同济大学2009-高数B期末考试题

同济大学２00９-２0１0学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=）１. 设函数()f x 具有二阶导数, 且1'0,'dx y dy y ≠=, 则223"'d x y dyy =-.2. 设函数()f u 为可导函数, 且'(0)0f ≠, 由参数方程3(sin 2)(1)tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩所确定的函数的 导数32t dydx ==.3. 极限111lim()ln 212n n n n n→∞+++=+++.4. 微分方程22"5'6sin xy y y xex -++=+的特解形式为(不需确定系数)2()cos2sin 2x x Ax B e C x D x E-++++.二. 选择题(4'416'⨯=) 5. 设函数sin ()bx xf x a e=+在(,)-∞+∞内连续, 且lim ()0x f x →-∞=, 则常数,a b 满足： [D ].()0,0A a b <>; ()0,0B a b ><； ()0,0C a b ≤>;()0,0D a b ≥<6. 曲线1ln(1)x y e x-=++,[D ]()A 没有水平渐近线但有铅直渐近线； ()B 没有铅直渐近线但有水平渐近线；()C 没有水平和铅直渐近线;()D 有水平和铅直渐近线 7． 将0x +→时的无穷小量2sin ,,(1)xx t tdt tdt e dt αβγ===-⎰⎰排列起来, 使得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C ］(),,A αβγ; (),,B αγβ; (),,C βαγ;(),,D γβα８. 设函数()f x 在点0x =的某个邻域内有定义, 且20()(0)0,lim2x f x f x→==-, 则在该点处 ()f x :[C ]()A 不可导； ()B 可导且'(0)0f ≠； ()C 取得极大值; ()D 取得极小值.三. 解答题(7'428'⨯=) 9. 求极限30sin sin(sin )limx x x x →-,[30sin 1lim 6t t t t →-==］10.计算定积分24tan sec x x xdx π⎰［224400111(tan )(sec 1)28242xd x x dx ππππ==--=-⎰⎰]11. 计算反常积分221arctan (1)xdx x x +∞+⎰[2212210111113()arctan arctan ()[arctan ]ln 2124232xdx xd x x x x ππ+∞+∞+∞=-=--=+++⎰⎰] １2. 试求微分方程221(1)dy y x y dx x+=-的通解[221111()'()1(ln )2x x x x c y x y y -=-⇒=-+］ 四. （8')求曲线ln y x =上的点， 使此曲线在该点的曲率半径为最小.[312222221(1)(1)(21)1(0)'(ln 2)22x x x R x R K x x ++-==>⇒=⇒-] 五. (8')设不定积分n n I =,(1）计算01,I I ； (２)利用变换sin x t =, 建立(2,3,4,)n I n =的递推公式［(1)01arcsin ,I x c I =+=;[（2)211n n n n I I x c n n---=-] 六. (8')设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续， 且在[,]a b 上()0g x >, 证明至少存在一点[,]a b ξ∈, 使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰.[minmax ()()()babaf xg x dxf fg x dx≤≤⎰⎰]七. （8')过坐标原点作曲线21(0)y x x =+≥的切线, 记该切线与此曲线及y 轴所围成的平 面图形为D ， 试求:（1）平面图形D 的面积; (2）平面图形D 绕直线1x =旋转一周所成的旋转体的体积, ［12,,32y x S V π===] 八． (8'）已知22123,,x x x x x x xy xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某个二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程. [212,"'2(12)xx x x y c ec e xe y y y x e -=++--=-]同济大学2０１0-２011学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷一. 填空题(4'416'⨯=）１． 已知极限lim ()x e f x →存在, 且函数()f x 满足: ln 1()lim ()()ex e x e x x f x f x x e e-→-=+-， 则 2lim ()1x ee f x e →=-.2． 设函数2()ln(23)f x x x =+-, 则()11(2)(1)(1)!(1)5n n nf n -=--+.3． 不定积分1tan 1(tan ln tan )sin 22x dx x x C x +=++⎰.4． 定积分sin 2sin cos 03334xx xdx ππ=+⎰.二． 选择题（4'416'⨯=)5． 曲线32331(1)31t x t t t y t ⎧=⎪⎪+≠-⎨⎪=⎪+⎩的斜渐近线方程为[A ]:1A y x =--;:1B y x =-; :1C y x =-+;:1D y x =+.６．曲线22162y x x=-上点(2,0)P 处曲率K = [B ]:0A ; :16B ; 1:16C ; :4D .7. 设()f x 为(,)-∞+∞内连续的偶函数, '()()F x f x =, 则原函数()F x ［C ]:A 均为奇函数； :B 均为偶函数;:C 中只一个奇函数； :D 既非奇函数也非偶函数.8． 设1s 为曲线sin y x =上相应于02x π≤≤的一段弧长, 2s 为椭圆2222x y +=的周长， 则[D ］12:A s s π-=;12:B s s >; 12:C s s <；12:D s s =．三． 解答题(4'728'⨯=）９. 求极限302cos ()13limxx x x →+-.[2cos ln3331(cos 1)1limlim36xx x x ex x x x +→→--===-] 10. 设()f x 是(,)-∞+∞内的连续的奇函数， 且0()lim 2x f x x+→=, 证明()f x 在0x =处可导, 并求'(0)f ． [00()(0)()(0)(0)0,lim lim 2'(0)00x x f x f f x f f f x x +-→→--====--]１1. 求定积分21[]max{1,}x x e dx --⎰， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数.[0121102x I e dx dx dx e --=-++=-⎰⎰⎰]1２. 判定反常积分2ln 1ex dx x +∞-⎰的收敛性, 如果收敛, 求出其值. ［21ln 111(ln 1)()[]e ex I x d x x x e+∞+∞-=--=--=⎰] 四. (8')设()f x 是(,)-∞+∞内的连续函数, 且(0)0f ≠, 试求极限0()lim ()x xx tf x t dt xf x t dt→--⎰⎰.[0()()()()1limlimlim[()()]2()()()x xxxx x x x x f u du uf u duf u duxf x f x f x f u duxf x f u duξξ→→→∞-====++⎰⎰⎰⎰⎰］五. (8'）设可积函数()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式: ()()sin f x f x x π=-+, 且当 [0,)x π∈时()f x x =, 试求3()f x dx ππ⎰.[2322(sin )(2)2I x x dx x dx πππππππ=-++-=-⎰⎰]六. （8')设n 为正整数, 函数2lim,0()100nx n x x f x e x x -→∞⎧≠⎪=--⎨⎪=⎩, 求曲线()y f x =与直线2xy =-所围平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积.［122202001()[()()]()1283,01x x x f x V dx x x x x πππ<⎧⎪=⇒=---=-⎨+-≥⎪+⎩⎰] 七.(8')求微分方程223(1)20dyx y xy dx-+=的通解． ［22231111()'()()x x x C y y y y+=⇒=-] 八. (8')令sin x t =， 化简微分方程22arcsin 2(1)x d y dyx xy e dx dx---=， 并求其通解.［22222311sin ,cos cos cos dy dy d y d y dy t dx dt t dx dt t dt t ==+2arcsin arcsin arcsin 122arcsin 2t x xx d y x y e y C e C e e dt -⇒-=⇒=++] 同济大学２0１1－20１２学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=) 1. 极限31lim()2xx x e x →∞+=-.2. 若极限000(2)()lim3h f x h f x h→--=, 则03'()2f x =-.3．积分22216(3x x dx -+=⎰.4. 积分2cos 2cos 1sin 2xx xedx e C =-+⎰.5. 微分方程4"4'0y y y -+=的通解为1212()x y c x c e=+.6． 记41sinI xdx ππ-=⎰, 22sin I xdx ππ-=⎰, 23I x dx ππ-=⎰, 21sin I x xdx ππ-=⎰. 则这4项积 分的大小关系为［ B ］()A 2134I I I I >>>；()B 3214I I I I >>>;()C 4132I I I I >>>;()D 1243I I I I >>>.7． 下列反常积分中收敛的反常积分是［ A ］ 211()2A dx x +∞+⎰;()e B +∞⎰; ()sin C xdx +∞-∞⎰; 11()1D dx x -⎰8． 若函数23ln(1)ln 2,1()11x x f x x a x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩在1x =连续， 则常数 [ D ］ ()A 23a =； ()B 23a =-； ()C 13a =-；()D 13a =．二. 解答题（6'530'⨯=)１. 计算由曲线y =与直线340x y -+=所围平面图形的面积.［21141)336A x dx -=-=⎰］ 2. 若函数()u x 与()v x 具有n 阶导数, 试写出()()u x v x ⋅计算n 阶导数的莱布尼茨公式，计算2xx e ⋅的10阶导数． [()()()2(10)1020[()()];()2(5)nn k k n k x x n k u x v x C u v xe e x -===+∑] 3. 求函数2()(5)xf x x x e =+-的单调区间以及函数的极大与极小值.[4max min '(4)(1)(,4],[1,);[4,1];(4)7;(1)3xf x x e f e f e -=+-⇒-∞-+∞--==-]4. 计算反常积分221ln(1)x dx x +∞+⎰.[ln 22I π=+]5. 求微分方程2"2'31,(0),'(0)73y y y y y +-===-的解. [331211233xx x x y c e c e e e --=+-=--]三. (8')在长度单位为米的坐标中, 由方程21x y =-与直线220x y --=围成的薄片铅直的浸入水中， 其中x 轴平行于水面且在水下1米深处, 试求该薄片的一侧所受的水压力．［121(1)(221)4P g y y y dy g ρρ-=-+-+=⎰］四.(10')求积分1)x dx+⎰,［28ln 2393I π=+-］五． （10')1. 试求常数,a b , 使得函数在=201,12x x y x ax b ≤≤⎧=⎨<≤+⎩在区间[0,2]上可导; ２． 若由该曲线段绕y 轴旋转形成一个容器, 如果每单位时间以常量0v 向容器均匀的注水, 试求该容器在水溢出前水深为h 时水面的上升速度.[2,1a b ==-;0220002,01()()'()''4,13(1)h v h h V h x y dy v V x h h h v h h ππππ⎧≤≤⎪⎪=⇒==⇒=⎨⎪<≤+⎪⎩⎰］六. (10')要建一个容积为14, 侧面为圆柱形, 顶部接着一个半球形的仓库(不含底部), 已知顶部每平方单位的造价是其侧面圆柱部分单位造价的3倍， 试求该仓库的底圆半径, 使得该仓库的造价最省.[2223f rh r ππ=+，2322281414(),'()033r h r f r r f r r r πππ+=⇒=+=⇒=］七. (8')函数()f x 在0[,)x +∞上具有二阶导数， 并且"()0f x <, 对于任意0x x >, 由拉格朗日中值定理, 存在0x x ξ<<， 使得00()()'()()f x f x f x x ξ-=-． 证明ξ定义了0(,)x +∞上的一个单调增加函数.['()f x 递减()x ξξ=唯一确定(函数); 又可证00()()f x f x x x --， 可得()x ξ递增］同济大学20１2－20１３学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 函数()xf x xe -=的四阶带佩亚诺余项的麦克劳林公式为234411()()26f x x x x x o x =-+-+２． 2(1)x y ex -=+在1x =所对应点的曲率25K =3. 极限lim(1ln )x aa x a a x a a a x→-=--４. 由方程222y y x x ++=所确定的函数()y y x =在(1,0)点的导数(1,0)32dydx =５. 函数()f x 在[0,)+∞上连续, 则数列极限lim ()n f n →∞存在是函数极限lim ()x f x →+∞存在的什么条件?[ B ]()A 充分条件; ()B 必要条件; ()C 充分必要条件; ()D 无关条件. 6．在区间[,]a b 上,函数()f x 连续的充分条件是:［ B ] ()()baA f x dx ⎰存在； ()()B f x 可导; ()()C f x 具有原函数; ()()D f x 有界. 7.如果作换元2sin x t =,则定积分222(4)f x dx -⎰等于［ C ]40()(2cos )2cos A f t tdt π⋅⎰; 24()(2cos )2cos B f t tdt ππ⋅⎰;42()(2cos )2cos C f t tdt ππ⋅⎰; 04()(2cos )D f t dt π⎰.８. 可导函数()f x 在区间[0,1]上单调增加的充分条件是在该区间上 [ D ］2()()(1)()x A f x e x o x ∆=-∆+∆; 1()()0B f x dx >⎰；()"()0C f x >； 4()()[1()]()D f x f x x o x ∆=+∆+∆． 二. (4'3⨯)1. 如图是函数()y f x =的图像， 试在下列空格中填入恰当的符 号： 0<; 0=或0>．44()0f x dx -<⎰;44'()0f x dx -=⎰;44"()0f x dx ->⎰;44"'()0f x dx -<⎰.２.求极限12001lim (12)xt x t dt x →+⎰ [1220lim 2(14)2xx x e →=+=]3. 计算不定积分(1)ln(1)x x dx ++⎰[2211(1)ln(1)(1)24x x x c ++-++］ 三. （6'3⨯)１. 求曲线21x x y e-=的凹凸区间与拐点的坐标.[22'(32),"4(2):(,2];:[2,)xx y ex y e x --=-=-⇒⋂-∞⋃+∞; 拐点：4(2,)e -]２．计算反常积分21(2ln ln )edxx x x +∞+⎰.［1ln 1ln ln 322ln 2e x x +∞==+]3. 一个由曲线段24(01)y x x =≤≤绕y 轴旋转形成的容器内装满了比重为γ的均匀液体,如果要将该容器内的液体全部排空至少需要做多少功.[48(4)43y W y dy πγπγ=-=⎰］ 四． (8')试用适当的换元法求微分方程22222()2()1dy x y x dx y x -=-+的通解.[2222222arctan 21du xu y x u x u u x c dx u -=⇒+=⇒-=-+⇒+］五. （8'）试说明闭区间上连续函数的像集是闭区间, 并举例说明在闭区间上, 像集是闭区间的函数未必连续. ［最值定理； 介值定理; 反例略］六. (10'）计算由曲线2xy e =, 该曲线经过坐标原点的切线以及y 轴所围成图形的面积， 并求该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积．[切线:2y ex =;切点:12x =; 1122222220023(2);[()(2)]412x x x e e A e ex dx V e ex dx ππ--=-==-=⎰⎰］七. (10')试求微分方程22"cos y y x x +=+的通解．[221231;*cos 2sin 2;cos sin cos 226i y Ax Bx C D x E x y C x C x x x λ=±=++++=++--] 八. (10'）()f x 是以T 为周期的连续函数， 若0()T f t dt A =⎰, 求极限01lim ()xx f t dt x →+∞⎰.[00000(0)(0)(0)1()()()()()()lim lim lim T nT nT T nT n n n T T T f t dt f t dt f t dt f t dt n f t dt f t dt A n nT nT T T nθθθθθθθθθ+→∞→∞→∞≤<≤<≤<+++====+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2013－2０1４学年第一学期高等数学Ｂ(上)期终试卷一． 选择与填空题（3'824'⨯=） １. 极限262lim()1nn n e n -→∞-=+２. 利用定积分的几何意义,积分4-=⎰92π3． 微分方程"'120y y y +-=的通解为4312x xy C e C e -=+4. 已知敌方的导弹阵地位于坐标原点处,发射的导弹飞行轨迹为光滑曲线()y f x =,我方 拦截导弹的阵地位于x 轴正向2000公里处，发射的拦截导弹飞行速度是敌方导弹速度的 两倍，如果由计算机控制，在敌方导弹发射时我方的拦截导弹同时发射,并且我方导弹的 运行轨迹是直线，如果两导弹的相撞点为00(,)x y ,则该点满足的方程为2x =⎰5． 0{}x 是有界数列, 则该数列单调是数列极限存在的什么条件 【A 】()A 充分条件； ()B 必要条件; ()C 充分必要条件； ()D 无关条件. 6． ()f x 是连续函数, 曲线段()()xaf t dt a x b ≤≤⎰的弧长s 的计算公式为【C 】()aA s =⎰;()aB s =⎰;()aC s =⎰; ()aD s =⎰无关条件．７． 函数()f x 具有三阶连续导数,如果"()0,[,]f x x a b >∈,则下列四项积分中，积分值确定为正数的积分为【A 】 ()['()'()]baA I f b f x dx =-⎰; ()'()baB I f x dx =⎰;()[()()]baC I f x f a dx =-⎰; ()'"()baD I f x dx =⎰．8.利用换元ln(1)x t =+， 积分2()x f e dx⎰等于【D 】20(1)()1f t A dt t ++⎰; 210()(1)e B f t dt -+⎰;2(1)()1e f t C dt t ++⎰; 210(1)()1e f t D dt t -++⎰.二. 计算下列各题(6'636'⨯=）１． 试计算由23ln 3x x y y +++=所确定的曲线在(1,1)点的切线方程．[22213'3470(31)4x y x y y x +=-=-⇒+-=+] 2. 求由参数方程t tx e y e t-⎧=⎨=+⎩所确定函数()y y x =的导数22;dy d ydx dx .［22322();22t tt t dy d y e e e e dx dx=-+=+] ３．求不定积分［322(1)3x x c +-+] 4. 曲线段3:()L y x a x a =-≤≤的弧长为s , n D 是xoy 平面上与L 距离不超过n 的点集, 即222{(,)(')('),(',')}n D x y x x y y n x y L =-+-≤∈,n D 的面积为n A ，求极限2lim nn A n →∞.[222()limnn n A n A n s n πππ→∞≤≤+⇒=]三.(8'）计算反常积分31arctan xdx x +∞⎰.［121arctan 11[arctan ]22x x x x +∞=-++=］四. （8'）()f x 具有二阶导数, 如果极限201()(2)lim1x f x xf x x →++=-, 求(0),'(0),"(0)f f f .［(01,'(0)1,"(0)6f f f =-==-］ 五. （8'）可导函数()f x 满足方程40()2()1xf x tf t dt x -=--++⎰, 求函数()f x ．[232(0)1,'()2()4()2(1)3x f f x xf x x f x x e -==-+⇒=-+] 六. (10')求函数231x x y xe ++=的单调区间与极值, 并求出该函数在区间[2,2]-上的最值．[23111'(21)(1)(,1],[1,],[,);22x x y x x e ++=++⇒-∞-↑--↓-+∞↑极小1()2y -=,极大1(1)y e-=-； 11min max 2(2),(2)2y y e e-=-=]七. （10'）计算由曲线21xy e=-, 直线41y e =-以及y 轴所围图形的面积; 并求出由该图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.［224244240031[(1(1)];2()(51)222xx A e e dx e V x e e dx πππ=---=+=-=-⎰⎰]八. (8')计算极限12ln(1)0(12)lim txx x t dt t+→-⎰.[11222ln(1)(12)(12)1(ln(1)),ln(1)2txx t dt x x x x x L t e ξξξξξ+--=-++<<⇒⇒=⎰] 同济大学2014－２015学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一． 填空选择题（3'824'⨯=)１. 极限23232lim()1nn n n e n -→∞-+=+２. xy xe =在1x =对应点的曲率k =3223(14)e e +3.反常积分1111dx xα-+⎰⎰收敛, 则常数α的取值区间是3(,2)2α∈4.1'(32)(32)2x xx e f e dx f e c -=--+⎰５. ()f x 在[,]a b (其中1b a =+)上具有二阶导数，且"()0f x <,下列不等式正确的是 【B 】()'()'()()()A f b f a f b f a <<-； ()'()()()'()B f b f b f a f a <-<; ()()()'()'()C f b f a f b f a -<<; ()'()()()'()D f a f b f a f b <-<.6． ()f x 是连续函数， 极限121lim ()nn k k n f n n→∞=-⋅∑等于下面的定积分 【D 】11()(21)A f x dx --⎰; 2()(21)B f x dx -⎰;11()2()C f x dx -⎰;1()(21)D f x dx -⎰.7. 如果数列{}n x 在任意区间[,]a b 上只含有有限项, 则下面判断中正确的判断是 【D 】(){}n A x 是收敛数列; (){}n B x 是有界数列但不收敛; (){}n C x 是无界数列但是当n →∞时不是无穷大量; ()D 极限lim n n x →∞=∞.8. 223()(1)(2)(3)4f x x x x x =---+， 则'()0f x =在区间(1,1)-内有几个实根 【C 】()0A 个； ()1B 个; ()2C 个;()D 至少3个.二． 计算下列各题(6'424'⨯=) 1． 求函数21232x x y e-++=的单调区间与凹凸区间.[2211232322'(2),"(1)(3)x x x x y x e y x x e-++-++=-=--]2.求曲线2132y x e y -+=在(1,1)点的切线方程． ［230x y +-=] 3.计算反常积分311arctan xdx x+∞⎰[12] ４.求微分方程"3'441y y y x --=+的通解.［41212xx y C e C e x -=+-+]三. (8')分析曲线1(1)ln()(0)y x e x x=++>是否有铅直、水平与斜渐近线, 如果有则求出相应的渐近线. ［铅直渐近线0x =; 斜渐近线11y x e=++]四. (8')已知(),()f x g x 都是非负的连续函数, 曲线()y f x =与()y g x =关于直线y c =对 称,由曲线(),()y f x y g x ==以及直线,()x a x b a b ==<所围成的平面图形的面积为A ．(1)证明该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为2V cA π=； ［22()()()2()bb baaaV f g dx f g f g dx c f g dx πππ=-=+-=-⎰⎰⎰］(2)计算椭圆2214x y +≤绕直线2y =旋转所得旋转体的体积. ［28V π=]五. （8')设()f x 是可导函数， 并且满足方程220()()12xtf x tf dt x =++⎰, 求函数()f x .[2231(0)1,'()4()2()22x f f x xf x x f x e ==+⇒=-] 六. (8')(１)写出ln(1)x +的带有佩亚诺余项的n 阶迈克劳林公式;(２）计算极限2lim 1(1)xx x e x→+∞+. [(1)12311(1)()23n nn x x x xo x n---++++;（２）221ln(1)lim lim 1(1)xx x xx x x e e x-+→+∞→+∞==+七． （10')由方程22,4y x y ==所确定的抛物型薄片铅直地浸入水中, 顶端与水面持平(长度单位为米)． (1)试求薄片一侧所受到的水压力; （2)如果此后水面以每分钟0.5米的速度开始上涨, 试计算薄片一侧所受到的水压力的变化率．［（１)4(4P gy g ρ=-⎰; （２）4(,dP P g h y g dt ρ=-=⎰］ 八． (10')设222(0)nn n x y a a +=>所围图形在第一象限部分的面积为n A ． (1)利用定积分写出n A 的计算公式(无需计算n A 的值)； (2)证明极限lim n n A →∞存在; (３)计算极限lim n n A →∞.[(1)0an A =⎰;(2)1122220(1)n n a t dt A a a -≤=≤⎰⎰;(３)2lim n n A a →∞=]同济大学2０15-2016学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限1202lim()23h h h e h-→-=+．2. 积分(12sin )cos '(12sin )2f x x f x dx C--⋅-=+⎰.3. 函数220()sin(1)x F x t dt =+⎰的导函数4'()2sin(1)F x x x =+.4. 曲线322(1)1(12)3y x x =++-≤≤的弧长143s =. 5. 极限0lim ()x x f x -→=+∞的定义是【D 】()0,0A εδ∀>∃>, 当00x x δ<-<时, 有()f x A ε-<; ()0,0B εδ∀>∃>, 当x δ>时， 有()f x ε>; ()0,0C M X ∀>∃>, 当x X >时， 有()f x M >; ()0,0D M δ∀>∃>, 当00x x x δ-≤<时, 有()f x M >.6. 若123(),(),()y x y x y x 是二阶微分方程"()'()()y a x y b x y c x =++的三个线性无关的解, 则该方程的通解为【D 】112233()()()()A C y x C y x C y x ++, 其中123,,C C C 是任意常数； 11223()()()()B C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数； 11223()()[()()]C C y x C y x y x ++, 其中12,C C 是任意常数; 112233()()()()D C y x C y x C y x ++, 其中任意常数1231C C C ++=. 7.若()f x 是连续函数， 则极限121lim ()2nn k n k f n n→∞=+∑等于【A 】 3212()()A f x dx ⎰; 2()()B f x dx ⎰； ()C 12()f x dx ⎰;10()()2xD f dx ⎰．8． 若对于积分0(2)af a x dx -⎰作换元2a x u -=， 则该定积分化为【C 】()()aaA f u du -⎰； 0()2()aB f u du ⎰； ()C 1()2aa f u du -⎰; 0()()a D f u du ⎰.二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1．试求曲线2sin y x y x++=在点(1,0)处的切线方程． ［21x y +=］ ２. 求不定积分2ln(1)x dx +⎰.[2ln(1)22arctan x x x x c +-++］ 3．求微分方程3'xy x y=-的通解.[411()4y x c x =+] ４.求微分方程"2'15153y y y x --=-的通解． [531213xx y C e C e x -=+-+]三． （8')计算由22y x x =+与直线2y x =+所围图形的面积. [1229(2)2x x dx ---=⎰]四. (8')计算反常积分31arctan x dx x +∞⎰. [211111arctan arctan 2222I x x x x +∞=---=]五. (8')已知'()y f x =的函数图像如图，（1）求函数()y f x =的单调区间、极大值与极小值; （2）求曲线()y f x =的凹凸区间与拐点. [35353(,],[,);[,];()x x x x f x -∞+∞极大,5()f x 极小124124[,],[,);(,],[,];x x x x x x +∞⋃-∞⋂拐点112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f x ]六. （10')在半径为R 的半球内内接一圆锥体， 使得该锥体的锥顶位于半球的球心上, 锥体的底面平行于半球的底面, 求这样的内接圆锥体体积的最大值.[322max 1(3),3V R h h V π=-=]七. (10')一椭球形容器由长半轴为2m , 短半轴为1m 的半支椭圆曲线绕其短半轴旋转而成, 若容器内盛满了水, 试求要把该容器内的水全部吸出需作的功．[2221(10),4(1)(),4x y y dW y dy g y W g πρπ+=-≤≤=--=]八． (8')已知()f x 具有二阶导数， 且"()f x ≥, 判断lim ()x f x →∞的情况, 并给出判断的理由.[21"()()(0)'(0)"()2f x f x f f x f x ξ≥=++→+∞]同济大学２01６-2０１７学年第一学期高等数学B （上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'⨯=)１． ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有【A 】()'A k k =； 1()'B k k=; ()C 'k k >; ()'D k k <． 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ∆充分小时都有2()1xy x o x x ∆=∆+∆+， 则有【C 】2221()()(1)x A f x x -=+; 2()()11xB f x x=++;()C ()1f x =； ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x .3.下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分2()f x dx ⎰． 【D 】12()lim ()nn k k A f n n→∞=∑;121()lim ()nn k k B f n n→∞=∑;11()lim ()nn k k C f n n →∞=∑;11()lim 2()nn k k D f n n →∞=∑．4. 要使反常积分0+∞⎰收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】()1A p >; ()1B p <； ()2C p >;()2D p <.5． 如果作换元sin x t =,则积分30(sin )f x dx π=⎰.6． 微分方程231x y dye dx -+=的通解2113ln()32x y e C +=+.7. 已知2()x f x dx eC =+⎰, 则222(21)1(21)4x xf x dx e C --=+⎰．８.定积分3421[ln(1)2R Rx x dx R π-++=⎰.二. 计算题(8'324'⨯=）1. 求极坐标所表示的曲线4θρ=在04πθ=所对应点处的切线方程.[532x y e π-=］ ２． 计算定积分211sin π+⎰.[2π]3. 可导函数()f x 满足等式20()()22xttf dt f x =-⎰, 求函数()f x . [22()2x f x e =]三. (10'）已知函数()()f x x R ∈在点1x =左连续, 同时该点是函数()f x 的跳跃间断点, 如果该函数只有1x =一个间断点, 试分析函数32(39)f x x x C +-+间断点的个数. ［266C -<<三个; 6C =两个; 26C ≤-或6C >一个]四. (10')求微分方程00"2'31414,'93x x y y y x y y ==+-=+⎧⎪⎨==⎪⎩的解. ［315239x x y e e x -=---] 五. （10')曲线21(0)y x x =+≥. （1)求该曲线在点(2,5)处的切线方程L ；（2)求该曲线与切线L 以及y 轴所围图形的面积;(3)求题(2)所叙述的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. [8843;;33y x A V π=-==] 六. (10')一只容器由2(02)y x x =≤≤绕y 轴旋转而成. (1)如果容器内的水量是容器容量的14， 求容器内水面的高度; (２)如果要将题(1）中这部分水吸尽， 求外力需要作的功.［162;3h W g ρπ==］ 七． (12')(1)如果周期函数()()f x x R ∈有最小正周期0T , 证明对于()f x 的任意一个周期 T ， 都有0T nT =, 其中n 是正整数; [记周期00[0,)T nT T -∈](2)如果()()f x x R ∈以1T π=以及21T =为周期,证明存在一列{}n T （若i j ≠，则i j T T ≠)使得n T 都是函数()f x 的周期, 并且数列{}n T 有极限; ［1T 2T 非最小正周期,存在321,n n T T T T -<⋅⋅⋅<为更小正周期］（３）如果满足题(2)条件的函数()f x 在点0x =连续， 证明()f x 是常数．[0,0εδ∀>∃>,当x δ<时,()(0)f x f ε-<;10,,0n n T T T x nT δδ--→∃<<-<]。