(完整版)运用向量法证明几个数学公式

运用向量法证明几个数学

向量法是几何问题代数化的一种重要方法，运用向量法可以证明一些三角或者几何公式，下面仅举几例予以说明。

例1、用向量证明和差化积公式

cos cos 2cos

cos

22αβ

αβ

αβ+-+=

sin sin 2sin cos

22αβαβ

αβ+-+= 如图，作单位圆，并任作两个向量

(cos ,sin )OP αα=u u u r ，(cos ,sin )OQ ββ=u u u r

取

»PQ 的中点M ，则

(cos

,sin

)2

2

M αβαβ

++

连接PQ 、OM ，设它们相交于点N ，则点N 为线段PQ 的中点，且ON PQ ⊥，∠Mo x

和∠MOQ 分别为,22αβαβ

+-，所以||||cos cos

22

ON OM αβαβ

--==u u u r u u u u r ，所以点N 的坐标为(||cos ,||sin )

22

ON ON αβαβ

++u u u r u u u r ，即(cos cos ,cos sin )2222N αβαβαβαβ-+-+

又11

()(cos cos ,sin sin )22ON OP OQ αβαβ=+=++u u u r u u u r u u u r

所以(cos cos ,cos sin )2222αβαβαβαβ-+-+1

(cos cos ,sin sin )2

αβαβ=++

即cos cos 2cos cos 22

αβαβ

αβ+-+= sin sin 2sin cos 22

αβαβαβ+-+= 在上面的基础上，还可以证明另外两个和差化积公式：

sin sin 2cos

sin

22αβ

αβ

αβ+--= cos cos 2sin

sin

2

2

αβ

αβ

αβ+--=-

如图，过P 点作y 轴的平行线，过Q 作x 轴的平行线相交于点F ，那么||sin sin PF αβ=-u u u r ，||cos cos FQ βα=-u u u r

，

∠

QPF

＝

∠

QNE

＝

∠

Mox

＝

2

αβ

+，

||2||2||sin 2sin

22

PQ NQ OQ αβαβ

--===u u u r u u u r u u u r 所以||||cos ,||||sin PF PQ QPF FQ PQ QPF =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r

即sin sin 2cos

sin

22αβ

αβ

αβ+--=

cos cos 2sin sin

22

αβαβ

αβ+--=-

例2、用向量解决平行四边形与三角形面积的计算公式

如图，在直角坐标系中，已知12(,)OA a a a ==u u u r r ，12(,)OB b b b ==u u u r r

，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，那么平行四边形的面积1221||S a b a b =-，三角形OAB 的面积

12211

||2

OAB S a b a b ∆=

- 证明：设,a b α<>=r r ，那么可以得出

||||sin OACB S a b α=r r ，由于cos ||||a b

a b α⋅=r r r r

所以222sin 1cos 1()||||

a b

a b αα⋅=-=-r r r r

222222

1122122111221221222222222

222121212121212()2()1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b ++--=-==++++++

所以sin α=

所以1221||OACB S a b a b =-，因此12211

||2

OAB S a b a b ∆=

- 例3、用向量法证明三角形面积的海伦公式

三角形面积的海伦公式

: S , 式中c b a ,,为三条边的边长, )(2

1

c b a p ++=

, S 为三角形的面积. 证明: 证明: 在三角形ABC 中, 设BC a =u u u r r , CA b =u u u r r , AB c =u u u r r , a a =ρ

,

b b =ρ,

c c =ρ

因为：ABC ∆的面积为: 1

sin 2

S ab C =

所以: 2222

22211||||sin ||||(1cos )44S a b C a b C ==-r r r r

2222

211||||||||cos 44

a b a b C =-r r r r

＝222

1(||||())4

a b a b -⋅r r r r (1)

因为: 0ρρρρ=++c b a , 所以: c b a ρρρ-=+, 所以: 2

2)(c b a ρρρ=+,

所以: )(2

12

22b a c b a ρρρρρ--=⋅ (2)

将(2)式代入(1)式, 并化简得:

).22()22()22(216

1

))()()((161

])(][)[(161)]

(2)][(2[161

])(41[4122222222222222222a p b p c p p b a c b a c c b a c b a b a c c b a b a c ab b a c ab b a c b a S -⋅-⋅-⋅⋅=+--+-+++=---+=--+---=---= 化简即得 ))()((2c p b p a p p S ---=.

所以

S =