睛】本题考查了由三角函数的极值求函数解析式，重点考查了三角函数的单调性及集合的包含关系，属中档题．7．（河北省张家口市2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数(() sin 0,(||2))f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，可将()f x 的图象A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向左平移3π个单位【答案】A【分析】利用函数()f x 的图象求得,ωϕ的值，再利用左加右减的平移原则，得到()f x 向右平移6π个单位得()sin 2g x x =的图象．【解析】因为712344T πππ-==，所以22T ωωπ=π=⇒=． 因为7()112f π=-，所以7322,122k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，即2,3k k ϕπ+π=∈Z ， 因为2ϕπ<，所以3ϕπ=，所以 sin 2()()3f x x π=+．所以sin 2()sin 266()3[]()f x x x g x =ππ-=π=-+，所以()f x 的图象向右平移6π个单位可得()sin 2g x x =的图象．故选A ．【名师点睛】本题考查利用函数的图象提取信息求,ωϕ的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量x 而言的． 8．（河北省唐山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数()sin()(0)3f x x ωωπ=+>在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值1-，则ω的取值范围是A ．513[,)1212ππB ．513(,]1212ππ C ．713[,)1212ππD ．713(,]1212ππ 【答案】C【分析】根据(0,2]x ∈得到3x ωπ+的范围，根据()f x 恰有一个最大值和最小值，利用sin y x =图象的特点分析3x ωπ+的范围，然后求解出ω的范围即可． 【解析】因为(0,2]x ∈，所以(,2]333x ωωπππ+∈+，sin y x =图象如下图：因为()f x 恰有一个最大值1和一个最小值1-，所以352232ωπππ≤+<， 解得7131212ω≤<ππ，即713[,)1212ωππ∈． 故选C ．【名师点睛】已知正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间上的最值的个数，可考虑将x ωϕ+看做一个整体，然后作出sin y A x =的图象分析最值的个数分布情况，由此得到关于x ωϕ+的不等式，即可求解出ω的范围．9．（陕西省榆林市第二中学2019-2020学年高三第四次模拟）已知函数)cos (2)()f x x x ϕϕ+++=为偶函数，且在[0,]4π上是增函数，则ϕ的一个可能值为A ．3πB ．23π C ．43πD ．53π【答案】C【分析】先将函数化简为sin()y A x ωϕ=+的形式，再根据三角函数的奇偶性和单调性对选项进行逐一验证即可得到答案．【解析】由题可得1())cos(2)]2f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x ϕ+π=+， 若()f x 为偶函数，则有62k ϕπ=π+π+，即3k ϕ=π+π，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ， 对于A ，当3ϕπ=时，()2sin(2)2cos 22f x x x π=+=，在[0,]4π上是减函数，不符合题意，对于C ，当43ϕπ=时，3()2sin(2)2cos 22f x x x π=+=-，在[0,]4π上是增函数，符合题意， 故选C ．【名师点睛】本题考查三角函数的单调性和奇偶性，考查三角恒等变换．一般都要先将函数解析式化简为sin()y A x ωϕ=+的形式，再根据题中条件解题．10．（新疆维吾尔自治区行知学校2019-2020学年高三上学期11月月考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A ωϕπ>><其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，则下列判断正确的是A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2y x =的图象向右平移6π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线512x =π对称C ．当[,]66x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为D ．函数()f x 在[,]63ππ上单调递增【答案】A【分析】根据条件得到函数()f x 的解析式，然后根据其图象与性质逐一判断即可．【解析】由题意知函数()sin()f x A x ωϕ=+中，A =22T π=，T ∴=π，22T ωπ==，又()f x 的图象关于点(,0)12-π对称，2(),12x k k ωϕϕπ∴+=⨯-+=π∈Z ，解得,6k k ϕπ=π+∈Z ，又2ϕ<π，6ϕπ∴=，())6f x x π∴=+，对于A ，2y x =的图象向右平移6π个单位，得2())63y x x ππ=-=-的图象，)cos(2))336x x x πππ-=-=+，故A 正确．对于B ，55())012126f πππ=⨯+=，()f x 的图象不关于512x =π对称，故B 错误．对于C ，2[,]662x πππ+∈-，1sin(2)[,1]62x π+∈-，()f x ∴的最小值为2-，故C 错误． 对于D ，52[,]626x πππ+∈，()f x 是单调递减函数，故D 错误． 故选A ．【名师点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式以及根据解析式研究图象的平移变换、最值、单调性，属于三角函数的基础题．11．（2019年上海市杨浦区高三下学期模拟质量调研二模）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是______________．【答案】π【分析】先利用二倍角余弦公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．【解析】f （x ）＝1﹣2sin 2x ＝cos2x ，所以函数最小正周期T 22π==π． 12．（广东省茂名市五校2019-2020学年高三上学期10月月考）已知点(,2)(0)p m m m ≠是角α终边上任一点，则2sin 2cos αα-=______________． 【答案】35【分析】先求得tan 2yxα==，再利用齐次式进行化简计算即可． 【解析】由题可得tan 2α=，222222sin cos cos 2tan 13sin 2cos sin cos tan 15ααααααααα---===++∴． 【名师点睛】本题考查三角函数的定义和恒等变形，用tan α表示sin α和cos α的齐次式子，意在考查变形和计算能力．13．（安徽省示范高中名校2019-2020学年高三上学期10月月考）函数()cos(2)sin f x x x =π+-的最大值为______________． 【答案】2【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式进行化简，然后以二次函数模型来分析()f x 的最大值，注意三角函数的有界性．【解析】因为2219()cos 2sin 2sin sin 12(sin )48f x x x x x x =--=--=--， 所以当sin 1x =-时，()f x 有最大值max ()2f x =．【名师点睛】求解函数2()sin sin (0)f x a x b x c a =++≠的最值或值域的方法：采用换元的思想将()f x 看成一个二次函数，其中变量为sin x （注意取值范围），利用二次函数值域或最值的分析方法求解()f x 的值域或最值．14．（河北省唐山市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考）已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+≤<π关于直线6x π=-对称，则(0)f =______________． 【答案】12【分析】根据对称轴方程,2x k k π=π+∈Z ，得到ϕ的表示，根据条件中的ϕ的范围结合k 的取值即可求出ϕ的值，最后可计算(0)f 的值．【解析】因为正弦函数的对称轴为,2x k k π=π+∈Z ，所以2(),62k k ϕππ⨯-+=π+∈Z ， 所以5,6k k ϕπ=π+∈Z ，又[0,)ϕ∈π，所以56ϕπ=，此时0k =， 所以5()sin(2)6f x x π=+，所以51(0)sin 62f π==． 【名师点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值．15．（江苏省泰州市黄桥中学2019年高三上学期11月月考）在平面直角坐标系xOy 中，将函数y =sin(2)3x π+的图象上所有点向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到的图象经过坐标原点，则ϕ的最小值为______________． 【答案】6π 【分析】由函数图象的平移变换可得，图象平移后的解析式只需将原解析式中的x 用x ϕ-替换，再结合所求解析式求解三角方程即可．【解析】将函数sin(2)3y x π=+的图象上所有点向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到的图象所对应的解析式为sin[2()]sin(22)33y x x ϕϕππ=-+=+-，由该图象经过坐标原点，则sin(2)03ϕπ-=，即23k ϕπ-=π，即26k ϕππ=-+，k ∈Z ， 又0ϕ>，则当0k =时，ϕ取最小值6π．16．（上海市宝山区吴淞中学2019-2020学年高三上学期开学考）已知函数sin()(0,y x ωϕω=+>0)2ϕπ<≤的部分图象如图所示，则点(,)P ωϕ的坐标为______________．【答案】(2,)3π【分析】由图象求得T =π，得到2w =，再由函数经过点(,0)3π且为单调递减区间的零点，求得3ϕπ=，即可求解．【解析】由题意，可得152632T πππ=-=，即T =π，所以22Tωπ==，即sin(2)y x ϕ=+， 由函数经过点(,0)3π且为单调递减区间的零点，所以22,3k k ϕπ⨯+=π+π∈Z ，解得2,3k k ϕπ=+π∈Z ， 又由02ϕπ<≤，所以3ϕπ=，所以点P 的坐标为(2,)3π．【名师点睛】本题主要考查了结合三角函数的图象研究三角函数的性质，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．（江苏省泰州市黄桥中学2019年高三上学期11月月考）已知函数sin (0)y x ωω=>在区间[,]34ππ-上单调递增，则ω的最大值是______________． 【答案】32【分析】先求出函数sin (0)y x ωω=>的增区间为22[,],22k k k ωωωωππππ-+∈Z ，再观察函数的“含0增区间”为[,],22ωωππ-则有[,]34ππ-⊂[,],22ωωππ-再列不等式组求解即可． 【解析】由0>ω，令2222k x k ωπππ-≤≤π+，解得2222k k x ωωωωππππ-≤≤+，即函数sin (0)y x ωω=>的增区间为22[,],22k k k ωωωωππππ-+∈Z ， 又函数sin (0)y x ωω=>在区间[,]34ππ-上单调递增，则[,]34ππ-⊆[,],22ωωππ-则3242ωωππ⎧-≥-⎪⎪⎨ππ⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以ω的最大值是32． 18．（湖南省师范大学附中2019-2020学年年高三上学期11月月考）若函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C ，则下列结论中正确的序号是______________． ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于2(,0)3π对称；③函数()f x 在区间5(,)1212π-π内不是单调的函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．【答案】①②【分析】根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解，得到答案． 【解析】对于①：函数()3sin(2)3f x x π=-的对称轴方程为5()212k x k ππ=+∈Z ， 当1k =时，1112x π=，故①正确； 对于②，函数()3sin(2)3f x x π=-的对称中心为(,0)()26k k ππ+∈Z ， 当1k =时，对称中心为2(,0)3π，故②正确； 对于③，函数()3sin(2)3f x x π=-的递增区间为5[,]()1212k k k πππ-π+∈Z ，所以函数()f x 在区间5(,)1212ππ-内单调递增，故③错；对于④，3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度后得到的函数解析式为3sin 2()3y x π=-=23sin(2)3x π-，故④错，所以应填①②．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答熟记三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．19．（北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中）已知函数2()22cos 1f x x x =+-．（1）求5()12f π的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调增区间．【答案】（1）0；（2）最小正周期π，()f x 的单调增区间为ππ[π,π+]()36k k k -∈Z ． 【分析】（1）直接代入数据计算可得到答案；（2）化简得到()2sin(2)6f x x π=+，再计算周期和单调增区间．【解析】（1）因为2()22cos 1f x x x =+-，所以255)2cos ()115()12122f πππ=⨯+- 55)cos(2)1212=⨯+⨯ππ。
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
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2020-2021学年高考数学（理）考点：三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )⎧⎫π概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．1．（2019•新课标Ⅱ）若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= ) A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A 【解析】14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点， 322()44T ππππω∴=-==2ω∴=，故选A ．2．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以2π为最小正周期且在区间(4π，)2π单调递增的是( ) A ．()|cos2|f x x = B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =【答案】A【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项； ()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项； ()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ． 故选A ．3．（2019•新课标Ⅲ）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+<，∴1229510ω<，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+， 若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<， 1229510ω<，故③正确． 故选D ．4．（2018•新课标Ⅲ）函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为( )A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】C 【解析】函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x xtan x x x ===++的最小正周期为22ππ=， 故选C ．5．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则( ) A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】函数22()2cos sin 2f x x x =-+ 22222cos sin 2sin 2cos x x x x =-++ 224cos sin x x =+ 23cos 1x =+ cos21312x +=+3cos2522x =+， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为35422+=，故选B ．6．（2017•天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕπ<．若5()28f π=，11()08f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则( ) A ．23ω=，12πϕ= B ．23ω=，1112πϕ=-C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ=【答案】A【解析】由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>， 又5()28f π=，11()08f π=，得11534884T πππ=-=， 3T π∴=，则23ππω=，即23ω=． 2()2sin()2sin()3f x x x ωϕϕ∴=+=+，由525()2sin()2838f ππϕ=⨯+=，得5sin()112πϕ+=． 52122k ππϕπ∴+=+，k Z ∈． 取0k =，得12πϕπ=<．∴23ω=，12πϕ=． 故选A ．7．（2017•新课标Ⅱ）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为：22ππ=．故选C ．8．（2017•新课标Ⅲ）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】函数111()sin()cos()sin()cos()sin()sin()536536533f x x x x x x x ππππππ=++-=++-+=+++66sin()535x π=+． 故选A ．9．（2017•新课标Ⅲ）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(2π，)π单调递减 【答案】D【解析】A ．函数的周期为2k π，当1k =-时，周期2T π=-，故A 正确，B ．当83x π=时，89cos()cos()cos cos313333x πππππ+=+===-为最小值，此时()y f x =的图象关于直线83x π=对称，故B 正确， C 当6x π=时，3()cos()cos 06632f ππππππ+=++==，则()f x π+的一个零点为6x π=，故C 正确，D ．当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，此时函数()f x 不是单调函数，故D 错误， 故选D ．10．（2017•山东）函数2cos 2y x x =+的最小正周期为( ) A ．2πB ．23π C ．π D ．2π【答案】C【解析】函数2cos22sin(2)6y x x x π+=+，2ω=，T π∴=，故选C ．11．（2020•北京）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为__________． 【答案】2π【解析】解法1:()sin()cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++sin cos (1sin )cos x x ϕϕ=++)x θ+，其中cos θ，sin θ=所以()f x 2=， 所以22cos (1sin )4ϕϕ++=， 即22sin 4ϕ+=， 所以sin 1ϕ=， 所以22k πϕπ=+，k Z ∈时ϕ均满足题意，故可选0k =时，2πϕ=．解法2:sin()1x ϕ+，cos 1x ，又函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，所以当且仅当sin()1x ϕ+=，cos 1x =时函数()f x 取到最大值， 此时2x k π=，k Z ∈， 则sin()sin 1x ϕϕ+==， 于是22k πϕπ=+，k Z ∈时ϕ均满足题意，故可选0k =时，2πϕ=．故答案为：2π． 12．（2020•上海）函数tan 2y x =的最小正周期为__________． 【答案】2π【解析】函数tan 2y x =的最小正周期为2π， 故答案为：2π． 13．（2020•江苏）将函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是__________． 【答案】524x π=-【解析】因为函数3sin(2)4y x π=+的图象向右平移6π个单位长度可得()()3sin(2)3sin(2)63412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈， 当0k =时，724x π=， 当1k =-时，524x π=-， 所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-， 故答案为：524x π=-， 14．（2019•北京）函数2()sin 2f x x =的最小正周期是__________． 【答案】2π【解析】2()sin (2)f x x =，11()cos(4)22f x x ∴=-+，()f x ∴的周期2T π=，故答案为：2π． 15．（2018•北京）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4f x f π对任意的实数x 都成立，可得：246k ππωπ-=，k Z ∈，解得283k ω=+，k Z ∈，0ω> 则ω的最小值为：23．故答案为：23． 16．（2018•江苏）已知函数sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值为__________． 【答案】6π-【解析】sin(2)()22y x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，232k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈，即6k πϕπ=-， 22ππϕ-<<，∴当0k =时，6πϕ=-，故答案为：6π-．17．（2017•新课标Ⅱ）函数23()sin ([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是__________．【答案】1【解析】2233()sin 1cos 44f x x x x x =-=-+-， 令cos x t =且[0t ∈，1]，则221(14y t t =-+=-+，当t =时，()1max f t =， 即()f x 的最大值为1， 故答案为：118．（2017•新课标Ⅱ）函数()2cos sin f x x x =+的最大值为__________．【解析】函数()2cos sin ))f x x x x x x θ=+==+，其中tan 2θ=，．．19．（2020•上海）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=+--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．【解析】（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142πωπ==，所以1()sin 2f x x =． 令11sin 22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k ππ=+．故解集为{|43x x k ππ=+或543x k ππ=+，}k Z ∈． （2）由于1ω=， 所以()sin f x x =． 所以21cos2111()sin )sin()22cos2sin(2)222226x g x x x x x x x x ππ-=+--==-+=-+． 由于[0x ∈，]4π，所以22663x πππ+． 1sin(2)126x π+， 故11sin(2)62x π--+-，故1()02g x -． 所以函数()g x 的值域为1[,0]2-．20．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．【解析】22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-． （1）()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）g ()()3cos(2)3cos 22x xx f x ==-=-，[0x ∈，]3π，3cos [3x ∴-∈-，3]2-．即()g x 在区间[0，]3π的最大值为32-，最小值为3-．1．（2020•东湖区校级模拟）若函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为( ) A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】C【解析】把函数()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，根据所得图象的一条对称轴方程是3x π=，可得：332k πππωπ-=+，k z ∈，可得：532k ω=+， 由于：0ω>，故ω的最小值为52． 故选C ．2．（2020•镜湖区校级模拟）函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为( )①()f x 的最小正周期为2；②()f x 图象的一条对称轴为直线12x =-；③()f x 在13(2,2),44k k k Z -+∈上是减函数；④()f x 的最大值为A ．A ．①④B ．②③C ．①③D ．③④【答案】C【解析】由函数()cos()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示， 可得512()244T =⨯-=，①正确；由图知，左侧第一个零点为：13144-=-，所以对称轴为：3114424x -+==-，所以12x =-不是对称轴，②不正确； ()f x 在1(24k -，32)4k +，k Z ∈上是减函数；③正确； 因为A 正负不定，()f x 的最大值为||A ．所以④不正确 综上可得：①③正确． 故选C ．3．（2020•二模拟）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[π-，]π上单调递增，则ω的取值可以是( ) A ．1 B ．12C ．25 D ．15【答案】D【解析】在[π-，]π上，[55x ππωωπ+∈-+，]5πωπ+， 函数()sin()(0)5f x x πωω=+>在[π-，]π上单调递增，52ππωπ∴-+-，且52ππωπ+，求得3010ω<， 故选D ．4．（2020•天津二模）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->，若函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为( ) A ．713(,)66B ．713(,]66C ．611(,)56D ．611(,]56【答案】B 【解析】(0,)x π∈时，可得：(66x ππω-∈-，)6πωπ-． 要是函数()f x 有且只有两个零点， 则26ππωππ<-，解得：71366ω<． 故选B ．5．（2020•香坊区校级一模）已知函数()2sin(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2π，函数()f x 图象关于直线6x π=对称，且满足函数()f x 在区间[,]66ππ-上单调递增，则(ϕ= ) A ．3πB ．3π-C ．6π-D ．6π 【答案】D【解析】根据题意，函数()2sin(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为2π，即22T ππω==，则1ω=，则()2(2)f x sin x ϕ=+， 函数()f x 图象关于直线6x π=对称，且满足函数()f x 在区间[,]66ππ-上单调递增， 则函数()f x 在6x π=时取得最大值，则有2262k ππϕπ+=+，()k Z ∈变形可得：6k πϕπ=+，又由||2πϕ<，即22ππϕ-<<，则6πϕ=，故选D ．6．（2020•新华区校级模拟）函数()2cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><在区间[,]36ππ-上单调，且()()()36f f x f ππ-恒成立，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A ．1BCD 【答案】A【解析】由题意知，()2632T πππ=--=，即T π=，∴22Tπω==，即()2cos(2)f x x ϕ=+． 因为6x π=时，()f x 取得最大值，所以()2cos()263f ππϕ=+=，即cos()13πϕ+=，||2πϕ<，∴3πϕ=-，即()2cos(2)3f x x π=-，(0)1f ∴=， 故选A ．7．（2020•松原模拟）已知函数()sin(6)4f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的图象关于点(,0)24π-对称B ．函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称C ．若将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移24π个单位长度，则得函数()sin6g x x =的图象D ．函数()f x 在区间7[,]2424ππ上单调递减 【答案】D【解析】对于函数()sin(6)4f x x π=+，令24x π=-，可得()0f x =，故函数()f x 的图象关于点(,0)24π-对称，故A 正确；令8x π=-，可得()1f x =-，是最小值，故函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称，故B 正确；将函数()sin(6)4f x x π=+的图象沿x 轴向右平移24π个单位长度，可得函数sin(66)sin 6()244y x x g x ππ=-+==的图象，故选项C 正确； 在区间7[,]2424ππ上，6[42x ππ+∈，2]π，()f x 没有单调性，故D 错误， 故选D ．8．（2020•二模拟）已知函数()sin()(0)5f x x πωω=+>的最小正周期为2，则17()15f 的值为( )A ．12B C ．12-D ． 【答案】D【解析】函数()sin()(0)5f x x πωω=+>的最小正周期为2，则22πω=，解得ωπ=；所以17174()sin()sin sin 1515533f ππππ=+==-=． 故选D ．9．（2020•黄州区校级二模）若函数()sin(2)3f x x π=-，则( )A ．f （1）f >（3）f >（2）B ．f （1）f >（2）f >（3）C ．f （2）f >（1）f >（3）D ．f （3）f >（2）f >（1）【答案】B【解析】对于函数()sin(2)3f x x π=-，f （1）sin(2)3π=-，f （2）sin(4)3π=-，f （3）sin(6)3π=-，2632πππ<-<，∴12f <（1）1<； 24332πππ<-<，0f ∴<（2）12<；36223πππ<-<，f ∴（1）0<， 故有f （1）f >（2）f >（3）， 故选B ．10．（2020•碑林区校级模拟）关于函数sin 2()2cos xf x x=+有下列四个结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③x R ∀∈，1()2f x <；④()f x 在区间(,)44ππ-内单调递增．其中所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D 【解析】函数sin 2()2cos xf x x=+，函数的定义域为x R ∈，sin 2()()()2cos()x f x f x x --==-+-，所以函数sin 2()2cos xf x x =+为奇函数．故①正确．sin(24)(2)()2cos(2)x f x f x x πππ++==++，所以函数的最小值正周期为2π，故函数为周期函数，故②正确．当54x π=时，5sin512()5422cos 4f πππ==>+，x R ∴∀∈，1()2f x <不对；故③错误； 由sin 2y x =在(0,)4π单调递增，而cos y x =在(0,)4π单调递减，可知()f x 在(0,)4π单调递增，∴函数sin 2()2cos x f x x =+在(0,)4π单调递增，根据①可知()f x 是奇函数，()f x ∴在区间(4π-，0)单调递增，则()f x 在区间(,)44ππ-内单调递增；故④正确；故选D ．11．（2020•全国I 卷模拟）直线y a =与函数()tan()(0)4f x x πωω=+>的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在(m -，)(0)m m >上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．(0，]4πB ．(0，]2πC ．(0，3]4π D ．(0，3]2π 【答案】B【解析】直线y a =与函数()tan()4f x x πω=+图象的相邻两个交点的距离为一个周期，则2T π=，所以12Tπω==， 所以1()tan()24f x x π=+，由12242k x k πππππ-<+<+， 解得32222k x k ππππ-<<+，()k Z ∈； 所以函数()f x 在3(2π-，)2π上是单调增函数； 又()f x 在(,)m m -上是单调增函数， 即(m -，3)(2m π⊆-，)2π， 解得02mπ<；所以m 的取值范围是(0，]2π．故选B ．12．（2014•泸州二模）下列不等式成立的是( ) A ．3sin()sin()105ππ->- B ．sinsin1810ππ>C ．9tan()tan 86ππ> D ．723cos()cos()45ππ->- 【答案】D 【解析】由于302105πππ-<-<-<，而函数sin y x =在区间(2π-，0)上是增函数，故有3sin()sin()105ππ-<-，故排除A ． 由于018102πππ<<<，而函数sin y x =在区间(0，2π)上是增函数，故有sin()sin()1810ππ<，故排除B ． 由于9tan tan 88ππ=，0086ππ<<<，而函数tan y x =在区间( 0，2π，)上是增函数，故有tantan86ππ<，即9tantan 86ππ<，故排除C ． 由于7cos()cos 44ππ-=，2333cos()cos()cos555πππ-=-=，且函数cos y x =在区间(0,)π上是减函数，故3coscos45ππ>，即723cos()cos()45ππ->-，故D 正确， 故选D ．13．（2013•资阳二模）下列不等式成立的是( ) A ．9tan()tan()86ππ> B ．3sin()sin()105ππ->- C ．sinsin1810ππ> D ．723cos()cos()45ππ->- 【答案】D 【解析】由于9tan tan 88ππ=，函数tan y x =在( 0，)2π上是增函数，故有tan tan 86ππ<， 即9tan()tan()86ππ<，故排除A ． 由于函数sin y x = 在(2π-，0)上是增函数，3105ππ-<-，3sin()sin()105ππ∴-<-，故排除B ． 由于函数sin y x = 在(0,)2π上是增函数，sin sin 1810ππ∴<，故排除C ．由于7cos()cos 44ππ-=，2333cos()cos()cos555πππ-=-=，函数cos y x =在(0,)π上是减函数， 3coscos45ππ∴>，即723cos()cos()45ππ->-，故D 正确， 故选D ．14．（2013•新津县校级一模）函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为( )A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】B【解析】由正切函数的周期公式得：2T π=．故选B ．15．（2020•辽宁模拟）函数tan 2y x =图象的对称中心坐标为( ) A ．(2,0)k π，k Z ∈ B ．(,0)k π，k Z ∈ C ．(,0),2k k Z π∈ D ．(,0),4k k Z π∈ 【答案】【解析】由于D 函数tan y X =的对称中心为(,0)()2k k Z π∈， 令22k x π=，解得4k x π=， 故函数tan 2y x =的对称中心为(,0)()4k k Z π∈，故选D ．16．（2013•宝鸡二模）已知正切函数tan y x =的图象关于点(,0)θ对称，则sin (θ= ) A ．1-或0 B ．1或0 C ．1-或0或1 D ．1或1-【答案】C【解析】正切函数tan y x =的图象关于点(,0)θ对称，(,0)θ∴是正切函数tan y x =的图象的对称中心， 2k πθ∴=，k z ∈． 故sin 1θ=-，0 或1， 故选C ．17．（2020•靖远县四模）已知直线13x =-是函数()3sin()(0)f x x πϕϕ=+>图象的一条对称轴，则ϕ的最小值是( ) A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】由题意，可得3sin()33πϕ-+=±，则()32k k Z ππϕπ-+=+∈，即5()6k k Z πϕπ=+∈， 因为0ϕ>，所以56min πϕ=． 故选D ．18．（2020•河南模拟）函数()2sin(3)cos(3)63f x x x ππ=++-的图象的一条对称轴方程为( )A ．29x π=B ．3x π=C ．49x π=D ．59x π=【答案】C 【解析】因为3(3)632x x πππ+--=， 所以33623x x πππ+-=-，则()2sin(3)cos(3)2sin(3)cos(3)63662f x x x x x πππππ=++-=+++- 2sin(3)sin(3)3sin(3)666x x x πππ=+++=+，所以其图象的对称轴方程为3()62x k k Z πππ+=+∈，解得()93k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，49x π=． 故选C ．19．（2020•河南模拟）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的一条对称轴是3x π=-，且()f x 在(,)126ππ上是单调函数，则ω的最大值为( )A ．5B ．6C ．10D ．12【答案】D【解析】函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的一条对称轴是3x π=-，32k ωππϕπ∴-+=+，即23k πωπϕπ=++，k Z ∈．且()f x 在(,)126ππ上是单调函数，显然对称轴在此区间的左侧． ()23232k n ππωππωππ∴-+++-，n Z ∈，两边同时乘以1-，可得23232k n ππωππωππ----+①，且()26232k n ππωππωππ++++②，再把①②这2个式子相加， 可得12πωπ，12ω∴，即ω得最大值为12，故选D ．20．（2020•重庆模拟）函数sin(1)y x =-的图象( ) A ．关于直线1x =对称 B ．关于点(1,0)对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称【答案】B【解析】对于函数sin(1)y x =-，令1x =，可得0y =， 故它的图象关于点(1,0)对称， 故选B ．21．（2020•乐山模拟）已知点(,0)24A π在函数()cos(2)(0f x x ωϕω=+>且*N ω∈，0)ϕπ<<的图象上，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴．若()f x 在区间(,)63ππ内单调，则(ϕ= )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】由题意得，62484T πππ-=，得12428ππω⨯，得2ω，又因为()f x 在区间(,)63ππ内单调，所以362T ππ-，得12226ππω⨯，得3ω．所以23ω．又因为*N ω∈，所以2ω=或3． 当2ω=时，cos(4)024πϕ⨯+=，得3k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，此时直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，且()f x 在区间(,)63ππ内单调． 所以3πϕ=．当3ω=时，cos(6)024πϕ⨯+=，得4k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以4πϕ=，此时cos(6)164ππ⨯+=≠±， 所以直线6x π=不是函数()f x 的图象的一条对称轴．所以2ω=，3πϕ=，故选B ．22．（2020•朝阳区二模）已知函数()sin(2)6f x x π=-，则下列四个结论中正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于5(12π，0)中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称C ．函数()f x 在区间(,)ππ-内有4个零点D ．函数()f x 在区间[2π-，0]上单调递增【答案】C【解析】对于函数()sin(2)6f x x π=-，令512x π=，求得()f x ，故函数()f x 的图象不关于5(12π，0)中心对称，故排除A ；令8x π=-，求得5()sin()12f x π=-，不是最值，故函数()f x 的图象不关于直线8x π=-对称，故排除B ；在区间(,)ππ-上，132(66x ππ-∈-，11)6π，当226x ππ-=-，π-，0，π 时，()0f x =，故函数()f x 在区间(,)ππ-内有4个零点，故C 正确； 在区间[2π-，0]上，72[66x ππ-∈-，]6π-，()f x 没有单调性，故D 错误， 故选C ．23．（2020•广西二模）已知函数()sin()(0)4f x x πωω=->，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，那么函数()y f x =的图象( ) A ．关于点(16π-，0)对称B ．关于点(16π，0)对称C ．关于直线16x π=对称D ．关于直线4x π=-对称【答案】B【解析】相邻两条对称轴之间的距离等于4π， ∴42T π=， 22T ππω∴==，4ω∴=，()sin(4)4f x x π∴=-．令16344216k x k x πππππ+-=+⇒=，k Z ∈； 即对称轴为：16316k x ππ+=，k Z ∈； 故CD 均错误； 令164416k x k x ππππ+-=⇒=，k Z ∈； 即对称中心为：16(16k ππ+，0)，k Z ∈；即A 错，B 对； 故选B ．24．（2020•商洛模拟）若函数()2cos(2)13f x x π=--在[0，]m 上的最小值小于零，则m 的取值范围为( ) A ．2(3π，4]3π B ．2(3π，)+∞ C ．(3π，2]3πD ．(3π，)+∞【答案】D 【解析】[0x ∈，]m ，2[33x ππ∴-∈-，2]3m π-，设23t x π=-，则[3t π∈-，2]3m π-，作出函数2cos 1y t =-的图象如图， 由2cos 10y t =-=得1cos 2t =， 则23t k ππ=+或23t k ππ=-+，则当0t >时的，第一个零点为3t π=，即当33tππ-时，2cos 10y t =-，要使2cos 1y t =-在[3t π∈-，2]3m π-上的最小值小于0，则只需要233m ππ->，即可，得223m π>，得3m π>， m ∴的取值范围为(3π，)+∞． 故选D ．25．（2020•广州一模）设函数1()2cos()23f x x π=-，若对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x 成立，则12||x x -的最小值为( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】函数1()2cos()23f x x π=-，若对于任意的x R ∈，都有12()()()f x f x f x ，1()f x ∴是函数的最小值，2()f x 是函数的最大值，12||x x -的最小值就是函数的半周期，1221222T ππ=⨯=； 故选C ．26．（2019•西湖区校级模拟）函数cos ,[,]62y x x ππ=∈-的值域是( )A ．[0，1]B ．[1-，1]C ．[0，3]2D ．1[2-，1]【答案】A【解析】由余弦函数的单调性，函数在[,0]6π-，上是增，在[0,]2π上减，故其最大值在0x =处取到为1 最小值在2x π=处取到为0，故其值域是[0，1]；故选A ．27．（2020•广西一模）已知函数2()2cos()1(0)3f x x πωω=+->的一个零点是4x π=，则当ω取最小值时，函数()f x 的一个单调递减区间是( )A ．[3π-，]6π- B ．[12π-，]6πC ．[12π，]3πD ．[3π，7]12π【答案】D 【解析】()f x 的一个零点是4x π=，由()04f π=得21cos(()432ππω+=，得22433k πππωπ+=±，即84k ω=-或483k ω=-，k Z ∈，0ω>，ω∴的最小值为4ω=，此时2()2cos(4)13f x x π=+-， 由22423k x k ππππ++，k Z ∈，得1126212k x k ππππ-+，k Z ∈，当1k =时，()f x 的一个单调递减函数区间为[3π，7]12π，故选D ．28．（2020•咸阳一模）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈【答案】C【解析】解224k x k πππππ--得，312244k x k -+， ∴函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是31[2,2]()44k k k Z -+∈． 故选C ．29．（2020•新疆一模）函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-单调递减，在区间(,0)6π-有零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．[,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ【答案】C【解析】由222k x k πϕππ++，k Z ∈， 得222k x k ϕϕπππ--+，k Z ∈，即函数的单调递减区间为[2k ϕπ-，]22k πϕπ+-，k Z ∈， ()f x 在区间[,]66ππ-单调递减，26k ϕππ∴--且，226k πϕππ+-，即2623k k ϕππϕππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得623k k πϕπππ++，k Z ∈，即22233k k πππϕπ++，k Z ∈， 0ϕπ<<，∴当0k =时，233ππϕ， 由22x k πϕπ+=+得224k x πϕπ=-+， ()f x 在区间(,0)6π-有零点，∴满足06224k ππϕπ-<-+<， 当0k =时，0624πϕπ-<-+<，得526ππϕ<<， 综上223ππϕ<， 故选C ． 二、填空题30．（2020•道里区校级一模）若14x π=，234x π=是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的零点，则ω=__________． 【答案】2 【解析】因为14x π=，234x π=是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的零点， 所以232()44T ππππω==-=， 解得2ω=． 故答案为：2．31．（2019•西湖区校级模拟）函数3tan()(0)6y x πωω=+>的最小正周期是2π，则ω= 2 ，该函数的单调递增区间为__________． 【答案】2；(23k ππ-，)26k ππ+，k Z ∈【解析】函数3tan()(0)6y x πωω=+>的最小正周期是2ππω=，则2ω=，令2262k x k πππππ-<+<+，求得2326k k x ππππ-<<+， 故函数的增区间为(23k ππ-，)26k ππ+，k Z ∈， 故答案为：2；(23k ππ-，)26k ππ+，k Z ∈． 32．（2019•闵行区校级一模）在(0,2)π内使33sin cos x x >成立的x 的取值范围是__________． 【答案】(4π，5)4π 【解析】33sin cos x x >， 33sin cos 0x x ∴->，即22(sin cos )(sin sin cos cos )0x x x x x x -++>， 1(sin cos )(1sin 2)2x x x ∴-+；又11sin 202x +>恒成立，sin cos 0x x ∴->，)04x π->，(2,2)4x k k ππππ∴-∈+，解得(24x k ππ∈+，52)4k ππ+，k Z ∈； 又(0,2)π，∴使33sin cos x x >成立的x 的取值范围是(4π，5)4π． 故答案为：(4π，5)4π．33．（2015•上海模拟）若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a =__________． 【答案】2±【解析】函数()2cos(4)17f x x π=+-的周期是2π；函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期是：||a π；因为周期相同，所以||2a ππ=，解得2a =±故答案为：2±．34．（2020•河南模拟）函数()3tan(2)3f x x π=+的图象的对称中心是__________．【答案】(46k ππ-，0)，k Z ∈ 【解析】对于函数()3tan(2)3f x x π=+，令232k x ππ+=，求得46k x ππ=-，故函数的图象的对称中心是(46k ππ-，0)，k Z ∈， 故答案为：(46k ππ-，0)，k Z ∈． 35．（2019•新吴区校级模拟）正切曲线tan y x =的对称中心的坐标是__________． 【答案】(2k π，0)，k Z ∈ 【解析】根据正切函数图象的性质知， 曲线tan y x =的对称中心的坐标是(2k π，0)，k Z ∈． 故答案为：(2k π，0)，k Z ∈． 36．（2020•甘肃模拟）已知函数2cos y x =定义域为[,]3ππ，值域为[a ，]b ，则b a -=__________．【答案】3【解析】已知函数cos y x =在[,]3ππ上单调递减，当3x π=时，函数的1212max y =⨯=，当x π=时函数的2min y =-， 即2a =-，1b =， 所以3b a -=． 故答案为：3．37．（2020•青浦区二模）已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）若函数()y f x =的图象关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （2）若存在05[0,]12x π∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为2()(2sin )cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x x π===+所以函数()f x 的图象的对称轴由下式确定：2,32x k k Z πππ+=+∈从而,212k x k Z ππ=+∈．由题可知当0k =时，a 有最小值12π；（2）当05[0,]12x π∈时，072[,]336x πππ+∈，从而01sin(2)[,1]32x π+∈-，则0()[1f x ∈-，2]由0()20mf x -=可知：1m 或2m -． 38．（2017•浙江二模）已知直线518x π=是函数()sin(3)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴． （1）求ϕ；（2）求函数()()6y f x f x π=+-，(0,)3x π∈的值域．【解析】（1）直线518x π=是函数()sin(3)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图象的一条对称轴， 53182k ππϕπ∴+=+，k Z ∈，3πϕ∴=-，()sin(3)3f x x π=-．（2）函数()()sin(3)sin[3()]sin(3)cos(3)636333y f x f x x x x x ππππππ=+-=-+--=-++11sin3cos3)224x x x x x x x π=+==+，(0,)3x π∈，3(44x ππ∴+∈，5)4π，sin(3)(4x π∴+∈，1]，y ∴∈．39．（2014•南京模拟）已知函数2()2sin cos 2f x x x x =+ （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）当(0,)2x π∈时，若函数()()g x f x m =+有零点，求m 的范围；（3）若02()5f x =，0(,)42x ππ∈，求0sin(2)x 的值．【解析】（1）()sin 222sin(2)23f x x x x π=+=++，令232x k πππ+=+可得：,122k x k Z ππ=+∈， ∴对称轴方程为：,122k x k Z ππ=+∈． （2）(0,)2x π∈ 42(,)333x πππ+∈，∴sin(2)(3x π+∈，∴2sin(2)2(2,4]3x π++∈，函数()()g x f x m =+有零点，即()f x m =-有解．即(2,4],[2)m m -∈∈-． （3）02()5f x =即0222sin(2)22355x π++=+=即044sin(2)355x π+=-=-，0(,)42x ππ∈，∴0542(,)363x πππ+∈， 又04sin(2)35x π+=-，∴042(,)33x πππ+∈， ∴03cos(2)35x π+=-， ∴00sin 2sin[(2)]33x x ππ=+-00sin(2)cos cos(2)sin 3333x x ππππ=+-+413()()525=-⨯--=。