第4章 系统可靠性分析=系统安全工程=东北大学分析

4 系统可靠性分析4.1 可靠性的基本概念可靠性作为判断、评价系统的一个重要指标，表明“系统、设备、元件等在规定的条件下和预定的时间内完成规定的功能的性能”。

通常用概率来定量地描述，则“系统、设备、元件等在规定的条件下和预定的时间内完成规定功能的概率”叫做可靠度。

系统、设备、元件等在运行过程中性能低下而不能实现预定的功能时，则称发生了故障。

故障的发生是人们不希望的，但同时它又是不可避免的。

对于所有有形的东西来说，故障迟早都得发生。

因此，我们只能努力使故障的发生来得尽可能地晚些，希望系统、设备、元件等尽可能地可靠工作。

系统、设备、元件等从投入使用开始到故障发生经过的时间称作故障时间。

若故障之后不能被修复，则称此故障时间为寿命。

由于造成故障的原因是多种多样的、随机的，所以故障的发生也具有随机性质。

我们只能应用概率统计的方法对故障发生的规律加以研究。

从故障发生之难易的角度进行可靠性研究时，故障率是个重要的指标。

按定义，故障率是“正常工作到某时点的客体在此以后单位时间里发生故障的比率”。

在很多情况下，特别是在系统安全分析中经常使用故障率这一指标。

故障率随运行时间而变化。

按故障率随时间变化的趋势有减少、一定和增加三种情况，把故障分为初期故障、随机故障和磨损故障三种类型。

例如，电子元件等产品在投入使用不久便由于制造不良等原因故障大量发生，习惯上称作初期故障阶段。

排除初期故障后故障率逐渐减少并趋于稳定，故障率稳定的阶段叫随机故障阶段。

机械零件或易损件等随着运行时间的增加故障率逐渐增加，进入磨损故障阶段。

一般的机械、设备或工业装置等既包括电子元件也包括机械零件，所以三种类型的故障都有，故障率曲线如图4.1，图中的曲线俗称浴盆（Bathtub）曲线。

人类的死亡率也具有类似的情况。

图4.2为100万人口的死亡率曲线。

人类幼儿时由于对外界抵抗力较弱，夭折率较高。

到了青壮年时死亡率较低，往往是由于意外事故等偶然的原因而丧生，死亡率近似恒定。

到了老年期，由于血管、心脏等身体组织老化，死亡率上升。

表4.1为不同类型故障产生原因及防止对策当我们把人作为系统的元素研究其可靠性时，不是研究其生命的可靠性而是研究人在执行既定的操作时，完成要求的功能的可靠性。

故又可把人的可靠性明确地称为人的操作可靠性。

与故障率类似，在研究人的可靠性时我们采用人失误率这一指标来表征发生操作失误的难易程度。

由于人有思想，行为有较大的自由度，所以关于人的可靠性研究是个复杂的课题。

图4.1 浴盆曲线 图4.2 人类的死亡率 表4.1 不同类型故障产生原因及防止对策故障类型 现 象原 因 对 策备 注 初期故障 ·新产品投产初期的故障 ·闲置一段时间后故障减少 ·小毛病往往引起重大事故 ·设计错误·制造不良·使用方法错误 （制造责任的可能性特别大）·设计审查，FMEA ，FTA·通过老化筛选等方法排除·明确使用基准并告诉用户·预防性维修保养无效·检修不彻底也会产生这种现象随机故障 ·多元素组成系统的典型故障 ·许多电子元件的故障·系统受到随机应力的作用 ·采用冗余设计·增加投资 ·采用高可靠度元件、材料 ·正当使用·预防性维修保养无效 ·故障时间呈指数分布 磨损故障 ·机械零部件磨损、疲劳造成的故障·材料、部件的机械磨损、疲劳、老化·预防性维修保养·预防性维修保养有效 ·冗余有效但不经济4.2 故障发生规律4.2.1 故障时间分布设系统、设备、元件等在t =0时刻投入运行，到t 时刻发生故障的概率记为)(t F ,可靠度记为)(t R ，则故障发生概率为{})0()(=≤=F t T P t F r (4.1)上述公式又称为故障时间分布函数。

可靠度为1)0()(1)(=-=R t F t R (4.2)当故障时间分布函数)(t F 可微分时，则dtt dF t f )()(= (4.3)⎰=tdt t f t F 0)()( (4.4)这里，)(t f 称为故障概率密度函数或故障时间密度函数。

当dt 非常小时，dt t f )(表示在时间间隔),(dt t t +内发生故障的概率。

定义)()()(t R t f t =λ (4.5)为故障率函数。

当dt 非常小时，dt t )(λ表示到t 时刻没有发生故障而在时间间隔),(dt t t +内发生故障的概率。

该式也可写成dt t R t dR t F dt t dF t )()()()()(-=⋅=λ (4.6)把它积分[][])(ln )0(ln )(ln )(ln )(00t R R t R t R dt t tt-=--=-=⎰λ⎰=-tdtt et R 0)()(λ (4.7)于是，自初始时刻到t 时刻故障发生概率为⎰-=-=-tdtt e t R t F 0)(1)(1)(λ (4.8) 式中故障率函数)(t λ决定了)(t F 的分布形式。

下面举例说明故障时间分布函数)(t F 、可靠度函数)(t R 、故障时间密度函数f t ()及故障率函数)(t λ的实际意义。

设100个元件投入运行后的故障时刻如表4.2。

用N t ()表示运行到t 时刻没有发生故障的元件数，则N ()0为投入运行的元件总数；N t ()-1－N t ()为在时间间隔(t -1, t )内故障的元件数。

)0()()0()(N t N N t F -= ，)0()()(N t N t R = ，)0()()1()(N t N t N t f --= ，)1()()1()(---=t N t N t N t λ 。

根据表4.2的故障数据按上述公式计算，结果列于表4.3。

表4.3中的时间为单位时间，若按较小的时间间隔来计算故障时间分布函数，则得到表4.3的结果。

通过实际故障数据计算得到的故障时间分布被称作经验分布函数。

当元件总数（数据数）无限增加，趋近无穷大时，经验分布函数的极限函数即为该种元件的真正故障时间分布函数。

图4.3为经验分布曲线。

图4.3 经验分布曲线4.2.2 典型的故障时间分布4.2.2.1 指数分布随机故障的场合故障率为常数，λλ=)(t，故障时间分布变为指数分布：tetFλ--=1)((4.9)tetfλλ-=)((4.10) 故障率λ是指数分布唯一的分布参数，也是一个最具有实际意义的参数。

它表示单位时间里发生故障的次数。

指数分布的数学期望)(xE为θλλ=====⎰⎰⎰∞∞-∞001)()()(dtedttRdtttfxE t(4.11)它等于故障发生率λ的倒数，通常记为θ，称作平均故障时间（Mean Time to Failure，MTTF）。

在系统、设备、元件故障后经修理被重复使用的场合，它被称作平均故障间隔时间（Mean Time Between Failures，MTBF）。

有时，统称为平均寿命。

指数分布的方差)(xV为()[]()22222211)(][][][)(λλ=-=-=-=⎰∞dt t f txExExExExV(4.12)指数分布的方差比较大。

当θ=t,即时间为平均无故障时间时，发生故障的概率为633.011)(1=-=-=--eeFλθθ例1 某设备运转7000h 共发生了10次故障。

若故障间隔时间服从指数分布，试计算该设备的平均故障间隔时间及从开机运转到工作1000h 后的可靠度。

解：平均故障间隔时间为θ==700010700(h)工作1000h 后的可靠度为 R ee ()..1000023910007001429===--例2 某种元件的平均故障时间为5000h 。

试求使用125h 后的可靠度。

解：因λt ==12550000025.<<1，利用级数展开式进行计算：R t e t t t t t ()!()!()==-+-+≈--λλλλλ11213123R ().1250975≈ 4.2.2.2 威布尔分布威布尔分布是瑞典的威布尔在求算链强度时得到的一种分布。

按此分布，故障时间分布函数为 F t e t m()=--1η(4.13)可靠度函数为 R t et m()=-η(4.14)故障时间密度函数为 ηηmt m et mt f --=1)( (4.15)上述公式中，η为尺度参数；m 为形状参数。

故障时间服从威布尔分布时，故障率函数为1)(-=m t mt ηλ (4.16)图4.4 和4.5 分别为威布尔分布的)(t f 和λ()t 。

威布尔分布的数学期望和方差分别是E X mm []()=+η111Γ (4.17)V X m m m[]()()=+-+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪η221211ΓΓ (4.18)式中，Γ( )11+m为Γ分布。

图4.4 威布尔分布的)(t f 图4.5 威布尔分布的λ()t在威布尔分布中m 是一个具有实质意义的参数。

当m 取不同的数值时，故障率λ()t 随时间的变化呈现如下情况：1）m <1时，λ()t 随时间单调减少，对应于初期故障；2）m =1时，λ()t 恒定，威布尔分布变为指数分布，对应于随机故障； 3）m >1时，λ()t 随时间单调增加，对应于磨损故障。

由于威布尔分布可以描述不同类型的故障，因而在可靠性工程中得到了广泛的应用。

4.2.2.3 关于故障时间分布函数具有下列性质的统计分布函数)(x F ()-∞<<∞x 都可以直接用作故障时间分布函数：1）F ()-∞=0； 2）F ()+∞=1；3）若21x x >，则)()(21x F x F >； 4）)()(lim 0x F x F =+→δδ。

还有许多函数，如正态分布、对数正态分布、均匀分布、Γ分布、β分布等都可以用作故障时间分布函数。

在实际工作中若故障时间不服从于某种特定的分布，而且用统计检验的方法也不能严格地判别出它的拟合性，那么从工程的角度出发，选择一种比较易于说明故障现象本质的函数，或选择一种在数学模型方面容易处理的函数（如指数函数、威布尔函数等）都是可以的。

4.2.3 故障次数分布当故障时间分布服从指数分布，即故障发生率λ为常数时，一定时间间隔内故障发生次数)(t N 服从泊松（Poisson ）分布。

自时刻0=t 到 t 时刻发生n 次故障的概率记为{}n t N P t P r n ==)()(，n =012,,, 。

(4.19) 则)(t P n 为参数t λ的泊松分布tn n e n t t P λλ-=!)()( (4.20) 到t 时刻发生不超过n 次故障的概率：{}∑=-=≤nk tk r e k t n t N P 0!)()(λλ (4.21) 故障次数)(t N 的数学期望E N t [()]和方差V N t [()]分别为E N t nP t n t n e t n n n tn [()]()()!====∞-=∞∑∑01λλλ (4.22) {}V N t E N t E N t [()][()][()]=-22=-==∞∑n P t t t n n 220()()λλ (4.23)即，故障次数的数学期望和方差都是λt 。