【人教版】初中九年级数学上册期末复习课件

【变式跟进】 5．方程 x2－2x＋3＝0 的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根
【解析】 ∵a＝1，b＝－2，c＝3， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8<0， ∴方程没有实数根．
6．已知关于 x 的一元二次方程 kx2＋(2k＋1)x＋2＝0(k≠0)． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，且 k 为正整数，求 k 的值．
题型三 一元二次方程根的判别式 已知关于 x 的方程 x2－(k＋1)x－6＝0.
(1)求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为 2，试求出 k 的值和另一根． (1)证明：∵b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×1×(－6)＝(k＋1)2＋24＞0， ∴无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
题型四 一元二次方程根与系数的关系 已知关于 x 的方程 x2－(2k－1)x＋k2－3＝0 有两个实数根 x1，x2.
(1)求 k 的取值范围； (2)若 x1，x2 满足 x21＋x22＝5，求 k 的值．
解：(1)∵关于 x 的方程 x2－(2k－1)x＋k2－3＝0 有两个实数根 x1，x2， ∴Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－3)≥0， 解得 k≤143， ∴k 的取值范围为 k≤143. (2)∵x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－3，x21＋x22＝5， ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2－3)＝5， 解得 k＝1＜143，符合题意，故 k＝1.
解：(1)x2－14x＋49＝57，(x－7)2＝57， x－7＝± 57， ∴x1＝7＋ 57，x2＝7－ 57. (2)Δ＝(－7)2－4×1×(－18)＝121， x＝72±×111， ∴x1＝9，x2＝－2.
(3)(2x＋3)2－4(2x＋3)＝0， (2x＋3)(2x＋3－4)＝0， 2x＋3＝0 或 2x＋3－4＝0， ∴x1＝－23，x2＝21. (4)2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0， (x－3)(2x－6－x－3)＝0， x－3＝0 或 2x－6－x－3＝0， ∴x1＝3，x2＝9.
期末复习课件
一元二次方程
专题1 一元二次方程
题型归类 过关训练
题型归类
题型一 一元二次方程的有关概念
若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x2＋32ax－a2＝0 的一个根，则 a
的值为( A )
A．1 或－4
B．－1 或－4
C．－1 或 4
D．1 或 4
【解析】∵x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x2＋23ax－a2＝0 的一个根， ∴(－2)2＋32a×(－2)－a2＝0， 即 a2＋3a－4＝0， 整理，得(a＋4)(a－1)＝0， 解得 a1＝－4，a2＝1. 即 a 的值是 1 或－4.
解法二：a＝1，b＝－6，c＝－3， b2－4ac＝36－4×1×(－3)＝36＋12＝48， ∴x＝－b± 2ba2－4ac＝62±×418＝6±42 3＝3±2 3，∴x1＝3＋2 3，x2＝3－2 3.
【变式跟进】
3．已知等腰三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边是方程 x2－5x＋6＝0
＝－4， m＋n 的值是( C )
A．－10
B．10
C．－6
D．－1
【解析】 由题意得 x1＋x2＝－m，x1x2＝n，
∴m＝2，n＝－8，∴m＋n＝2－8＝－6.
题型二 一元二次方程的解法 解方程：x2－6x－3＝0.
解：解法一：x2－6x＝3， x2－6x＋32＝3＋32，(x－3)2＝12， ∴x－3＝±2 3， ∴x1＝3＋2 3，x2＝3－2 3.
【变式跟进】
1．已知 m 是方程 x2－x－2＝0 的一个根，则代数式 m2－m＋3＝( D )
A．－2
B．1
C．0
D．5
【解析】把 x＝m 代入方程 x2－x－2＝0， 可得 m2－m－2＝0，即 m2－m＝2， ∴m2－m＋3＝2＋3＝5.
2．若关于 x 的一元二次方程 x2＋mx＋n＝0 的两个实数根分别为 x1＝2，x2
(1)证明：Δ＝(2k＋1)2－4k×2＝(2k－1)2. ∵(2k－1)2≥0，∴Δ≥0. ∵k≠0，∴方程总有两个实数根．
(2)解：kx2＋(2k＋1)x＋2＝0， (x＋2)(kx＋1)＝0， 解方程得 x1＝－2，x2＝－1k. ∵方程有两个整数根，∴k＝±1. ∵k 为正整数，∴k＝1.
【点悟】 已知一元二次方程的根求未知系数，其方法是：(1)已知一根， 直接代入原方程，得到一个关于待定系数的方程，解方程求出待定系数的值； (2)已知两根，把两根直接代入原方程，列出关于待定系数的方程组，解方程组， 求待定系数；(3)利用根与系数的关系求解．注意，求出的待定系数不能使二次 项系数等于 0.
(2)解：将 x＝2 代入方程 x2－(k＋1)x－6＝0 中， 得 22－2(k＋1)－6＝0， 解得 k＝－2. ∴原方程可化为 x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)＝0， 解得 x1＝2，x2＝－3. 故 k 的值为－2，方程的另一根为－3.
【点悟】 当 Δ>0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当 Δ<0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．另外，解这类问题必须分清方程是一元一次方 程还是一元二次方程，是方程有实数解还是一元二次方程有实数解．
的解，则这个三角形的周长是 ( C )
A．9
B．10
C．11
D．14
【解析】 解方程 x2－5x＋6＝0，得 x＝2 或 x＝3. ∵三角形是等腰三角形，∴x＝3， ∴这个三角形的周长为 3＋3＋5＝11.
4．解下列方程： (1)x2－14x＝8(配方法)； (2)x2－7x－18＝0(公式法)； (3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)(因式分解法)； (4)2(x－3)2＝x2－9.