弯曲液面附加压强
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拉普拉斯公式--任意弯曲液面附加压强
可以证明，曲面将产生一方向向下的附加压强
p附 = σ(1/R1 + 1/R2 )
• 这一公式称为拉普拉斯公式，
• 人们常用它来确定任意弯曲液面下的附加压强。
• 对于球形液面，公式中的R1 = R2 ，则
•
p = 2σ/R
• 对于柱形液面， R2 趋向无穷大,
•
p附 =σ/R1
•
因为附加压强是指向主曲率中心的，为了便于区
分，把液体的表面呈凸面的曲率半径定为正，呈凹面
的曲率径定为负。
例如，若在两块水平放置的清洁的玻璃板间放上一滴 水以后，将这两玻璃板进行挤压，使两玻璃板间有一 层很薄的水，
设这层水的厚度为 d =10-4 m,显然这层水与空气的接 触面为曲率半径R 的凹曲面。
• 由于水平截面在曲面上截得的是一大圆，而大圆半径
很小。
• 请问:若在两板间放的不是水而是水银，则两板间液 体的自由表面是凸面，
• 所产生的附加压强是怎样的? • 其方向沿板面法线向外。是正的。 • 这时若有人想把水银从两板的间隙中挤出会怎么样？ • 则越往下挤越费力。
— (二)拉普拉斯公式 任意弯曲液面附加压強
有不少液面并不呈球形。为了计算由任意弯曲液面的 表面张力所产生的附加压强，考虑如图所示的一任意 的微小曲面。
在曲面上任取一点O，过O 作互
相垂直正截面 P1 、 P2 。截面 与弯液面相交截得圆弧A1B1 ， A2B2 ，其曲率中心分别为 C1 和 C2 ，曲率半径分别为 R1 和 R2 。
比d 大得多，故可设 R1 =-d /2，
•而R2→∞，又σ= 0.073 N·m-1，
•利用拉普拉斯公式，可知曲面对液体所产生的附加
压强为
p 1.4103 N m1
大学物理课件第三章2
春的气息
合肥研究院首届青年才艺大赛摄影作品展
第二节 弯曲液面的附加压强
现象
液面不是平对于弯曲液面来说，由于液体表面张力的存在，在 靠近液面的两侧就形成一压强差，称为附加压强。
首先分析水平液面
P0
f Δs
f
P1=P0
表面张力的合力 f合 的方向与凸面法
解：
h
代入数据，可得
d
P =1.186×105Pa
知识回顾 Knowledge Review
凹球形液面内液体压强为
f
P0
Δs
Ps
f
P3=P0+Ps
球形液泡内的气体压强分析（以肥皂泡为例）
球形液膜具有两个球形面，且两个 半径近似相等 液膜外表面为凸液面，有
A CB
液膜内表面为凹液面，有
附加压强为
例：如图所示的装置中，连通管活塞关闭，左右两端吹成 一大一小两个气泡。（假设肥皂薄膜厚度为定值） 问：如果打开连通管，气体会怎么运动？ 解：由肥皂泡内外气体压强差
线方向相反， 凸形液面
P0
Δs
Ps P2=P0+Ps
表面张力的合力 f合 的方向与凹面法
线方向相反，
f
凹形液面
P0
Δs
Ps
f
P3=P0+Ps
２. 球形液面的附加压强
B C
dl df//
取一线段元dL，则作用在其上的 表面张力大小为
A
r
df⊥ df
R
方向垂直并与球面相切
将表面张力分解成两个分力，分
别与半径 r 垂直和平行
圆周对称性
水平分力 相互抵消
故表面张力的合力为
合肥研究院首届青年才艺大赛摄影作品展
第二节 弯曲液面的附加压强
现象
液面不是平对于弯曲液面来说，由于液体表面张力的存在，在 靠近液面的两侧就形成一压强差，称为附加压强。
首先分析水平液面
P0
f Δs
f
P1=P0
表面张力的合力 f合 的方向与凸面法
解：
h
代入数据，可得
d
P =1.186×105Pa
知识回顾 Knowledge Review
凹球形液面内液体压强为
f
P0
Δs
Ps
f
P3=P0+Ps
球形液泡内的气体压强分析（以肥皂泡为例）
球形液膜具有两个球形面，且两个 半径近似相等 液膜外表面为凸液面，有
A CB
液膜内表面为凹液面，有
附加压强为
例：如图所示的装置中，连通管活塞关闭，左右两端吹成 一大一小两个气泡。（假设肥皂薄膜厚度为定值） 问：如果打开连通管，气体会怎么运动？ 解：由肥皂泡内外气体压强差
线方向相反， 凸形液面
P0
Δs
Ps P2=P0+Ps
表面张力的合力 f合 的方向与凹面法
线方向相反，
f
凹形液面
P0
Δs
Ps
f
P3=P0+Ps
２. 球形液面的附加压强
B C
dl df//
取一线段元dL，则作用在其上的 表面张力大小为
A
r
df⊥ df
R
方向垂直并与球面相切
将表面张力分解成两个分力，分
别与半径 r 垂直和平行
圆周对称性
水平分力 相互抵消
故表面张力的合力为
弯曲液面的一些现象.
液体(T,pl)/ 饱和蒸汽(T,pg),相平衡时化学势相等
Gm (g) Gm (l) dpg dpl pl T pg T
Vm (l)dpl Vm (g)dpg
Vm (l) dpl RT d ln pg
pl,0 pg,0 pl pg
' ,则: 8. 如果是球面， R1' R2
2 Ps R'
2.对活塞稍加压力，将毛细管内液 体压出少许，使液滴体积增加dV， 相应地其表面积增加dA。克服附加 压力ps环境所作的功与可逆增加表 面积的吉布斯自由能增加应该相等。
4 V R '3 3
dV 4 R '2 dR '
弯曲液体表面的蒸气压—Kelvin公式
液体(T,pl)/ 饱和蒸汽(T,pg),相平衡时化学势相等
对小液滴与蒸汽的平衡，应有相同形式， 设气体为理想气体。 化学势的定义 对于单组分体系
B ( )
G nB T , P , nC ,( C B )
Gm (l) Gm (g)
Gm (g) Gm (l) dpg dpl pl T pg T
§7.2 弯曲液面的一些现象
1.在平面上
弯曲表面下的附加压力
2.在凸面上
3.在凹面上
1.在平面上
设向下的大气压 力为Po，向上的反作 用力也为Po ，附加压 力Ps(ΔP,以后用Ps表 示)等于零。
Ps = Po - Po =0
剖面图
平面分子受力俯视图
（2）在凸面上： 表面张力都与液 面相切，大小相 等，但不在同一 平面上，所以会 产生一个向下的 合力。 所有的点产生的总压力为Ps ，称为 附加压力。凸面上受的总压力为：
弯曲液面的附加压力
2
R'
gh
1g
当 1 g
2
h
R '1g
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
R´ R
cos
如果曲面为球面
R'=R, cos 1
2. ps 2R´ (l g)gh
2
R´
gh
ps
2cosgh
R
1.曲率半径 R'与毛细管半径R的关系：
RTln
pr p0
2M R'
p p0
2 M RTR '
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的
液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比
RTlnp2 p1
2MR12'
R11'
对凸面，R' 取正值，R' 越小，液滴的蒸汽压越高；
对凹面， R' 取负值， R' 越小，小蒸汽泡中的 蒸汽压越低。
z
使曲面扩大到A'B'C'D'(蓝色面)，
则x与y各增加dx和dy 。
Young-Laplace 公式
移动后曲面面积增量为： d A s (x d x )(y d y ) x y
D'
x dx C'
o'
x d y y d x(d y d x 0 )
增加这额外表面所需功为
A'
pg
2
r
ppg
pl
2
r
③肥皂泡
p p i p o ( p g ,i p l) ( p l p g ,o )
④毛细管连通的大小不等的
弯曲表面下的附加压力与蒸气压
液膜受到的附加压力为
ps
4
R
该附加压力指向气泡的球心。
将一大一小两个气泡内部气体用管子连通后 ，会出现什么现象？
分析：由于小气泡内气体所受附加压力大于大 气泡内气体，所以小气泡内气体会通过管子进 入到大气泡内，最终变得越来越小。 所以，若使肥皂泡保留在吹管口，并且不堵住 吹管口，此泡会逐渐减小，直至缩至管口的平 面，也是这个原因。
此即杨·拉普拉斯公式。表明，附加压力ps的大小与液 体表面张力γ成正比，与曲率半径R成反比；曲率半径越
小，附加压力越大。
空气中气泡液膜附加压力
对于空气中的气泡，其液膜存在两个气液表面，外表
面为凸面，内表面为凹液面，并且两个表面的附加压
力都指向气泡的球心。因为气泡的液膜很薄，可以近
似认为内外表面的曲率半径相同，所以空气中的气泡
液体内部，有将液面压向内部使其趋于平整的作 用。
凹面的附加压力指向凹面的曲率中心，远离液 体，将凹面提拉向上，使其趋于平整。
可以用来解释为什么液滴或气泡一般都是圆球形的。
杨-拉普拉斯公式
1805年Young-Laplace导出了附加压力与曲率半径之间的关系式：
一般式：
ps
(
1 R1'
1 R2'
)
特殊式（对球面）：
研究以AB为弦长的一个球面上的环作为边界。
由于环上每点两边的表面张力都与液面相切，大
小相等，但不在同一平面上，所以会产生一个向
剖
下的合力。
面
图
所有的点产生的总压力为ps ，称为附加压力。 凸面上受的总压力为： po+ ps po为大气压力， ps为附加压力。
附加压力示意图
（3）在凹面上：如气泡的内表面
弯曲表面的附加压力和蒸气压
16
Kelvin公式的应用：可以解释过饱和蒸气，过热液
体，过冷液体，过饱和液体等亚稳态的存在
例如：过饱和蒸气
在无杂质的情况下，水蒸汽可达很大的过饱和度 （常常几倍）而无水滴凝结。因为此时对于将要形 成的微小液滴来说，其蒸气压很大，尚未达饱和。 但若有杂质（灰尘微粒）存在，则初始的凝聚可在 微粒表面上进行（微粒半径较大，饱和蒸气压小），
2.859
18
过热液体：
沸腾时， 液体生成的微小气泡为凹面， 蒸汽压低
（Kelvin公式），另外由laplace 公式，
⊿P＝2γ/R’,
2 所以沸腾条件： P' （气泡内部）（ P大气＋ ） r
P 2Vl RT ln 0 P R
R' 0 正常沸点下， P' P0
所以出现过热或暴沸现象， 可加入多孔沸石
28
1. 液-固粘附功：将单位
面积的液-固粘附在一起
体系所作的（可逆）功
体系作功：-Wa = G = G S = ( SL L S )
Wa>0,
液体沾湿固体的条件。
|Wa|越大，体系越稳定，液固的沾湿性越好 如，农药在植物叶面上的沾附
SL, S 难以测量！！
29
2. 液-固浸湿功 将单位表面积的固体浸 入液体时体系作的可逆 功叫液-固浸湿功 。 体系作功： -Wi = G = G S = ( SL S )
Wi>0, 液体自动浸湿固体的条件
30
3. 液-固铺展系数 铺展过程是固液界面取代气固界 面的过程，同时扩大了气液界面 γl γs S
γsl
G gl sl gs
或者S =- △G= γgs –γgl – γls；
Kelvin公式的应用：可以解释过饱和蒸气，过热液
体，过冷液体，过饱和液体等亚稳态的存在
例如：过饱和蒸气
在无杂质的情况下，水蒸汽可达很大的过饱和度 （常常几倍）而无水滴凝结。因为此时对于将要形 成的微小液滴来说，其蒸气压很大，尚未达饱和。 但若有杂质（灰尘微粒）存在，则初始的凝聚可在 微粒表面上进行（微粒半径较大，饱和蒸气压小），
2.859
18
过热液体：
沸腾时， 液体生成的微小气泡为凹面， 蒸汽压低
（Kelvin公式），另外由laplace 公式，
⊿P＝2γ/R’,
2 所以沸腾条件： P' （气泡内部）（ P大气＋ ） r
P 2Vl RT ln 0 P R
R' 0 正常沸点下， P' P0
所以出现过热或暴沸现象， 可加入多孔沸石
28
1. 液-固粘附功：将单位
面积的液-固粘附在一起
体系所作的（可逆）功
体系作功：-Wa = G = G S = ( SL L S )
Wa>0,
液体沾湿固体的条件。
|Wa|越大，体系越稳定，液固的沾湿性越好 如，农药在植物叶面上的沾附
SL, S 难以测量！！
29
2. 液-固浸湿功 将单位表面积的固体浸 入液体时体系作的可逆 功叫液-固浸湿功 。 体系作功： -Wi = G = G S = ( SL S )
Wi>0, 液体自动浸湿固体的条件
30
3. 液-固铺展系数 铺展过程是固液界面取代气固界 面的过程，同时扩大了气液界面 γl γs S
γsl
G gl sl gs
或者S =- △G= γgs –γgl – γls；
弯曲液面的附加压力拉普拉斯方程
以图示凹液面为例, 液面上升至平衡时, 有
p = 2γ / r1 = ρ gh
式中液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接 触角 θ 间的关系为：
r1 r
θ
θ
h
cosθ = r / r1
2 γ cos θ h= rρ g
γ : 液体表面张力; ρ: 液体密度;
g : 重力加速度.
毛细管上升
2
微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴的 蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式:
p2 (g ) Vm (l ){ p2 (l ) p1 (l )} ln = p1 (g ) RT (Vm = M / ρ )
用 p 和 pr 分别表示平面液体和微小液滴的蒸气压, 结合 拉普拉斯方程, 得 小液滴 3
而水气泡内水蒸气的压力仅能达到 pr = 94.34 kPa(凹液 面). 可见小气泡在正常沸点下不能生成, 而凹液面上的附加 压力是造成液体过热的主要原因. 在液体中加入少量素烧瓷片或毛细管等物质可大大降低 过热的程度. 5
亚稳状态及新相的生成
(3) 过冷液体: 按相平衡条件应当凝固而未凝固的液体. 原因 是微小晶粒具有高表面吉布斯函数(高的饱和蒸气压)而不能 在正常凝固温度下生成. p
p
c3 c2 c1
T0
T
7
分散度对溶解度的影响
亚稳状态及新相的生成
亚稳状态: 热力学不完全稳定的状态. 按照相平衡条件应当相 变的物质, 由于初始新相体积极小, 具有很大的比表面积和表 面吉布斯函数而难以形成, 系统仍以原相存在, 处于亚稳状态.
(1) 过饱和蒸气: 按相平衡条件应当凝 p 结而未凝结的蒸气. 原因是蒸气不能 变成化学势更高的微小液滴.
chapter2.2
p
p
s
s
S
ps p内－p0
dl上的表面张力 df αdl 由圆的对称性可知
df
df //
dl
r
R
df
f // 0
sin r R
df df sin dl sin
f
2 r 0
sin dl 2 r sin
f 2 表面张力产生的附加压强 ps r 2 R
2 r 2 f R
2 球形液面内侧的压强 p内＝p 0 R
2r f R
2
附加压强
f 2r 2 p r Rr R
2 s 2 2
——拉普拉斯球面附加压强公式 球形液面附加压强与表面张力系数成正比，与球面半径R 成反比。半径越小，附加压强越大；半径越大，附加压强 越小；半径无限大时，附加压强等于零，这正是水平液面 的情况。
P0
f
S
f
P
P0
2）凸液面时，如图仍在液体表面上取一 小面积△S ,△S周界上表面张力沿切线方 向，合力指向液面内，△S好象紧压在液 体上，使液体受一附加压强Ps，由力平衡 条件，液面下液体的压强：P=P0+Ps,如果 我们规定附加压强与外部压强相同为正， 相反为负。则此时，Ps为正
f
S f
Ps P
§2.2弯曲液面的附加压强
一.附加压强
（1）定义：弯曲液面内外存在一压强差, 用Ps表示 （2）附加压强的产生——分别从平面、凸面和凹面三个方面 来说明附加压强的产生。 1）平液面 在液体表面上取一小面积△S ,由于 液面水平，表面张力沿水平方向， △S 平衡时，其边界表面张力相互抵 消,不产生垂直与液面的压力，△S 上 下压强相等： P=P0, Ps=0
物理化学 弯曲液面附加压力
1 1 •一般式： p ( ' ' ) R1 R2
•特殊式（对球面）：
2 p r
总结
1
附加压力与曲面半径成 反比，与液面张力成正 比
2
定义的Δp为凹面一侧的 压力减去图面一侧的压 力，故曲率半径r总是 正值，Δp亦总为正值。
№
毛细现象
液面被压入管内，直至上升的液 柱所产生的静压力gh 与附加压力p 在量值上相等，方可达到力的平衡， 即：
弯曲液面附加压力
小组成员：xxxxx
№
1、弯曲液面的附加压力
•一般情况下液体表面是水平的，而液滴、水中的
气泡表面则是弯曲的。
•液面可以是凸的，也可以是凹的。
弯曲表面上的附加压力
1.在平面上
p0
f
A B
对一小面积AB，沿AB的
四周每点的两边都存在表面 张力，大小相等，方向相反， 所以没有附加压力 设向下的大气压力为po， 向上的反作用力也为po ，附 加压力ps等于零。
2 p gh R
R cos ' R
由左图的几何关系可知：
由此可知： 2 cos h R g
自由液滴或气泡通常为何都呈球形 ？
1、假若液滴具有不规则的形状，则在表面上的不
同部位曲面弯曲方向及其曲率不同，所具的附加压力
的方向和大小也不同，这种不平衡的力，必将迫使液
滴呈现球形。 2、相同体积的物质，球形的表面积最小，则表 面总的Gibbs自由能最低，所以变成球状就最稳定。
1
2
凸面上受的总液体与平面不同，它受到一种
附加的压力，附加压力的方向都指 向曲面的圆心(曲率半径的方向)。
大于平面上的压力
3
界面现象--第2节：弯曲液面的附加压力及其后果
人工增雨作业的原理是什么？如果是晴天，进行人工降雨作 业，能达到目的吗？
在寒冬季节，晚上温度很低的时候，干净的玻璃上结窗花少， 而脏的玻璃上结窗花就多。为什么？
20
2gcos gh r
grh
grh grh cos 1 g 2 cos 2
790kg.m 3 9.8 0.235 103 2.56 102 r 2 2 23.3 10 3 N .m 1 23.3mN .m 1
9
毛细现象－毛细管下降现象
在过冷液体中投入小 晶体作为新相的种子, 能 使液体迅速凝固.
气相区
Tf Tf
• 过冷液体的产生
T
18
亚稳状态及新相的生成
(4) 过饱和溶液: 在一定温度下, 浓度超过饱和浓度, 而仍 未析出晶体的溶液. 原因是微小晶粒具有高表面吉布斯函数 (高的饱和蒸气压)而不能在正常饱和浓度下析出. 与微小液滴一样, 微小晶体 p 的饱和蒸气压大于普通晶体. 蒸 气压与溶解度有密切的关系, 微 小晶粒具有比普通晶体更大的溶解 度. 晶体的颗粒愈小, 溶解度愈大. 可知, 当溶液浓度达到普通晶 体的饱和浓度时, 相对于微小晶粒 还未饱和, 微小晶粒就不能从中析 出.
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴 的蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高. 已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式: p2 ( g ) Vm ( l ){ p2 ( l ) p1 ( l )} ln ( Vm M/) p1 ( g ) RT
用 p 和 pr 分别表示平面液 体和微小液滴的蒸气压, 结合拉 普拉斯方程, 得：
雨伞能够防雨的原因？ 答：（1）憎水涂层； （2）雨水在雨伞织物的缝隙中形成凹液 面的水膜，有一个向上的表面张力，可以 抵挡雨水透过雨伞的织物。 溶液在滴定管中形成凹液面。 请同学们讨论，生活里还有那些毛细管 上升现象？
§22弯曲液面附加压力
所受表面张力也有拉平液面的趋势，其
方向不与液面平行,作用在dS周线上的
B
表面张力的合力不为0，产生附加压强PS 向上。
PB
=
Po
−
Ps
pB (c)
因为受力平衡，所以液面两侧的压强也平衡， 即：
PB + PS = P0
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
二、拉普拉斯公式
p0
利用拉普拉斯公式可以定量
第二章 液体的表面现象 2、液面是凸形(2)
§2-2 弯曲液面的附加压力
p0
f
A ps f '
B pB
(c)
因液面受力平衡，所以，液面两侧的压强也 平衡，即：
Po + PS = PB
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
3、液面是凹形
p0
（如水中气泡、细玻璃管中的水面等） f
A ps f '
§2-2 弯曲液面的附加压力
Po = PB = PA
f A p0 f ' B pB
第二章 液体的表面现象
§2-2 弯曲液面的附加压力
2、液面是凸形(1)
f A p0 f '
B pB
ps
（如液滴表面、细玻璃管中的水银面）所受表面
张力有拉平液面的趋势，其方向不与液面平行， 作用在 dS周线上的表面张力的合力不为0，产生 附加压强PS方向向下。
算出附加压强p0 的大小。
设想液面下有一气泡，气泡靠
近液面，不考虑静压（即水
压），气泡外压强等于大气压强
P0。设想气泡在外力作用下膨
胀：
p1
p1 R p1
10-2弯曲液面讲解
• 1987.3.15 哈尔滨亚麻厂发生尘爆
炸毁三个车间 1300m2,伤亡三百余人
ln pr 2 M p RT r
ln pr 1 • 2 • M p RT r
r 1mm 103 m p 144Pa r 10nm 108 m p 144105 Pa
pr 1.000 p pr 1.111 p
pr 3168Pa pr 3519Pa
对凸液面(如小液滴), 凸面液体曲率半径增大，dr>0
r p
2). 微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式 3). 亚稳定状态和新相的生成 过饱和蒸气
过饱和溶液
ln pr 2 M p RT r
过热液体 过冷液体
4). 微小颗粒的化学势高、化学性质活泼
BC P
r p
rGm P B C 0
rGm P Br C 0
Br B
• 水磨米粉较细
(1) 过饱和蒸气 (2) 过热液体 (3) 过冷液体 (4) 过饱和溶液
压力超过常规饱和蒸气压的蒸气 温度高于沸点的液体 温度在凝固点以下的液体 浓度超过饱和浓度的溶液
3. 亚稳定状态
3. 亚稳定状态和新相的生成 (1) 过饱和蒸气 压力超过常规饱和蒸气压的蒸气
人工降雨 干冰
过饱和蒸气的压力尚未达到该液体微小液滴的饱和蒸气压
➢ 与表面张力成正比 ➢ 与曲率半径成反比
γ
γ
p
p
pl
pg
2
r
p
γ
γ
拉普拉斯方程
§10-2 弯曲液面
§10-2 弯曲液面的附加压力和毛细现象
弯曲液面的附加压力
1. 拉普拉斯方程 证明： F = 2rγ
2
p pl pg r γ
炸毁三个车间 1300m2,伤亡三百余人
ln pr 2 M p RT r
ln pr 1 • 2 • M p RT r
r 1mm 103 m p 144Pa r 10nm 108 m p 144105 Pa
pr 1.000 p pr 1.111 p
pr 3168Pa pr 3519Pa
对凸液面(如小液滴), 凸面液体曲率半径增大，dr>0
r p
2). 微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式 3). 亚稳定状态和新相的生成 过饱和蒸气
过饱和溶液
ln pr 2 M p RT r
过热液体 过冷液体
4). 微小颗粒的化学势高、化学性质活泼
BC P
r p
rGm P B C 0
rGm P Br C 0
Br B
• 水磨米粉较细
(1) 过饱和蒸气 (2) 过热液体 (3) 过冷液体 (4) 过饱和溶液
压力超过常规饱和蒸气压的蒸气 温度高于沸点的液体 温度在凝固点以下的液体 浓度超过饱和浓度的溶液
3. 亚稳定状态
3. 亚稳定状态和新相的生成 (1) 过饱和蒸气 压力超过常规饱和蒸气压的蒸气
人工降雨 干冰
过饱和蒸气的压力尚未达到该液体微小液滴的饱和蒸气压
➢ 与表面张力成正比 ➢ 与曲率半径成反比
γ
γ
p
p
pl
pg
2
r
p
γ
γ
拉普拉斯方程
§10-2 弯曲液面
§10-2 弯曲液面的附加压力和毛细现象
弯曲液面的附加压力
1. 拉普拉斯方程 证明： F = 2rγ
2
p pl pg r γ
弯曲液面附加压力PPT课件
公式意义
该公式定量描述了弯曲液面附加压力 与液体表面张力和液面曲率半径之间 的关系，为研究和计算弯曲液面附加 压力提供了重要依据。
04
弯曲液面现象分析
毛细现象
毛细现象定义
毛细现象是指液体在细管状物体 内侧，由于内聚力与附着力的差 异，克服地心引力而上升或下降
的现象。
毛细管中液面形状
在毛细管中，液面会呈现凹形或凸 形，具体形状取决于液体的性质以 及毛细管的材质和直径。
课件内容概述
弯曲液面的基本概念和性质 附加压力的产生机理和影响因素 附加压力的计算方法和实例分析 弯曲液面附加压力在工程中的应用探讨
02
弯曲液面基本概念
弯曲液面定义
弯曲液面
指液体与固体接触时，在液体表 面形成的曲面。
附加压力
由于液面弯曲而产生的与平面液 面不同的压力。
弯曲液面形成原因
表面张力
• 加强多学科交叉融合研究：弯曲液面附加压力研究涉及物理学、化学、工程学 等多个学科领域。未来可以加强多学科之间的交叉融合研究，从不同角度深入 探讨弯曲液面附加压力的相关问题，推动该领域研究的深入发展。
谢谢不浸润现象在日常生活和工业生产中也有广泛应用 ，如防水涂层、油水分离、洗涤去污等。
肥皂泡与表面张力
肥皂泡的形成
肥皂泡是由肥皂水形成的薄膜所 包围的空气球。当肥皂水涂抹在 吹泡器上时，由于表面张力的作 用，肥皂水会自动收缩成球形。
表面张力的作用
表面张力是液体表面分子之间的 相互吸引力，它使得液体表面具 有收缩趋势。在肥皂泡中，表面 张力使得肥皂水薄膜保持球形并
附加压力的产生机理
详细阐述了附加压力的产生原 因，包括表面张力的作用、液 面弯曲导致的压力差等。
附加压力的计算方法
该公式定量描述了弯曲液面附加压力 与液体表面张力和液面曲率半径之间 的关系，为研究和计算弯曲液面附加 压力提供了重要依据。
04
弯曲液面现象分析
毛细现象
毛细现象定义
毛细现象是指液体在细管状物体 内侧，由于内聚力与附着力的差 异，克服地心引力而上升或下降
的现象。
毛细管中液面形状
在毛细管中，液面会呈现凹形或凸 形，具体形状取决于液体的性质以 及毛细管的材质和直径。
课件内容概述
弯曲液面的基本概念和性质 附加压力的产生机理和影响因素 附加压力的计算方法和实例分析 弯曲液面附加压力在工程中的应用探讨
02
弯曲液面基本概念
弯曲液面定义
弯曲液面
指液体与固体接触时，在液体表 面形成的曲面。
附加压力
由于液面弯曲而产生的与平面液 面不同的压力。
弯曲液面形成原因
表面张力
• 加强多学科交叉融合研究：弯曲液面附加压力研究涉及物理学、化学、工程学 等多个学科领域。未来可以加强多学科之间的交叉融合研究，从不同角度深入 探讨弯曲液面附加压力的相关问题，推动该领域研究的深入发展。
谢谢不浸润现象在日常生活和工业生产中也有广泛应用 ，如防水涂层、油水分离、洗涤去污等。
肥皂泡与表面张力
肥皂泡的形成
肥皂泡是由肥皂水形成的薄膜所 包围的空气球。当肥皂水涂抹在 吹泡器上时，由于表面张力的作 用，肥皂水会自动收缩成球形。
表面张力的作用
表面张力是液体表面分子之间的 相互吸引力，它使得液体表面具 有收缩趋势。在肥皂泡中，表面 张力使得肥皂水薄膜保持球形并
附加压力的产生机理
详细阐述了附加压力的产生原 因，包括表面张力的作用、液 面弯曲导致的压力差等。
附加压力的计算方法
弯曲液面的附加压力拉普拉斯方程
(1) 过饱和蒸气: 按相平衡条件应当凝 p 结而未凝结的蒸气. 原因是蒸气不能 变成化学势更高的微小液滴.
过饱和蒸气的压力超过了相应温 度下通常体积液体的饱和蒸气压, 但 仍小于该液体微小液滴的饱和蒸气压 (见图示). 引入凝结中心可使液滴核心易于生 成, 减轻过饱和程度(如人工降雨).
过饱和蒸气的产生 4 g
在过冷液体中投入小 晶体作为新相的种子, 能使 液体迅速凝固.
气相区
T′ f Tf
T
6
过冷液体的产生
亚稳状态及新相的生成
(4) 过饱和溶液: 在一定温度下, 浓度超过饱和浓度, 而仍未析 出晶体的溶液. 原因是微小晶粒具有高表面吉布斯函数(高的 饱和蒸气压)而不能在正常饱和浓度下析出.
与微小液滴一样, 微小晶体的 饱和蒸气压大于普通晶体. 蒸气压 与溶解度有密切的关系, 微小晶粒 具有比普通晶体更大的溶解度. 晶 体的颗粒愈小, 溶解度愈大. (见图) 可知, 当溶液浓度达到普通晶 体的饱和浓度时, 相对于微小晶粒 还未饱和, 微小晶粒就不能从中析 出.
p2 (g ) Vm (l ){ p2 (l ) p1 (l )} ln = p1 (g ) RT (Vm = M / ρ )
用 p 和 pr 分别表示平面液体和微小液滴的蒸气压, 结合 拉普拉斯方程, 得 小液滴 3
Pr / p
pr 2γ M 开尔文公式: RT ln = p ρr
2 1 平面液体
式中液面曲率半径 r1 与毛细管半径 r 及接 触角 θ 间的关系为：
r1 r
θ
θ
h
cosθ = r / r1
2 γ cos θ h= rρ g
γ : 液体表面张力; ρ: 液体密度;
g : 重力加速度.
弯曲液面的附加压力拉普拉斯方程（ＰＤＦ）
亚稳状态及新相的生成
(2) 过热液体: 按相平衡条件应当沸腾而未沸腾的液体. 原因 是液体内微小气泡内的气体压力高(化学势高)而难以生成.
373.15K p(大气)
设存在一个半径为10－8 m的 小气泡. 小气泡须反抗的外压为:
h=0.02m
• 大气压力 p(大气) = 101.325kPa • 附加压力 ∆p = 11.774×103 kPa
与微小液滴一样, 微小晶体的 p
饱和蒸气压大于普通晶体. 蒸气压
与溶解度有密切的关系, 微小晶粒
c3 c2
具有比普通晶体更大的溶解度. 晶
c1
体的颗粒愈小, 溶解度愈大. (见图)
可知, 当溶液浓度达到普通晶 体的饱和浓度时, 相对于微小晶粒 还未饱和, 微小晶粒就不能从中析 出.
T0
T
• 分散度对溶解度的影响
g : 重力加速度.
• 毛细管上升
2
微小液滴的饱和蒸气压—开尔文公式
纯液体的饱和蒸气压与温度和液体压力有关. 微小液滴的
蒸气压因附加压力的作用而比普通体积时高.
已从相平衡条件推出纯液体蒸气压受外压影响的关系式:
ln p2(g) = Vm∗ (l){ p2(l) − p1(l)}
p1 (g )
RT
(Vm∗ =Biblioteka M / ρ )7O
• 附加压力与曲 率半径的关系
设截面周界线上表面张力的合力为F,
F = 2π r1 γ cosα = 2π r1 γ r1 /r
∆ p = F/ (πr12) = 2π r12 γ /r(πr12) = 2σ /r
拉普拉斯方程:
∆p
=
p内 −
p外
=
2γ
拉普拉斯压强公式
拉普拉斯压强公式拉普拉斯压强公式，这可真是个有点深奥但又超级有趣的玩意儿！咱们先来说说啥是拉普拉斯压强公式。
它的表达式是：ΔP = γ / r ，这里的ΔP 表示附加压强，γ是表面张力系数，r 是弯曲液面的曲率半径。
就拿咱们日常生活中的一个小例子来说吧。
想象一下，你在公园里看到一个卖泡泡水的小摊，你买了一瓶，然后拿着那个小圈圈开始吹泡泡。
当泡泡刚刚形成的时候，它的表面可不是平平整整的，而是一个弯曲的面。
这时候，拉普拉斯压强公式就开始发挥作用啦。
泡泡表面的液体因为表面张力的存在，会使得泡泡内部的压强和外部的压强不一样。
如果泡泡的半径比较小，根据公式，附加压强就会比较大。
这也是为啥小泡泡往往比较容易破掉，而大泡泡相对能坚持更久一些。
再比如说，咱们身体里的肺泡。
肺泡就像是一个个小小的气球，它们的表面也是弯曲的。
拉普拉斯压强公式在这里也同样适用。
如果肺泡的大小不均匀，那么压强的差异就可能会影响到气体的交换，进而影响我们的呼吸功能。
在科学研究中，拉普拉斯压强公式也有着广泛的应用。
比如说在研究液体的毛细现象时，当液体在细小的管子里上升或者下降，这个公式就能帮助科学家们解释其中的压强变化。
在工业生产中，这个公式也很重要哦。
比如说在制造一些精密的仪器时，需要考虑到液体表面的压强变化，以免影响仪器的性能和精度。
回到咱们的日常生活，你有没有注意过荷叶上的水珠？那些水珠能够保持圆润的形状，也是因为表面张力和拉普拉斯压强的作用。
水珠表面的弯曲使得内部有一定的压强，从而让水珠能够稳定地存在。
拉普拉斯压强公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多观察、多思考，就能发现它其实就在我们身边，默默地影响着许多看似平常的现象。
所以啊，别小看这个公式，它虽然不像手机、电脑那么直观地影响我们的生活，但在很多我们看不到的地方，都有着它的“功劳”呢！通过对拉普拉斯压强公式的了解，咱们能更加深入地理解这个世界的奇妙之处。
希望大家以后在遇到一些看似平常的现象时，能想起这个神奇的公式，去探索背后隐藏的科学奥秘。
表面现象2
第二节 弯曲液面的附加压强
弯曲液面内外的压强差叫做附加压强
ΔP = P内 - P外
平面： ΔP = 0 凸面： ΔP ＞0
P内 = P外 P内 ＞ P外
凹面： ΔP ＜0
P内＜ P外
基础理论教学中心
第二节 弯曲液面的附加压强
二、附加压强的大小
Δf1 = Δf·sinφ =αΔl·sinφ Δf2 = Δf·cosφ =αΔl·cosφ 此部分球形液面周长所具有的指向液体内部方向上的分力总和为
基础理论教学中心
第二节 弯曲液面的附加压强
ps = 2α/ R = 2×0.0 589 N·m-1 / 10-3 m = 118 Pa
泡内的压强为
pi = p0 + 118 Pa
基础理论教学中心
B点的压强PB比A点的压强PA 高 2α/ R2
R1 ≈ R2 = R 所以液膜内的压强PC 要比液膜外的压强PA大
基础理论教学中心
第二节 弯曲液面的附加压强
pC内外的附加压强
连通器实验
例题 水沸腾时，形成半径为10-3m的蒸汽泡， 求此泡内的压强。
解： 100 ℃时的表面张力系数为0.0 589 N·m-1
f1 = ∑Δf1 =αsinφ∑Δl = 2πrαsinφ
sinφ = r / R
代入上式得
f1 = 2πr2α/ R
基础理论教学中心
第二节 弯曲液面的附加压强
ΔS曲面对液体内部所施加的附加压强为
Ps = f1 /πr2
2r 2 r 2 R
= 2α/ R
说明:
方向指向液体内部（曲率中心）
1）球形液面的附加压强和表面张力系数α成正比；
2）球形液面的附加压强和曲率半径R成反比。
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E S
表面能:张力系数在数值上等于在等温条件下液体表面增加单位 面积时所增加的表面能 表能自由能:表面能不同于表面内能,可以认为,它是表面内能的一 部分,是在等温条件下能够转变为机械功的那一部分,在热力学中 称为表面自由能.
两个问题的讨论: (1) 表面积问题:理论和实验表明,在等温条件下,体积一定的液体 的平衡态对于表面自由能取极小值.
f 2r 2
df2 df φ
dl r df1
o S R
φ
R
C
(3)重力mg (4)在底面S上受到下面液体的压力为PS.P为S面上的液体压强,也就 是弯曲液面下液体内部A点的压强.
2 球形液膜 p p0 R
2a P0 R
三.拉普拉斯公式
任意液面附加压强： p ( 1 1 ) R1 R2
(2) 表面层: 从微观角度来看,液体表面并不是一个真正的几何面, 而是一个厚度为分子力有效作用距离的薄层,称为表面层
6-8、弯曲液面附加压强
一.附加压强的存在
pb pc pa
p a p0
pb p0
p p p0
由于表面张力的作用,使弯曲液面 内无限接近于液面处液面处液体 压强p与液面外的压强p0之间存 在着压强差,此压强差 p p p0 称为弯曲液面下的附加压强
第六章非理想气体 固体 液体
§6-7
一、表面张力现象
液体的表面张力
二.表面张力和表面张力系数
1、表面张力
表面张力是作用于液体表面是的使液体具有收缩倾向 的一种力。此力与截线垂直并与该处液面相切. • 表面张力可以由前图a得到.表面张力的大小与液面的 周界(或截线)长度l成正比,即
f l
并由c得到外力
• 求出水的表面张力系数.
三.表面能
由图6.35(a).(c)可以看出,设使AB边向右移动距 离
A F外x 2 f x 2 AB x S
式中 S表示AB边移动 x 时液膜的两个表面所增加的总面积, 在等温过程的条件下,这个功转变为液体表面能的增量 E ,所以 可以得出
pS p0 S mg f
由于mg很小,可忽略不计,有:
f 2 2 p p 0 P0 f / r p 0 S R
(5)对于凹面液体
2 p p0 R
2 p p0 R
(6)对于球形气泡 内外压强差为:
4 p R
三.拉普拉斯公式
1.任意液面附加压强：
这是拉普拉斯公式
6-9、毛细现象及毛细管公式
一.润湿和不润湿 接触角
例如：水 + 玻璃
固体
水 + 涂有油脂的玻璃
接触角
θ A
液体
附着力 内聚力
附 着 层
（二）、毛细现象
2 cos h gr
R
θ θ h D A
B
C
能使σ 明显变小的物质称为表面活性物质 若一种物质甲能显著地降低另一种物质乙的表面 张力，就说甲对乙具有表面活性。
例6-5 长为a宽
为b.
.
m 0.88103 kg, a 3.2 102 m, b 3.0 102 m
• 求出水的表面张力系数.
三.表面能
由图6.35(a).(c)可以看出,设使AB边向右移动 距离
1 1 p ( ) R1 R2
这是拉普拉斯公式
2.圆柱形凹液面
2 p d
6-9、毛细现象及毛细管公式
一.润湿和不润湿 接触角
例如：水 + 玻璃
固体
水 + 涂有油脂的玻璃
接触角
θ A
液体Βιβλιοθήκη 附着力 内聚力附 着 层
（二）、毛细现象
2 cos h gr
R
θ θ h D A
A F外x 2 f x 2 AB x S
式中 表示AB边移动 x 时液膜的两个表面所增加的总面积, 在等温过程的条件下 ,这个功转变为液体表面能的增量 E ,所以 S 可以得出
E S
表面能:张力系数在数值上等于在等温条件下液体表面增加单位 面积时所增加的表面能 表能自由能:表面能不同于表面内能,可以认为,它是表面内能的一 部分,是在等温条件下能够转变为机械功的那一部分,在热力学中 称为表面自由能.
F外 2 f 2l
表面张力系数与其它因素的关系(温度,表面活性物质,临界 介质)
能使σ 明显变小的物质称为表面活性物质 若一种物质甲能显著地降低另一种物质乙的表面 张力，就说甲对乙具有表面活性。
例6-5 长为a宽
为b.
.
m 0.88103 kg, a 3.2 102 m, b 3.0 102 m
6-8、弯曲液面附加压强
一.附加压强的存在
由于表面张力的作用,使弯曲液面内无限接近于 液面处液面处液体压强p与液面外的压强p0之间 存在着压强差,此压强差 p p p0 称为弯曲液面 下的附加压强
内
外
二.球形液面下附加压强的计算
(1)计算S’球冠面上的大气压的合力p0S (2)计算半径为r的球冠面上周边上表面张力
B
C
一、表面张力现象
§6-7
液体的表面张力
1、表面张力
二.表面张力和表面张力系数
表面张力是作用于液体表面是的使液体具有收缩倾向 的一种力。 • 表面张力可以由前图a得到.表面张力的大小与液面 的周界(或截线)长度l成正比,即 F外 2 f 2l 并由c得到外力 f l
表面张力系数与其它因素的关系
二.球形液面下附加压强的计算
(1)计算S’球冠面上的大气压的合力p0S
(2)计算半径为r的球冠 面上周边上表面张力
f df dl sin 1
sin 1 dl r 2r R
2r
2
R
(3)重力mg (4)在底面S上受到下面液体的压力为PS.P为S面上的液体压强, 也就是弯曲液面下液体内部A点的压强.