线性代数第二章PPT课件

a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n
a m 1 a m 2 a mn
矩 阵
称为m行n列矩阵，简称 mn矩阵. 为表示这
个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑
体字母表示它，记作
4
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
这 mn个数称为矩阵 A的元素，简称为元，数 a ij
《线 性 代 数》
电子教案之三
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总体概述
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主要内容
❖矩阵的概念；
第 三
❖零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特 殊矩阵；
讲 ❖矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘
法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵
位于矩阵的第 i行第 j列，称为矩阵的 (i, j)元. 以
数 a ij 为 (i, j) 元的矩阵可简记作 ( a ij ) 或 (aij )mn .
mn矩阵 A也记作Amn .
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2. 有关概念
➢实矩阵与复矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵；除特别说明外，都 指实矩阵.
0
0
k
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一、矩阵的加减法
1. 定义 两个同为mn的矩阵相加（减）后得一
第 mn矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）.
二 节
A(aij)mn, B(bij)mn,
AB(aijbij)m n A B (a ij b i) jm n
矩
阵 特别注意
的 运 算
✓只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才 能进行加（减）法.
0
0
0
注意 不同型的零矩阵是不同的，例如
O23 00
0 0
00,
0 O33 0
0
0 0 0
0 0, 0
O23 O33.
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✓数量矩阵（纯量矩阵）： 不在对角线上的元素都 是0，对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩
阵，又称纯量矩阵，用 kE表示， 即
k
kE
0
0
0 k 0
✓ kE(kij) 纯量矩阵.
18
例如
A3200
17 20
1102
4
B4A1820068804408
a31 a32 a33 a34
其中a ij 为工厂向第 i店发送第 j种产品的数量.
这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵
b 11 b 12
B
b 21
b b
31 41
b 22
b 32 b 42
其中b i 1 为第 i种产品的单价，b i 2为第 i种产品单件重量.
说明 从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息. 8
量之间的关系式
y1 a11x1 a12x2 a1nxn,
y2 a21x1 a22x2 a2nxn,
(1)
ym am1x1 am2x2 amnxn,
称为从变量 x1,x2,,xn到变量y1,y2,,ym的线性变换.
线性变换 (1 )的系数 a ij 构成矩阵 A(aij)mn;
称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一
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例如
A3 20 01 27 01 10 2 ,B2 26 21 25 51 10 5
AB
42
56
32
45
2270
AB42
2 5
03
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2. 矩阵的加减法_运算规则
✓交换律： A B B A ✓结合律：(A B ) C A (B C )
设矩阵 A(aij), 记
A(aij)
A称为矩阵 A的负矩阵. ✓ ABA(B ) ✓ O A A O A ✓ A A A (A )O
➢矩阵相等： 如果 A(aij)与 B (bij)是同型矩阵，
并且它们的对应元素相等，即
a ij b i( ji 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
那么就称矩阵 A与矩阵 B相等，记作 AB.
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二、矩阵举例
例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
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二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）
A A
1. 定义 mn阶矩阵 与一个数 k相乘后得一
mn矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数. 记作 kA或Ak.
A(aij)mn ka11
k
A(k
ai j)mn
ka21
ka12
ka22
ka1n ka2n
kam1 kam2 kamn
说明
✓ (1)A(aij)A矩阵 的负矩阵；
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✓对角矩阵： 不在对角线上的元素都是0. 这种方
阵称为对角矩阵，简称对角阵，用 表示，即
1
0
0
2
0
0 dia(g1,2,,n)
0 0 n
y1 1x1,
对角矩阵对应的线性变换为
y2
2x
2,
y n n x n .
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✓零矩阵：元素都是零的矩阵，记作0.
0
O
0
0
0 0 0
对应的.
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三、几个特殊矩阵
✓单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角的直线
（叫做（主）对角线）上的元素都是1，其它元素
都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用
E表示，即
1 0 0
E
(
ij
)
0
1
0
0 0 1
单位矩阵对应线性变换为恒等变换
y1 x1,
y
2 x
2
,
y n x n .
矩
的行列式以及他们的运算规律.
阵 基本要求
及 其
❖理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单 位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；
运 ❖熟练掌握矩阵的运算及其运算规律. 算
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一、矩阵的定义与记号
第
1.定义 由 mn个数 a i( ji 1 ,2 , m ;j 1 ,2 , ,n )
排成的m行n列的数表
一 节
例3 四个城市间的单向航线如下图所示，
若令
1
4
1, 从i市到j市有 1条单向航线，
aij 0, 从i市到j市没有单向. 航线
则这个图可以用矩阵表示为
2
3
0 1 1 1
A
(a
ij
)
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 00
说明 用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对
这个图进行分析和计算.
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例4 n个变量x1,x2,,xn与m个变y1, y2,, ym
➢行矩阵（行向量）： 只有一行的矩阵，记作
A(a1,a2, ,an)
1Baidu Nhomakorabea矩阵
➢列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，记作
b 1
B
b2
b m
m1矩阵
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➢方阵：行数与列数都等于 n的矩阵称为 n阶矩阵
或 n阶方阵. n阶矩阵A也记作A n .
➢同型矩阵: 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵.