同济大学2009-高数B期末考试题

同济大学２00９-２0１0学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷

一. 填空题(4'416'?=）

１. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,

'dx y dy y ≠=, 则223

'd x y dy

y =-

2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)

x f t y f e π

=-??

=-?所确定的函数的导数

t dy

dx ==.

3. 极限111lim(

)ln 2

n n n n n

→∞

+++

=+++.

4. 微分方程22"5'6sin x

y y y xe

x -++=+的特解形式为(不需确定系数)

2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E

-++++.

二. 选择题(4'416'?=) 5. 设函数sin ()bx x

f x a e

=+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足： [D ].

()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><； ()0,0C a b ≤>;

()0,0D a b ≥<

6. 曲线

ln(1)x y e x

++,

[D ]

()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线； ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线；

()C 没有水平和铅直渐近线;

()D 有水平和铅直渐近线 7．将0x +

→时的无穷小量2

sin ,,(1)x

x t tdt tdt e dt αβγ=

==-?

?排列起来, 使

得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ］

(),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ;

(),,D γβα

８. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20

()

(0)0,lim

2x f x f x

→==-, 则在该点处 ()f x :

[C ]

()A 不可导； ()B 可导且'(0)0f ≠； ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.

三. 解答题(7'428'?=) 9. 求

极

限

0sin sin(sin )lim

x x x x →-,

[30sin 1

lim 6

t t t t →-==］

10.

计算定积分

tan sec x x xdx π

［22

4400111(tan )(sec 1)28242

xd x x dx ππ

ππ==--=-??]

11. 计算反常积分

arctan (1)

dx x x +∞

[2212210

111113(

)arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232

xdx xd x x x x ππ+∞

+∞+∞

=-=--=+++??] １2. 试求微分方程221

(1)dy y x y dx x

+=-的通解

[22

1111()'()1(ln )2

x x x x c y x y y -=-?=-+］四. （8')求曲线ln y x =上的点，使此曲线在该点的曲率半径为最小.

122222

21(1)(1)(21)1

(0)'(ln 2)22

x x x R x R K x x ++-==>?=?-] 五. (8')

设不定积分n n I =

(1）计算01,I I ； (２)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =的递推公式

［

(1)

01arcsin ,I x c I =+=;

[（

2)211

n n n n I I x c n n

---=

-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点

[,]

a b ξ∈, 使

()()()()b

f x

g x dx

f g x dx

ξ=

[min

max ()()()b

f x

g x dx

f f

g x dx

≤

≤??

]

七. （8')过坐标原点作曲线2

1(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平面图形为D ，试求:

（1）平面图形D 的面积; (2）平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, ［12,,32

y x S V π==

=] 八． (8'）已知22123,,x x x x x x x

y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性

非齐

次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)x

x x x y c e

c e xe y y y x e -=++--=-]

同济大学2０１0-２011学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷

一. 填空题(4'416'?=）

１．已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()e

x e x e x x f x f x x e e

→-=

+-，则 2

lim ()1

x e

e f x e →=

2．设函数2

()ln(23)f x x x =+-, 则()

11(2)(1)(1)!(

1)5n n n

f n -=--+.

3．不定积分

1tan 1

(tan ln tan )sin 22

x dx x x C x +=++?.

4．定积分

sin 2sin cos 0

333

x x

dx π

=+?

二．选择题（4'416'?=)

5．曲线

331(1)31t x t t t y t ?=??+≠-??=?+?

的斜渐近线方程为

[A ]

:1A y x =--;

:1B y x =-; :1C y x =-+;

:1D y x =+.

６．

曲

线

22162y x x

=-上点

(2,0)

P 处曲率

K = [B ]

:0A ; :16B ; 1

C ; :4

D .

7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x ［C ]

:A 均为奇函数； :B 均为偶函数;

:C 中只一个奇函数； :D 既非奇函数也非偶函数.

8．设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆2

22x y +=的周长，则

[D ］

12:A s s π-=;

12:B s s >; 12:C s s <；

12:D s s =．

三．解答题(4'728'?=）

９. 求极限

02cos (

)13lim

x x x →+-.

[2cos ln

(cos 1)1

lim

x x x e

x x x x +→→--===-] 10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数，且0

()

lim 2x f x x

+→=, 证明()f x 在0x =处可导, 并

求

'(0)f ． [0

0()(0)()(0)

(0)0,lim lim 2'(0)00

x x f x f f x f f f x x +

-→→--====--]

１1. 求定积分

[]max{1,}x x e dx --?

，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.

02x I e dx dx dx e --=

-++=-?

??]

1２. 判定反常积分

ln 1

x dx x +∞

的收敛性, 如果收敛, 求出其值. ［2

1ln 111

(ln 1)()[]e e

x I x d x x x e

+∞

+∞-=-

-=--=?

] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限0

()lim ()x x

x tf x t dt xf x t dt

→--??

()()()()1

lim

[()()]2

()()()x x

x x x x x f u du uf u du

f u du

xf x f x f x f u du

xf x f u du

ξξ→→→∞-====++???

??］

五. (8'）设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求

3()f x dx π

[2322(sin )(2)2I x x dx x dx π

πππ=

-++-=-??]

六. （8')设n 为正整数, 函数2lim

,0()100nx n x x f x e x x -→∞?

≠?=--??=?

, 求曲线()y f x =与直线

y =-

所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积.

［122202001()[()()]()1283,01

x x x f x V dx x x x x πππ

=?=---=-?+-≥?+??] 七

(

)求微分方程

223(1)

20dy

x y xy dx

-+=的通

解．［2

2231111()'()()x x x C y y y y

=?=-] 八. (8')令sin x t =，化简微分方程22

arcsin 2(1)x d y dy

x x

y e dx dx

---=，并求其通解.

［22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 12

2arcsin 2

t x x

x d y x y e y C e C e e dt -?-=?=++] 同济大学２0１1－20１２学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'824'?=) 1. 极限3

1lim(

x x e x →∞

+=-.

2. 若极限000

(2)()

lim

3h f x h f x h

→--=, 则03'()2

f x =

3．

积分

16(3

x x dx -+=

4. 积分2cos 2cos 1

sin 2

x xe

dx e C =

-+?

5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为12

12()x y c x c e

=+.

6．记4

1sin

I xdx π

π-

?, 2

2sin I xdx π

-=?, 2

3I x dx π

-=?, 21sin I x xdx π

-=?. 则这4项

积分的大小关系为

［ B ］

()A 2134I I I I >>>；()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.

7．下列反常积分中收敛的反常积分是

［ A ］ 21

()

2A dx x +∞

;

()e B +∞?; ()sin C xdx +∞-∞?; 1

()1

D dx x -?

8．若函数23

ln(1)ln 2

,1()1

1x x f x x a x ?+-≠?=-??=?

在1x =连续，则常数 [ D ］ ()A 23a =

； ()B 23a =-； ()C 1

a =-；

()D 1

a =．

二. 解答题（6'530'?=)

１. 计算由曲线y =

与直线340x y -+=所围平面图形的面积.

［2

141

)336

A x dx -=

-=?］ 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ?计算n 阶导数的莱布尼茨公式，

计

算

x e ?的

阶导

数． [()

()()

2(10)1020

[()()]

;()2(5)n

n k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑] 3. 求函数2

()(5)x

f x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.

[4max min '(4)(1)(,4],[1,)

;[4,1]

;(4)7;(1)3x

f x x e f e f e -=+-?-∞-+∞--==-]

4. 计算反常

积

分

ln(1)

x dx x +∞

[ln 22

I π=+

]

5. 求微分方程2

"2'31,(0),'(0)73

y y y y y +-==

=-的解. [331211

233

x x x y c e c e e e --=+-=--]

三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程2

1x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直

的浸入水中，其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力．

［1

(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=?

］

四.

(

10'

)求积分

1)x dx

［28ln 2393

I π

+-］

五．（10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201

x x y x ax b ≤≤?=?<≤+?在区间[0,2]上可导; ２．若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀

的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.

[2,1a b ==-;022

0002

,01()()'()''4,13(1)

h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ?

≤≤??=?==?=??<≤+???］

六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已

知

顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍，试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.

[

2223

f rh r ππ=+

，

2322281414(),'()033r h r f r r f r r r πππ+=?=+=?=］

七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数，并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格

朗日中值定理, 存在0x x ξ<<，使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-．证明ξ定义了

0(,)x +∞上的一个单调增加函数.

['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证00

()()

f x f x x x --，可得()

x ξ递增］

同济大学20１2－20１３学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'8?)

1. 函数()x

f x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为2344

11()()26

f x x x x x o x =-+-+

２． 2(1)

x y e

x -=+在1x =

所对应点的曲率25

K =

3. 极限lim

(1ln )

x a

a x a a x a a a x

→-=--

４. 由方程222y y x x ++=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数

(1,0)

dx =

５. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞

存在是函数极限lim ()x f x →+∞

存在的什

么条件?

[ B ]

()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6．

在区间[,]a b 上,

函数

()f x 连续的充分条件是:

［ B ] ()()b

A f x dx ?

存在； ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()

D f x 有界. 7.

如果作换元

2sin x t =,

则定积分

(4)f x dx -?

等于

［ C ]

()

(2cos )2cos A f t tdt π

; 24

()(2cos )2cos B f t tdt π

π??;

()

(2cos )2cos C f t tdt π

??; 0

()(2cos )D f t dt π?.

８. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ］

()()(1)()x A f x e x o x ?=-?+?; 1

()

()0B f x dx >?

；

()"()0C f x >； 4

()()[1()]()D f x f x x o x ?=+?+?．二. (4'3?)

1. 如图是函数()y f x =的图像，试在下列空格中填入恰当的符号： 0<; 0=或0>．

()0

f x dx -

;

'()0f x dx -=?

;

"()0f x dx ->?

;

"'()0f x dx -

２.

求极限

01lim (12)x

t x t dt x →+? [1220

lim 2(14)

x x e →=+=]

3. 计

算

不

定

积

分

(1)ln(1)x x dx ++?

[

2211

(1)ln(1)(1)24x x x c ++-++］三. （6'3?)

１. 求曲线21

x x y e

-=的凹凸区间与拐点的坐标.

[22'(32),"4(2):(,2];:[2,)x

x y e

x y e x --=-=-??-∞?+∞; 拐点：

4(2,)e -]

２

．

计算反常积分

(2ln ln )

x x x +∞

［1ln 1ln ln 322ln 2

e x x +∞

==+]

3. 一个由曲线段2

4(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体,

如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功.

8(4)43

y W y dy πγπγ=

-=?］四． (8')试用适当的换元法求微分方程22

222()2()1

dy x y x dx y x -=-+的通解.

22222arctan 21

du xu y x u x u u x c dx u -=?+=?-=-+?+］

五. （8'）试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区

间

的函数未必连续. ［最值定理；介值定理; 反例略］

六. (10'）计算由曲线2x

y e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积，并

求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积．

[切线:2y ex =;切点:12

x =; 112

2222

220023(2);[()(2)]412x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-==-=??］

七. (10')试求微分方程22

"cos y y x x +=+的通解．

[221231

;*cos 2sin 2;cos sin cos 226

i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++--] 八. (10'）()f x 是以T 为周期的连续函数，若0()T f t dt A =?, 求极限0

1lim ()x

x f t dt x →+∞?.

[00000

(0)(0)(0)1()()()()()()lim lim lim T nT nT T nT n n n T T T f t dt f t dt f t dt f t dt n f t dt f t dt A n nT nT T T n

θθθ

θθθθθθ+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++

??????]

同济大学

2013－2０1４学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷

一．选择与填空题（3'824'?=）１. 极限26

2lim(

n n e n -→∞

-=+

２. 利用定积分的几何意义,

积分

3．微分方程"'120y y y +-=的通解为

4312x x

y C e C e -=+

4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处,发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =,我方拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射,并且我方导弹的运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为00(,)x y ,则该点满足的方程为

2x =?

5． 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件【A 】

()A 充分条件； ()B 必要条件; ()C 充分必要条件； ()D 无关条件. 6． ()f x 是连续函数, 曲线段

()()x

f t dt a x b ≤≤?

的弧长s 的计算公式为

【C 】

()a

A s =

;

()a

B s =?

;

()a

C s =

; ()a

D s =?

无关条件．

７．函数()f x 具有三阶连续导数,如果"()0,[,]f x x a b >∈,则下列四项积分中，积分值

确

定

为

正

数

的

积分为

【A 】 ()['()'()]b

A I f b f x dx =-?

; ()'()b

B I f x dx =?;

()[()()]b

C I f x f a dx =-?

; ()'"()b

D I f x dx =?．

利

用换元

ln(1)

x t =+，积分

()x f e dx

等于

【D 】

0(1)

()1f t A dt t ++?; 210()(1)e B f t dt -+?;

(1)

()1

e f t C dt t ++?

; 210(1)()1

e f t D dt t -++?.

二. 计算下列各题(6'636'?=）

１．试计算由2

ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程．

[22

213

'3470(31)4

x y x y y x +=-=-?+-=+] 2. 求由参数方程t t

x e y e t

-?=?=+?所确定函数()y y x =的导数22;dy d y

dx dx .

［22322();22t t

t t dy d y e e e e dx dx

=-+=+] ３

．

求

不

定

积

分

［3

(1)3

x x c +-+] 4. 曲线段3

:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集, 即222

{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ，求极限2

lim n

n A n →∞.

()lim

n n A n A n s n πππ→∞≤≤+?=]

三

(

）计算反常积分

arctan x

dx x +∞

［12

1arctan 11[arctan ]22

x x x x +∞

=-++=］

四. （8'）()f x 具有二阶导数, 如果极限2

01()(2)

lim

1x f x xf x x →++=-, 求

(0),'(0),"(0)f f f .

［(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-］五. （8'）可导函数()f x 满足方程40

()2()1x

f x tf t dt x -=--++?

, 求函数()f x ．

32(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+?=-+] 六. (10')求函数2

x x y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值．

[231

'(21)(1)(,1],[1,],[,);22

x x y x x e ++=++?-∞-↑--↓-+∞↑

极小

1()2

y -=,极大1(1)y e

-=-

； 11min max 2

(2),(2)2y y e e

-=-=]

七. （10'）计算由曲线21x

y e

=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该

图

形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.

［2

24424

0031[(1(1)];2()(51)222

x A e e dx e V x e e dx πππ=---=+=-=-??]

八. (8')计算极限12ln(1)0(12)

lim t

x x t dt t

+→-?.

ln(1)(12)(12)1(ln(1)),ln(1)2t

x t dt x x x x x L t e ξ

ξξξξ+--=-++<

?] 同济大学2014－２015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一．填空选择题（3'824'?=)

１. 极限23

232lim(

n n n e n -→∞-+=+

２. x

y xe =在1x =对应点的曲率k =

3(14)

e e +

反常积分

dx x

α-+?

?收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2

α∈

'(32)(32)2

x x

x e f e dx f e c -=

-+?

５. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数，且"()0f x <,下列不等式正确的是【B 】

()'()'()()()A f b f a f b f a <<-； ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'()C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.

6． ()f x 是连续函数，极限1

lim (

n k k n f n n

→∞

=-?∑等于下面的定积分【D 】

()(21)A f x dx --?; 2

()(21)B f x dx -?;

()2()C f x dx -?;

()(21)D f x dx -?.

7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是【D 】

(){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛; (){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限

lim n n x →∞

=∞.

8. 223

()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+，则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根【C 】

()0A 个； ()1B 个; ()2C 个;

()D 至少3个.

二．计算下列各题(6'424'?=) 1．求函数21

232

x x y e

-++=的单调区间与凹凸区间.

[221

23232

'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e

-++-++=-=--]

求

曲线2132

y x e y -+=在

(1,1)

点的切线方

程．［230x y +-=] 3.

计

算

反

常

积

分

arctan xdx x

+∞

[

] ４.

求微分方程

"3'441

y y y x --=+的

通解.

［41212

x y C e C e x -=+-+

]

三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x

=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出

相应的渐近线. ［铅直渐近线0x =; 斜渐近线

1y x e

=++]

四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为

A ．

(1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=；［22()()()2()b

b b

V f g dx f g f g dx c f g dx πππ=

-=+-=-?

??］

(2)计算椭圆2

214

x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. ［2

8V π=]

五. （8')设()f x 是可导函数，并且满足方程220

()()12

f x tf dt x =++?

, 求函数()f x .

[2231(0)1,'()4()2()22

x f f x xf x x f x e ==+?=

-] 六. (8')(１)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(２）计算极限

lim 1(1)

x x e x

→+∞+. [(1)

12311(1)()

n n

n x x x x

o x n

---++++;（２）

221

ln(1)lim lim 1(1)

x x x

x x x e e x

-+→+∞→+∞

==+七．（10')由方程2

2,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度

单位为米)． (1)试求薄片一侧所受到的水压力; （2)

如果此后水面以每分钟0.5米的速度开

始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率．

［（１)

(4P g

y g ρ=-?; （２）

dP P g h y g dt ρ=-=?］八． (10')设222(0)n

n n x y a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A ． (1)利用定积

分写

出n A 的计算公式(无需计算n A 的值)； (2)

证明极限lim n n A →∞

存在; (３)计算极限lim n n A →∞

[(1)0

n A =?

;(2)11

22220

(1)n n a t dt A a a -≤=≤??

;(３)2lim n n A a →∞

同济大学2０15-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'824'?=)

1. 极限1

02lim(

)23h h h e h

-→-=+．

2. 积分(12sin )cos '(12sin )2

f x x f x dx C

--?-=+?

3. 函数2

()sin(1)x F x t dt =

的导函数4'()2sin(1)

F x x x =+.

4. 曲线3

(1)1(12)3

y x x =++-≤≤的弧长14

s =

. 5. 极限

0lim ()x x f x -

→=+∞

的

定

义

是

【D 】

()0,0A εδ?>?>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()0,0B εδ?>?>, 当x δ>时，有()f x ε>; ()0,0C M X ?>?>, 当x X >时，有()f x M >; ()0,0D M δ?>?>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >.

6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该

方

程

的

通

解

为

【D 】

112233()()()()A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数； 11223()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数； 11223()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()()D C y x C y x C y x ++, 其中任意常数1231C C C ++=. 7.

若

()

f x 是连续函数，则极限

lim (

)2n

n k n k f n n

→∞

=+∑等于

【A 】 32

()

()A f x dx ?

; 2

()()B f x dx ?； ()

C 1

()f x dx ?

;

0()()2

D f dx ?．

8．若对于积分0

(2)a

f a x dx -?

作换元2a x u -=，则该定积分化为

【C 】

()()a

A f u du -?； 0

()2()a

B f u du ?； ()

C 1()2

a f u du -?; 0

()()a D f u du ?.

二. 计算下列各题(6'424'?=)

．

试

求

曲

线

2sin y x y x

++=在点

(1,0)

处的切线方

程．［21x y +=］２

. 求不定积分

2ln(1)x dx +?

ln(1)22arctan x x x x c +-++］ 3．

求

微

分

方

程

3'xy x y

=-的通解.

11()4

y x c x =+] ４

求

微

分

方程

"2'15153

y y y x --=-的通

解． [53121

x y C e C e x -=+-+]

三．（8')计算由2

2y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1

9(2)2

x x dx ---=

]

四. (8')计算反常积分31

arctan x dx x +∞

. [21

1111

arctan arctan 2222I x x x x +∞

=---=

]

五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图，

（1）求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; （2）求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点. [35353(,],[,);[,];()x x x x f x -∞+∞极大,5()f x 极

小

124124[,],[,);(,],[,];

x x x x x x +∞?-∞?拐点

112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ]

六. （10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体，使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥

体的

底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.

[322

max 1(3),3V R h h V π=-=]

七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成, 若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功．

221(10),4(1)(),4

x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=]

八． (8')已知()f x 具有二阶导数，且"()f x ≥, 判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出

判

断的

理

由

[21

"()()(0)'(0)"()

2f x f x f f x f x ξ≥

=++→+∞]

同济大学２01６-2０１７学年第一学期高等数学B （上)期终试卷

一. 选择填空题(3'824'?=)

１． ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其

反函数1

()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有

【A 】

()'A k k =； 1

()'B k k

; ()C 'k k >; ()'D k k <． 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有

()1x

y x o x x ?=

?+?+，则有

【C 】

2221()()(1)x A f x x -=+; 2

()()11x

B f x x

=++;

()C ()1f x =； ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数

()f x .

下面的极限式中哪项等于连续函数

()f x 的定积分

()f x dx ?

．【D 】

2()lim ()n

n k k A f n n

→∞

=∑

;

21()lim ()n

n k k B f n n

→∞

=∑

;

()lim ()

n k k C f n n →∞=∑;

()lim 2()n

n k k D f n n →∞=∑．

4. 要使反常积

分0

+∞

收敛, 则实数p 的取值范围是【C 】

()1A p >; ()1B p <； ()2C p >;

()2D p <.

5．如果作换元sin x t =,

则积分30

(sin )f x dx π

6．微分方程231x y dy

e dx -+=的通解21

13ln()32

x y e C +=+.

7. 已知

()x f x dx e

C =+?, 则22

(21)1(21)4x xf x dx e C --=

+?．

８.

定积分

3421[ln(1)2

R R

x x dx R π-++=

二. 计算题(8'324'?=）

1. 求极坐标所表示的曲

线4θρ=在04

πθ=

所对应点处的切线方程.

[532x y e π

-=］２．计算定积

分

sin π+?

[2π]

3. 可导函数()f x 满足等式

()()22

tf dt f x =-?

, 求函数()f x . [2

2()2x f x e =]