知识讲解 条件概率 事件的相互独立性

条件概率事件的相互独立性

【学习目标】

1．了解条件概率的概念和概率的乘法公式．

2．能运用条件概率解决一些简单的实际问题．

3．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．

4．能运用相互独立事件的概率解决一些简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、条件概率的概念

1.定义

设A、B为两个事件，且()0

P A>，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。

用符号(|)

P B A表示。

(|)

P B A读作：A发生的条件下B发生的概率。

要点诠释

在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．

2．P（A｜B）、P（）、P（B）的区别

P（A｜B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

P（）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。

P（B）是事件B发生的概率，无附加条件．

它们的联系是：

() (|)

()

P AB

P A B

P B

=．

要点诠释

一般说来，对于概率P()与概率P(A)，它们都以基本事件空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间Ω的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P()是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。

例如，盒中球的个数如下表。从中任取一球，记“取得篮球”，“取得玻璃球”。基本事件空间Ω包含的

样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故

11 ()

P A=。

如果已知取得玻璃球的条件下取得篮球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，那么

在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，即把样本空间压缩到玻璃球全体。而在事件B 发生的条件下事件A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故42

(|)63

P A B ==。 要点二、条件概率的公式

1．计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算．

先分别计算概率P （）及P （B ），然后借助于条件概率公式()

(|)()

P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算．

在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件，从而

(|)AB P A B B =

包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()

(|)()

n AB P B A n A =，此法常应用于古典概型中的条件概率

求解． 要点诠释

概率P()与P()的联系与区别： 联系：事件A ，B 都发生了。 区别：

①在P()中，事件A ，B 发生有时间上的差异，事件A 先发生事件B 后发生；在P()中，事件A ，B 同时发生；

②基本事件空间不同在P()中，事件A 成为基本事件空间；在P()中，基本事件空间仍为原基本事件空间。

2．条件概率公式的变形． 公式()

(|)()

P AB P A B P B =

揭示了P （B ）、P （A ｜B ）、P （）的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若P （B ）＞0，则P （）（B ）·P （A ｜B ），该式称为概率的乘法公式． 要点诠释

条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质．如： ①任何事件的条件概率取值在0到1之间；

②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； ③条件概率也有加法公式：

P （B ∪C ｜A ）（B ｜A ）（C ｜A ），

其中B 和C 是两个互斥事件． 要点三、相互独立事件 1.定义：

事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这样的两个事件叫做相互独立事件。

若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。 2．相互独立事件同时发生的概率公式：

对于事件A 和事件B ，用A B ⋅表示事件A 、B 同时发生。 （1）若A 与B 是相互独立事件，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅； （2）若事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，

即：1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅

⋅。

要点诠释

（1）P （）（A ）P （B ）使用的前提是A 、B 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．

（2）两个事件A 、B 相互独立事件的充要条件是()()()P A B P A P B ⋅=⋅。 3．相互独立事件与互斥事件的比较

互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。 4. 几种事件的概率公式的比较

已知两个事件A ，B ，它们发生的概率为P （A ），P （B ），将A ，B 中至少有一个发生记为事件，都发生记为事件A·B ，都不发生记为事件A B ⋅，恰有一个发生记为事件A B A B ⋅+⋅，至多有一个发生记为事件

A B A B A B ⋅+⋅+⋅，则它们的概率间的关系如下表所示：

【典型例题】 类型一、条件概率

例1．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别