张伟概率强化讲义
概率论与数理统计强化讲义_数三_
概率论与数理统计 强化讲义 （数三）
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
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I 0.94 II Cn2 0.94 0.06 III 1 0.94
B 发生 A 不发生的概率相等，求 A 发生的概率.
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考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
【答案】
2 3
1 1 1 , P B A , P A B ,则 P A B ___ 4 3 2
例 8. P ( A ) 【答案】
1 3
题型二 三大概型
方法点拨： 三大概型是指古典概型、几何概型、伯努利概型。古典概型就是常说的排列组合 问题，考的少，几何概型注意体积、面积的计算，伯努利概型，需要注意一下“至 多”和“至少”的问题。 例 1.在区间 -1,1 之间任取两个数 X，Y 则二次方程 t 2 Xt Y 0 有两个正根的 概率为 ___ 【答案】
P max X , Y 0 =___
3 4 , P X 0 P Y 0 , 则 7 7
【答案】
5 7
设 A,B,C 是 随 机 事 件 ， 且
考研概率强化讲义(全题目)资料
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
概率强化讲义
概率论与数理统计第一章 随机事件和概率1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξ2、重要公式和结论第四章 随机变量的数字特征第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→切比雪夫不等式矩方差期望一维随机变量⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧→协方差矩阵相关系数协方差方差期望二维随机变量2、重要公式和结论第五章 大数定律和中心极限定理第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→辛钦大数定律伯努利大数定律切比雪夫大数定律大数定律⎭⎬⎫⎩⎨⎧→棣莫弗－拉普拉斯定理列维－林德伯格定理中心极限定理二项定理 泊松定理2、重要公式和结论第六章 数理统计的基本概念第一节 基本概念1、概念网络图正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ 2、重要公式和结论第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论。
考研概率强化讲义(全题目)资料
考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。
例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7 个点B 1，B 2，…，B 7。
若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A ． 315个B ． 316个C ． 317个D ． 318个例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。
例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）121413=∙C C 92225=-C C 例1．11：化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为： (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。
经验贴：上岸前辈分享考研数学复习规划、名师推荐、辅导用书
经验贴：上岸前辈分享考研数学复习规划、名师推荐、辅导用书摘要：上岸前辈分享考研数学复习规划、名师推荐、辅导用书，我们一起来看看他的数学是如何复习？考研数学的复习，选对老师，后期跟到这位老师学至关重要！一、那我们就先来聊聊老师选谁好！1、汤家凤汤老师的基础班我觉得讲得是所有老师里最负责最踏实的！因为绝大部分老师都是一个样，收着讲，而不是全局概括，往往基础班讲高数上册的前三四章就匆匆了事，汤老师是比较务实的人，他的基础班除了比较偏的几个知识点（三重积分、第二型曲线曲面积分等），从数一到数三的内容都会讲完，你要是看完高数课本，再把老汤的基础班看完，是极好的，你定会打一个不错的基础，但是（重点）！但是如果你不听他的基础课就直接奔着强化课去听，那么就会感觉比较吃力，因为老汤的强化班是建立在基础班上的，算是对基础班的一个延伸概括，当然，他老人家讲课有两个不足之处：（1）重视题量，对概念的讲解却不是特别深入！（这点和张宇正好相反）所以他的课适合基础差的同学打基础的，通过做题来深化对知识点的认识（2）口音问题，这是老汤被黑的重要原因，老汤的江苏南京人，讲话口音有点怪怪的，普通话讲得并不是太好，但是多听几节课，这也不是什么大问题。
概括：所以考研的同学可以打基础的时候看完课本直接上手老汤的基础班！权当练习！2、张宇名师简介：张宇，江湖人称宇哥，他独树一帜，是考研老师新生派的代表人物，其微博名字也为宇哥考研，为人风趣幽默，讲课就像讲故事，听起来毫不费力，如果你对数学没兴趣，听宇哥的课会激发你对数学的热情，听宇哥的课就是一个感觉，上瘾！好听！有意思！相信绝大部分同学都听过他的sin狗（广义化）的公式，宇哥的一大能力就是他能将数学抽象问题形象化，复杂问题简单化例如，二重积分大面包切切切切切、狗减sin狗等于六分之一狗三、夹逼准则哪里跑、格林闭关七天研究出格林公式、欠阿贝尔两块钱以及普京题抓住重点、毛主席题举重若轻等等，这些本来在高数课本中枯燥繁琐的东西在张宇口中变得呼之欲出、极为生动，这都能反应宇哥的特色，我有时候时常思考一个问题，如果中国的老师，都能像宇哥这样循循善诱，讲起课来娓娓动听，那么大部分人都会爱上学习这件事情。
启航2014考研数学基本功提高班--概率与数理统计2(张伟)
承载理想，启航未来
正态分布 : 若随机变量X的概率密度为
1 2 f ( x) e 2 , ( x ), 2 则称X服从参数为 , ( 0)的正态分布, ( x )2
记为X ~ N ( , 2 ). X的分布函数为 F ( x)
例12
例13 设随机变量X服从参数为的指数分布, 则P( X DX ) .
例14 设随机变量X的密度为f ( x) Ae x x , 试求常数A.
2
x
,
全国统一服务热线：400-678-1826
承载理想，启航未来
例15 若随机变量X服从均值为2， 方差为 2的正态分布，且 P2 X 4 0.3, 则PX 0 ___ .
例16 设X ~ N ( , 2 ), F ( x)为其分布函数,
0, 则对于任意实数a, 有
( A) F (a ) F (a ) 1. ( B ) F ( a ) F ( a ) 1. (C ) F (a ) F (a) 1. 1 ( D) F ( a) F ( a) . 2
承载理想，启航未来
第二讲 一维随机变量及其分布
随机变量及其概率分布主要考点 (1) 随机变量的分布函数 (2) 离散型随机变量的概率分布律 (3) 连续型随机变量的概率密度 (4) 常见随机变量的概率分布及其应用 (5) 随机变量函数的分布
随机变量的分布函数
全国统一服务热线：400-678-1826
承载理想，启航未来
例21 设随机变量X的概率密度为 1 , 1 x 0, 2 1 f x ( x) , 0 x 2, 4 其他. 0, 令Y X 2 , 试求Y的概率密度fY ( y ).
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概概率初步复习辅导讲义
《概率初步》复习辅导讲义必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件确定事件不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件随机事件：在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件概率初步概率：表示随机事件发生的可能性的大小的数值叫做概率，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间用列举法求概率：用列表或画树形图把所有可能的结果一一列举出来，然后再求事件的概率的方法用频率估计概率：利用多次重复试验，通过统计试验结果去估计概率一、与概率有关的概念1.必然事件：在一定条件小必然发生的事件。
如哥哥的年纪比弟弟的大，1大于0等。
2.不了能事件：在一定条件下不了能发生的事件：如铁在常温下熔化，哥哥的年纪比弟弟小等。
3.随机事件：在一定条件可能发生，也可能不发生的事件。
如抛出的硬币人字头朝上、买彩票能中奖等。
4.概率：表示随机事件发生的可能性的大小的数值。
（1）概率的表示：概率一般用p表示，在表示多个事件的概率时，可以用p1、p2….或p A、p B…或p甲、p乙…加以区别。
（2）必然事件的概率p=1（3）不可能事件的概率p=0（4）随机事件的概率：0＜p＜1.（5）确定事件和随机事件的概率之间的关系：事件发生的可能性越来越小0 1 概率的值不可能发生必然发生事件发生的可能性越来越大5.概率与频率的区别与联系：（1）联系：从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率。
（2）区别：大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同。
【基础练习】1、在一个只装有红球和白球的口袋中，摸出一个球为黑球是 ( )A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定2、下列事件中属于随机事件的是（）A、抛出的篮球会落下B、从装有黑球，白球的袋里摸出红球C、367人中有2人是同月同日出生D、买1张彩票，中500万大奖3、下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖4、要了解一个城市的气温变化情况，下列观测方法最可靠的一种方法是（ ）A.一年中随机选中20天进行观测B.一年中随机选中一个月进行连续观测C.一年四季各随机选中一个月进行连续观测D.一年四季各随机选中一个星期进行连续观测5、下列事件中，必然事件是（ ）A ．中秋节晚上能看到月亮B ．今天考试小明能得满分 C ．太阳东升西落 D ．明天要降温三、概率的计算方法：（一）概率的计算公式： 1.大量重复试验某事件的概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
概率论.pdf
考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@参考教材概率论与数理统计第四版（浙江大学主编）重要定理、性质、公式、结论经典例题、重要例题及不需要做的题目第一章概率论的基本概念（考小题）第一节随机试验（了解）第二节样本空间，随机事件（了解）第三节频率与概率（频率可以不用看，了解）第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到）第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到）第一节随机变量（了解）第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考）第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考）第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考）第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大）第一节二维随机变量（了解）第二节边缘分布（理解）第三节条件分布（理解）第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考）第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）第四章随机变量的数字特征（重要）第一节数学期望（重要，每年必考）第二节方差（重要，每年必考）第三节协方差与相关系数（重要，经常考）第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）.第五章大数定律及中心极限定理(了解)第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论)第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@第六章样本及抽样分布（考小题为主）第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本）第二直方图和箱线图（重要，考小题）第三抽样分布（重要，考小题）第七章参数估计（重要，考大题经典章节）第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看）第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看）第四区间估计（数一理解，考的比较少）第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少）第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看）第七单侧置信区间（理解，一般不考）（第四－第七，只有数一考，数三均不用看）第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考）第一假设检验（理解）第二正态总体均值的假设检验（理解）第三正态总体方差的假设检验（理解）第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学概率统计的重点难点必考点及重要例题和习题不用做的例题和习题第一章概率论的基本概念P３最后４行的小写字体不用看P５例３不用做（一）频率不用看P6-7 例 1 与例 2 均不用做，P7 概率重点看P9 等可能概率一般都不单独考，考大题经常会用到，P13 例 6 不用做，P14 例 8 不用做 P14 条件概率重点看，P15 例 2 不用做，P16 例 3 不用做，P17 例 4 重点做P17（三）全概率公式和贝叶斯公式为难点P19例5不用做，P20独立性为考研数学的绝对重点，P22例2与例3均不用做P23例4重点做P24-29 不用做的习题是 1、5、6、10、12、15、16、18、19、20、21、23、25、26、29、32、34、35、38、39、40第二章随机变量及其分布P30 例 1 不用看P37 泊松定理只需要记住结论，证明可以不用看P38 随机变量的分布函数为考研必考概念P42 连续性随机变量概率密度为考研必考点P50 随机变量的函数的分布是考大题的重要命题点P53 例 5 不用做P55-59 不用做的习题 1、5、6、7、9、10、11、13、15、16、19、22、27、28、30、31、38、39第三章多位随机变量及其分布P63 性质 4 的解释不用看P65 例 1 不用做，P66 例 3 重点做一下（提升计算能力）P68 例 1 不用做，P72 相互独立的随机变量为重点章节P76 两个随机变量的函数的分布为考大题的重要备考章节P78 例 3 不用做，P81 例 5 不用做P84-89 不用做的习题是 3、6、7、10、11、12、13、28、31第四章随机变量的数字特征P91 例 1 不用做，P92 例 3 与例 4 不用做，P93 例 5 不用做P95 中间的证明不用看，P96 例 8 与例 10 不用做P97 例 11 不用做，P100 例 13 不用做，P105 不用做P107 XY的两条重要性质的推导及含义不用看考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@P108 只需要看前四行即只需要记住定理 4 证明可以不用看P109 例 2 重点做（提升计算能力）P110 矩为一般考点，协方差矩阵不用看P113-118 不用做的习题是 1.4.5.12.13.15.16.18.19.22.23.24.35.36.37.38第五章大数定律及中心极限定理（难点非重点）P124 例 1 不用做P126-127 不用做的习题是 2、4、5、10、11、13第六章样本及抽样分布（一般考点考小题）P130 第四行简单随机样本为重要概念P130 第二节直方图和箱线图不用看P135 第三节抽样分布（考小题），P136 统计量定义及几个常见统计量要重点看而且要牢记其表达式P137 经验分布函数只有数三同学稍微了解P138-141 数理统计所有的三大分布的典型模式要牢记但三种分布的概率密度表达式可以不用记P145-147 定理 2 的证明与推广均不用看P147-148 不用做的习题是 1、5、6、10、11第七章参数估计（数一数三的绝对的重点和难点）P149 点估计数一数三的绝对重点矩估计重点非难点，最大似然估计重点且难点P163-155 例 4 例 5 例 6 重点做P156-158 第二节基于截尾样本的最大似然估计不用看P158 估计量的评选标准数一重点看，数三大纲上虽然没有但建议数三看一下最好P161-168 区间估计，正态总体均值与方差的区间估计，只有数一看，为一般考点P168 0-1 分布参数的区间估计数一数三均不用看P169 单侧置信区间，只有数一看，为一般考点P193-177 数三不用做的习题为 4（3）、6、7、8、9、10、11-27 均不用做数一不用做的习题为4（3）、6、7、8、9、15、17、20、21、22、23、26、27第八章假设检验（数一特有的考点，难点非重点）数一只需要看前四节P178-193从第五节以后均不需要看P218-223 习题只需要做 1、2、3、4 其余的题目可以不用做考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@。
考研数学《概率统计》讲义第四讲
多维随机变量之间存在一定的关 联程度，通过相关系数进行度量。
描述多维随机变量之间相关性的 矩阵，其中元素为各分量之间的 协方差。
04
数字特征与特征函数
数学期望定义及性质
数学期望的定义
对于离散型随机变量，数学期望是所有可能 取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型 随机变量，数学期望是概率密度函数与自变 量的乘积在全体实数范围内的积分。
通过多维随机变量的联合分布，计算函数的期望和方 差。
变换后的多维随机变量分布
通过变换得到新的多维随机变量，并求其分布情况。
卷积公式
求解两个独立随机变量之和的分布情况。
独立性、相关性和协方差矩阵
01
独立性
多维随机变量中各个分量相互独 立，即一个分量的取值不影响其 他分量的取值。
相关性
02
03
协方差矩阵
考研数学《概率统计》讲义第 四讲
目
CONTENCT
录
• 概率空间与事件概率 • 一维随机变量及其分布 • 多维随机变量及其分布 • 数字特征与特征函数 • 大数定律与中心极限定理 • 参数估计与假设检验
01
概率空间与事件概率
概率空间定义及性质
概率空间定义
由样本空间、事件域和概率测度三部分构成，用于描述随机试验 所有可能结果及其概率的数学模型。
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 分布在同一概率空间 上，如果对于任意正数 ε，都有 lim(n→∞) P(|Xn - X| ≥ ε) = 0 成立，则称 {Xn} 依概率收敛于 X。
依分布收敛
设随机变量序列 {Xn} 和随机变量 X 的分布函数分别为 Fn(x) 和 F(x)，如果对于 F(x) 的每一个连续点 x，都有 lim(n→∞) Fn(x) = F(x) 成立，则称 {Xn} 依分布收敛于 X。依分布收敛是描述随机变量序列分布函数收敛到某个 特定分布的一种弱收敛形式。
张伟概率讲义
·2013 年强化班讲义·
【概率统计部分】
主讲：张伟
学府考研培训学校 2012 年 7 月
0
概率论与数理统计
概率论和数理统计六大类考点 (1) 随机事件和概率 (2) 一维随机变量及其分布 (3) 多维随机变量及其分布 (4) 随机变量的数字特征 (5) 大数定律和中心极限定理 (6) 数理统计的基本概念、参数估计和假设检验
( A) uα
2
(B)
u
1−
α
2
(C) u1−α
2
(D) u1−α
7
例18
设f1(x)为标准正态分布的概率密度, f2(x)为[−1,3]上的均匀分布的概率密度,
( A) 与a无关,随λ增大而增大;
(B) 与a无关,随λ增大而减小;
(C) 与λ无关,随a增大而增大;
(D) 与λ无关,随a增大而减小.
例10
⎧1 3,
设随机变量X的概率密度为f (x) = ⎪⎨2 9,
⎪ ⎩
0,
若x ∈[ 0,1 ], 若x ∈[ 3, 6 ],
其他.
若使得P{X ≥ k}= 2 , 则k的取值范围是 ______.
(B)若AB ≠ φ, 则A, B有可能独立. (D)若AB = φ, 则A, B一定不独立.
3
例18 对于任意二事件A和B,已知0 < P( A) < 1, 则 ( A)若A ⊂ B, 则A, B一定不独立. (B)若B ⊂ A, 则A, B一定不独立.
(C)若AB = φ, 则A, B一定不独立. (D)若A = B, 则A, B一定不独立.
(D)1− e−1
2
2
离散型随机变量的概率 分布
2019-2020年人教B版数学必修三讲义：第3章+3.1.1 随机现象+3.1.2 事件与基本事件
3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间一、随机现象1．常见现象的特点及分类把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验结果称为试验的结果．思考：随机现象是否为一种杂乱无章的现象？[提示] 随机现象不是一种杂乱无章的现象，是有一定规律可循的．二、事件与基本事件的空间1．不可能事件、必然事件、随机事件(1)试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描绘的随机事件称为基本事件．(2)基本事件空间：①定义：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．②表示：基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．思考：事件的分类是确定的吗？[提示] 事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化．1．下列现象是必然现象的是( )A ．一天中进入某超市的顾客人数B ．一顾客在超市中购买的商品数C ．一颗麦穗上长着的麦粒数D ．早晨太阳从东方升起D [只有D 是在一定条件下必然发生的现象，其他三个每次发生的结果不一定相同．]2．下列事件：①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是()A．①②B．②③C．①③D．②B[①是必然事件，②③是随机事件．]3．下列事件是必然事件的是()A．如果a，b∈R，那么ab＝baB．3＋5＞10C．连续两次掷同一枚硬币，两次都出现正面朝上D．x＋3＞0A[A是必然事件；B中3＋5＞10不可能成立；C是随机事件；D中x＋3也可能等于0，是随机事件．]4．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的基本事件空间为Ω＝________.{ab，ac，ad，bc，bd，cd}[Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．]【例1】果．(1)y＝x a(a∈R)在(0，＋∞)上的单调性；(2)在10个同类产品中，有8个正品2个次品，从中任意抽取3个检验，抽到正品的个数；(3)任意实数x都有x2≥0.[解](1)幂函数在(0，＋∞)上的单调性不确定，故为随机现象．试验结果为：当a＞0时，在(0，＋∞)上递增；当a<0时，在(0，＋∞)上递减．(2)抽到正品的个数不确定，故为随机现象．试验结果为“一正品，两次品”“两正品，一次品”“三个正品”．(3)对任意x，都有x2≥0是必然的，故为必然现象．1．随机现象是在一定条件下，某种结果可能发生也可能不发生，事先很难预测哪种结果会出现．2．判断是必然现象还是随机现象关键是看给定条件下的结果是否发生．若一定发生，则为必然现象．若不确定，则其为随机现象．1．判断下列现象是必然现象还是随机现象．(1)小明在校学生会主席竞选中成功；(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果；(3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码；(4)标准大气压下，把水加热至100 ℃沸腾．[解](1)随机现象．因为竞选能否成功是不可预知与确定的；(2)随机现象．因为出现的结果可能是正面，也可能是反面，结果并不确定．(3)随机现象．因为彩票号码是否为中奖号码，本身无法预测，是不可知的．(4)必然现象．因为标准大气压下，水加热至100 ℃时沸腾这个结果一定会发生，是确定的．【例2】件．(1)“抛一石块，下落”．(2)“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”；(3)“某人射击一次，中靶”；(4)“如果a＞b，那么a－b＞0”；(5)“掷一枚硬币，出现正面”；(6)“导体通电后，发热”；(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签”；(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；(9)“没有水分，种子能发芽”；(10)“在常温下，焊锡熔化”．[思路探究]根据事件的概念判断：必然事件必然发生；不可能事件不可能发生；随机事件可能发生也可能不发生．[解]事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.2．下列事件中的随机事件为()A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)cB．没有水和空气，人也可以生存下去C．抛掷一枚硬币，反面向上D．在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾C[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A 是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．][探究问题1．如果某个练习投篮的中学生决定投篮5次，那么“他投进6次”，“他投进的次数比6小”，“他投进3次”分别是什么事件？[提示]“他投进6次”是不可能事件；“他投进的次数比6小”是必然事件；“他投进3次”是随机事件．2．举例说明随机现象与随机事件的区别．[提示]行人在十字路口看到的交通信号灯颜色是一种随机现象，看到的是红色是随机事件，看到的是黄色或者是绿色都是一个随机事件．因此随机事件是在同样的条件下重复进行试验时，可能出现的结果都是随机事件，随机现象指的是一个现象在相同的条件下多次观察它，每次观察到的结果不一定相同．3．先后掷两枚硬币试验的基本事件空间Ω是怎样的？设事件A＝“至少有一次出现正面”，则A怎样表示，A与Ω的关系怎样？如何表示？[提示]Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，A是Ω的一个子集，可表示为A⊆Ω.【例3】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？[思路探究]根据题意可用列举法按照顺序列举出所要求的基本事件．[解](1)试验的基本事件空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}；(2)基本事件的总数是8；(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．确定基本事件空间的方法.(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.3．1个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件总数；(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的基本事件．[解](1)Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}；(2)基本事件总数为10；(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的基本事件为(1,5)，(2,4)．1．本节课的重点是了解必然现象，随机现象的含义，能够判断事件的类型，难点是基本事件空间的书写．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)会判断随机现象与必然现象；(2)能够判断事件的类型；(3)会列举试验的所有结果的方法．3．本节课的易错点是列举试验结果时易出现重复或遗漏．1．思考辨析(1)三角形的内角和为180°是必然事件．()(2)“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件．()(3)“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件．()[答案](1)√(2)×(3)√2．一个家庭中有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为()A．男女、男男、女女B．男女、女男C．男男、男女、女男、女女 D．男男、女女C[用列举法列举知，C选项正确．]3．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．⑥④①②③⑤[从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”“两个正品，一个次品”“一个正品，二个次品”．] 4．做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”．(1)求这个试验结果的个数；(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件．[解](1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；同理当x＝3,4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对．故这个试验结果的个数为12.(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．。
强化班讲义
强化班讲义（概率统计）第一讲随机事件与概率内容提要（1）事件间的关系与运算（四种关系，三种运算）（2）概率及其简单性质（古典概型，几何概型，求逆公式，加法公式，减法公式）（3）条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes公式）（4）事件独立性与Bernoulli概型（独立性的实质及应用，Bernoulli概型的三个模型）典型问题分析问题1: 事件的表示与运算例1.1从一批产品中，每次取出一个（取后不放回），抽取三次，用表示“第i次取到的是正品”，下列结论中不正确的是：A.表示“至少抽到2个正品”B. 表示“至少有1个是次品”C.表示“至少有1个不是正品”D.表示“至少有1个是正品”【B】【解】、和分别表示为至少抽到2个正品，它们的并的运算也应该是至少抽到2个正品，其余选项都正确。
【寓意】本题实质是考查用事件的运算符号来描述一用普通语言表达的随机事件，以便今后运用公式计算概率.问题2: 概率（包括条件概率）的基本公式及应用技巧：利用概率、条件概率的性质、事件间的关系和运算进行求解。
Venn图的直观。
例1.2某城市居民中订阅A报的有45%，同时订阅A报及B报的有10%，同时订阅A报及C报的有8%，同时订阅A，B，C报的有3%，则“只订阅A报”的事件发生的概率为A．0.655 B．0.30 C．0.24 D．0.73 【B】【解】由题用表示订阅A报表示既订阅A报又订阅B表示既订阅A报又订阅C表示既订阅A、B、C三种报则只“只订阅A报”即事件由题意知又因为都是真包含在事件中故选B。
例1.3已知,且,则等于(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4 【A】【解】所以例1.4 设事件A,B,C满足,, 则A,B,C 中不多于一个发生的概率为多大? 【】【解】“不多于一个发生”等价于事件“A,B,C中有一个发生或者一个都不发生”注：遇到“至少”、“至多”的问题时，利用求逆公式。
例1.5 设事件A, B同时发生时, 事件C一定发生, 则（A）（B）（C）（D）【B】【解析】例1.6 设随机变量X,Y均服从正态分布, 若概率，则【】【解】因为X,Y均服从正态分布，所以二维连续形随机变量有相同的分布律（X,Y）与（Y,X），又连续性随机变量在一点的概率为零，所以的值为。
概率论课堂讲义5.1-2
查表得
0.009n 0.000999n
1.29 ,解不等式得n≥21.
定理2(贝努利大数定理) 设nA为n次独立重复试验中事件A发 生的次数。p是事件A在每次试验中发生的概率,则事件A的
频率依概率收敛到概率p，即对于任意正数ε，有
nA lim P p 1. n n
证：引入随机变量 1 在第k次实验中A发生 Xk , k 1,2, 0 在第k次实验中A不发生 显然: nA=X1+X2+…+Xn， 由于各次试验是独立的。于是X1，X2，…,Xn是 相互独立的；又由于Xk服从(0-1)分布，所以 E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p)，k=1，2，…，n，…。
np 1 p
例1: 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(K=1，2，…，20)， 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0，10)上服 从均匀分布，记 V Vk ，求P{V>105} 的近似值。
k 1 n
解: 易知E(Vk)=5，D(Vk)=100/12(k=1，2，…，20)。
1 2 k
定义2
P Yn Y 1 ,则称序列Y1， 若对任意正数ε，有 lim n
设Y1，Y2，… Yn ，…是一随机变量序列，a是一常数，
Yn Y P
Y2，…Yn，…依概率收敛到Y，记为 定义3
设{Xi}为一随机变量序列,E(Xi)存在，记
1 n Yn X i E X i n 1,2, n i 1
中心极限定理中典型的问题 (1)设随机变量X1，X2，…,Xn，…相互独立同分布， E(Xk)=µ ，D(Xk)=σ2≠0,(k=1,2,…),由定理1，当n充分 大时，