小学四年级奥数竞赛班讲义 第45讲：最值问题
最值问题(4年级培优)教师版
（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。
（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。
（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。
（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。
a 、b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，求）－（）（b a b a ÷+的最大值。
（四年级培优底稿） 分析：要使ba b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。
可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。
解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值1999910099100=-+。
（题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。
考察了极端情形的方法）难度系数：Aa 、b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。
（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。
可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。
即199=a ,197=b 。
解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A“12345678910111213……484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿）解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案11最值问题(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题最值问题（一）在日常生活中，我们常常考虑“最”字，如走路尽可能使所行的路程最短，用时最少或车费最省；做一件工作，尽可能使效率最高，工时最短；学习则尽可能使所用的时间最短而收获最大……，一句话，都是考虑一个“最”字的问题，即最值问题。
最值问题涉及的知识面较为广泛，但在国内外的历届数学竞赛中，一般都带有某种限制条件，因而解决问题的方法和策略常常因题而异，归纳起来有以下几种常用的方法：（1）从极端情况入手我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。
因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
（2）枚举比较根据题目的要求，把可能得出的答案一一枚举出来，使题目的条件范围逐步缩小，进而筛选比较出答案。
（3）分析推理根据两个事物在某些属性上相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
（4）构造在寻求解题途径时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
（5）应用求最大值和最小值的结论和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
两点之间线段最短。
例1一把钥匙只能打开一个房间的门，现有20把钥匙和20个房间，但不知哪把钥匙能开哪个房间的门，如要打开所有房间的门，最多要开几次？分析与解：考虑极端情况，开第一个房间的门最多需20次。
开第二个房间的门最多需19次，……，开最后一个房间的门需1次，共需20＋19＋18＋…＋1＝210（次）。
例2小明去听报告，发现报告厅只有最后一排没坐满，但他无论坐在哪个位子，都会和另一听众相邻，已知每排均有19个位子，问最后一排最少坐了多少个人？分析与解：将最后一排座位编号，由题意可知，没有连续3个的空位，而最后一排最少坐了的人数也就是已经坐下的每一个人两旁尽可能都是空位，即极端情形：2，5，8，11，14，17，19这几个编号的座位上坐着人，其余座位空着，故最少坐7人。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
小学数学《最值问题》ppt
第三关
❖ 用10元钱买4角、8角、1元的邮票共15枚， 则最多可买1元的邮票几枚？
答：最多可买1元的邮票6枚.
出口
最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，归纳起来有以下几种常用的 方法：
(1)从极端情况入手 我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。因为当某一
问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目” 清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
答案：每个盒子都有棋子，其余七个盒子至少 有一个，所以其中的一个盒子最多能有33 枚。
第一关
第三关 第二关
第一关
❖ 将12分解为两个自然数的和，使它们的积最 大，求这个最大值。 12=12+0 12×0=0 12=11+1 11×1=11 12=10+2 10×2=20 12=9+3 9×3=27 12=8+4 8×4=32 12=7+5 7×5=35
因此，应买由35朵花组成的B种花束16束和由20朵花组成 的A种花束1束，可使花朵数量最多：580朵。
解题指导1
练习 a,b是1，2，3，4……99，100中的两个不同 数，求（ a＋b）÷ （ a－b）的最大值。
答案：（ a＋b）÷（ a－b）的最大值是 199。
【例2】
有一类自然数，从第三个数字开始，每个 数字都恰好是它前面的数字之和，如134,1459。
(2)枚举比较 根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围， 筛选比较出题目的答案。 (3)分析推理 根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推 理方法。 (4)构造 在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜 的效果。 (5)应用求最大值和最小值的结论 和一定的两个数，差越小，积越大。 积一定的两个数，差越小，和越小。 两点之间线段最短。
四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
小学奥数模块教程最值问题初步(四年级提尖秋季)
1、 枚举法解最值问题2、 最值原理3、 拆数问题体育比赛中的数学课前加油站5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位数是多少？最小的三位数是多少？5 用数字0，1，2，3，4，5组成的最大三位偶数是多少？最小的三位偶数是多少？最值问题初步本章知识前铺知识5数字0，1，2，3，4，5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是多少？模块1 枚举法解最值问题例题1：在五位数12345的某一位数字后面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的后面插入2得到122345），这样得到的六位数最大可能是多少？练一练：在4位数3782的某一位数码后再插入一个该数码，能得到的五位数最大是多少？最小是多少？例题2：电视台要播放一部30集的电视连续剧，如果要求每天安排播出的集数互不相等，不能不播，该电视连续剧最多可以播几天？例题3：一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁?练一练：19个苹果要分给一群小朋友，每个小朋友所分得的苹果都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果，问：这群小朋友最多有几位？24个苹果分给4个小朋友，每个小朋友分得的苹果数量不同，求分得苹果最多的小朋友最多能分多少个？模块2 最值原理例题4:周长100米的长方形中，面积最大是多少平方米?面积为100平方米的长方形中，周长最小是多少米？练一练：用24根长1cm的小棍围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少？如果用22根呢？例题5: 用1，2，3，4，5，6这6个数字各一次，分别组成两个三位数，求积最大时，算式是什么？最小时算式是什么？例题6：用1-9九个数组成三个三位数，要使这三个三位数的乘积最大，下面的空怎么填？□□□×□□□×□□□练一练：请将2，3，4，5，6，8填入算式“□□□×□□□”的方格中，要使得算式结果最大，要怎么填？例题7：3个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？3个自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？若干个互不相同的自然数之和是17，他们的乘积最大可能是多少？例题8：若a+b=24，则（1）求a×b的最大值（2）求（a+4）×2b的最大值（3）求（a+7）×（2b+1）的最大值练一练：已知a+b=15，求（2a+1）×b的最大值。
四年级奥数之最值问题
四年级奥数之最值问题知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。
“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会出现求最值问题，解决办法有：一、枚举法例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。
但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。
同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。
这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。
二、综合法例2x3=84A（x、A均为自然数）。
A的最小值是______。
（1997年南通市数学通讯赛试题）分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。
即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。
三、分析法例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？（广州市五年级数学竞赛试题）分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。
由乘除法关系得43a＋b=一个三位数因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。
根据上面式子，考虑到a不能超过23。
（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。
当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。
显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。
小学奥数容斥原理之最值问题
⼩学奥数容斥原理之最值问题⼩学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理⼆量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个⽅⾯的应⽤．⼀、两量重叠问题在⼀些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，⽽要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，⽤式⼦可表⽰成：A B A B A B =+-U I (其中符号“U ”读作“并”，相当于中⽂“和”或者“或”的意思；符号“I ”读作“交”，相当于中⽂“且”的意思．)则称这⼀公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图⽰如下:A 表⽰⼩圆部分，B 表⽰⼤圆部分，C 表⽰⼤圆与⼩圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影⾯积．图⽰如下:A 表⽰⼩圆部分，B 表⽰⼤圆部分，C 表⽰⼤圆与⼩圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影⾯积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进⾏：第⼀步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起)；第⼆步：从上⾯的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)．⼆、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类⼜是B 类的元素个数-既是B 类⼜是C 类的元素个数-既是A 类⼜是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．⽤符号表⽰为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I ．图⽰如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利⽤圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学⽬标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-I把多加了1次的重叠部分A B I 减去．图中⼩圆表⽰A 的元素的个数，中圆表⽰B 的元素的个数，⼤圆表⽰C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---I I I 重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进⾏A B C ++- A B B C A C --I I I 计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I ．【例 1】 “⾛美”主试委员会为三～⼋年级准备决赛试题。
小学四年级奥数竞赛班作业第45讲：最值问题
一． 夯实基础：
1. 一个三位数，除以 28，得余数是 11，这样的三位数中最大的是多少？
2. 在下图中间圆圈内填一个数后，计算每条线段两端的两数之差（大减小），然后计算出 这三个差值的和，其最小的和是多少？
3. 2008 年奥运会在北京举行．“奥”、“运”、“会”、“北”、“京”这五个汉字代表 五个连续的自然数，将其分别填在五环图案的五个环内，满足 “奥”+“运”+“会”=“北”+“京”．这五个自然数的和最大是多少？
A
图1
12. 如图，一个长方形被分成 8 个小长方形，其中长方形 A、B、C、D、E 的周长分别是 26 厘米、28 厘米、30 厘米、32 厘米、34 厘米，那么大长方形的面积最大是多少平方厘米？ A BE C D
13. 把1.2 ，3.7 ， 6.5 ， 2.9 ， 4.6 分别填在下图的 5 个圆圈内，然后在每个方框中填上和它 相连的 3 个圆圈中的数的平均值，再把 3 个方框中的数的平均值填在三角形中．请找出 一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少？
6
2
7
93 8 5
4
1
5
2
9
86 4 7
1
3
五个连续自然数的和最大是：12 13 14 15 16 70 ．
5. 这是一道利用极端性原理来解决的问题．要使优秀学生最多，可将每个学生的长处与其 他同学的短处相比较．取 35 人为这样一种特殊情况：他们中语文成绩与数学成绩都互 不相等，并且语文成绩最高者数学成绩最低，语文成绩次高者数学成绩次低，…，这样 一来，语文成绩最好的学生（语文优于其它 34 人）自然是优秀学生，语文成绩第二的 学生（优于其他 33 人）数学是倒数第二（优于 1 人），他也是优秀学生．同理可说明 35 人可都是优秀学生．
最值问题解题思路奥数
马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题;解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造;离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中,学好它可为解决数论,计数,应用问题等打下扎实的基础;一、从极端情形入手从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段;题目1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”;小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的解：假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为4×8=32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故;用一个绿球换一个红球,数字和可增加6－4=2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加5-4=1;为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39;所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有8-3-1=4个是红球;题目2.有13个不同正整数,它们的和是100;问其中偶数最多有多少个最少有多少个解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数,但和是奇数,100是偶数,所以只能少一个偶数,2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数;②1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数,100-64=3636=2+4+6+8+16 最少有5个偶数;题目3.一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码;为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多少个; 解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克,它们的和是91,这样即可;需要9+1+1+2=13个;题目4.一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算;为了显示出222222,最少要按“7”键多少次222222-700003=12222按下了3个7 12222-70001=5222按下了1个75222-7007=322 按下了7个7 322-704=42按下了4个7 42-76=0 按下了6个7;3+1+7+4+6=21次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大或最小值时,枚举法是常用基本方法之一;这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论;题目5.将6,7,8,9,10按任意次序写在一个圆周上,每相邻两数相乘,并将所得得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少解：要使乘积最小,就要每个数尽可能小;对于10,旁边添6和7,这样积小一些;于是有两种添法：----------------------------------------------题目6.某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站;如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位解法1：只需求车上最多有多少人;依题意列表如下：由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位;说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数;所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断;解法2：因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站每站1人,这一人数也和本站上车的人数一样多,因此车开出时人数=以前的站数+1×以后站数=站号×15-站号;因此只要比较下列数的大小：1×14, 2×13, 3×12, 4×11, 5×10,6×9, 7×8, 8×7, 9×6, 10×5,11×4, 12×3, 13×2, 14×1;由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位;说明：此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法;这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论;题目7.在如图18-2所示得28方格表中,第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8;如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内,使得每列两数的8个差数两两不同,那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手,经过分析得出规律,也就找到了解决复杂问题的方法;题目8.分析与解题目9.将1,2,3,…,49,50任意分成10组,每组5个数;在每一组中,数值居中的那个数称为“中位数”;求这10个中位数之和的最大值与最小值;解：{1,2,3,49,50} {4,5,6,47,48} …… {28,29,30,31,32}3+6+……+30=165最小值{1,2,48,49,50} {3,4,45,46,47} …… {19,20,21,22,23}48+45+……+21=345最大值四、和一定问题为10的自然数共有5对,每对自然数乘积后又得到5个不同的数,如下表：由此我们得到,当这两个自然数都取5时积有最大值 25;成立;也就是和一定时差最小乘积越大;题目10.有3条线段a,b,c,线段a长米,线段b场米,线段c长米;如图18-1,以它们作为上底、下底和高,可以作出3个相同的梯形;问第几号梯形的面积最大解：由于梯形体积=上底+下底高/2在和一定的情况下,要使乘积最大,让两个数越接近;可见a+b与c十分接近,所以③的面积最大;题目11.如果将进货单价为40元的商品按50元售出,那么每个的利润是10元,但只能卖出500个;当这种商品每个涨价1元时,其销售量就减少10个;为了赚得最多的利润,售价应定为多少解：设每个商品售价为50+x元,则销量为500-10X个;总共可以获利50＋x-40×500-10x=10×10+X×50-X元;因10+x+50－x=60为一定值,故当10+X=50－X即X=20时,它们的积最大;此时,每个的销售价为50＋20=70元题目12.用3,4,5,6,7,8六个数字排成三个两位数相乘,要求它们的乘积最大;应该怎样排列分析与解十位数字分别是8、7、6,8>7>6,个位数字分别是5,4,3,5>4>3,依据“接近原则”,大小搭配可得83×74×65,三个数最接近因而它们的乘积最大;综上数例,可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大;简单地说就是：数越接近．．,．乘积越大．．．．;．综上数例,可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数,较小的数后配较大的数,这样才能使数之间更为接近,从而保证乘积最大;简单地说就是：数越接近．．,乘积越大;五、积一定的问题两个变化着的量,如果在变化的过程中,它们的乘积始终保持不变,那么它们的差与和之间有什么关系呢观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量,如果在变化的过程中,乘积始终保持不变,那么它们的差越小,和就越小;若它们能够相等,则当它们相等时,和最小;题目13. 长方形的面积为 144 cm2,当它的长和宽分别为多少时,它的周长最短解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm,则有xy＝144;故当x=y=12时,x+y有最小值,从而长方形周长2x＋y也有最小值;题目14.农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池,鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示,要想占地总面积最小,水池的长和宽应为多少解：如图所示,设水池的长和宽分别为xm和ym,则有xy＝432;占地总面积为 S=x＋6y＋8cm2;于是S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480;我们知道6y ×8X=48×432为一定值,故当6y=8X时,S最小,此时有6y=8X=144,故y=24,x=18;六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析,较易突破难点;题目15.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式;要求：1算式的结果等于37；2这个算式中的所有减数前面添了减号的数的乘积尽可能地大;那么,这些减数的最大乘积是多少题目16.在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式;要求：1算式的结果等于37；2这个算式中的所有减数前面添了减号的数的乘积尽可能地大;那么,这些减数的最大乘积是多少解：把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍;因为55-37＝18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9;对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好不包括1;9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24,添上加、减号的算式是10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5- 4- 3- 2 ＋1＝37;七、抓不等关系题目17.某校决定出版“作文集”,费用是30册以内为80元,超过30册的每册增加元;当印刷多少册以上时,每册费用在元以内解：显然印刷的册数应该大于30;设印刷了30＋x册,于是总用费为80+元;故有80+≤ ×30+x,答案:117+30= 147以内;题目18.有4袋糖块,其中任意3袋的总和都超过60块;那么这4袋糖块的总和最少有多少块解：要使其中任意3袋的总和都超过60块,那么至少也是61,先在每袋中放20个糖块,但任意3袋中至少一个21,否则就无法超过60;要使任意3袋中至少一个21,这4个袋子的糖块分别是20,20,21,21;和为20+20+21+21=82八、抓相等关系题目19.10位小学生的平均身高是米;其中有一些低于米的,他们的平均身高是米；另一些高于米的平均身高是米;那么最多有多少位同学的身高恰好是米解:要最多有多少位同学的身高恰好是米,就要使低于和高于米的人越少,设高于和低于的人分别为a,b;可得：+=a+b 2b=3a至少是5人那么最多有10-5=5位同学的身高恰好是米; ----------------------------------------------题目20.4个不同的真分数的分子都是1,它们的分母只有2个奇数、2个是偶数,而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等;这样的奇数和偶数很多,小明希望这样的偶数尽量地小,那么这个和的最小可能值是多少解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶偶/奇=偶+偶/偶×偶奇偶+偶=偶偶偶;因为偶偶偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数若是8,只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意,因为奇相等;若是16,有1/6+1/10=1/5+1/15因此本题答案是16;九、位值展开式题目21.一个两位数被它的各位数字之和去除,问余数最大是多少解：设两位数位aba表示十位数字,b表示个位数字ab=10a+b/a+b=9a/a+b+1a+b最大是18,此时余数为9当a+b=17,若a=9 余数为13若b=9余数为4题目22.当a+b=16,若a=9 余数为1 若b=9余数为15 此时余数最大;由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K;如果K是整数,那么K的最大值是多少解：设这个数为abca表示百位数字,b表示十位数字,c表示个位数字那么abc/a+b+c=K 100a+10b+c/a+b+c=K 要使这个算式最大,就要让a尽可能大,b,c尽可能的小;试一下：911/9+1+1=82……9,811/8+1+1=81……1,711/7+1+1=79,所以K最大是79; 题目23.用1,3,5,7,9这5个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0,2,4,6,8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ;求算式ABC×DE—FGH×IJ的计算结果的最大值; 解：要使ABCDE-FGHIJ这个算式最大就要使ABCDE最大,FGHIJ最小;那么前面最大是75193;后面最小是46820;那么算式的最小值是75193-46820=60483十、“估计+构造”“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法,要求某个离散最值,先估计该量的上界或下界,然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到,这样便求出了这个量的最大值或最小值;题目24.把1,2,3,…,12填在左下图的12个圆圈里,然后将任意两个相邻的数相加,得到一些和,要使这些和都不超过整数n,n至少是多少为什么并请你设计一种填法,满足你的结论;解：因为1+2＋3＋…＋12=78, 78×2÷12＝13,所以n≥13;又考虑到与12相邻的数最小是1和2,所以n至少是14;右上图是一种满足要求的填法;十一、转化与对称思想转化思想是数学思想之一,把复杂问题转化成简单问题,从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点A、B,把A、B用线连结起来有许多种方法,可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中,线段最短,因而我们也称线段AB的长叫A、B两点间的距离;我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面N点放上食品,在长方体侧面ABCD上M点放一只蚂蚁如图3,蚂蚁从侧面经过棱AD到N有无穷多种走法如图4,我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短在这个立体图形中找出答案是很困难的,直接连结MN则不经过棱AD,与条件不符.为了使问题简化,我们将长方体展成平面图形,连结MN交AD于P.由公理,两点之间线段最短,可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后,再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短;题目25.如图11某次划船比赛规定从A点出发,先到左岸然后到右岸然后再到B点,时间少者取胜.请你设计一条航线,使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短,我们想办法把问题转化为求两点距离问题;如图,找到A点关于左岸的轴对称点,B点关于右岸的轴对称点,连结A′B′,与左岸、右岸分别有交点C、D,沿折线ACDB航行就是最短航线;十二、学写说理题题目26.23个不同的自然数的和是4845;问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少写出你的结论,并说明理由;.17;解：设这23个彼此不同的自然数为a1,a2,…,a22,a23,并且它们的最大公约数是d,则a1=db1,a2=db2,…,a22=db22,a23=db23;依题意,有4845=a1+a2+…+a22+a23=db1+b2+…+b22+b23;因为b1,b2,…,b22,b23也是彼此不等的自然数,所以b1+b2+…+b23≥1+2+…+23=276;因为4845=db1+b2+…+b22+b23≥276×d,所以又因为4845=19×17×15,因此d的最大值可能是17;当a1=17,a2=17×2,a3=17×3,…,a21=17×21,a22=17×22,a23=17×32时,得a1+a2+…+a22+a23=17×1+2+…+22+17×32=17×253+17×32=17×285=4845;而a1,a2,…,a22,a23=17;所以d的最大值等于17;解题在于实践：题目27.设a1,a2,a3,a4,a5,a6是1到9中任意6个不同的正整数,并且a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6;试用这6个数分别组成2个三位数,使它们的乘积最大;分析与解：由于a1,…,a6具体大小不清楚,因此先取特殊数1,2,3,4,5,6这6个不同的数考虑;要使2个三位数的乘积最大,必须使这2个数的百位数最大,应分别是6,5；而十位数次大,应分别为4,3,个位数最小,应分别为2,1;因为当2个数之和一定时,这2个数之差越小,它们的乘积越大,所以这2个数是631和542;题目28.8个互不相同的正整数的总和是56,如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的数的总和是44;问：剩下的数中,最小的数是多少解：因为最大数与最小数的和是56－44=12,所以最大数不会超过11;去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在2～10之间,且总和为44,这6个数只能是4,6,7,8,9,10;题目29.采石场采出了200块花岗石料,其中有120块各重7吨,其余的每块各重9吨,每节火车车皮至多载重40吨,为了运出这批石料,至少需要多少节车皮解：每节车皮所装石料不能超出5块,故车皮数不能少于200÷5=40节,而40节车皮可按如下办法分装石料：每节装运3块7吨的和两块9吨的石料,故知40节可以满足要求;题目30.一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度,因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系,才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题,因没给出注水速度和排水速度,故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a,排水管1小时排水量为b,根据水池的容量不变,我们得方程4a-b×5=2a-b×15,化简,得：4a-b=6a-3b,即a=b.这就是说,每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.再设2小时注满水池需要打开x个进水管,根据水池的容量列方程,得xa-a×2＝2a-a×15,化简,得 2ax-2a=15a,即2xa=17a.a≠0所以x=因此至少要打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满.注意：x=,这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.题目31.用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字各一次,组成一个被减数,减数,差都是三位数的正确的减法算式,那么这个减法算式的差最大是多少解：要想差最大必须考虑被减数取最大,那么先考虑百位为9,同样考虑减数最小,百位为1,再通过试算得出936-152=784,此时差为最大既784;题目32.有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为零,试求满足上述条件的最小正整数;1444;解：平方数末位只能为0,1,4,5,6,9;因为111,444,555,666,999均非平方数,而1000,1111也不是平方数,但1444=382,故满足题设条件的最小正整数是1444;题目33.从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中,任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘,能得到多少个不同的乘积;13. 从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积;另从15到27的任意一数是可以组合的;自我评价：还成不错得意酷日积月累：______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________精神快餐：遇到难题题要尽力思考 ,一时答不上来绝不要灰心、沮丧,也不要急于翻看答案,因为反复思考的过程比得到正确的答案更重要;。
四年级奥数简单的最值问题
学生姓名年级 4 授课时间教师姓名课时简单的最值问题一、专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1，枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2，着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
二、精讲精练例题1 把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？分析为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。
而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。
（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=721练习一1，将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？2，把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。
3，将1——9这九个自然数分别填进九个小三角形中，使每4个小三角形组成的三角形内的4个数的和都等于20。
2例题2 有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？分析 3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8。
小学数学解题方法解题技巧之最值问题
第一章小学数学解题方法解题技巧之最值问题【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。
故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
小学四年级奥数竞赛班讲义 第45讲：最值问题
【例7】(★★★★) 现将0到9这十个数字分成两部分，每个部分有五个数字，然后各组成 一个五位数，则这两个五位数的差(以大减小)最小是________。
【例8】(★★★★★) 如图是奥林匹克的五环标志，其中 a，b ，c ，d ，e ，f ， g，h ，i 处 分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么 这个相等的和最大是多少，最小是多少？
【例4】(★★★) 某校准备用一道长36米的铁丝网，围成一块长方形生物实验基地，这 块基地的面积最大是多少平方米？
【例ห้องสมุดไป่ตู้】(★★★★)
某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长36米的铁
丝网，围成一块长方形生物实验基地，这块基地的面积最大是多少平
方米？
A
B
D
C
1
【例6】(★★★★) 如图，一个长方形被分成4个小长方形，其中长方形A、B、C 的周长 分别是10厘米、12厘米、14厘米，那么长方形 D 的面积最大是多少平 方厘米？ AC
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【大海点睛】 最值常用思考方向： 一、极端化 二、平均化 常用结论： 两数和一定时，差小积大 重点例题： 例1，例3，例4，例6
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最值问题
【例1】(★★★) 一次考试共25道题。若佳佳，海海，阳阳和娜娜分别答对21，22，23， 24道。则四人都答对的题目至少多少道？
【例3】(★★★) 有4袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60。这4袋糖块总共最 少有多少块？
【例2】(★★★) 网校10个老师进行一次专业知识测试，测试共有5道题。第一至五题 分别有9，8，7，7，8人答对，如果答对3道或以上的题目为优秀，则 优秀的人最少为多少？
小学数学解题方法解题技巧之最值问题
第一章小学数学解题方法解题技巧之最值问题【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。
故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
人教版四年级下册数学竞赛学案春季培优：最值问题(解析版)
（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。
（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。
（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。
（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。
a 、b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，求）－（）（b a b a ÷+的最大值。
分析：要使b a b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。
可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。
解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值1999910099100=-+。
（题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。
考察了极端情形的方法）难度系数：Aa 、b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。
（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。
可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。
即199=a ,197=b 。
解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A“12345678910111213……484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。
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【例7】(★★★★) 现将0到9这十个数字分成两部分，每个部分有五个数字，然后各组成 一个五位数，则这两个五位数的差(以大减小)最小是________。
【例8】(★★★★★) 如图是奥林匹克的五环标志，其中 a，b ，c ，d ，e ，f ， g，h ，i 处 分别填入整数1至9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么 这个相等的和最大是多少，最小是多少？
【例4】(★★★) 某校准备用一道长36米的铁丝网，围成一块长方形生物实验基地，这 块基地的面积最大是多少平方米？
【例5】(★★★★)
某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长36米的铁
丝网，围成一块长方形生物实验基地，这块基地的面积最大是多少平
方米？
A
B
D
C
1பைடு நூலகம்
【例6】(★★★★) 如图，一个长方形被分成4个小长方形，其中长方形A、B、C 的周长 分别是10厘米、12厘米、14厘米，那么长方形 D 的面积最大是多少平 方厘米？ AC
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【大海点睛】 最值常用思考方向： 一、极端化 二、平均化 常用结论： 两数和一定时，差小积大 重点例题： 例1，例3，例4，例6
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最值问题
【例1】(★★★) 一次考试共25道题。若佳佳，海海，阳阳和娜娜分别答对21，22，23， 24道。则四人都答对的题目至少多少道？
【例3】(★★★) 有4袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60。这4袋糖块总共最 少有多少块？
【例2】(★★★) 网校10个老师进行一次专业知识测试，测试共有5道题。第一至五题 分别有9，8，7，7，8人答对，如果答对3道或以上的题目为优秀，则 优秀的人最少为多少？