运筹学第五章 目标规划PPT课件
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运筹学第五章 整数规划ppt课件
，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为z1。
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
2020/3/2
11
•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
2020/3/2
7
7
第二节 割平面法
2x1 2x2 11
13/4,5/2
松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
2020/3/2
第一次切割 4,1
8
设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
第二步：确定A的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为 z ,再用观察法
找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为z。
第三步：判断 z 是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标函
数值等于z的A的那个整数可行解；否则进行第四步。
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•割平面法，即通过添加约束条件，逐步切割可行区域的 边角余料，让其整数解逐步的露到边界或顶点上来，只要 整数解能曝露到顶点上来，则就可以利用单纯形法求出来。
•关键是通过添加什么样的约束条件，既能让整数解往边 界露，同时又不要切去整数解，这个条件就是Gomory约束 条件。 •Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保留了 全部整数解。
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第二节 割平面法
2x1 2x2 11
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松弛问题 x1+x2≤5 第二次切割
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第一次切割 4,1
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设纯整数规划
n
m a x Z c j x j j 1
s
.t
.
n j 1
aij x j
bi
x
j
0且
为
整
数
，
j
1,L
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证yi=0 xi=0 这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500
管理运筹学讲义第5章目标规划
C
•2
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• 2 • A • 6• 8 • 1 • x
管理运筹学讲义第5章目标规划 0
1
•二、升级调资问题
例 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵 守以下规定： • (1) 不超过月工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ、Ⅲ级的升级面不低于现有人数的20%且无越级提升； • (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的职工中有 10%要退休。 • 有关资料汇总于表中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
• (4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2)。 • (5) 当所有检验数 j≥0时，计算结束。表中的解即为满意解。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
例4 试用单纯形法来求解例2。 将例2的数学模型化为标准型：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
① 取xs，d1-，d2-，d3-为初始基变量，列初始单 纯形表，见表5-1。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
解 按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1，P2， P3优先因子。这问题的数学模型是：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
目标规划的一般数学模型为
•
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为权系数。
管理运筹学讲义第5章目标规划
课堂练习：
某公司经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元， 乙货物可盈利175元，各种货物每吨所占用的流动资 金为683元，公司现有流动资金1200万元，货物经销中 有8.48%的损耗。公司的决策者希望下月能达到以下 目标。 （1）第一目标：盈利5030000元以上； （2）第二目标：经销甲货物5000吨以上； （3）第三目标：经销乙货物18000吨以上； （4）第四目标：经销损耗在1950吨以下。 试问应怎样决策？
运筹学(第5章 目标规划)
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
运筹学目标规划
3600 2000 3000
若在例a中提出下列要求： (1) 首先完成或超额完成利润指标 50000元； (2) 其次，产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； (3) 再次，现有钢材 3600吨必须用完。
若在例a中提出下列要求： (1) 首先，完成或超额完成利润指标 50000元； (2) 其次，产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； (3)再次， 现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。 分析：本例引入3个优先因子P1, P2, P3；
例如m，i目n z标i和P目k(标idj具i 有 相jd同j 的) 优先因子Pk准则函数：
譬如：P2
(7d
2
12d
3
)
5、满意解（具有层次意义的解）
对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分 实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现， 有些可能就不能实现。
• 例1.
产品I 产品II 拥有量
max Z 30 x1 12 x2
2 x1 x2 140 (甲资源)
x1
60 (乙资源) x2 100 (丙资源)
x12 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现
有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元；
⑵. 不超过目标值，即f(xj) g ，正偏差变量d＋尽可 能小，则min z = f (d＋)。
⑶. 超过目标值，即f(xj) g ，负偏差变量d-尽可能 小，则min z = f (d-)。
4、优先因子(优先等级)Pk与优先权系数ωk
为了将不同级别的目标的重要性用数量表示，引进P1,
P2,….，用它表示一级目标，二级目标，….的重要程度，
运筹学-第3版-课件-第5章 动态规划
C1
2
1 2 2 3
D1 D2
3
2
A
B2
5
C2
6
E
4
2
B3
C3
3
D3
同样的理由，可以递推得其余阶段的铺设路线，如阶 段3在C1点的决策是D1，阶段4在D1点的决策只有E点； 由于到E点是整个铺设管道的终点，至此，决策过程完成， 铺设一条A点到E点的管道是由四个阶段的管道组成的， 如A---B3---C1---D1---E，它也称为一个策略。
B
阶段2
C
阶段3
D
阶段4
E
5
B1
4 4
6
3 6
C1
2
1 2
2
D1 D2 D3
3 4
2
A
B2
5
C2
6
E
2
3
B3
C3
3
在阶段2，从B3点出发，只有C1、C3两种可 选择的点， 如选C1,则C1就是阶段2在B3点的决策结果； C1点既是阶段2铺设管道的终点，又是阶段3 铺设管道的起点；
5
B1
4 4
6 3 6
使S= f ( xi ) 16 u j =
i 1 6 t
f ( x ) 16(5x
为最小，其中
i 1 i
6
j 1
1
4 x2 3x3 2 x4 x5 185)
100xi ,0 xi 15 f ( xi ) 120xi 300,15 < xi 30
第5章 动态规划
运 筹 帷 幄 之 中 Dynamic Programming
决 胜 千 里 之 外
管理运筹学讲义第5章目标规划.pptx
石家庄经济学院 14
管理科学与工程学院
例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础 上考虑：首先是产品Ⅰ的产量不超过产品Ⅱ的产 量；其次是充分利用设备有效台时；再次是利润 额不小于56元。求决策方案 。
石家庄经济学院 15
这样在考虑产品决策时，便成为多目标决策问题。 目标规划方法是解这类决策问题的方法之一。 下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。
1.设x1，x2为决策变量，此外，引进正、负偏差变量 d+，d- 。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分；负偏 差变量d-表示决策值未达到目标值的部分。
石家庄经济学院 9
石家庄经济学院 4
管理科学与工程学院
第二节 目标规划的数学模型
为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别， 先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。
例1 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。 试求获利最大的生产方案。
Ⅰ Ⅱ 拥有量
原材料(kg) 2 1 11
设备(hr)
1 2 10
管理科学与工程学院
4.目标规划的目标函数
当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏 离目标值。因此目标规划的目标函数只能是
min z=f(d+,d-)。
石家庄经济学院 13
管理科学与工程学院
其基本形式有三种：
• (1) 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可 能地小，这时 min z=f(d++d-)
利润(元/件) 8 10
石这是求获利最大的单目标的规划问题，用 x1，x2分别表示Ⅰ、Ⅱ产品的产量，其线性规划 模型表述为：
目标函数： max z 8x1 10x2
运筹学05目标规划
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
目
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
一、建立模型举例：例5.1
设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 8 元，豪华型为每件 12 元。 8 元，豪华型为每件 12 元。 公司经理提出如下优先次序的要求： 公司经理提出如下优先次序的要求： ．总利润最大（显然的） 1 1 ．总利润最大（显然的） ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） 2 2 ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 3 3 ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 致）。 1.5 倍，因此公 致）。 由于每件豪华型的利润是普通型的 由于每件豪华型的利润是普通型的 1.5 倍，因此公 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 件。 件。
2.目标约束 绝对目标约束（或硬约束）是指必须要严格满 足的等式或不等式约束，如线性规划问题的所有 约束条件，具有最高优先级。 目标约束（软约束）是把约束右端项看作是目 标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 在约束中加入正、负偏差变量。 可根据问题的需要将绝对目标约束变换为目标 约束，目标约束的形式为：f ( x) d d b
第五章运筹学目标规划分析
解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性 规划模型为： max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 s.t . 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =14
3. 对所有的目标函数建立约束方程，并入原来的约束条 件中，组成新的约束条件；
4. 引入目标的优先等级和加权系数；建立使组合偏差最 小的目标函数。
1.确定目标函数的期望值 每一个目标函数希望达到的期望值(或目标值、理想值)。
根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 2.设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。
解：设 x1, x2 分别表示彩色和黑白电视机的产量。该问 题的目标规划模型为：
min z P1d1 P2d 2 P3 (2d 3 d4 )
x1 x2 d1 d1 40 x1 x2 d 2 d 2 50 s.t . x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2 i i
P1 ：企业利润目标； P2 ：甲、乙产品的产量尽可能达到1∶1的要求；
P3 ：设备A、B尽量不超负荷工作，在第三优先级中，设备A的重 要性是设备B的三倍。
min z P1d1 P2 (d 2 d2 ) 3 P3 (d 3 d3 ) P3d 4
4 x1 16 (1) (2) 4 x2 12 2 x 3 x d d 12 (3) 2 1 1 1 (4) x1 x2 d 2 d 2 0 2 x 2 x d d (5) 2 3 3 12 1 x 2x d d 8 (6) 1 2 4 4 x , x 0, d , d i i 0 ( i 1, 2, 3, 4) 1 2
管理运筹学-第5章--动态规划PPT课件
管理运筹学–马越峰
2021/3/9
第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点 和终点进行分析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3 的最短 路径问题：
本阶段始点 （状态）
B1 B2 B3 B4
阶段2 本阶段各终点（决策）
C1
C2
C3
到E的最短 距离
本阶段最优终 点（最优决策)
决策允许集合Dk(sk)：在状态sk下，允许采取决策的全体。
D3(C1)= ｛D1,D2｝
管理运筹学–马越峰
2021/3/9
4、策略Pk,n(sk)：从第k阶段开始到最后第n阶段的决策序列， 称k子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。 5、状态转移方程 sk+1=Tk(sk, xk)：某一状态以及该状态下的 决策，与下一状态之间的函数关系。 6、阶段指标函数vk(sk, xk)：从状态sk出发，选择决策xk所产生
管理运筹学
第五章 动态规划
2021/3/9
5.1. 动态规划的基本概念和最优化原理 5.2. 动态规划模型的建立与求解 5.3. 动态规划在经济管理中的应用
管理运筹学–马越峰
5.1. 动态规划的基本概念和最优化原理
2021/3/9
例1 最短路径问题
下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10* 6
阶段4 到E的最短距离
10 6
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
管理运筹学–马越峰
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管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2
OORR:S:SMM
6
OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
OORR:S:SMM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
（恰好、不超过、不低于）
11
OORR:S:SMM
目标规划的一般模型
模型的一般形式：
K
L
m in Z
Pk ( kl d l kl d l )
k 1
l 1
n
c kj x j d l d l ql (l 1.2 L )
j 1
n
s.t . aij x j ( . )bi j 1
9
OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
例如
▪ P1 级目标实现利润至少30元； ▪ P2级目标是甲乙产品的产量
假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2
minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- )
3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30
x2
三、多目标规划的解法
• 加权系数法：
▪ 为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 ▪ 但权系数难以科学确定。
• 优先等级法：
▪ 各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
• 有效解法：
▪ 寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 ▪ 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
• 目标规划法：
▪ 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； ▪ 引入目标的优先等级和加权系数。
+d2- - d2+ = 4
x1 + d3- - d3+ = 6
x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
10
OORR:S:SMM
建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30
x2
+d2- - d2+ =4
x1 +d3– -d3+ = 6
8
OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
三、目标达成函数
目标达成函数：偏差变量之和为最小值。 若要求尽可能达到规定的目标值
正负偏差变量dk+ , dk- 都尽可能小，即minSk=dk++dk 若希望尽可能不低于期望值(允许超过)
• 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
▪ 生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 ▪ 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
• 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小 的；有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的， LP则无能为力
• 目标规划（Goal Programming）
• 根据市场需求/合同规定：
▪ 希望尽量扩大甲产品 ▪ 减少乙产品产量。
• 又增加二个目标：
maxZ1=3x1+5x2
maxZ2=x1
minZ3=x2
2x1 ≤16 2x2 ≤10
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
3x1+4x2 ≤32
5
x1，x2 ≥0
OORR:S:SMM
第一节 多目标规划问题
多目标线性规划 ▪ 含有多个优化目标的线性规划
4
OORR:S:SMM
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
例：甲乙产品的最优生产计划。
产品 资源
甲
设备A
2
设备B
0
设备C
3
单位利润
3
乙 现有资源
0
16
2
104ຫໍສະໝຸດ 325解：线规划模型：
maxZ=3x1+5x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即
可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的
不同，赋予相应的权系数
kl
和
kl
。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由优先因子和权系数 相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。
表示第k个目标未达到期望值的数值。
▪ 同一目标的 d k 和 d k 中至少有一个必须为零。
目标约束 ▪ 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
n
c kj x j d k d k E *
j1
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第二节 目标规划的数学模型
上例中要求：
➢ 目标一是利润最大，拟定利润目标是30； ➢ 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； ➢ 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； ➢ 对各目标引入正、负偏差变量：
目标规划问题及其数学模型
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列 出目标的优先
级和权系数
构造目标 规划模型
求出满意解
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
分析各项目标 完成情况
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第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
• 线性规划的局限性
▪ 只能解决一组线性约束条件下；某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题；解要求最优等
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
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第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
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试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
（恰好、不超过、不低于）
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目标规划的一般模型
模型的一般形式：
K
L
m in Z
Pk ( kl d l kl d l )
k 1
l 1
n
c kj x j d l d l ql (l 1.2 L )
j 1
n
s.t . aij x j ( . )bi j 1
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第二节 目标规划的数学模型
例如
▪ P1 级目标实现利润至少30元； ▪ P2级目标是甲乙产品的产量
假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2
minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- )
3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30
x2
三、多目标规划的解法
• 加权系数法：
▪ 为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 ▪ 但权系数难以科学确定。
• 优先等级法：
▪ 各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
• 有效解法：
▪ 寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 ▪ 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
• 目标规划法：
▪ 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； ▪ 引入目标的优先等级和加权系数。
+d2- - d2+ = 4
x1 + d3- - d3+ = 6
x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
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建模的步骤
1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列 出目标约束与绝对约束；
2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约
3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30
x2
+d2- - d2+ =4
x1 +d3– -d3+ = 6
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第二节 目标规划的数学模型
三、目标达成函数
目标达成函数：偏差变量之和为最小值。 若要求尽可能达到规定的目标值
正负偏差变量dk+ , dk- 都尽可能小，即minSk=dk++dk 若希望尽可能不低于期望值(允许超过)
• 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
▪ 生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 ▪ 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
• 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小 的；有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的， LP则无能为力
• 目标规划（Goal Programming）
• 根据市场需求/合同规定：
▪ 希望尽量扩大甲产品 ▪ 减少乙产品产量。
• 又增加二个目标：
maxZ1=3x1+5x2
maxZ2=x1
minZ3=x2
2x1 ≤16 2x2 ≤10
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
3x1+4x2 ≤32
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x1，x2 ≥0
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第一节 多目标规划问题
多目标线性规划 ▪ 含有多个优化目标的线性规划
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第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
例：甲乙产品的最优生产计划。
产品 资源
甲
设备A
2
设备B
0
设备C
3
单位利润
3
乙 现有资源
0
16
2
104ຫໍສະໝຸດ 325解：线规划模型：
maxZ=3x1+5x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即
可。
3、给各目标赋予相应的优先因子 Pk（k=1.2…K）。
4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的
不同，赋予相应的权系数
kl
和
kl
。
5、根据决策者的要求，按下列情况之一构造一个由优先因子和权系数 相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数，即达成函数。
表示第k个目标未达到期望值的数值。
▪ 同一目标的 d k 和 d k 中至少有一个必须为零。
目标约束 ▪ 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
n
c kj x j d k d k E *
j1
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第二节 目标规划的数学模型
上例中要求：
➢ 目标一是利润最大，拟定利润目标是30； ➢ 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； ➢ 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； ➢ 对各目标引入正、负偏差变量：
目标规划问题及其数学模型
• 用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列 出目标的优先
级和权系数
构造目标 规划模型
求出满意解
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
分析各项目标 完成情况
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第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
• 线性规划的局限性
▪ 只能解决一组线性约束条件下；某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题；解要求最优等