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离散数学代数结构
因此当x 1/2时，x/(1+2x)是x的逆元，1/2无逆元.
1
群的性质：消去律
设G = {a1, a2, … , an}是n阶群，令aiG = {ai aj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n. 必有aj , ak∈G使得 ai aj = ai ak （j ≠ k） 由消去律得 aj = ak , 与 |G| = n矛盾.
4
子群判定定理3
设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当
a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i<j）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji>1，由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 从而证明了a1 = a ji1∈H.
图2
14
6
陪集的基本性质
设H是群G的子群，则a,b∈G有 a∈Hb Ha=Hb 证 充分性. 若Ha=Hb，由ea∈Hb 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.
3
子群判定定理2
G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，由上步知b1∈H， 从而a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
离散数学代数结构
第一节 代数结构的定义
2020年11月5日星期四
代数结构的定义 一个代数结构< S, f1, f2, …, fm >通常由两个部分组成：
一个集合S ，叫做代数的载体； 定义在载体上的运算（operator） f1, f2, …, fm
代数结构
2020年11月5日星期四
一个集合，叫做代数的载体 载体，是我们将要处理的数学目标的集合 如整数集合、实数集合、符号集合等 一般不讨论载体是空集合的代数结构
例5.1.2： 代数结构 < N, ×>与< Z, - > 具有相同的构成成分 因为它们都有一个二元运算 代数结构 < {F, T}, ∧, ∨> 与 < P(S), , >具有相同 的构成成分，它们都具有两个二元运算
子代数
2020年11月5日星期四
子代数 设< S, f1, f2, …, fm >是一个代数结构
⊙0 1 000 101
这种表称为运算表或复合表，它由 运算符、行表头元素、列表头元素 和复合元素组成。
运算⊙具有封闭性：运算表中的每个元素都属于S
结合律
2020年11月5日星期四
一、结合律
设有代数结构< S, ⊙ >，若 (x)(y)(z)(x,y,z S (x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)) 则称运算⊙满足结合律，或⊙是可结合的
代数结构
2020年11月5日星期四
代数结构 有时还在代数结构的表示中加入特异元素k，记做 < S, f1, f2, …, fm , k > 载体中的特异元素，也叫做代数常数 有些运算存在么元和零元，它们在运算中起着特殊的作用
代数结构示例
2020年11月5日星期四
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学-近世代数-代数结构
添加标题
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
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设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
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设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。
离散数学第5章 代数结构
1
代数的概念与方法是研究计算机工程与科学的主要工具之 一.例如,要构作一个现象或过程的数学模型,就需要某种数 学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一；又如描述 机器可计算的函数,研究算术计算的复杂性,刻划抽象数据 结构,以及作为程序设计语言的语义学基础和编码理论等等, 也都需要代数结构的知识.因此,我们有必要掌握它的重要 概念和基本方法. 本章提供了代数结构的基础知识, 它们在组合计数、编码 理论、形式语言与自动机理论等学科中都发挥了重要作用.
所以*不满足交换律.
9
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
（4）设单位元为 e ( a , b ) ,则对x , y Q ,应满足
( a , b ) ( x , y ) ( ax , ay b ) ( x , y ) ,
( a , b ) (1,0 ) , 即 (1,0) 为左单位元； 可以验证 (1,0 ) 也是右单位元, 故单位元为e (1,0 ) ；
例 (*, ◦, ) 是独异点, 而(+, ◦)不是.
13
备注 ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构 中的代数常数可以不止一个, 也可以没有代数 常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是 两个不同的代数结构. 我们可以将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算).
8
（3）结合律: [( a , b ) ( c , d )] ( e , f ) (ac, ad b) (e, f )
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
(ace, acf ad b) ,
(a , b) [(c, d ) (e, f )] ( a , b ) ( ce , cf d ) (ace, acf ad b) ,
代数的概念与方法是研究计算机工程与科学的主要工具之 一.例如,要构作一个现象或过程的数学模型,就需要某种数 学结构,而代数结构就是最常用的数学结构之一；又如描述 机器可计算的函数,研究算术计算的复杂性,刻划抽象数据 结构,以及作为程序设计语言的语义学基础和编码理论等等, 也都需要代数结构的知识.因此,我们有必要掌握它的重要 概念和基本方法. 本章提供了代数结构的基础知识, 它们在组合计数、编码 理论、形式语言与自动机理论等学科中都发挥了重要作用.
所以*不满足交换律.
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(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
（4）设单位元为 e ( a , b ) ,则对x , y Q ,应满足
( a , b ) ( x , y ) ( ax , ay b ) ( x , y ) ,
( a , b ) (1,0 ) , 即 (1,0) 为左单位元； 可以验证 (1,0 ) 也是右单位元, 故单位元为e (1,0 ) ；
例 (*, ◦, ) 是独异点, 而(+, ◦)不是.
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备注 ◦ , )中的称为代数常数. 代数结构 中的代数常数可以不止一个, 也可以没有代数 常数. (2) (*, ◦)是半群, (*, ◦ , )是独异点, 它们是 两个不同的代数结构. 我们可以将代数常数看作是0元运算,(*, ◦, ) 有1个0元运算(及1个二元运算).
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（3）结合律: [( a , b ) ( c , d )] ( e , f ) (ac, ad b) (e, f )
(a, b) (c, d ) (ac, ad b)
(ace, acf ad b) ,
(a , b) [(c, d ) (e, f )] ( a , b ) ( ce , cf d ) (ace, acf ad b) ,
离散数学导论第十章代数结构通论-
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
➢ 定义10.9
设< S,Δ, >及< S’,Δ’, ’ >均为代数结构，称函
数 h: S→S’为（代数结构S到S’的）同态映射，或同态
（homomorphism），如果对S中任何元素a，b，
h（Δa）= Δ’（h（a））
(10-3)
h（a b）＝ h（a） ’ h（b）
第十章 代数结构通论
第十章 代数结构通论
1. 代数结构 2. 同态、同构及同余
Δ10.3 商代数与积代数
第十章 代数结构通论
1. 代数结构
1. 代数结构的意义
2.
代数结构的特殊元素
3.
子代数结构
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
2.
同余关系
第十章 代数结构通论
Δ 10.3商代数与积代数
√ 定理10.2
任何含有关于 运算么元的代数结构 <S， >,其所含么元是唯一的。
第十章 代数结构通论
10.1 代数结构
10.1.2 代数结构的特殊元素
➢定义10.4
元素O称为代数结构<S， >( 关于 运 算) 的零元(zero)，如果0 S且对任意x S有
x 0＝ O x＝ O 元素0r S (0l S)称为左零元（右零元）．如 果Or（Ol）满足: 对一切x S，
第十章 代数结构通论
2. 同态、同构及同余
1. 同态与同构
√ 定理10.9
设h是代数结构< S, 1, 2 > 到 < S’, 1’, 2’>的同态, 态象为< h（S）, 1’, 2’>（这里 1, 2, 1’, 2’ 均为二元 那么 （1）当运算 1( 2)满足结合律、交换律时，同态象中运算
《离散数学》第六章代数结构
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5 2020/2/14
第四节 子群
与集合的子集、向量空间的子空间一样. 群也有子群的概念.子群作为群的一部分. 它的结构对群的结构有重要影响.
主要概念有:平凡 元素的周期.
讨论了一个群的非空子集构成子群的条 件;在某个元素生成的子群的基础上定义 循环群,把循环群的结构研究清楚了.
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2 2020/2/14
第二节 置换(1)
群论的研究始于置换群.置换群在群论里 有重要的地位.例如，五次以上方程不能 用根号求解的问题的证明就用到置换群. 置换概念本身在计算机科学中也起作重 要作用.同时置换群的记法简单，运算方 便.
本节的概念有:置换、循环置换、不相交 置换、对换、奇置换、偶置换等;
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1 2020/2/14
第一节 代数结构概述
我们在前面已经研究过集合，那时没有 过多地考虑一个集合内部元素之间的联 系.现在我们要在一个集合的内部引入运 算，并研究其运算规律,主要内容为:
1.代数系统的定义,然后用例子说明代数 系统的丰富性;
2.代数系统的运算的常用记法和运算表 的概念.
第六章 代数结构
代数结构的主要研究对象是各种各样的代数系 统，即具有一些元运算的集合,本章介绍的群就 是具有一个二元运算的代数系统.
本章以群为例讨论代数结构，它的思想和方 法已经渗透到现代科学的许多分支、它的结果 已应用到计算机的不少方面，因此计算机科学 工作者应初步掌握其基本的理论和方法. 读者通过对群的学习应初步掌握对代数系统研 究的一般方法，从简单到复杂、从具体到一般， 从而发现代数系统的一般规律.本章的内容较为 抽象、难学.可根据具体情况删减一些内容.
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3 2020/2/14
离散数学_第三部分_代数系统部分 - 副本
1．主要算律
定义 10.3 设为 S 上的二元运算, （1）若对于任意的 x,y∈S 有 xy=yx, 则称运算在 S 上满足交换律. （2）若对于任意的 x,y,z∈S 有 (xy)z=x(yz), 则称运算在 S 上满足结
合律.
（3）若对于任意的 x∈S 有 xx=x, 则称运算在 S 上满足幂等律. 定义 10.4 设和∗为 S 上两个不同的二元运算,
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算.
（6）S 为任意集合，则∪、∩、－、 为 P(S)上的二元运算.
（7）SS 为 S 上的所有函数的集合，则合成运算为 SS 上的二元运算.
2. 一元运算的定义与实例 定义 10.2 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算. 例
定理 10.1 设为 S 上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和 右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于运算的惟一的单位元.
证：el = eler (er 为右单位元) eler = er (el 为左单位元)
所以 el = er, 将这个单位元记作 e.
假设 e也是 S 中的单位元，则有 e = ee = e. 惟一性得证.
（4）设 S={a1,a2,…,an}, aiaj =ai 为 S 上二元运算.
（5）设 Mn(R)表示所有 n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即
Mn
(R)
a11 a21 an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
ann
aij R, i, j 1,2,..., n
对一元运算, x 的运算结果记作x. 2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表
定义 10.3 设为 S 上的二元运算, （1）若对于任意的 x,y∈S 有 xy=yx, 则称运算在 S 上满足交换律. （2）若对于任意的 x,y,z∈S 有 (xy)z=x(yz), 则称运算在 S 上满足结
合律.
（3）若对于任意的 x∈S 有 xx=x, 则称运算在 S 上满足幂等律. 定义 10.4 设和∗为 S 上两个不同的二元运算,
则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算.
（6）S 为任意集合，则∪、∩、－、 为 P(S)上的二元运算.
（7）SS 为 S 上的所有函数的集合，则合成运算为 SS 上的二元运算.
2. 一元运算的定义与实例 定义 10.2 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一元运算，简称为一元运算. 例
定理 10.1 设为 S 上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和 右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于运算的惟一的单位元.
证：el = eler (er 为右单位元) eler = er (el 为左单位元)
所以 el = er, 将这个单位元记作 e.
假设 e也是 S 中的单位元，则有 e = ee = e. 惟一性得证.
（4）设 S={a1,a2,…,an}, aiaj =ai 为 S 上二元运算.
（5）设 Mn(R)表示所有 n 阶(n≥2)实矩阵的集合，即
Mn
(R)
a11 a21 an1
a12 a22
an2
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aij R, i, j 1,2,..., n
对一元运算, x 的运算结果记作x. 2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表
离散数学第十二章代数结构基本概念及性质
定义 设<S，f1，f2，…，fm>是一代数结构，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作用下是封闭的，且T含有与S中相同的特异元，则称<T，f1，f2，…，fm>为代数结构<S，f1，f2，…，fm>的子代数。记为<T，f1，…><S，f1，…>。
例：设 E是所有偶数所组成的集合，则代数结构< E，＋>是< Z，＋>的一个子代数结构
3
2
1
例：我们可以构造下述的一个代数结构：
设有一个由有限个字母组成的集合∑ ，叫字母表，在∑上任意长的字母串，叫做∑上句子或字符串，串中字母的个数m叫这个串的长度，我们假定当一个字的长度m=0时用符号表示，它叫做空串。这样我们可以构造一个在∑上的所有串的集合∑*。
其次，我们定义一个在∑*上的运算“//”——并置运算或者连接运算，设， ∑*，则 //＝。通过并置运算将两个串联成一个新的串，而此联成的新串也在∑*内，这样构造的<∑*，//> 是一个代数结构
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了。
1
2
定义 设S是个非空集合且fi是S上的ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记作<S，f1，f2，…，fm>。
例：设Z是整数集， “＋”是Z上的普通加法运算，则<Z，＋>是一个代数结构。
例：设R是实数集 ，“＋”与“×”是实数集R上的普通加法和乘法运算，则<R,＋,×>是一个代数结构。
1
证：对任意A P(S)，有A∪A=A和A∩A=A，故∪和∩是等幂的。
2
幺元或单位元
1
给定<S，⊙>且el，er，e∈S，则
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
应用离散数学-代数结构
代 数 结 构《应用离散数学》第4章21世纪高等教育计算机规划教材目录4.1 代 数 运 算4.2 代 数 系 统4.3 群4.4 子群与陪集4.5 循环群、置换群4.6 环 与 域4.7 格与布尔代数人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程，往往需要借助某些数学工具，针对具体问题选用适宜的数学结构去进行较为确切的描述。
我们这里研究的是一类特殊的数学结构—由集合上定义若干运算组成的系统，我们称它们为代数结构。
这种数学结构对研究各种数学问题及许多实际问题都有很大用处，对计算机科学也有很大实际意义。
代数结构的种类很多，如半群、群、环、域、格和布尔代数等，本章主要介绍群这种代数结构。
群是抽象代数的重要分支，并已得到充分的发展，它们在数学、物理、通信和计算机科学等许多领域都有广泛应用，特别是在计算机科学的自动机理论、编码理论、形式语言、时序线路、开关线路计数问题以及计算机网络纠错码的纠错能力判断等方面有着非常广泛的应用。
4.1 代 数 运 算4.1.1 基本概念定义4.1 设X是一非空集合，从X n到X上的函数f称为集合X上的n元代数运算，简称n 元运算，正整数n 称为该运算的阶。
当n =1时，函数f : X→X 称为集合X上的一个一元运算；当n =2时，函数f : X 2→X 称为集合X上的二元运算。
一元运算和二元运算是我们最常遇到的代数运算。
显然，运算是一种特殊的函数。
根据运算的定义，要验证集合X上的一个二元运算主要要考虑以下两点：（1）X上的任何两个元素都可以进行这种运算，且运算的结果是唯一的。
（2）X上的任何两个元素的运算结果都属于X，即集合X对该种运算是封闭的。
例如，f: N×N→N，f (<x，y>) = x + y 就是自然数集合N上的一个二元运算，即普通的加法运算。
普通的减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减可能是负数，而负数不是自然数。
这时也称自然数集合N对减法不封闭。
离散数学第十二章 代数结构基本概念及性质
第十二章
代数结构概念及性质
12.1 代数结构的定义与例 12.2 代数结构的基本性质
12.3 同态与同构
12.4 同余关系 12.5 商代数 12.6 积代数
12.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说 明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个 概念是代数结构中不可缺少的基本概念。 定 义 12.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数 s n 或 f : Sn →S，则称 f 为一个n元运算。 f S 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1 时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算， 等等。
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是
谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交
是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元 和二元运算，将用'、┐或ˉ等符号表示一元运算 符；用、、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示 二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶
如果令∑+＝ ∑*－{}，则<∑+，//>也是一 个代数结构。 这两种代数结构都是计算机科学 中经常 要用到的代数结构。
例：设有一计算机它的字长是32位，它
以定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为
运算指令，并分别用01，02，…，06表示之。 则在该计算机中由232有限个不同的数字所组 成的集合S以及计算机的运算型机器指令就构 成了一个代数结构<S，01，02，…，06>。
2.交换律 给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律或 “⊙”是可交换的，即 (x)(y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。
代数结构概念及性质
12.1 代数结构的定义与例 12.2 代数结构的基本性质
12.3 同态与同构
12.4 同余关系 12.5 商代数 12.6 积代数
12.1 代数结构的定义与例
在正式给出代数结构的定义之前，先来说 明什么是在一个集合上的运算，因为运算这个 概念是代数结构中不可缺少的基本概念。 定 义 12.1.1 设 S 是 个 非 空 集 合 且 函 数 s n 或 f : Sn →S，则称 f 为一个n元运算。 f S 其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1 时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算， 等等。
否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是
谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交
是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、
乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，
因为它不满足封闭性。
在下面讨论的代数结构中，主要限于一元 和二元运算，将用'、┐或ˉ等符号表示一元运算 符；用、、⊙、○、∧、∨、∩、∪等表示 二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶
如果令∑+＝ ∑*－{}，则<∑+，//>也是一 个代数结构。 这两种代数结构都是计算机科学 中经常 要用到的代数结构。
例：设有一计算机它的字长是32位，它
以定点加、减、乘、除及逻辑加、逻辑乘为
运算指令，并分别用01，02，…，06表示之。 则在该计算机中由232有限个不同的数字所组 成的集合S以及计算机的运算型机器指令就构 成了一个代数结构<S，01，02，…，06>。
2.交换律 给定<S，⊙>，则运算“⊙”满足交换律或 “⊙”是可交换的，即 (x)(y)(x,y∈S→x⊙y=y⊙x)。
离散数学-代数系统
连接看作 上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是 可结合。集合 关于连接运算就构成了一个代数系统，它 恰好是抽象代数系统 —— 半群的一个实例。
1
抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码 理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数 的知识。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：
4
为了研究抽象的代数系统，需要先定义一元和二元代数运算以 及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽 象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统 的内在特性和应用。
主要内容：
第四章 代数系统 第五章 群 *第六章 环和域 第七章 格和布尔代数
5
第四章 代数系统
本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对 象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系 统与代数系统之间的关系（如代数系统的同态、满同态和同构， 这些概念较为复杂也较为抽象，是本章的难点）。它们将集合、 集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概 念和性质是理解本章内容的关键。
= (r1 + r2 – r1r2) + r3 – (r1 + r2 – r1r2)r3
= r1 + r2 + r3 – r1r2 – r1r3 – r2r3 + r1r2r3,
r1 (r2 r3) = r1 (r2 + r3 – r2r3)
= r1 + (r2 + r3 – r2r3) – r1(r2 + r3 – r2r3)
定理4-1 设 ◦ 是定义在集合 A 上的一个 n 元运算，且在 A 的两 个子集 S1 和 S2 上均封闭，则 ◦ 在 S1 S2 上也是封闭的。
1
抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码 理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数 的知识。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：
4
为了研究抽象的代数系统，需要先定义一元和二元代数运算以 及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽 象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统 的内在特性和应用。
主要内容：
第四章 代数系统 第五章 群 *第六章 环和域 第七章 格和布尔代数
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第四章 代数系统
本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复杂的对 象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元素，代数系 统与代数系统之间的关系（如代数系统的同态、满同态和同构， 这些概念较为复杂也较为抽象，是本章的难点）。它们将集合、 集合上的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。 前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、函数等概 念和性质是理解本章内容的关键。
= (r1 + r2 – r1r2) + r3 – (r1 + r2 – r1r2)r3
= r1 + r2 + r3 – r1r2 – r1r3 – r2r3 + r1r2r3,
r1 (r2 r3) = r1 (r2 + r3 – r2r3)
= r1 + (r2 + r3 – r2r3) – r1(r2 + r3 – r2r3)
定理4-1 设 ◦ 是定义在集合 A 上的一个 n 元运算，且在 A 的两 个子集 S1 和 S2 上均封闭，则 ◦ 在 S1 S2 上也是封闭的。
离散数学第5章 代数结构-why
例： 1.<R, ·> 是半群。
2.<R,/>不是广群，不是半群 ∵x/0不存在，结果不在R中。 （x/y）/z ≠ x/（y/z）
3.< I＋, －>不是广群，也不是半群。 ∵1－2= –1 I＋
4.SK={x|x ∈ I∧x≥k} (k≥0),<Sk,+> 是半群。 若k<0,则 +是不封闭的。
5-2 代数系统的基本性质
9、逆元：
〈A，*〉， *是A上的二元运算，e是幺元，如对某个aA,b
A,使得b*a=e,则称b是a的左逆元【如<R,>，e=1，1 2 1, 1
是2的左逆元
2
2
如果a*b=e，则称b为a的右逆元【如<R,>，2
1 2
1,
1 2
是2的
右逆元】
如果b既是a的左逆元又是a的右逆元，则称b是a的一个逆元，
∴有逆元
右逆元为 右逆元为
5-2 代数系统的基本性质
定理：<A, >有e,若任意x ∈A,都有左逆元,且是可结 合的，则任一元素x的左逆元必是它的右逆元， 且x的逆元是唯一的。
定义逆元时先有幺元
5-2 代数系统的基本性质
❖ 例：构造代数系统，使其中只有一个元素有逆元。 解： T={x | x ∈ I, m≤x ≤ n, m ≤ n}，则<T,max> 幺元是m, 仅有m 有逆元, max(m,m)=m. （ x,x ∈ T, max(x,m)=x）
5-4 群与子群
例：（1） <R, ·>：是独异点 e=1 —— 不是群，∵0无逆元。
（2）<R－{0}, ·>：是群，e=1 x־¹=1/x。 （3）<I, +>：是群，幺元为0 x־¹= –x。 （4）< (s),> ：是群，幺元e= A∈(s) A־¹=A （5） <G, > G={e}是群,{e}和G称为平凡子群。
2.<R,/>不是广群，不是半群 ∵x/0不存在，结果不在R中。 （x/y）/z ≠ x/（y/z）
3.< I＋, －>不是广群，也不是半群。 ∵1－2= –1 I＋
4.SK={x|x ∈ I∧x≥k} (k≥0),<Sk,+> 是半群。 若k<0,则 +是不封闭的。
5-2 代数系统的基本性质
9、逆元：
〈A，*〉， *是A上的二元运算，e是幺元，如对某个aA,b
A,使得b*a=e,则称b是a的左逆元【如<R,>，e=1，1 2 1, 1
是2的左逆元
2
2
如果a*b=e，则称b为a的右逆元【如<R,>，2
1 2
1,
1 2
是2的
右逆元】
如果b既是a的左逆元又是a的右逆元，则称b是a的一个逆元，
∴有逆元
右逆元为 右逆元为
5-2 代数系统的基本性质
定理：<A, >有e,若任意x ∈A,都有左逆元,且是可结 合的，则任一元素x的左逆元必是它的右逆元， 且x的逆元是唯一的。
定义逆元时先有幺元
5-2 代数系统的基本性质
❖ 例：构造代数系统，使其中只有一个元素有逆元。 解： T={x | x ∈ I, m≤x ≤ n, m ≤ n}，则<T,max> 幺元是m, 仅有m 有逆元, max(m,m)=m. （ x,x ∈ T, max(x,m)=x）
5-4 群与子群
例：（1） <R, ·>：是独异点 e=1 —— 不是群，∵0无逆元。
（2）<R－{0}, ·>：是群，e=1 x־¹=1/x。 （3）<I, +>：是群，幺元为0 x־¹= –x。 （4）< (s),> ：是群，幺元e= A∈(s) A־¹=A （5） <G, > G={e}是群,{e}和G称为平凡子群。
离散数学代数结构部分共128页
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联离散数学代 Nhomakorabea结构部分
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联离散数学代 Nhomakorabea结构部分
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
离散数学 代数结构-代数系统
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
4、子代数系统
定义14 设V＝ <S，fl，f2，…，fk> 是代数系统, B⊆S， 如果B对fl，f2， …，fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数 常数，则称<B，fl，f2，…，fk > 是V的子代数系统，简称子 代数． 有时将子代数系统简记为B． 例 <N，+>是<Z，+> 的子代数，因为N对加法运算+是封闭的． < N，+> 也是<Z，+，0> 的子代数，因为N对加法运算封闭， 且N中含有代数常数0 注：从子代数定义不难看出，子代数和原代数不仅具有相同的构 成成分，是同类型的代数系统，而且对应的二元运算都具有相同 的运算性质。 任何代数系统其子代数一定存在；最大的子代数是其本身。 如果代数常数构成子代数，最小的子代数。 最小和最大的的子代数成为平凡的子代数。 如果B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。
3 相同代数性质(同种类）的代数系统
引入代数系统的主要目的是研究具有相同代数性质的代数系统，将相同 代数系统归类，并分析该类代数系统的性质。
代数系统 V ＝ < S ， * >, 其中 * 是一个可结合的二元 运算, 就代表了一类特殊的代数系统——半群．
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