参数方程化为普通方程(选修4-1)

小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程 常见方法有三种：
• 1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t, 然后代入消去参数。
• 2.加减法：利用互为相等或相反的变量， 消去参数t.
• 3.三角法：利用三角恒等式消去参数。
延伸：整体消元法：根据参数方程本身的结 构特征,从整体上消去。
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参 过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须 根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、 y的取值范围。
可利用两式相加，消掉参数t
（3）xy

3 3c
3sin
os
(为参数)
可转化为： c os

x 3 3

s in

y 3
利用： cos2 sin2 1 消去参数
所以：参数方程通过代入消元、加减消元或三角恒等式消去参数化 为普通方程 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致，否则，互化就是不等价的.
参数方程化为普通方程
选修4-4
一、回顾概念
• 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一
点的坐标x,
y都是某个变数t的函数
x

y

f (t), g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的 点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这 条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变 数, 简称参数.
二二、例、题把讲下解列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
(1)
x y

3t 2t
5, (t为参数) 1
分析：可用加减消元，消掉参数t
解：原式可化为 2x 6t 10 3y 6t 3
+，得： 2x 3y 7
整理，得: 2x 3y 7 0
（1 t为参数）
y


x

1
3


3
（2）xy

1 4t(t为参数) 2 4t
x y 1
（3）xy

6 c os 5sin
(为参数)
x2 y2 1 36 25
（4）xy

sin cos2
(为参数)
y 1 2x2(1 x 1)


y
2


cos2


sin2

3 3
x 22 y2 9

x

2
2



y
2


1
3 3
该曲线是以（2,0）为圆心，以3为半径的圆。
（4）
x y

sin
cos2

(为参数，

0,2
)
解：可化为 x2 sin2
（3）xy

2 3cos（为参数） 3sin
分析：可利用 cos2 sin2 1 消掉参数
解：原式可化为
cos

x
3
2

sin

y 3

cos2



x

2
2


3
即

sin2


y
2

3

x

2
2

c os s in

3
和（x 3）2 y2 1表示的是同一曲线，那我们应
如何将参数方程化为普通方程呢？
探究：如何消掉参数
x t,
如（：1）


y

1. t
（tHale Waihona Puke Baidu参数）
可将t=x代入 y 1
需注意：t不能为0
t
（2）xy

2t 2t
(t为参数) 2
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间 关系的方程叫做普通方程。
引入
试根据参数方程 xy

c os s in

3直接判断M点的轨
迹的曲线，同学们会发现，直接判断有一定的
难度，可是我们很清楚（x 3）2 y2 1是以
（3,0）为圆心，以1为半径的圆。其实 xy

1、在直角坐标系中xoy中，曲线C1的参数方程
为xy

cos 1 sin
(为参数)，在极坐标（与直角
坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为
极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方
程（cos sin） 1 0,则C1和C2的交点个数
为：
作业
• 教材p42: 习题2-3 A组 1（1）、（2）、（4） 课外练习：三维设计
(2)x= t 1 (t为参数) y 1 2 t
分析： t作为一个整体被消掉 注意x
解：原式可化为 将代入，得：
t x 1 y 1 2 t
y 1 2(x 1)
t 11
整理，得：
y 2x （3 x 1）
• 这是一条（1,1）为端点的一条射线（包括端 点）

x
2

y ys
in2
c os2
cos2
步骤：（1）消参；
x2 y 1
（2）求定义域。
sin 1
x 1
该曲线为抛物线
y 1 x2(-1 x 1) 的一部分
练习:将下列参数方程化为普通方程。
（1）
x y

3t t3