信道编码与香农第二定理
香农第二定理证明
香农第二定理证明香农第二定理是信息论中的一个重要定理，它描述了信道容量的计算方法。
以下是香农第二定理的证明：假设有一个离散无记忆信道，其中输入字母的概率分布为p(x)，输出字母的概率分布为p(y|x)，则平均互信息I(X;Y)为输入字母集X 和输出字母集Y的联合概率分布p(x,y)和边缘概率分布p(x),p(y)的差值。
1. 针对输入字母x，其输出字母的条件概率分布为p(y|x)。
因此，对于每个输入字母x，都有输出字母y的概率为p(y|x)。
2. 根据信息熵的定义，输入字母集X的信息熵H(X)为：H(X) = -Σp(x)log2p(x)3. 同样地，输出字母集Y的信息熵H(Y)为：H(Y) = -Σp(y)log2p(y)4. 由于信道是离散无记忆信道，对于每个输出字母y，都有输入字母x的条件概率分布为p(x|y)。
因此，对于每个输出字母y，都有输入字母x的概率分布为p(x|y)。
5. 根据条件熵的定义，给定输出字母y的条件下，输入字母集X 的条件熵H(X|Y=y)为：H(X|Y=y) = -Σp(x|y)l og2p(x|y)6. 根据互信息的定义，输入字母集X和输出字母集Y的互信息I(X;Y)为：I(X;Y) = Σp(x,y)log2(p(x,y)/(p(x)p(y)))7. 根据条件互信息的定义，给定输出字母y的条件下，输入字母集X和输出字母集Y的条件互信息I(X;Y|Y=y)为：I(X;Y|Y=y) = Σp(x|y)log2(p(x|y)/(p(x)))8. 由于信道是离散无记忆信道，根据贝叶斯定理，有p(x|y) = (p(y|x)p(x))/p(y)。
将其代入条件互信息的定义中，得到：I(X;Y|Y=y) = Σp(x|y)log2((p(y|x)p(x))/(p(x)p(y))) =Σp(x|y)log2(p(y|x)/p(x))9. 将条件互信息I(X;Y|Y=y)代入互信息I(X;Y)的定义中，得到：I(X;Y) = Σp(y)Σp(x|y)log2(p(y|x)/p(x))注意，此处的p(x|y)是针对给定的输出字母y的输入字母x 的条件概率分布。
香浓定理解密之旅——信息论
香浓定理解密之旅——信息论香农定理是以其奠基人克劳德·香农命名的一条定理，也是信息论的中心。
它揭示了数字通信中信息传输的极限，即信道容量。
本文的目的是通过对香农定理的讲解，让大家更好地了解信息论。
一、信息量的度量首先，我们需要了解在信息论中信息量的度量方式——信息熵。
信息熵是对一组可能性的不确定性程度的度量，它表示在一个系统中信息的平均量。
例如，考虑一枚硬币正面朝上和反面朝上的等概率事件，那么它的信息熵就是1比特。
另一个例子是一组4个可能性的抛硬币事件，那么它的信息熵就是2比特。
通常，我们将信息熵用H表示，单位是比特（bit）。
二、确定信道的容量下面，我们来探讨确定信道的容量。
确定信道是指，在信道中信息没有噪声干扰的情况下，信道的信息传输速率是无限的。
在这样的情况下，信源的信息熵必须小于或等于信道的容量。
在信源的信息熵等于信道容量的情况下，数据传输速率的极限被称为香农极限。
香农极限是一种理论上最快的数据传输速度的极限，它可以用以下公式计算:C = B log(1+S/N)其中C是信道容量，B是信道的宽带，S和N分别是信道内和信道外的信号功率。
这个公式告诉我们，当信号功率的信噪比（SNR）变大时，信道容量也随之增大。
三、非确定信道的容量实际上，在现实生活中，信息传输经常受到噪声的干扰。
在这种情况下，信道容量的计算就更为复杂了。
非确定信道的容量可以用香农公式的扩展版本来计算。
该公式包括两个元素：一是附加的关于信噪比的修正因子，称为香农-哈特利定理，用于计算噪声对数据传输速率的影响；二是关于信道编码的信息，即纠错码和流程控制等技术的应用，能够在一定程度上减轻噪声的影响，提高数据传输速度。
四、应用香农定理被广泛应用于无线通信领域，例如手机通信、无线电子邮件、卫星通信和移动应用等。
通过运用香农定理的基本原理，科学家们不断推陈出新，发明更为先进的通讯技术，开发出更高效、更稳定、更便捷、更安全的通讯设备和网络，使得信息交流更为便捷和快捷，有效地推动了社会进步和经济发展。
霍夫曼编码及其应用
毕业设计（论文）题目：霍夫曼编码及其应用学院：数理学院专业名称：信息与计算科学学号： 0741210246学生姓名：张浩指导教师：韩海清2011 年 4 月 20 日摘要本文首先对二元霍夫曼编码进行了细致研究，并对其算法进行扩展，得到了适用于多元霍夫曼编码的算法。
然后，对霍夫曼编码的前缀性，最优性进行了证明。
最后实现了霍夫曼编码在决策论中应用。
关键词码；熵；霍夫曼编码；决策树ABSTRACTThis paper first studied binary Huffman coding, and conducted a detailed study on its algorithm suitable for expansion, get multiple Huffman coding algorithm. Meanwhile, Huffman coding prefix sex, optimality proved. Finally realized Huffman coding applied in rigorous.KEYWORDSThe Coding； The Entropy； Huffman Coding； Decision tree目录第一章引言 (4)第二章主要概念 (5)2.1香农三大定理 (5)2.1.1香农第一定理(可变长无失真信源编码定理) (5)2.1.2香农第二定理（有噪信道编码定理） (5)2.1.3香农第三定理（保失真度准则下的有失真信源编码定理） (5)2.2霍夫曼编码 (6)第三章二元霍夫曼编码及其算法 (6)第四章一般霍夫曼编码及其算法 (8)第五章霍夫曼编码的性能分析 (12)5.1霍夫曼编码的前缀性 (12)5.2霍夫曼编码的最优性定理 (13)第六章霍夫曼编码的应用 (13)第七章总结与展望 (16)参考文献 (17)附录1 (18)致谢 (30)第一章引言1948年，美国数学家香农（C.E.Shannon）在《贝尔系统电话杂志》发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文。
信道编码定理-2011
log 2 2k k R n n
（比特/传输符号）
在信道编码技术中，R=k/n常称做码率或编码效率。
有 噪 信 道 编 码 定 理
1.2 错误概率
为提高可靠性，必须降低传输的错误概率。 通常有两种错误概率的描述：误码率和误字率。
误码率是指传输码元出错概率（对二进制也称误比特率）. 误字率是指码字出错概率。 对同一通信系统，误码率总比误字率低。
34
有 噪 信 道 编 码 定 理
两种准则使用要点
MAP准则 1）由转移概率矩阵的每行分别乘 p(x)，得到联合概率矩阵； 2）对于每一列（相当于 y 固定）找一个最大的概率对应的X 作为译 码结果； 3）所有译码结果所对应的联合概率的和为正确概率，其他矩阵元素 的和为错误概率。
23
ML准则
1）对转移概率矩阵中每列选择最大的一个元素对应的x作为译码结果； 2）所有译码结果所对应的转移概率的和再乘以 1/r（或pi）为 正确概率, 其他矩阵元素的和再乘以1/r （或pi）为错误概率。
有 噪 信 道 编 码 定 理
§ 2 常用译码准则
最常用两个准则： 1. 最大后验概率译码准则
16
2. 最大似然译码准则
有 噪 信 道 编 码 定 理
2.1 最大后验概率译码准则
对所有 i，当满足 p(x=a*|y)≥p(x=ai|y) （ 2.1）
时，则选择译码函数为F(y)=a*，称此准则为最大后
MAP准则举例
a1 0.5 0.3 0.2 P a2 0.2 0.3 0.5 a3 0.3 0.3 0.4 由MAP准则 b1 b2 b3 a1 1/6 1/10 1/15 [ P (ai b j )] a2 1/15 1/10 1/6 a3 1/10 1/10 2/15 b1 b2 b3
第6章 有噪信道编码定理12
幻灯片1第6章有噪信道编码定理幻灯片2●在无噪无损信道上，只要对信源的输出进行适当的编码，总能以最大信息传输率C（信道容量）无差错地传输信息。
但一般信道中总存在噪声或干扰，信息传输会造成损失，那么在有噪信道中怎么能使消息通过传输后发生的错误最少？在有噪信道中无错误传输的可达的最大信息传输率是什么？●这就是本章所要研究的内容，即研究通信的可靠性问题。
这时香农在1948年的文章中提出并证明了的信道编码定理，也称香农第二定理。
幻灯片36.1 错误概率和译码规则●在有噪信道中传输消息时会发生错误的。
为了减少错误，提高可靠性，首先就要分析错误概率与哪些因素有关，有没有办法加以控制，能控制到什么程度等问题。
●错误概率与信道统计特性有关。
信道的统计特性可由信道的传递矩阵来描述。
当确定了输入和输出对应关系后，也就确定了信道矩阵中哪些是正确传递概率，哪些是错误传递概率。
●但通信过程一般并不是在信道输出端就结束了，还要经过译码过程（或判决过程）才到达消息的终端（收信者）。
因此译码过程和译码规则对系统的错误概率影响很大。
幻灯片4●错误概率既与信道的统计特性有关，也与译码的规则有关。
●定义译码规则：设离散单符号信道的输入符号集为A={ai}，i=1,2,…,r；输出符号集为B= {bj}，j=1,2,…,s。
制定译码规则就是设计一个函数F(bj)，它对于每一个输出符号bj 确定一个唯一的输入符号ai 与其对应（单值函数）。
即● F(bj)= ai （ i=1,2,…,r ） （ j=1,2,…,s ）幻灯片5● 译码规则的选择应该根据什么准则？一个很自然的准则当然就是要使平均错误概率为最小。
● 为了选择译码规则，首先必须计算平均错误概率。
●平均错误概率PE 表示经过译码后平均接收到一个符号所产生的错误大小。
应是条件错误概率P(e | bj)对Y 空间取平均值，e 表示除了F(bj)= ai 以外的所有输入符号的集合。
● PE =E[p(e| bj)]=● 收到符号bj 条件下译码的正确概率为● P[F(bj) | bj)]= P(ai | bj)● P(e | bj) =1- P(ai | bj) =1- P[F(bj) | bj)]()()∑=s1j jjb e p b p幻灯片6如何设计译码规则F(bj)= ai ，使PE 最小()()∑=s1j jjb e p b p● PE =E[p(e| bj)]=●由于上式PE 的表达式中右边是非负项之和，可以选择译码规则使每一项为最小，即得PE 最小。
第六章有噪信道编码定理
A的PE=0.600
Hale Waihona Puke >在输入不是等概率分布时,根据最大似然译码规则,仍 其 PE = 0 .50 可采用译码函数为B,计算其平均错误概率P’’E=0.6. 但采用最小错误概率译码准则, 它不是最小的. 比如 输入不是等概率分布时最大似然译码准则的平均 错误概率不是最小.
C : F (b2 ) ==0.567 B的PE a 3 F (b ) = a 3 3
例6.2(续6.1)
根据最大似然译码规则可选择译码函数为B. 因为在矩阵的第1列中P(b1|a1)=0.5最大;第3列中 P(b3|a2)=0.5最大;而在第2列中P(b2|ai)=0.3,所以 F(b2)任选a1,a2,a3都行. 在输入等概率分布时采用译码函数B可使信道平均错 译码函数为: 误概率最小. F (b ) = a
我们也可以在矩阵 P(ai )P(bj | ai )]中先对i求和，除去译码规则中 [ F(bj ) = ai*所对应的P(aibj )( j =1,..., r); 然后再对各行求和。
因 式 此 (6.12)也 以 可 写成 P =∑ E
X Y −a*对 的 j 应 b
∑
P(ai )P(bj | ai )
在此译码规则下，平均错误概率 PE=P(0)Pe(0)+P(1)Pe(1)=2/3 反之，若译码器根据这个特殊信道定出另一种译码规则，将 输出端接收符号“0”译成“1”，接收符号“1”译成“0”， 则译错的可能性就减少了，为1/3。而译对的可能性就增大了， 为2/3。
码的规则有关。
译码规则：
设离散单符号信道的输入符号集为A = {ai }, i = 1,2,..., r; 输出符号集为B = {b j }, j = 1,2,..., s。制定译码规则就是 设计一个函数F (b j )，，它对于每一个输出符号b j 确定 一个惟一的输入符号ai与其对应（单值函数），即 (i = 1,2,..., r ) F (b j ) = ai ( j = 1,2,..., s) (6.1)
现代通信与香农的三大定理
现代通信与香农三大定理姓名：杨伟章学号：201110404234摘要：当我们提起信息论，就不得不把香农和信息论联系在一起，因为正是香农为通信理论的发展所做出的划时代贡献，宣告了一门崭新的学科——信息论的诞生。
从此，在香农信息论的指导下，为了提高通信系统信息传输的有效性和可靠性，人们在信源编码和信道编码两个领域进行了卓有成效的研究，取得了丰硕的成果。
其实，信息论是人们在长期通信实践活动中，由通信技术与概率论、随机过程、数理统计等学科相互结合而逐步发展起来的一门新兴交叉学科。
关键词：信息论基础现代通信系统香农三大定理上个世纪四十年代，半导体三极管还未发明，电子计算机也尚在襁褓之中。
但是通信技术已经有了相当的发展。
从十九世纪中叶，电报就已经很普遍了。
电报所用的摩斯码（Morse Code），就是通信技术的一项杰作。
摩斯码用点和线（不同长度的电脉冲）来代表字母，而用空格来代表字母的边界。
但是每个字母的码不是一样长的。
常用的字母E只有一个点。
而不常用的Z有两划两点。
这样，在传送英语时，平均每个字母的码数就减少了。
事实上，摩斯码与现代理论指导下的编码相比，传送速度只差15%。
这在一百五十多年前，是相当了不起了。
在二次世界大战时，雷达和无线电在军事上广泛应用。
无线电受各种噪声的干扰很厉害，这也给通讯技术提出了新的课题。
各种不同的调制方式也纷纷问世。
于是就出现了这样一个问题：给定信道条件，有没有最好的调制方式，来达到最高的传送速率？“传输速率是波特率与每波特所含比特数的乘积。
波特率受频宽的限制，而每波特所含比特数受噪声的限制。
”前一个限制，由那奎斯特（Harry Nyquist）在1928年漂亮地解决了。
而后一个问题则更复杂。
1928年，哈特利（R. V. L. Hartley）首先提出了信息量的概念，并指出编码（如摩斯码）在提高传送速度中的重要作用。
但是他未能完整定量地解决这个问题。
二战期间，维纳（Norbert Wiener）发展了在接收器上对付噪声的最优方法。
第5章_信源—信道编码定理
这种编码方法，可以看成是一种特殊的试验信道
1 P (v j / ui ) 0
d (C )
v j C , v j f (ui ) v j f (ui )
1 N
P (U ) d [ u , f ( u )]
U
1 1 1 [0 1 1 1 0 1 1 1] 3 8 4
要使信源在此二元信道中传输，必须对X进行二元编码：
x1 C1 C2 000 0000
x2 001 0001
x3 010 0010
H (X ) 3
H (X ) 4
x4 011 0011
x5 100 0100
x6 101 0101
对于码 对于码
C1
R1
0 .6 4 6
(比特／信道符号) (比特／信道符号)
第5章
信道—信源编码定理
通用通信系统
其中：编码器包括信源编码和信道编码两个部分； 译码器包括信道译码和信源译码两个部分； 信道为有噪信道。
•信道编码 •给定信道输入符号集AX； •给定信道输出符号集AY； •对每个输入符号x，存在一个非负实数b(x)，为传输x的 代价。 定义n阶容量—代价函数：
信息率为1/3，而平均失真为1/4，根据香农第三定理， 若允许失真D=1/4时，总可以找到一种编码，使信息输出 率达到极限R(1/4)
1 1 R ( ) 1 H ( ) 0 .1 8 9 4 4
信源—信道匹配
• 当信源与信道相连接时，其信息传输率并未 达到最大. • 希望能使信息传输率越大越好，能达到或尽 可能接近于信道容量, 信息传输率接近于信道 容量只有在信源取最佳分布时才能实现。 • 由此可见，当信道确定后，信道的信息传输 率与信源分布是密切相关的。当达到信道容 量时，我们称信源与信道达到匹配，否则认 为信道有剩余。
奈奎斯特第二定理
奈奎斯特第二定理奈奎斯特第二定理：若信道带宽为W，则最大码元速率R=2W。
奈奎斯特第二准则：是指有控制地在某些码元的抽样时刻引入码间干扰，而在其余码元的抽样时刻无码间干扰，就能使频带利用率达到理论上的最大值，同时又可降低对定时精度的要求。
与香农定理的关系：奈奎斯特准则：对于一个带宽为W（Hz）的无噪声低通信道，最高的码元传输速率Bmax：Bmax=2W（band）如果编码方式的码元状态数为M，得出极限信息传输速率（信道容量）Cmax：Cmax=2Wlog2M（b/s）因为信道总是有噪声的，因此奈奎斯特准则给出的是理论上的上限。
香农定理：Cmax=Wlog2（1+S/N）（b/s）S为信道内所传信号的平均功率，N为信道内部的高斯噪声功率香农定理描述了有限带宽、有随机热噪声信道的最大传输速率与信道带宽、信号噪声功率比之间的关系。
在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据传输率Rmax与信道带宽B，信噪比S/N关系为：Rmax=B*log2（1+S/N）。
注意这里的log2是以2为底的对数，下同。
在信号处理和信息理论的相关领域中，通过研究信号在经过一段距离后如何衰减以及一个给定信号能加载多少数据后得到了一个著名的公式，叫做香农（Shannon）定理。
它以比特每秒（bps）的形式给出一个链路速度的上限，表示为链路信噪比的一个函数，链路信噪比用分贝（dB）衡量。
因此我们可以用香农定理来检测电话线的数据速率。
香农定理由如下的公式给出：C=B*log2*（1+S/N）其中C是可得到的链路速度，B是链路的带宽，S是平均信号功率，N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。
通常音频电话连接支持的频率范围为300Hz到3300Hz，则B=3300Hz－300Hz=3000Hz，而一般链路典型的信噪比是30dB，即S/N=1000，因此我们有C=3000×log2（1+1000），近似等于30Kbps，是28.8Kbps调制解调器的极限，因此如果电话网络的信噪比没有改善或不使用压缩方法，调制解调器将达不到更高的速率。
信息论与编码(第三版) 第6章 信道编码理论
(2,1,2)卷积码编码器
定义6.3两个n重(x，y)之间对应码元取值不同的个数， 称为这两个重之间的汉明距离，记做d(x,y)
定义6.4 n重x非零码元的个数称为汉明重量，简称重 量,用w(x)表示
X:(10101) y:(00111)
w(x)=3 w(y)=3 d(x,y)=2
定义6.5 （n,k）分组码中，任意两个码字x、y之间的 汉明距离的最小值，称为该分组码的最小汉明距离， 简称为最小距离，用d0表示
6.3.1两种译码规则
最大概率译码(MAP) 错误译码的概率最小，也称最小错误概率译码
最大似然译码(MLD)
MAP的简化形式
单个符号传输情况(二元信道)
信道
输入X
0 1 pe
信道 输出Y
0
根据接收符号y来估计 发送符号x是0还是1
计算后验概率p(xi|y)
估值准则
x$ max P(xi | y)
结果是译码错误最 小，所以也称最小
d0
min {d(x,
x, y(n,k )
y)}
计算最小汉明距离方法1 将所有许用码字进行比较，记录每次比较的 汉明距离，最后取汉明距离的最小值即可
总的比较次数为 1 2 3 L 2k 1 (2k 1)2k
2
无论是否 线性分组
码
这种方法 都有效
特点：计算量很 大但是很简洁
❖ 例6.1 （3,2）码共有四个码字，分别为000，011，101， 110，显然d0 =2。 最小汉明距离d0是分组码的重要参数之一，表明 了该分组码抗干扰能力的大小，与码字的检错、 纠在错相能同力的有译关码，规则d0下越，大错，误码译的码抗的干概扰率能越力小越。强，
(4) 纠正t个随机错误, ρ个删除,则要求码的最小距离满足 d0 ≥ ρ +2t+1
信息论与编码基础--香浓三大定理
香农三大定理 简介
H(S) = H(3/4,1/4) = 0.811(bit/sign)
N=1
L1 = 1 (code/sign) H (S ) R1 = = 0.811 (bit/code) L1 H (S ) η1 = = 0.811 L1 ⋅ log 2
信息论与编码基础
例：二元DMS进行无失真编码
香农三大定理 简介
单词间隔 —————— 000000
{A,B,…,Z}
二进符号
信源编码器I
码符号集{点/划/字母间隔/单词间隔}
信源编码器II
码符号集{0，1}
信息论与编码基础
1、信源编码器 b、举例
3）中文电报信源编码器 “中”
“0022”
香农三大定理 简介
“01101 01101 11001 11001”
H ( S ) 1 LN H ( S ) + > ≥ log r N N log r
信息论与编码基础
香农三大定理 简介
2、香农第一定理（可变长无失真信源编码定理）
且当 N → ∞ 时有： lim
N →∞
LN H ( S ) = = H r (S) N log r
表述二：若R′>H(S)，就存在惟一可译变长编码；若R′<H(S)，
s1 S P( s) = 3 4 s2 1 4
香农三大定理 简介
H(S) = H(3/4,1/4) = 0.811(bit/sign)
{0,10,110,111}
N=2 L2 = 1.688 (code/2-sign) H (S ) R2 = = 0.961 (bit/code) L2 / 2 H (S ) η2 = = 0.961 L2 / 2 ⋅ log 2
信道编码定理
通信的可靠性问题
通信的可靠性问题， 通信的可靠性问题，即消息通过信道传输时 如何选择编码方案以减少差错。 如何选择编码方案以减少差错。
首先，通信的可靠性显然与信道的统计特性 信道的统计特性有 首先，通信的可靠性显然与信道的统计特性有 因为杂噪干扰是造成错误的主要因素。 关，因为杂噪干扰是造成错误的主要因素。 其次，编码方法和译码方法也将影响信息传输 其次，编码方法和译码方法也将影响信息传输 的可靠性。 的可靠性。
1、译码平均错误概率
若译码规则 F ( y j ) = xi , i = 1, 2,L , n; j = 1, 2,L , m， 译码规则为 译码规则 则信道输出端接收到符号yj时，一定译成 xi。 如果发送端发的就是xi，这就是正确译码，因此条 条 件正确概率为 p ( F ( y ) | y ) = p ( x | y ) 件正确概率
pE = E[ p (e | y j )] = ∑ p( y j ) p(e | y j )
j =1 m
13
译码平均错误概率的其它表达式
译码平均错误概率还可以写成
pE = ∑ p( y j ) p(e | y j ) =∑ {1 − p[ F ( y j ) | y j ]} p( y j )
m j =1 Y
无线通信中的如发射机、天线、自由空间、接收机等全体； 有线通信中的如调制解调器、电缆等全体； 互联网的多个路由器、节点、电缆、低层协议等全体； 计算机的存储器如磁盘等的全体； …… 。
6
错误概率和译码规则
考虑一个二元对称信道，单符号 错误传递概率是pb=0.9，其输入 符号为等概率分布。
如果规定在信道输出端接收到符 号0时，译码器把它译成0；接收 到1时译成1，那么译码错误概率 为0.9。 反之，如果规定在接收到符号0 时译成1；接收到1时译成0，则 译码错误概率为0.1。
香农三大定理简答
香农三大定理简答
（最新版）
目录
1.香农第一定理：可变长无失真信源编码定理
2.香农第二定理：有噪信道编码定理
3.香农第三定理：保真度准则下的信源编码定理
正文
香农三大定理是信息论中的基本定理，它们分别是香农第一定理：可变长无失真信源编码定理，香农第二定理：有噪信道编码定理，以及香农第三定理：保真度准则下的信源编码定理。
下面我们将逐一介绍这三大定理。
首先，香农第一定理，又称为可变长无失真信源编码定理。
该定理表明，对于一个离散无噪信源，其输出可以进行无失真的编码，使得在信道上传输的平均速率为每秒 (c/h(s)-a) 个信源符号，其中 c 为信道容量，h(s) 为信源熵，a 为任意小的正数。
但是，要使传输的平均速率大于
(c/h(s)) 是不可能的。
这意味着，无失真的信源编码存在着一个极限，即信源的熵值。
其次，香农第二定理，即有噪信道编码定理。
该定理表明，当信道的信息传输率不超过信道容量时，采用合适的信道编码方法可以实现任意高的传输可靠性。
但是，若信息传输率超过了信道容量，就不可能实现可靠的传输。
最后，香农第三定理，也称为保真度准则下的信源编码定理。
该定理表明，只要码长足够长，总可以找到一种编码方法，使得在给定的信源符号中，译码后的符号与原始符号的误差足够小，即实现有损信源编码。
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信息论与编码(第三版) 第6章 信道编码理论
原始
数
符号
信息
据
信源
X
信源编码
Y
差错控制 编码
Z
调制
信息错误
数据错 误一定
物理信道
条件：实
信宿
重建 符号
Xˆ
信源译码
Yˆ 差错控制 Zˆ
接收 信息
译码
接收 数据
解调
注
际信息传 输速率不 大于信道
容量，
意 1.信道一定，数据出现差错的概率一定，这是无
法改变的，与差错控制编码/译码方式无关
2.数据出现差错的概率不可改变，但是可以通过引 入差错控制编码/译码，降低信息传递中的错误
错时，才会造成无法识别的错误，所以错误译码概率为
pe2 102
能发现传输中的一个错误,但不能自动纠正。
❖ (3,1)重复码。 ❖ 两个码字是（000）和（111），R=1/3 d0=2。 ❖ 设发送端发送码字是（000），若收到的是（001）或（010）
或（100），则根据大数译码准则正确地判断为（000）， 信息组为0； ❖ 若收到的是(011)，(101 ) ，(110 ) ，(111) 中之一，则造成 错误译码，错判为信息组是”1”. ❖ 正确译码的概率为
两种不同译码方法(控制方式)，得出的译码错误概 率不同
定理6.1 任意(n,k)分组码，如果要在码字内
(1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离满足d0 ≥ e+1
(2) 纠正t个随机错误，则要求码的最小距离满足d0 ≥ 2t+1
(3) 纠正t个随机错误，检测e(e>t)个随机错误,则要求码的 最小距离满足d0 ≥ e+t+1
正错误，
将信息序列划分为
现代通信与香农的三大定理
现代通信与香农的三大定理LT至此，香农开创性地引入了“信息量”的概念，从而把传送信息所需要的比特数与信号源本身的统计特性联系起来。
这个工作的意义甚至超越了通信领域，而成为信息储存，数据压缩等技术的基础。
解决了信号源的数据量问题后，我们就可以来看信道了。
信道（channel）的作用是把信号从一地传到另一地。
在香农以前，那奎斯特已经证明了：信道每秒能传送的符号数是其频宽的一半。
但问题是，即使这些符号，也不是总能正确地到达目的地的。
在有噪声的情况下，信道传送的信号会发生畸变，而使得接收者不能正确地判断是哪个符号被发送了。
对付噪声的办法是减少每个符号所带的比特数：“而每个波特所含的比特数，则是受噪声环境的限制。
这是因为当每个波特所含的比特数增加时，它的可能值的数目也增加。
这样代表不同数据的信号就会比较接近。
例如，假定信号允许的电压值在正负1伏之间。
如果每个波特含一个比特，那么可能的值是0或1。
这样我们可以用-1伏代表0，用1伏代表1。
而假如每波特含两个比特，那么可能的值就是0，1，2，3。
我们需要用-1伏，-0.33伏，0.33伏，1伏来代表着四个可能值。
这样，如果噪声造成的误差是0.5伏的话，那么在前一种情况不会造成解读的错误（例如把-1V 错成了-0.5伏，它仍然代表0）。
而在后一种情况则会造成错误（例如把-1V错成了-0.5伏，它就不代表0，而代表1了）。
所以，每个波特所含的比特数也是不能随便增加的。
以上两个因素合起来，就构成了对于数据传输速率的限制。
”其实，除此之外，还有一个对付噪声的办法，就是在所有可能的符号序列中只选用一些来代表信息。
例如，如果符号值是0和1，那么三个符号组成的序列就有8个：000，001，010，011，100，101，110，111。
我们现在只用其中两个来代表信息：000和111。
这样，如果噪声造成了一个符号的错误，比如000变成了010，那我们还是知道发送的是000而不是111。
联合信源信道编码定理
电子信息工程学院
信息论
3 有噪信道编码定理
（1） 正因为通过分别进行信源的数据压缩编码和信道 的数据传输编码，即能做到有效又可靠的传输信息，又能 大大简化通信系统设计，因此在实际通信系统中得到广泛 应用。
信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理 若 S n (S1S2 SN ) 是有限符号集的随机序列 并满足AEP， 又信源S极限熵 H C ，则存在信源和信道编码，其 PE 0 。 反之，对于任意平稳随机序列，若极限熵 H C ，则错 误概率远离零，即不可能在信道中以任意小的错误概率发 送随机序列。
电子信息工程学院
信息论
3 有噪信道编码定理
3、联合信源信道编码定理
从香农第一、第二定理可以看出，要做到有效和可靠的传输信息， 我们可以将通信系统设计成两部分的组合，即信源编码和信道编码两 部分，首先通过信源编码，用尽可能少的信道符号来表达信源，尽可 能减少编码后信源数据的剩余率，然后针对信道，对信源编码后的数 据独立地进行信道编码，适当增加一些剩余度，使能纠正和克服信道 中引起的错误和干扰。
（2）针对各种不同信源，如文本、语音、静止图像、活 动图像等数据压缩的研究形成了数据压缩理论和技术；而 针对信道编码问题的研究，又形成了另一独立的分支—— 纠错码理论。
电子信息工程学院
信道编码定理-2011
y
PE 1 PE p ( x * y )
y
有 噪 信 道 编 码 定 理
举例
a1 0.5 0.3 0.2 P a2 0.2 0.3 0.5 a3 0.3 0.3 0.4
b1 b2 b3
b1
b2
b3
F (b1 ) a1 F (b2 ) a2
F (b3 ) a2
15
a1 1/6 1/10 1/15 [ P (ai b j )] a2 1/15 1/10 1/6 a3 1/10 1/10 2/15
25
a a*
p( y | x a ) / 3
1/ 2
pE ( B)
a a*
p( y | x a ) / 3
[(1/ 6 1/ 3) (1/ 3 1/ 2) (1/ 6 1/ 2)]/ 3
2/3
有 噪 信 道 编 码 定 理
§ 3 费诺(Fano)不等式
33
其中， 为模二加运算。例如，码字 x [1101110 ] 和 码字 y [1010001] 的汉明距离为6。
一个码字集合中任意两码的汉明距离最小值，称为码
的最小距离，用dmin 来表示。
有 噪 信 道 编 码 定 理
最小汉明距离准则
接收序列 j
D0 j
0
D01
最近码字
1. 汉明距离 2. 序列最大似然译码
32
有 噪 信 道 编 码 定 理
4. 1 汉明距离
设两码字为 x [ x1 ,..., xn ], y [ y1 ,..., y n ]，定义它们的
汉明距离为
n d ( x , y ) xn y k k 1
香农公式
一般情况下， nHX
logD
同样用编码效率来衡量编码情况是否理想。用比值定
义：
HX logD HX
=
n nlogD
(3-26)
1 是理想情况
回顾等长编码的编码效率： LnH logXD=nHLlXogD
该式中 n L 即：信源每个符号所对应的平均码字数，因
此等长编码和变长编码这两种情况的编码效率一致。
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
4
将定理3.3推广到L次扩展信源---
香农第一定理：变长编码定理
定理3.4 给定熵为H(X)的离散无记忆信源X p(X)xp1,x1,pxx22,,......,,pxxMM
其L次扩展信源的熵记为H(X)
p ( ) = X p (L XL) x p 1 ,x 1 ,p x x 22 ,,......,,p x x M M LL
C Destination
R (D )
①. 有关对信源的客观描述即H(X) 问题，注意这种描述是与信道、 信宿无关，它仅反映信源本身含有信息的度量和它发送信息的能力。
② . 指如何描述给定信道的功能特征，这也是在与信源、信宿无 关的条件下，纯客观地评价一个信道固有特性问题。即，C 是反映 当给定信道后与某种信源处于最佳匹配时的最大信息传输量问题。
给定有D个元素的码符号集，对扩展信源编码，总可以找 到一种唯一可译码，使码长 n L 满足：
HXnL HX1 (3-23)
logD L logD L
定理3.3是定理3.4在L=1时的特例
5
由定理3.4的证明过程：
H X n L H X 1 ;H X n H X 1
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x i1 x i2
x in
x i1 x i2
x
* in
j1 1 j2 1 jn 1
MM
M
P(xi1 xi2
x
* in
, y j1 y j2
y jn
) log
P(xi1 xi2
x
* in
/
y y jn 1
Pej 1 P(x */ yj)
平均译码错误概率
M
M
M
Pe P(yj)[1 P(x * / yj)] P(yj) P(yj)P(x * / yj)
j1
j1
j1
NM
M
M
P(xi, yj) P(x*, yj) P(xi, yj)
i1 j1
xi1xi2 xin xi1xi2 x*in
M M M [ P(y j1 y j2 y jn
j1 1 j2 1 jn 1
2nR 1
)Pe
P(xi1 xi2
xin , y j1 y j2
y jn
)]
MM
M
[P(y j1
y j2
y jn
)Pe
P(xi1 xi2
max{0.009,0.128}
0.128
f (y6 101) x* x2 111
收到y7=110时
P(y7
110/
x*)
max i
P(
y7
110/
xi)
max{0.009,0.128}
0.128
f (y7 110) x* x2 111
i 1,2 i 1,2
MM
M
Pe
P(xi1 xi2 xin , y j1 y j2 y jn )
xi1xi2 xin xi1xi2 x*in
j1 1 j2 1 jn 1
MM
M
Pe
P(x
i1
xi2
x* in
,
y
j1
y
j2
y
jn
)
j1 1 j2 1 jn 1
H(Xn / Yn ) H(Pe ) Pe log(2nR 1)
H(Xn / Yn ) Pe log Pe Pe log Pe Pe log(2nR 1)
H(Xn
/
Yn
)
Pe
log
Pe 2nR 1
Pe
log
Pe
MM
M
P(xi1 xi2 xin , y j1 y j2 y jn ) log P(xi1 xi2 xin / y yj1 j2 y jn )
P(Y / X) 0.2 0.8
求信源等概率时三重复码的平均译码错误概率Pe 三重复码——消息重复三次——x1=0→c1=000， x2=1→c2=111——三次扩展信源的子信源，三次扩展信宿 y1=000，y2=001，…，y8=111
三次扩展信道的子信道
P1
(Y3
/
X3
)
0.729 0.008
不失一般性，记E1*表示第一种情况，Ei 表示第二种情况 i=2,3,…,2nR
平均译码错误概率
2nR
Pe P(E1 E2 E2nR ) P(E1) P(Ei ) i2
2nR
P(ci1ci2 cin )P(y j1 y j2 y jn )
x
* in
,
y
j1
y j2
y
jn
)]
j1 1 j2 1 jn 1
xi1xi2 xin xi1xi2 x*in
Pe 2nR 1
Pe
Pe
Pe
Pe Pe Pe Pe
1、信道编码
(1)平均译码错误概率
①最小错误概率准则下的平均译码错误概率
最小错误概率准则
信宿收到yj按最大后验概率判断信源发送xi中的x*——译码
如果P(x
*
/
y
j
)
max i
P(xi
/
y
j
)
则f (y j) x * j 1,2,, M
i 1,2,, N
平均译码错误概率
信宿收到yj的译码错误概率
收到y8=111时
P(y8
111/
x*)
max i
P(
y8
111/
xi)
max{0.001,0.512}
0.512
i 1,2
f (y8 111) x* x2 111
三重复码——纠错——通过在发送端增加冗余使消息出现一位 传输错误时由接收端进行纠正
f (000) 000 f (001) 000 f (010) 000 f (100) 000
i 1,2
f (y1 000) x* x1 000
收到y2=001时
P(y2
001/
x*)
max i
P(y
2
001/
xi)
max{0.081,0.032}
0.081
f (y2 001) x* x1 000
收到y3=010时
P(y3
010 /
x*)
max i
j1
xi x* j1
P(x
*
/
yj)
P(y
j
/ x*)P(x*) P( y j )
max i
P(xi
/
y
j
)
max i
P(y
j / xi )P(xi P( y j )
)
P(y
j
/
x*)P(x*)
max i
P(y
j
/
x
i
)P(x
i
)
信源等概率条件下
P(y
j
/
x*)
max i
P(y
j
/
xi1xi2 xin xi1xi2 x*in
M j1 1
M
M
P(xi1 xi2
j2 1 jn 1
xin
, y j1 y j2
y jn
) log
P(xi1 xi2
xin
/
Pe y j1 y j2
y jn
)(2nR
1)
M j1 1
M
M
P(xi1 xi2
j2 1 jn 1
xi1xi2 xin xi1xi2 x*in
M j1 1
M
M
P(xi1 xi2
j2 1 jn 1
xin
,
y yj1 j2
y jn
)
log
Pe 2nR 1
MM
M
P(x
i1
x
i2
x* in
,
y
j1
y
j2
y
jn
)
log
Pe
j1 1 j2 1 jn 1
n次扩展信道的子信道传输n次扩展信源的编码为n次扩展信宿 的典型序列
yjl yj2 yjn An (Y)
发生译码错误的两类情况
c cil i2 ci*n , yjl yj2 yjn An (X, Y)
cil ci2 cin , yjl yj2 yjn An (X, Y),cil ci2 ci*n cil ci2 cin
收到y5=100时
P(y5
100/
x*)
max i
P(
y5
100/
xi)
max{0.081,0.032}
0.081
f (y5 100) x* x1 000
i 1,2 i 1,2
收到y6=101时
P(y6
101/
x*)
max i
P(y
6
101/
xi)
)[ P(xi1 xi2
xin
/
Pe y j1 y j2
y jn
)(2nR
1)
1]
M j1 1
M
j2 1
M
P(xi1 xi2
jn 1
x
* in
,y j1 y j2
y jn
)[ P(xi1 xi2
Pe
x
* in
/y
j1
y
j2
y jn
)
1]
i2
ci1ci2
cin
,
y
j1
y
j2
y
jn
A
n
(
X
,
Y
)
2nR
2 2 n[H(X)] n[H(Y)]
i2
ci1ci2
cin
,
y
j1
y
j2
y
jn
A
n
(
X
,
Y
)
2nR
2 2 2 n[H(X,Y)] n[H(X)] n[H(Y)]