参数方程化为普通方程(选修4-1)
人教A版2019高中数学选修4-4教学案： 第二讲 第1节 第3课时 参数方程和普通方程的互化_含答案
第3课时 参数方程和普通方程的互化[核心必知]参数方程和普通方程的互化(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．[问题思考]1．将参数方程化为普通方程的实质是什么？提示：将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用． 2．将普通方程化为参数方程时，所得到的参数方程是唯一的吗？提示：同一个普通方程，选取的参数不同，所得到的参数方程也不同，所以在写参数方程时，必须注明参数是哪一个．根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．(1)（x －1）23＋（y －2）25＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)(2)x 2－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数)[精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法，解答本题只需将已知的变量x 代入方程，求出y 即可．(1)将x ＝3cos θ＋1代入（x －1）23＋（y －2）25＝1得：y ＝2＋5sin θ.∴⎩⎨⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝5sin θ＋2.(θ为参数) 这就是所求的参数方程．(2)将x ＝t ＋1代入x 2－y ＋x －1＝0得： y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1 ＝t 2＋3t ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2＋3t ＋1.(t 为参数) 这就是所求的参数方程．(1)求曲线的参数方程，首先要注意参数的选取，一般来说，选择参数时应注意以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x ，y )都能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x ，y 的相互关系比较明显，容易引出方程．(2)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．1．把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t 12，y ＝t －12 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t ，y ＝1sin t C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1cos t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1tan t 解析：选D 由xy ＝1得x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，而A 中x ∈[0，＋∞)，B 中x ∈[－1，1]，C 中x ∈[－1，1]，只有D 选项中x 、y 的取值范围与方程xy ＝1中x 、y 的取值范围相对应．分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎨⎧x ＝12（e t ＋e－t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ化为普通方程：(1)θ为参数，t 为常数； (2)t 为参数，θ为常数．[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法，解答本题需要分清谁为参数，谁为常数，然后想办法消掉参数．(1)当t ＝0时，y ＝0，x ＝cos θ，即|x |≤1，且y ＝0； 当t ≠0时，cos θ＝x 12（e t ＋e －t ），sin θ＝y12（e t －e －t ），而sin 2θ＋cos 2θ＝1， 即x 214（e t ＋e －t ）2＋y 214（e t －e －t ）2＝1.(2)当θ＝k π，k ∈Z 时，y ＝0，x ＝±12(e t ＋e －t )，即|x |≥1，且y ＝0；当θ＝k π＋π2，k ∈Z 时，x ＝0，y ＝±12(e t －e －t )，即x ＝0；当θ≠k π2，k ∈Z 时，得⎩⎨⎧e t ＋e －t ＝2x cos θ，e t －e －t ＝2y sin θ，即⎩⎨⎧2e t ＝2x cos θ＋2y sin θ，2e －t ＝2x cos θ－2y sin θ.得2e t ·2e －t ＝(2x cos θ＋2y sin θ)(2x cos θ－2y sin θ)，即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1.(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：①代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如对于参数方程⎩⎨⎧x ＝a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝⎛⎭⎫t －1t sin θ，如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1消参；如果θ是常数，t 是参数，那么可以利用⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4消参．(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．2．已知某曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (3，1)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝3at 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝1，∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2.由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线x －2y－7＝0距离的最小值．[精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法以及点到直线的距离的求法．解答本题需要先把题目条件中的参数方程转化为普通方程，然后根据普通方程解决问题．(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆． (2)当t ＝π2时，P (－4，4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．M到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5sin (φ－θ)－13|(φ为锐角且tan φ＝43)． 从而当sin (φ－θ)＝1时，d 取得最小值855.(1)将参数方程转化为我们所熟悉的普通方程是解决问题的关键． (2)将所求的问题用恰当的参数表示，是解决此类问题的转折点．3．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．解：(1)证明：将方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)∴图象为抛物线设其顶点为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，消去θ得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 29＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0， 消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0. 弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ， 当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.曲线的参数方程化为普通方程是解决参数方程问题的根本方法，也是高考命题的重点内容，它体现了转化与化归的数学思想．湖北高考中，以射线(极坐标方程)与曲线(参数方程)相交为背景设置问题，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝（t －1）2，(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查参数方程与普通方程的互化，射线的极坐标方程及联立方程解方程组的解题思想．[解析] 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4，转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为(52，52)． 答案：(52，52)一、选择题1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：选C 化为普通方程：y ＝x －2，但是x ∈[2，3]，y ∈[0，1]．2．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝⎛⎭⎫12，－2B.⎝⎛⎭⎫－34，12 C ．(2，3) D ．(1，3)解析：选B 化为普通方程：y 2＝1＋x (－1≤x ≤1)， 当x ＝－34时，y ＝±12.3．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：选D 消去参数得：x －3y －5＝0，且x ≥2，故是射线．4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为 ( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1，0≤y ≤2)解析：选D x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而由⎩⎪⎨⎪⎧t ≥01－t ≥0得0≤t ≤1，从而0≤x ≤1，0≤y ≤2.二、填空题5．曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 为参数，t ≠0)，则它的普通方程为________．解析：1－x ＝1t ，t ＝11－x ，而y ＝1－t 2，即y ＝1－(11－x )2＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)．答案：y ＝x （x －2）（x －1）2(x ≠1)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝2（e t－e －t ）(t 为参数)的普通方程为________． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y 2＝e t －e －t ，⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝2e t，x －y 2＝2e －t ，⇒(x ＋y 2)(x －y2)＝4.答案：x 24－y 216＝1(x ≥2)7．若点(x ，y )在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：法一：由题可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－ 16sin θ＝29＋20cos (θ＋φ)(tan φ＝43)，当cos (θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看做圆上的点到点(0，0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝()（0－3）2＋（0＋4）2－22＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9. 答案：98．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx 的取值范围是________．解析：曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2，0)为圆心，1为半径的圆，即(x ＋2)2＋y 2＝1.设yx ＝k ， ∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值． ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13.∴y x 的范围为⎣⎡⎦⎤－33，33. 答案：⎣⎡⎦⎤－33，33 三、解答题9．化下列参数方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋t，y ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎨⎧x ＝tan θ＋1tan θ，y ＝1cos θ＋1sin θ⎝⎛⎭⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z . 解：(1)变形为⎩⎨⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t.∴x ≠－1，y ≠2，∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θ·cos θ. ②②式平方结合①得y 2＝x 2＋2x ， 又x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2，所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．10．求直线x ＋y ＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)截得的弦长．解：将圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α化为普通方程为x 2＋y 2＝9.圆心O 到直线的距离d ＝22＝2，∴弦长L ＝2R 2－d 2＝29－2＝27.所以直线x ＋y ＝2被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α截得的弦长为27.11．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，直线l 的方程是4x ＋3y －8＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值． 解：(1)曲线C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)在方程4x ＋3y －8＝0中， 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0，1)，半径r ＝1，则|MC |＝ 5.所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 即|MN |的最大值为5＋1.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(有答案解析)(1)
一、选择题1．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ） A ．10B ．210C ．22D ．422．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦3．已知圆()221:24C x y +-=，抛物线22:2(0)C y px p =>， 1C 与2C 相交与,A B 两点，且855AB =，则抛物线2C 的方程为（ ） A ．285y x =B ．2165y x =C ．2325y x =D ．2645y x = 4．已知点是圆内的一点，则该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不确定5．已知AC 、BD 分别为圆O ：x 2+y 2=4的两条垂直于坐标轴的弦，且AC 、BD 相交于点M（1，），则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．2B ．3C ．D ．6．已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ） A ．2 B ．6 C ．4D ．27．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交 8．如图，四边形ABCD 内接于O ，:1:2AD BC =，35AB =，40PD =，则过点P 的O 的切线长是（ ）．A ．60B ．240C ．235D ．509．在⊙O 外，切⊙O 于，交⊙O 于、，则（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知圆O :221x y +=，点()00,M x y 是直线20x y -+=上一点，若圆O 上存在一点N ，使得6NMO π∠=，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]2,0-B ．()0,3C ．[]2,4D ．()1,3-11．直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切12．从原点O 引圆m kx y m y m x 当的切线,1)2()(222=+=-+-变化时，切点P 的轨迹方程是 A ．322=+y x B ．2)1(22=+-y x C ．3)1()1(22=-+-y x D ．222=+y x二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．若直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数，且2πθ≠)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则直线的倾斜角θ=______.15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的直径，直线与圆相切于点，AD CE ⊥于点，若圆的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为______．16．已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数).若直线l 与圆C 有公共点,则实数a 的取值范围是__________.17．已知两点()()2,0,2,0-M N ，若直线()3y k x =-上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，使得MNP ∆是直角三角形，则实数k 的取值范围是______.18．在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆22:4C x y +=相切的直线方程___．19．（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点,B C ，点D 在线段BC 上，且2DC BD =，BAD PAB ∠=∠，210PA =，4PB =，则线段AB 的长为________．20．已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －)2=6上的动点，则的最大值为_______ ；三、解答题21．如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，AE 交BC 和圆O 于点D 、E ，且DBCDAB AC =，若PA=2PB=10.（Ⅰ）求证：AC=2AB ； （Ⅱ）求AD•DE 的值.22．已知圆22222240x y ax ay a a ++-+-=（04a <≤）的圆心为点C ，直线l ：y x m =+．（1）若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围． 23．已知直线:l 022=++y x 及圆y y x C 2:22=+． （1）求垂直于直线l 且与圆C 相切的直线'l 的方程；（2）过直线l 上的动点P 作圆C 的一条切线，设切点为T ，求PT 的最小值． 24．（本小题满分10分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且圆C 与直线1:l y x =相切于点(1,1)． （1）求圆C 的方程；（2）若线段AB 为圆C 的直径，点P 为直线2:43210l x y -+=上的动点，求PA PB ⋅的最小值．25．（本题满分12分）已知圆221:2C x y +=和圆2C ，直线l 与圆1C 相切于点()1,1A ，圆2C 的圆心在射线()200x y x -=≥上，圆2C 过原点O ，且被直线l 截得的弦长为43．（1）求直线l 的方程； （2）求圆2C 的方程． 26．已知圆的方程：，（Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）当圆与圆：相外切时，求直线:被圆，所截得的弦的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】写出直线l 的方程，求圆心到直线l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可． 【详解】过点()0,1且倾斜角为3π的直线l 为3x 310x y -+=, ∵圆()22226039x y y x y +-=+-=即，∴圆心（0，3），半径r =3， 圆心到直线l 310x y -+=的距离d =312-+=1，∴直线被圆截得的弦长l 2231-=42 故选：D ． 【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式222l r d =-2．C解析：C 【解析】 【分析】运用几何意义，当直线与半圆相切或者只有一个公共点时满足题意 【详解】21y x =-直线y x m =+与曲线21y x =- ①()22111m d ==+-，解得2m 2m =-（舍去）②代入（-1，0）可得011m m =-+=， 代入（1，0）可得011m m =+=-， 结合图象，综上可得11m -≤<或2m 故选C 【点睛】本题考查了直线与半圆之间的位置关系，为满足题意中只有一个交点，则需要进行分类讨论，运用点到直线距离和点坐标代入计算出结果3．C解析：C【解析】根据直线与圆相交的弦长公式可知22285224R d d -=-=，解得255d =，设直线AB 的方程为y kx =，圆心()0,2到直线的距离2251d k==+ ，解得2k =-（舍）或2k =， ()222{24y x x y =+-= ，解得0{0x y == 或85{165x y == ，代入抛物线方程2168255p ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭ ，解得： 3225p = ，所以抛物线方程为2325y x =，故选C. 【点睛】本题考查了直线与圆，直线与抛物线和圆与抛物线的位置关系，如果直接选择圆与抛物线联立，那不易得到两个交点坐标，所以首先看成直线与圆的位置关系，根据弦心距公式得到直线方程，再让直线与抛物线联立，得到交点的坐标，求出抛物线方程.4．B解析：B 【解析】由题意得,所以圆心到直线距离为,因此该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为,选B.点睛：与圆有关的距离的最值问题，一般根据距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．5．A解析：A【解析】试题分析：求出|AC|，|BD|，代入面积公式S=•|AC||BD|，即可求出四边形ABCD的面积．解：由题意圆心O到AC、BD的距离分别为、1，∴|AC|=2=2，|BD|==2，∴四边形ABCD的面积为：S=•|AC|（|BM|+|MD|）=•|AC||BD|==2，故选：A．考点：直线与圆的位置关系．6．B解析：B【解析】试题分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B．考点：直线与圆的位置关系．7．A解析：A【解析】，所以m的斜率为试题分析：直线m是以点M为中点的弦所在直线，所以m POab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为222r a b+，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，所以222r r a b>+，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．8．A解析：A 【解析】考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定． 分析：作切线PE ，由切割线定理推出 PA PC = PAPB，说明△PAD ∽△PBC ，求出PB=80，然后求出PE ．解：作切线PE ，由切割线定理知，PE 2=PD•PC=PA•PB ，所以PA PC = PAPB， 又△PAD 与△PBC 有公共角P ，∠PDA=∠PBC ，所以△PAD ∽△PBC ． 故PD PB = AD BC =12，即40PB =12所以PB=80， 又AB=35，PE 2=PA•PB=（PB-AB ）•PB=（80-35）×80=602， PE=60． 故选A ．9．C【解析】试题分析：由∠PCA 是弦切角，且弦CA 所对的圆周角是∠B ，知∠PCA=∠B ． 解：如图，PC 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A 、B ， ∵∠PCA 是弦切角， 且弦CA 所对的圆周角是∠B ， ∴∠PCA=∠B ， 故选C ．点评：本题考查弦切角的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．A解析：A 【解析】试题分析：过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，根据圆的切线性质，有OMR OMN ∠≥∠．反过来，如果6OMR π∠≥，则圆O 上存在一点N 得6OMN π∠=故若圆O 上存在一点N ，使6OMN π∠=，则6OMR π∠≥12OR OR MR OM =⊥∴≤，，．又22222220000000000222442444M x x OM x y x x x x x x +=+=++=++∴++≤（，），（），，解得，020x -≤≤．0x ∴取值范围是[]2,0-，选A考点：直线与圆的位置关系【思路点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题．解题时过()00,M x y 作圆O 切线交圆O 于R ，则OMR OMN ∠≥∠．由题意可得6OMR π∠≥，2OM ≤．再根据2200002244M x x OMx x +=++（，），求得0x 的取值范围．11．D解析：D 【解析】试题分析：由不等式知，222222b a b a b a b a +≥+∴+≤+)2(，因此圆心到直线的距离22ba b a d ++=2≤，即圆心到直线距离小于等于半径，故直线与圆相交或相切．选D ．考点：①直线与圆的位置关系；②重要不等式的应用．【方法点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则：①若r d <，则直线与圆相交；②若r d ≤，则直线与圆相交或相切；③若r d >，则直线与圆相离；④若r d ≥，则直线与圆相离或相切．（2）需记忆常用的重要不等式①若,,00>>b a 则ab b a 2≥+；②22222b a b a ab +≤+≤)(． 12．A解析：A 【解析】试题分析：设圆心为(),2C m ，切点(),P x y ，由题意知222OP PC OC+=；而22222222,4,1OP x y OC m PC r m =+=+==+，代入化简得322=+y x ，故选A ．考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系．二、填空题13．【解析】【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切且交AF 于点B 求出半径然后根据垂径定理建立方程求解【详解】设以为圆心的圆与轴相切则半径由抛物线的定义可知又∴解得则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为 解析：2【解析】 【分析】根据条件以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，2AB BF =，求出半径，然后根据垂径定理建立方程求解 【详解】设11(,)A x y ，以A 为圆心的圆与y 轴相切，则半径1r x =， 由抛物线的定义可知，12pAF x =+，又2AB BF =， ∴111122p AF x x x =+=+，解得1x p =，则32pAF =，圆A 截线段AF 即2297164p p -=，解得2p =．故答案为2． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义，合理利用圆的弦长是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．14．或【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程再根据直线与圆的位置关系求解【详解】直线的普通方程为圆的普通方程为当它们相切时有解得故直线的倾斜角或【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化以解析：6π或56π 【解析】 【分析】先把直线的方程转化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系求解。
高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题7选修部分第1讲选修44坐标系与参数方程课件新人教版
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为
高考选做题——精选推荐
⾼考选做题⾼考选做题22. （本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E 。
EF 垂直BA 的延长线于点F 。
求证：（1）DEA DFA ∠=∠；（2）2AB BE BD AE AC =?-?23. （本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程 1O 和2O 的极坐标⽅程分别为4cos ,4sin ρθρθ==-。
（1）写出1O 和2O 的圆⼼的极坐标；（2）求经过1O 和2O 交点的直线的极坐标⽅程24. （本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =-+-。
（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()()||||||,0,a b a b a f x a a b R ++-≥≠∈、恒成⽴，求实数x 的范围。
22．（选修4—1：⼏何证明选讲）如图，AD 是△ABC 的内⾓平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，过C 、D 、E 三点的圆O 1交AC 的延长线于点F ，连结EF 、DF ．（1）求证：△AEF ∽△FED ；（2）若AD=6，DE=3，求EF 的长． 23．（选修4—4：坐标系与参数⽅程）已知直线l 的参数⽅程,()12,x t t y t =??=+?为参数和圆C 的极坐标⽅程)4πρθ=+．（1）将直线l 的参数⽅程化为普通⽅程，将圆C 的极坐标⽅程化为直⾓坐标⽅程；（2）判断直线l 和圆C 的位置关系． 24．（选修4—5：不等式选讲）已知a 、b 、x 、y 均为正实数，且a 1＞b 1，x ＞y ．求证：a x x +＞by y+ 22．（本⼩题满分10分）选修4—1：⼏何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点．（I ）求证：2DE DB DA =?；（II ）若⊙O的半径为OB，求EF 的长．AB OC DE已知曲线C 的极坐标⽅程是4cosρθ=．以极点为平⾯直⾓坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建⽴平⾯直⾓坐标系，直线l 的参数⽅程是：2x m y ?=+??=（t 是参数）．（I ）将曲线C 的极坐标⽅程和直线l参数⽅程转化为普通⽅程；（II ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||AB m 值． 24．（本⼩题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|||(0)f x x x a a =++->．（I ）作出函数()f x 的图象；（II ）若不等式()5f x ≥的解集为][(,23,)-∞-+∞ ，求a 值．22．（选修4-1⼏何证明选讲）（本⼩题满分10分）如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，求BD 的长．23．（选修4-4极坐标与参数⽅程）（本⼩题满分10分）已知直线l 的参数⽅程为+=+=t y t x 232213（t 为参数），曲线C 的参数⽅程为??==θθsin 4cos 4y x （θ为参数）．（1）将曲线C 的参数⽅程化为普通⽅程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长． 24．（选修4-5不等式选讲）（本⼩题满分10分）设函数()412--+=x x x f ．（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）求函数()x f 的最⼩值．22．（本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲已知：如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3， BD ＝6，求PB 的长。
高三数学参数方程试题答案及解析
高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】由x=1+t得t=x-1代入y=-1+3t整理得，，即为曲线C的普通方程.考点:参数方程与普通方程互化2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。
（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（I）求直线和圆的普通方程；（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.【答案】（I）,;（II）【解析】（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.（II）由直线与圆有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.试题解析：（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.【考点】1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.4.直线（为参数）的倾斜角是【答案】.【解析】直线的斜率为，因此该直线的倾斜角为.【考点】1.直线的参数方程；2.直线的斜率5.直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【答案】3【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．6.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程7.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为（，）,直线l的极坐标方程为ρcos（）=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.【答案】（1）x+y-2=0 （2）相交【解析】(1)由点A（，）在直线ρcos（-）=a上,可得a=，所以直线l的方程可化为,从而直线l的直角坐标方程为.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1，0)，半径r=1,因为圆心C 到直线l的距离d=<1,所以直线l与圆C相交.9.在直角坐标平面内，以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数），则点到曲线上的点的距离的最小值为．【答案】【解析】由已知得，点的直角坐标为，曲线的普通方程为，表示以为圆心，为半径的圆，故点到曲线上的点的距离的最小值为．【考点】1、直角坐标和极坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点和圆的位置关系.10.已知曲线C的参数方程为(t为参数)，若点P(m，2)在曲线C上，求m的值．【答案】m＝16【解析】点P(m，2)在曲线C上，则，所以m＝16.11.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为坐标原点，为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．则的参数方程为 .【答案】（为参数）【解析】设点.由，可得.即的参数方程为（为参数）.【考点】1.参数方程的知识.2.向量相等.12.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于.【答案】【解析】、的普通方程分别为、，与的两个交点之间的距离即为圆截直线得到的弦长，所以，.【考点】参数方程与极坐标，直线与圆的位置关系.13.若直线（为参数）被圆截得的弦长为最大，则此直线的倾斜角为；【答案】【解析】直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；直线被圆截得的弦长最大，即圆心到直线的距离最小，，当时，.【考点】参数方程与普通方程的转化、极坐标与直角坐标的转化、最值问题.14.过点M(2,1)作曲线C:(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,求此弦所在直线的方程.【答案】2x+y-5=0【解析】由于曲线表示的是圆心在原点O,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直.∵kOM=,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.15.已知直线与圆相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 .【答案】【解析】消掉可得直线方程为，利用可得圆的方程为，联立方程组得交点，交点间距离为，则所求圆的面积为.另解：因为圆心到直线的距离为，所以，则所求圆的面积为【考点】直线与圆的参数方程16.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.17.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，它与曲线C：(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．(1)求|AB|的长；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．【答案】（1）（2）【解析】(1)把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2－12t－5＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝5(2)易得点P在平面直角坐标系下的坐标为(－2,2)，根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为＝.由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|＝·＝.18.已知曲线（为参数），（为参数）.（1）化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.【答案】（1），曲线为圆心是，半径是1的圆，曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆；（2）.【解析】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用参数方程与普通方程的互化方法转化方程，再根据曲线的标准方程判断曲线的形状；第二问，根据已知写出直线的参数方程，与曲线联立，根据韦达定理得到两根之和两根之积，再利用两根之和两根之积进行转化求出.试题解析：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆． 4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.圆和椭圆的标准方程；3.韦达定理；4.直线的参数方程.19.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.20.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.21.过点，倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于两点，试确定的值．【答案】15．【解析】先将曲线：（圆）的参数方程化成普通方程，再将直线的参数方程代入其中，得到一个关于的一元二次方程，最后结合参数的几何意义，利用一元二次方程的根与系数之间的关系式即可求得距离之积．试题解析：由已知得直线的参数方程为（为参数），即（为参数） 3分曲线的普通方程为． 6分把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得∴点到两点的距离之积为15． 10分【考点】1．圆的参数方程；2．直线和圆相交有关计算．22.在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面坐标系，圆的参数方程（为参数），若圆与相切，则实数 .【答案】.【解析】圆的直角坐标方程为，其标准方程为，圆心为，半径长为，圆的圆心坐标为，半径长为，由于圆与圆外切，则.【考点】1.参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.两圆的位置关系23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，则与交点在直角坐标系中的坐标为 ____.【答案】（2,5）【解析】曲线的参数方程为（为参数），将代入，因为，所以其一般方程为.再将曲线的极坐标方程为转化为直角坐标系中的方程,因为，，故曲线的一般方程为.联立方程组，解得或，又，所以舍去.所以与交点在直角坐标系中的坐标为（2,5）.【考点】坐标系与参数方程25.已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为：，（为参数），以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：则圆截直线所得弦长为 .【答案】【解析】圆C的参数方程为的圆心为,半径为3, 直线普通方程为,即,圆心C到直线的距离为,所以圆C截直线所得弦长.【考点】1.参数方程；2.点到直线的距离.26.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；⑵当时，曲线和相交于、两点，求以线段为直径的圆的直角坐标方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)代入消参数法求解直线方程，利用极坐标公式求解圆的普通方程；（2）借助弦长公式求出直径的长，确定圆心坐标，利用圆的标准方程求解.试题解析：(1)对于曲线消去参数得：当时，；当时，. (3分)对于曲线：，，则. (5分)(2) 当时，曲线的方程为，联立的方程消去得，即，，圆心为，即，从而所求圆方程为. (10分)【考点】1.极坐标系与参数方程的相关知识;2.极坐标方程与平面直角坐标方程的互化;3.平面内直线与曲线的位置关系.27.函数的最大值是．【答案】10【解析】由分析可考虑三角代换，令，则，代入化简可得，即可得.【考点】参数方程，辅助角公式.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求．【答案】圆心到直线的距离，。
2.3 参数方程和普通方程的互化 课件 (北师大选修4-4)
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
由参数方程得： cos x 3 ,sin 2 cos 2 ( x 3) 2 y 2 1 sin y 所以点M 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点）
例２、求参数方程
x | cos 2 sin 2 |, (0 2 ) 表示 y 1 (1 sin ) 2
（ ）
1 （A）双曲线的一支，这支过点（1， ）： 2 1
1 2 （C）双曲线的一支，这支过点（–1， ）； 2
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x t2 x sin t x t x t A、 4 B、 C、 D、 2 2 y t y t y sin t y t
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 y t 2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
小
普通方程
结
参数方程
引入参数 消去参数
0<x 2 ，故应选（B） 说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法 是最好的方法。
x2 y 2 例4 求椭圆 1的参数方程。 9 4
2.1.3 参数方程和普通方程的互化 课件(人教A选修4-4)
x＝tan θ， kπ ∴ (θ 为参数，θ≠ ，k∈Z). 1 2 化为普通方程：
x＝5cos θ ；(2) y＝4sin θ－1
x＝t＋1 t－1 (1) 2t y＝t3－1 [思路点拨] y 表达式．
(θ 为参数)．
t＋1 (1)可采用代入法，由 x＝ 解出 t 代入 t－1
(2)采用三角恒等变换求解．
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[解]
t＋1 x＋1 (1)由 x＝ ，得 t＝ . t－1 x－1
2
x＋1x－1 2t 代入 y＝ 3 化简得 y＝ (x≠1)． t －1 3x2＋1 x x＝5cos θ cos θ＝5 (2)由 得 y＝4sin θ－1 sin θ＝y＋1 4 y＋12 x 2 2 ① ＋② 得 ＋ ＝1. 25 16
答案：B
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x＝sin θ－cos 3． 把参数方程 y＝sin 2θ
θ，
(θ 为参数)化成普通方程
是________．
解析：将 x＝sin θ－cos θ 两边平方得 x2＝1－sin 2θ， 即 sin 2θ＝1－x2，代入 y＝sin 2θ，得 y＝－x2＋1. π 又 x＝sin θ－cos θ＝ 2sin(θ－ )，∴－ 2≤x≤ 2， 4 故普通方程为 y＝－x2＋1(－ 2≤x≤ 2)．
2
① ， ②
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消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入
消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的 方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取
值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函
2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 坐标系与参数方程(选修4—4)(含解析)
考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2020·全国Ⅱ·理22)已知曲线C 1,C 2的参数方程分别为C 1:{x =4cos 2θ,y =4sin 2θ(θ为参数),C 2:{x =t +1t,y =t -1t(t 为参数).(1)将C 1,C 2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设C 1,C 2的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2.(2022·陕西榆林三模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0. (1)求C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程.(2)若P 为C 上任意一点,A 为l 上任意一点,求|PA|的最小值.3.(2022·安徽怀南一模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =t 2,y =2t (t 为参数),以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为2cos α-sin α=4ρ. (1)求曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求以AB 为直径的圆的极坐标方程.4.(2022·陕西榆林二模)在数学中,有许多方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为ρ=1-sin θ(0≤θ<2π,ρ≥0),M 为该曲线上一动点. (1)当|OM|=12时,求M 的直角坐标;(2)若射线OM 逆时针旋转π2后与该曲线交于点N ,求△OMN 面积的最大值.5.(2022·安徽合肥二模)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2=acos2θ(a>0,ρ∈R ). (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线θ=π4(ρ∈R )与直线l 交于点M ,直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于点A ,B ,且AM ⊥BM ,求实数a 的值.6.(2022·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2sinα,y =2cosα+1(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的直角坐标方程为x+√3y-2√3=0. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R )与曲线C 交于A ,B 两点,与直线l 交于点M ,求|MA|·|MB|的值.7.(2022·河南郑州二模)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).已知M是曲线C 1上的动点,将OM 绕点O 逆时针旋转90°得到ON ,设点N 的轨迹为曲线C 2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1,C 2的极坐标方程;(2)设点Q (1,0),若射线l :θ=π3与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ,B 两点,求△ABQ 的面积.8.(2022·山西太原一模)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =-2+35t ,y =2+45t (t 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρsin θ-3=0,点P 的极坐标为2√2,3π4.(1)求点P 的直角坐标和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 和曲线C 交于A ,B 两点,求点P 到线段AB 的中点M 的距离.考点突破练22 坐标系与参数方程(选修4—4)1.解 (1)C 1的普通方程为x+y=4(0≤x ≤4). 由C 2的参数方程得x 2=t 2+1t2+2,y 2=t 2+1t2-2, 所以x 2-y 2=4.故C 2的普通方程为x 2-y 2=4. (2)由{x +y =4,x 2-y 2=4得 {x =52,y =32,所以P 的直角坐标为(52,32). 设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0),由题意得x 02=(x 0-52)2+94,解得x 0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cos θ.2.解 (1)因为曲线C 的参数方程为{x =4cosθ,y =3sinθ(θ为参数),所以C 的普通方程为x 216+y 29=1.又因为直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-12=0,所以直线l 的直角坐标方程为x+y-12=0. (2)设P (4cos θ,3sin θ),|PA|的最小值即点P 到直线l 的距离的最小值,由√2=√2≥7√22,其中tan φ=43.当且仅当θ+φ=π2+2k π,k ∈Z 时取等号,故|PA|的最小值为7√22. 3.解 (1)由{x =t 2,y =2t (t 为参数),得{x =t 2,y 2=t (t 为参数),消去参数t ,得y 2=4x ,即曲线C 的普通方程为y 2=4x.(2)由2cos α-sin α=4ρ,得2x-y=4, 联立{y 2=4x ,2x -y =4得A (1,-2),B (4,4),所以AB 的中点坐标为52,1,|AB|=√45=3√5,故以AB 为直径的圆的极坐标方程为(x -52)2+(y-1)2=454,即x 2+y 2-5x-2y-4=0,将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入,得ρ2-5ρcos θ-2ρsin θ-4=0.4.解 (1)令ρ=12,可得sin θ=12,所以θ=π6或θ=5π6,M 的直角坐标为±√34,14.(2)△OMN 的面积S=12ρ1ρ2=12(1-sin θ)1-sin θ+π2=12(1-sin θ)(1-cos θ)=12[1-(sin θ+cos θ)+sinθcos θ],令t=sin θ+cos θ=√2sin θ+π4∈[-√2,√2], S=121-t+t 2-12=14(t-1)2,当t=-√2时,S 取得最大值3+2√24. 5.解 (1)由{x =1+√2t ,y =1-√2t(t 为参数)得x+y=2,∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2.由ρ2=acos2θ,得ρ2cos 2θ=a ,∴ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=a ,ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=a , ∴x 2-y 2=a ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2=a.(2)直线l 的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=2,将θ=π4代入直线l 的极坐标方程得ρ=√2,∴点M 的极坐标为√2,π4.将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程ρ2=acos2θ,得ρ1=√2a ,ρ2=-√2a ,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=2√2a . ∵AM ⊥BM ,且O 为线段AB 的中点, ∴|OM|=12|AB|=√2a ,即√2a =√2,得a=1.6.解 (1)由{x =2sinα,y -1=2cosα(α为参数),得曲线C 的普通方程为x 2+(y -1)2=4.由x+√3y-2√3=0,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ-2√3=0,即ρsin θ+π6=√3.(2)(方法1)曲线C :x 2+(y-1)2=4的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ-3=0,将θ=π6代入曲线C 的极坐标方程,得ρ2-ρ-3=0,∴ρ1+ρ2=1,ρ1·ρ2=-3. 将θ=π6代入直线l 的极坐标方程,得ρ=2.|MA|·|MB|=|ρ-ρ1|·|ρ-ρ2|=|(2-ρ1)·(2-ρ2)|=|4-2(ρ1+ρ2)+ρ1·ρ2|=1.(方法2)直线θ=π6的普通方程为y=√33x ,与直线l :x+√3y-2√3=0的交点为M (√3,1),直线θ=π6的参数方程为{x =√3+√32t ,y =1+12t(t 为参数),代入曲线C :x 2+(y-1)2=4,得t 2+3t-1=0,则|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1.7.解 (1)C 1的普通方程为(x-1)2+y 2=1,则x 2+y 2-2x=0,由ρ2=x 2+y 2,x=ρcos θ,得ρ2=2ρcos θ,故C 1的极坐标方程为ρ=2cos θ.设N (ρ,θ),则M ρ,θ-π2,将M ρ,θ-π2代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos θ-π2=2sin θ,即C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)将θ=π3分别代入曲线C 1,C 2的极坐标方程,得|OA|=ρA =2cos π3=1,|OB|=ρB =2sin π3=√3, 所以|AB|=||OB|-|OA||=√3-1. 又Q 到射线l 的距离d=|OQ|sin π3=√32,故△ABQ 的面积为S=12×(√3-1)×√32=3-√34. 8.解 (1)点P 的极坐标为2√2,3π4,由{x =ρcosθ,y =ρsinθ可得点P 的直角坐标为(-2,2),曲线C :ρ2cos2θ+4ρsin θ-3=0,即ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ+4ρsin θ-3=0, 于是得曲线C 的直角坐标方程为x 2-y 2+4y-3=0. (2)显然点P (-2,2)在直线l 上,将直线l 的参数方程{x =-2+35t ,y =2+45t代入方程x 2-y 2+4y-3=0,得-2+35t 2-2+45t 2+42+45t -3=0,整理得725t 2+125t-5=0,。
高中数学选修4-1(高考全部内容)课件
参数方程的形式
参数方程的一般形式为{ x=x(t), y=y(t) }，其中t是 参数。
参数方程的应用
参数方程在解决几何问题 、物理问题等领域有广泛 应用。
极坐标与直角坐标的互化
极坐标转换为直角坐标
通过公式x = r cosθ, y = r sinθ可以 将极坐标转换为直角坐标。
直角坐标转换为极坐标
定义
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、 乘法等。加法和数乘是矩阵的基本运 算，而乘法是矩阵运算中的重点和难 点。
性质
实例
矩阵的运算可以用来解决一些实际问 题，如线性方程组的求解、向量的线 性变换等。
矩阵的运算满足一些基本的数学性质 ，如结合律、交换律、分配律等。这 些性质在解决实际问题时非常重要。
逆矩阵与行列式
参数方程的应用
03
解决与参数方程相关的实际问题，如轨迹问题、最值问题等。
复数及其应用习题及答案
复数的基本概念
复数的定义、表示方法、四则 运算等。
复数的几何意义
理解复数在平面上的表示方法 ，掌握复数的模的概念和性质 。
复数的三角形式
掌握复数的三角形式的表示方 法，理解其几何意义。
复数的应用
解决与复数相关的实际问题， 如求复数方程的根、解决几何
抛物线的标准方程为 $y^2 = 4px$ 或 $x^2 = 4py$，其中 $p$ 是抛物线的准线到焦点的距
离。
抛物线的性质
抛物线具有对称性，即关于x轴 或y轴都是对称的。此外，抛物 线还有焦点，这些焦点到抛物线 上任一点的距离等于该点到准线
的距离。
抛物线的面积
由于抛物线是一条射线，所以它 的面积是无穷大。但是，在实际 应用中，我们通常只考虑抛物线 与坐标轴或某个平面的交点所围
第2讲-1-曲线的参数方程第2课时
当 堂 双 基 达 标
y＋2 3＋sin θ ∴k＝ ＝ . x＋1 1＋cos θ
课 堂 互 动 探 究
∴sin θ－kcos θ＝k－3 即 1＋k2sin(θ＋φ)＝k－3.(φ 由 tan φ＝－k 确定) k－3 ∴sin(θ＋φ)＝ 2. 1＋k
菜 单
课 时 作 业
新课标 ·数学 选修4-4
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2 1 － k 2 要，如 sin2α＋cos2α ＝1 ，(ex＋e－x)2－(ex－ e－x)2 ＝4， ( ) 1＋k2
课 时 作 业
2k 2 ＋( 2) ＝1 等． 1＋k
菜 单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
2． 把参数方程化为普通方程时， 要注意哪一个量是参数， 并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影 响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，
新课标 ·数学 选修4-4
第 2 课时
课 前 自 主 导 学
参数方程和普通方程的互化
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1.了解参数方程化为普通方程的 意义． 课标 2．理解参数方程与普通方程的 解读 互相转化与应用． 3．掌握参数方程化为普通方程 的方法.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
可表示不同的曲线．
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示
课 前 自 主 导 学
曲线的形状：
x＝2cos θ (1) y＝2sin θ
高三数学极坐标系试题答案及解析
高三数学极坐标系试题答案及解析1.曲线关于曲线（为参数）的准线对称，则.【答案】2【解析】曲线的直角坐标方程为，其圆心；消去得曲线的方程为，其准线方程为由题意知，在直线上，所以，解得故答案为2【考点】曲线的参数方程和极坐标方程.2.在极坐标系中，过点引圆的一条切线，则切线长为 .【答案】.【解析】点的直角坐标为，将圆的极坐标方程化为普通方程得，圆心到点的距离为，因此切线长为.【考点】1.极坐标与直角坐标的转化；2.勾股定理3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的两个交点间的距离为 .【答案】.【解析】曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，将曲线的极坐标方程化为普通方程得，圆心到此直线的距离为，因此与的两个交点间的距离为.【考点】1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的转化；2.直线与圆的位置关系4.极坐标方程为的圆与参数方程的直线的位置关系是 .【答案】相交【解析】试题分析:圆的直角坐标方程为，直线的普通方程为，故圆心在直线上，所以直线和圆相交．【考点】1、圆的极坐标方程；2、直线的参数方程.5.已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、.（1）写出圆的直角坐标方程；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.（1）由，得，，即，即圆的直角坐标方程为；（2）由点的极坐标得点直角坐标为，将代入消去、，整理得，设、为方程的两个根，则，所以.【考点】1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理6.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别是、，直线与曲线相交于、两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．【答案】（1）：，；（2）.【解析】（1）题中参数方程化为普通方程只要消去参数，极坐标系与直角坐标系的互化公式为：；（2）首先明确是什么？可把点坐标化为直角坐标，发现就是圆心，从而线段是圆的直径，因此题中有，即，我们在极坐标系中证明本题结论较方便，因为可设，代入的极坐标方程，可得，代入即可求得. 试题解析：（1）曲线的普通方程为 1分化为极坐标方程为： 3分曲线的普通方程为： 5分（2）在直角坐标系下，，线段是是圆的一条直径，∴，由，有 6分是椭圆上的两点，在极坐标系下，设分别代入，有， 8分解得：，.则 9分即. 10分【考点】(1)参数方程，极坐标方程与普通方程的互化；(2)极径的计算.7.在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将展开得，则转化成直角坐标方程为，那么M，N的极坐标时，，所以，时，，所以；（Ⅱ）先将MN的极坐标转化成直角坐标点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为，从而点的直角坐标为，则点的极坐标为，所以直线的极坐标方程为.试题解析：（Ⅰ）由得．从而的直角坐标方程为，即．时，，所以．时，，所以．（Ⅱ）点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为．所以点的直角坐标为，则点的极坐标为．所以直线的极坐标方程为．【考点】1.极坐标方程和直角坐标方程之间的转化.8.已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为(t为参数，0≤＜). (Ⅰ)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；(Ⅱ)若直线经过点(1,0)，求直线被曲线C截得的线段AB的长.【答案】（Ⅰ），曲线C是顶点为，焦点为的抛物线；(Ⅱ)8.【解析】（Ⅰ）根据极坐标和直角坐标的关系得直角坐标方程；(Ⅱ)方法1：由已知条件求直线的参数方程，代入曲线C的方程，得关于参数的二次方程，可利用求得长度；方法2：先把直线的方程化为普通方程，再与曲线C联立求交点坐标，既得所求.试题解析：（Ⅰ）方程两边同乘，得，把代入上式，得，这就是曲线C的直角坐标方程，曲线C是顶点为，焦点为的抛物线. 3分（Ⅱ）方法1：直线（为参数，）经过点，若直线又经过点，则，直线的参数方程为（为参数），代入曲线C的方程，得整理得. ①设直线与曲线C的交点A、B对应的参数分别为，则是方程①的两个实根，于是，直线被曲线C截得的线段AB的长为. 7分方法2：设直线的普通方程为，若直线经过点，则，即，的方程为，解方程组，得或，即A、B两点的坐标分别为，于是直线被曲线C截得的线段AB的长为. 7分【考点】1、极坐标与直角坐标的互化；2、参数方程；3、直线被曲线所截线段的求法.9.（坐标系与参数方程选做题）设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为．【答案】或或或【解析】略10.15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）A．（选修4—4坐标系与参数方程）已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 .B.（选修4—5不等式选讲）不等式的解集是．C.（选修4—1几何证明选讲）如图所示,和分别是圆的切线，且，,延长到点，则的面积是 .【答案】A . B . C .【解析】略11. (坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线的极坐标方程为，写出曲线的直角坐标方程．【答案】（或【解析】略12.（坐标系与参数方程选做题）同时给出极坐标系与直角坐标系，且极轴为ox，则极坐标方程化为对应的直角坐标方程是。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
2.1曲线的参数方程 第二课时 课件(人教A版选修4-4)
1．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆
x a rcos ， y b rsin (θ为参数)的圆心位于(
B)
A．第一象限 C．第三象限 A．(－1＋cos θ，sin θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ)
B．第二象限 D．第四象限 B．(1＋sin θ，cos θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ)
上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于点M.当点Q在圆C上运动
时，求点M的轨迹方程．
解析：设点 O 到 AQ 的距离为 d，则 1 1 |AM|· d＝ |OA|· |OM|· sin ∠AOM， 2 2 1 1 |QM|· d＝ |OQ|· |OM|· sin ∠QOM. 2 2 |AM| |OA| 2 → 2 → 又∵∠AOM＝∠QOM，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AQ. |QM| |OQ| 1 3 ∵点 Q 是圆 x2＋y2＝1 上的点， ∴设点 Q 的坐标为(cos θ， sin θ)，M(x，y)，得 2 (x－2，y－0)＝ (cos θ－2，sin θ－0)， 3 2 2 2 即 x－ ＝ cos θ，y＝ sin θ. 3 3 3 2 4 2 2 两式平方相加，得x－3 ＋y ＝ ， 9 2 4 2 2 ∴点 M 的轨迹方程为x－3 ＋y ＝ . 9
∵cos2t＋sin2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2， 即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
圆的直径AB上有两点C，D，且|AB|＝10，|AC|
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形． 分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方 程中的参变量消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、 乘除消元法、三角消元法，但要注意消去参数时变量范围的 一致性．
第12章 第2节 参数方程
第二节 参数方程
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)参数方程xy＝＝fgtt， 中的 x，y 都是参数 t 的函数．
2．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝coskt， y＝sinkt (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0．
(1)当 k＝1 时，C1 是什么曲线？ (2)当 k＝4 时，求 C1 与 C2 的公共点的直角坐标．
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0．
∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
第二节 参数方程
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
点评：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量 x 和 y 取值 范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数 f(t)和 g(t) 的值域，即 x 和 y 的取值范围．
第二节 参数方程
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
考点二 参数方程的应用
1．直线的参数方程中 t 的几何意义
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
将参数方程化为普通方程的方法
将参数方程化为普通方程的方法
摘要：《极坐标与参数方程》是全国卷高考选考的重要内容，大部分学校都选
这部分内容，而且《极坐标与参数方程》对必修中的圆锥曲线解题有很大的帮助。
极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点，主要考查等价转换思想，代数式变形能力，逻辑思维推理能力，本文主要介绍的是将参数方程转化普
通方程的高考常用的四种方法。
关键词：参数方程直接消参分离常数平方三角换元
一、常见曲线参数方程
二、将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，要选取适当
的消参方法，常见的消参的方法有四种：
1.直接消参法：通过其中一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程的化简。
2.分离常数消参法：把其中一个方程中的参数分离出来，代入另一个方程。
3.平方消参法：把两个方程平方后做稍微变形以后相加。
二、方法实际应用
(2019全国Ⅰ卷，22,10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]
解：(1)
普
以上四种解题方法基本上可以解决高中阶段参数方程的所有将参数方程化为
普通方程问题，但我们应注意将参数方程化为普通方程时，两种方程之间的等价性、不能增解或漏解，主要是，的取值范围，有时两个范围都要写，有时只写一个，有时可以不写。
参考文献：【1】(2019全国Ⅰ卷，22,10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]。
消参数的四条原则
』
【 ｙ
（ 参） ： 去 数； ① 为 解 消
参数 ０得 ： ＋ ＝１ 由于 由参数 方 ，
例 １ 化参数＝ ｘ＋ １
有意义 的 ｘ ｙ ． 取值范 围一致 ， 两者都 故 可省略不写 ， 普通方程 为
ａ
【： 一… ｖ 一 二 （ … 参 一 ） １ ２ 为 一
消 参 数 的 四 条 原 则
东台市时堰 中学 本人在 教选修 ４— ４坐标系与参 数 方程教学过程 中发现 ， 学生在化参数 方 程中普通方程后 ， 对于如何确定普通 方 程中变量 的取 值 范 围 问题 模 糊不 清 。 本该确定 ｘ取 值 范 围的反 而确 定 了 Ｙ 的取值 范围 ； 该同时确定 Ｘ Ｙ两个变 量 、 取值范围的却 只确定 了其 中一个 变 量 的取值范围 ， 使两种方程表示的 曲线 不 相同 ， 出错误结果 。为了使学生对 上 得 述问题 明 朗化 ， 归 纳 出如 下 四条 原 特 则， 以供参考 。 原则 １参数方程化为普通方程后 ， 若普通方程中 ｘｙ的次数都是 一次的 ， 、 只须任取其 中一个 ， 确定它 的变化范 围
由于 、 Ｙ均为一次 ， 任选一个变量确 定 其变化范围即可 。 １ 由（ ）得 ≥ ０ 故普 ，
＝
解 ： 去 ０ ： ＋１ ＋ 消 得 （ ）
②消去 Ｉ 得 ： ＋Ｙ 一Ｙ＝ 即 ： Ｔ ｘ Ｉ ０， ｘ
＋（ ＝ １ 由 ｘ ｙ－ １） ＝
，
通方程 为 Ｙ：一÷ 一１ ≥０ 。 （ ）
①｛ 。
（ 为参数） ② ０ ；
１使 两种方 程表 示不 同 的 曲线 。若 同 ， 时确定 Ｘ Ｙ的取值范 围 ， 、 ｘ的取值 范 围
又属多余 。 原则 ３参数方程化为普通方程后 ， 普通方程 中 ｘ Ｙ的次数 是二次 的， 、 则须 同 时 确 定 两 变 量 的取 值 范 围 。 例 ３ 化 参 数 方 程
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相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间 关系的方程叫做普通方程。
引入
试根据参数方程 xy
c os s in
3直接判断M点的轨
迹的曲线，同学们会发现，直接判断有一定的
难度，可是我们很清楚（x 3）2 y2 1是以
（3,0）为圆心，以1为半径的圆。其实 xy
x
2
y ys
in2
c os2
cos2
步骤：（1）消参；
x2 y 1
（2）求定义域。
sin 1
x 1
该曲线为抛物线
y 1 x2(-1 x 1) 的一部分
练习:将下列参数方程化为普通方程。
（1）
x y
3t t3
1、在直角坐标系中xoy中，曲线C1的参数方程
为xy
cos 1 sin
(为参数)，在极坐标（与直角
坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为
极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方
程（cos sin） 1 0,则C1和C2的交点个数
为：
作业
• 教材p42: 习题2-3 A组 1（1）、（2）、（4） 课外练习：三维设计
y
2
cos2
sin2
3 3
x 22 y2 9
x
2
2
y
2
1
3 3
该曲线是以（2,0）为圆心，以3为半径的圆。
（4）
x y
sin
cos2Βιβλιοθήκη (为参数，
0,2
)
解：可化为 x2 sin2
（1 t为参数）
y
x
1
3
3
（2）xy
1 4t(t为参数) 2 4t
x y 1
（3）xy
6 c os 5sin
(为参数)
x2 y2 1 36 25
（4）xy
sin cos2
(为参数)
y 1 2x2(1 x 1)
（3）xy
2 3cos（为参数） 3sin
分析：可利用 cos2 sin2 1 消掉参数
解：原式可化为
cos
x
3
2
sin
y 3
cos2
x
2
2
3
即
sin2
y
2
3
x
2
2
小结: 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程 常见方法有三种：
• 1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t, 然后代入消去参数。
• 2.加减法：利用互为相等或相反的变量， 消去参数t.
• 3.三角法：利用三角恒等式消去参数。
延伸：整体消元法：根据参数方程本身的结 构特征,从整体上消去。
化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参 过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须 根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、 y的取值范围。
参数方程化为普通方程
选修4-4
一、回顾概念
• 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一
点的坐标x,
y都是某个变数t的函数
x
y
f (t), g (t ).
（2）
并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的 点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这 条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变 数, 简称参数.
(2)x= t 1 (t为参数) y 1 2 t
分析： t作为一个整体被消掉 注意x
解：原式可化为 将代入，得：
t x 1 y 1 2 t
y 1 2(x 1)
t 11
整理，得：
y 2x （3 x 1）
• 这是一条（1,1）为端点的一条射线（包括端 点）
二二、例、题把讲下解列参数方程化为普通方程，并说明它们各 表示什么曲线？
(1)
x y
3t 2t
5, (t为参数) 1
分析：可用加减消元，消掉参数t
解：原式可化为 2x 6t 10 3y 6t 3
+，得： 2x 3y 7
整理，得: 2x 3y 7 0
c os s in
3
和（x 3）2 y2 1表示的是同一曲线，那我们应
如何将参数方程化为普通方程呢？
探究：如何消掉参数
x t,
如（：1）
y
1. t
（t为参数）
可将t=x代入 y 1
需注意：t不能为0
t
（2）xy
2t 2t
(t为参数) 2
可利用两式相加，消掉参数t
（3）xy
3 3c
3sin
os
(为参数)
可转化为： c os
x 3 3
s in
y 3
利用： cos2 sin2 1 消去参数
所以：参数方程通过代入消元、加减消元或三角恒等式消去参数化 为普通方程 注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范 围保持一致，否则，互化就是不等价的.