余数及同余
余数与同余问题
余数同余问题1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，那么除数为：2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余：3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数是：4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这个自然数是：5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是：10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。
11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是：12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为：14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是：17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。
余数与同余解析
六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期
小升初数学复习知识点：余数、同余与周期余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m 同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m），读作a同余于b模m。
二、同余的性质：①自身性：a≡a（mod m）；②对称性：若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）；③传递性：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡ c（mod m）；④和差性：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a-c≡b-d（mod m）；⑤相乘性：若a≡ b（mod m），c≡d（mod m），则a×c≡ b×d （mod m）；⑥乘方性：若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）；⑦同倍性：若a≡ b（mod m），整数c，则a×c≡ b×c（mod m×c）；三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n （mod 9）或（mod 3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）（mod 11）；五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1（mod p）。
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余数同余问题
余数同余问题
被除数÷除数=商＋余数，通过这个关系，我们可以总结如下余数问题结论：
①余数一定要小于除数，并且余数的个数和除数的个数相同。
比如除数是8，那么余数就是0~7八个数。
②余同取余、和同加和、差同减差
余同取余：比如一个数除2余1，除3余1，除5也余1。
我们发现每个条件的余数都相同，就可以知道满足这三个条件的最小的数是2、3、5的最小公倍数加1，即31，通项公式为30n+1。
和同加和：比如一个数满足除7余4，除8余3。
我们发现每个条件中除数加上余数的和都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数加11，即67，通项公式为56n+11。
差同减差：比如一个数满足除7余5，除8余6。
我们发现每个条件中商和余数的差都相同，就可以知道满足这两个条件的最小的数是7、8的最小公倍数减2，即54，通项公式为56n-2。
【例】一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩下4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个，那么如果每次取12个最后剩多少个？
A. 11 B .1
C. 9 D .8
【解析】本题考查余数问题。
根据我们刚刚讲的同余定理，我们发现每次取5个最后剩下4
个，5-4=1；如果每次取4个最后剩3个，4-3=1；如果每次取3个最后剩2个，3-2=1。
明显符合差同减差，直接套用结论最小公倍数做周期，故总数为60n-1，当n=2时，满足总数为119，则每次取12个时119÷12=9...11。
因此，选择A选项。
余数性质及同余定理答案
知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。
奥数五六年级知识点总结第五讲 余数与同余
第五讲余数与同余一、问题引入上一讲我们已经学习了如何判断一个数能否被另一个数整除（主要总结除数为20以内整数的情况），这一讲中我们将会在此基础上，继续探讨如果一个数不能被另一个数整除，那么余数是多少，这是本讲将要讨论的第一个问题——余数问题。
我们知道，自然数（0和所有正整数），按能否被2整除可以分为偶数和奇数两类，即能被2整除（除以2余0）的数为偶数，不被2整除（除以2余1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。
同理，如果我们以除以3的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余0、余1、余2；如果我们以除以4的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余0、余1、余2、余3；以除以n为标准，就可以将自然数划分为n类。
那么除以n余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n余数不同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。
二、知识总结1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
【注】下列方法大家以理解为主，不必死记。
着重掌握除以3、4、8、9、16的余数求法即可。
①求除以2的余数：奇数余1，偶数余0；②求除以3的余数：等于该数的各位数字之和除以3的余数；③求除以4的余数：等于该数末两位组成的数除以4的余数；④求除以5的余数：等于该数个位数除以5的余数；⑤求除以6的余数：该数的各个数字之和除以3得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以6的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以6的余数为a+3；⑥求除以7的余数：等于该数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差除以7的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑦求除以8的余数：等于该数的末三位除以8的余数；⑧求除以9的余数：等于该数的各位数字之和除以9的余数；⑨求除以10的余数：等于该数的个位数；⑩求除以11的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和与偶数的数字之和的差除以11的余数（b）等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以11的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑪求除以13的余数：等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差除以13的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑫求除以16的余数：等于该数的后四位除以16的余数;⑬求除以17的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，所得到的数字除以17的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程；⑭求除以18的余数：该数的各个数字之和除以9得余数a，若该余数与原数同奇同偶，则原数除以18的余数为a，若该余数与原数一奇一偶，则原数除以18的余数为a+3；⑮求除以19的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，所得数字除以19的余数。
余数与同余练习
余数与同余（一）知识要点：1.被除数=除数×商＋余数2.余数＜除数3.余数的性质性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m,而余数相同，那么a和b的差能被m 整除。
性质2：如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么余数也扩大（或缩小）同样的倍数。
性质3：如果被除数增加（或减少）除数的若干倍，除数不变，那么余数也不变。
例1：两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？练习1：下面算式中的两个括号内应该填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？（）÷85＝99……（）（）÷24＝56……（）例2：两个数相除的商是21，余数是3.如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。
被除数、除数各是多少？练习2：两个数相除，商是4，余数是6，被除数、除数、商和余数的和是121，求被除数。
练习3：两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。
例3. 有一个整数，除300，262，205得到的余数相同，问这个整数是几？例4. 692，608，1126三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？练习4：346，304，563三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？练习5：数713，1103，830，947被某一个数除，所得余数相同（不为0），求除数。
余数与同余（二）例5. 学生在操场上列队做操，只知道人数是在90至110之间，如果排成3列不多也不少；如果排成5列则少2人；如果排成7列则少4人。
问共有学生多少人？练习1：今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？练习2：某市举行大型体操表演，小学生队的人数在2000到2150之间，排成3列则刚好，排成5列则少2人，排成7列则少4人。
这队小学生共有多少人？练习3：一筐梨，三三数之余1，四四数之余3，五五数之差1。
这筐梨最少有几个？练习4：红旗小学表演团体操的同学在操场排队，如果每排12人，最后一排少1人；如果每排15人，最后一排少4人；如果每排18人，最后一排少7人。
余数和同余
余数和同余（十八+十九）余数和同余【知识要点】1、例如：37÷5＝7……2，四者之间的数量关系：被除数=除数×商+余数2、同余的概念：两个整数，被同一个大于1的整数m除，所得余数如果相同，那么，这两个整数对于除数m来说是同余的。
例如：14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余。
3、同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余。
【典型例题】例1、两个整数相除商8，余16；并且被除数、除数、商及余数的和是463.那么被除数是多少？例2、被3除余2，被5除余3，被7除余4的最小自然数是多少？例3、五（3）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，问上体育课的同学最少多少名？例4、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数恰好相同，这题中的除数是几？【精英班】例5、有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3.这个三位数是多少？【竞赛班】例6、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？【课后分层练习】A组：入门级1、被2、3、5除都余1，且不等于1的最小整数是多少？2、两个整数相除得商数是12，余数是26.被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是多少？3、有民兵在操场上列队，只知人数在90～110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，共有民兵多少人？4、一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？5、某个月里有三个星期日的日期为偶数，请你推算出这个月的15日式星期几？B组：进阶级1、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
2、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。
求这个数。
4、求478×296×351除以17的余数。
多项式的带余除法及同余问题
多项式的带余除法及同余问题一、多项式的带余除法带余除法是一种基础的多项式运算，它可以用来确定两个多项式之间的整除关系。
带余除法的核心思想是，用一个已知的多项式去除另一个多项式，然后求出余数和商。
下面我们就来介绍一下多项式的带余除法及其应用。
1.多项式的定义在代数中，多项式是由常数、变量和运算符号构成的表达式。
多项式的一般形式如下：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0,a1,a2 … an是常数项，n是该多项式的最高次数。
2.多项式的带余除法设P(x)和Q(x)是两个多项式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次数不小于P(x)的最高次数。
那么，多项式P(x)除以Q(x)所得的商多项式为R(x)，余数多项式为S(x)。
带余除法的表示如下：P(x）= Q(x)× R(x) + S(x)其中，余数多项式S(x)的次数小于除式Q(x)的次数。
带余除法的流程如下：（1）将被除式P(x)和除式Q(x)按照它们的次数从高到低排列；（2）将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项；（3）用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式；（4）重复以上操作，直到得到的新多项式的次数小于除式Q(x)的次数为止，最后所得的新多项式就是余数多项式S(x)。
3.例子说明我们以P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1和Q(x) = x^2 -x - 2为例，来说明多项式的带余除法的具体操作。
首先，将P(x)和Q(x)按照从高到低的次数排列：P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1Q(x) = x^2 - x - 2其次，将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项为：x^2接着，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式：P(x) - x^2 Q(x) = (x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1) - (x^2 -x - 2) x^2 = 3x^3 - 2x^2 + 3x + 1重复以上操作，将新的多项式3x^3 - 2x^2 + 3x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：3x然后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从3x^3 - 2x^2 + 3x + 1中减去这个积，得到一个新的多项式：3x^3 - 2x^2 + 3x + 1 - 3x(x^2 - x - 2) = -5x^2 + 9x + 1 继续重复以上操作，将新的多项式-5x^2 + 9x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：-5最后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从-5x^2 + 9x + 1中减去这个积，得到余数多项式：-5x^2 + 9x + 1 - (-5)(x^2 - x - 2) = 4x + 11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多项式为x^2 + 3x - 5，余数多项式为4x + 11。
小学奥数知识讲解：余数问题
小学奥数知识讲解：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
初中数学竞赛余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
小升初奥数知识点：完全平方数及余数同余与周期
小升初奥数知识点：完全平方数及余数同余与周期小升初是孩子最重要的起步方向，我们需要关注怎样的信息才能对孩子的未来有帮助呢?店铺网小编告诉大家!小升初奥数知识点：余数、同余与周期一、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：二、同余的性质：①自身性：a≡a(mod m);②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);三、关于乘方的预备知识：①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md四、被3、9、11除后的余数特征①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);五、费尔马小定理：如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数的性质：①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
余数与同余问题
余数与同余问题余数同余问题1、⽤⼀个⾃然数去除另⼀个⾃然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，那么除数为：2、57、96、148被某⾃然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个⾃然数除后余：3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同⼀个奇数，那么所得的余数是：4、有⼀个⾃然数，⽤它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这个⾃然数是：5、⼀个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是：6、两个⼩于100的不同⾃然数去除440，余数都是35，这两个数的差为：7、⼀个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为：8、有⼀个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的和是79，被除数和除数相差56，这个算式是：9、⼀个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个⾃然数是：10、2010除以⼀个两位数ab=（），使所得余数最⼤。
11、1）⼀个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最⼤余数是：2）⼀个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最⼤余数是：12、在⼤于2010的⾃然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是：13、⽤⼀个⾃然数A去除333，商得4，⽤所得余数去除⾃然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最⼩为：14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是⼀个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是：15、⼀个⾃然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是：16、⼀个⾃然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满⾜条件的所有⾃然数的和是：17、10个⾃然数的和为100，分别除以3，若⽤去尾法，10个商的和为30，若⽤四舍五⼊法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有：18、⼀个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是：19、在⼩于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有：20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有：21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。
余数及同余
余数及同余一、带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b的商或完全商（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m同余，记作a≡b（mod m）.由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.三、同余的性质1.如果a≡b（mod m），那么m|（a-b）；如果整数a和b对于模m是同余的，那么a与b的差能被m整除.2.a≡a（mod m），即任何整数都与自身同余.3.若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）.4.若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）.5.若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a+c≡b+d （mod m），a－c≡b－d （mod m），a×c≡b×d （mod m）.6.若a≡b（mod m），则an≡bn（mod m）。
（其中n为正整数）.例1.用一个两位数除708，余数为43，求这个两位数.[答疑编号5721170101]【答案】95【解答】根据被除数-余数=商×除数，可知，所求两位数一定是707-43=665的大于43的约数，所以所求的两位数是95.例2.数713、1103、830、947被一个数除所得余数相同（余数不为0），求这个除数.[答疑编号5721170102]【答案】39，13或3.【解答】1103－713=390=3×13×2×5，947－830=117=3×13×3，1103－947=156=2×13×3×2，除数为39，13或3.例3.从1、2、…100中最多能选出多少个数，使选出的数中每两个的和都不能被3整除？[答疑编号5721170103]【答案】35【解答】1、2、…100中，除以3余1的数共34个，即1、4、7、10、…、100.除以3余2的数共33个，选出的数中，如果有除以3余1的，就一定不能有除以3余2的；如果有除以3余2的，也就不能有除以3余1的。
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法
![[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/05ad0b78d15abe23482f4dcb.png)
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法特殊的剩余定理：核心基础公式：被除数=除数*商+余数同余问题核心口诀：“余同取余。
和同加和，差同减差，公倍数作周期”①余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，则取1，公倍数作周期，则表示为：60N+1②和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，则取7，公倍数做周期：则表示为60N+7③差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，则取3，公倍数做周期：则表示为60N-3例题1：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？A、4B、5C、6D、7（当然可以用特殊值法）因为3+2=4+1=5所以取12+5=1717/12=1 余5剩余定理的一般情况：一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。
卡卡西解析：--------------------------------一个数除以7余3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有5b+2 8d+67a+3=5b+27a+1=5ba=2 b=3 最小公倍数3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d（因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑）3c+3=8dC=735*7+17=262 262+280N一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？分析：根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。
----------------------------------解：300-262=38262-205=57（28，57）=1912 ＋22 ＋32 ＋……＋20012＋20022除以7的余数是_____。
-----------------------方法一：根据公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：÷7＝0…1，÷7＝0…4，÷7＝1…2，÷7＝2…2，÷7＝3…4，÷7＝5…1，÷7＝7（余数为0），，÷7与÷7余数相同，同样地，÷7与÷7余数相同，…….所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余数，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余数为0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余数为0今天星期一，1998的1986次方天后星期几？----------------------------------1998的1986次=（265*7+3）1986次=3的1986次3^0 整除7的余数是 13^1 整除7的余数是 33^2 整除7的余数是 23^3 整除7的余数是 63^4 整除7的余数是 43^5 整除7的余数是 53^6 整除7的余数是 1由此可见，6次一循环所以：3的1986（1986/6=331，余数为0）次除7的余数为3^0/7=11+1=2。
余数及同余问题小学五年级奥数
余数及同余问题⼩学五年级奥数余数及同余问题（⼀）1、310被⼀个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。
2、⼀个数除以23余数是2，把被除数扩⼤到4倍，余数是________。
3、某数⽤3除余1，⽤5除余3，⽤7除余5，此数最⼩是________。
4、378×196×251除以17的余数是________。
5、若871和633两个⾃然数都被同⼀个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。
6、有⼀个整数，⽤它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。
7、⼀个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。
8、有⼀个等于1的整数，⽤它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。
9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。
10、数713,1103,830,947被⼀个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。
11、⼀个数除以7余2，如果把被除数扩⼤9倍，那么余数是⼏？_________12、账本上记着买机器⽤去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器⽤去多少元吗？_________。
（⼆）1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。
2、有⼀个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。
3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。
4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。
5、有⼀个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。
余数性质及同余定理(B级)1
知识框架、带余除法的定义及性质1.定义：一般地，如果 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r，也就是 a＝b×q＋r, 0≤r<b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：（1）当r 0时：我们称 a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商（2）当r 0时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型 : 如图这是一堆书，共有 a 本，这个 a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2.余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以 c的余数，等于 a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。
例如： 23，16除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16＝39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
例如： 23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19＝ 42除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数为 22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之差。
例如： 23，16除以 5的余数分别是 3和 1，所以 23－16＝7除以 5的余数等于 2，两个余数差 3－1＝ 2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如： 23，14 除以 5 的余数分别是 3和 4，23－14＝9 除以 5的余数等于 4，两个余数差为 3＋5－4 ＝43.余数的乘法定理a与 b的乘积除以 c的余数，等于 a,b分别除以 c的余数的积，或者这个积除以 c所得的余数。
整除问题及余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题整除问题及余数与同余问题姓名得分⼀、整除问题基础训练题1、六位数26AAA1能被9整除，A是⼏？2、各位数字都是5，能被21整除的最⼩⾃然数是多少？3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是⼏？4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么⽅框⾥的数字有⼏种填法？6、既能被9整除，也能被25整除的最⼩四位数是多少？7、在⾃然数5537的前后各填⼀个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是⼏？8、有⼀个⾃然数，它是⼀个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最⼤的两位数是多少？9、三个均⼩于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？10、在⼩于5000的⾃然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？12、已知⾃然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？13、三个⾃然数的乘积是1224，其中第⼀个⾃然数与第⼆个⾃然数的和等于第三个⾃然数，求第三个⾃然数是多少？14、两个数的最⼤公因数是6，最⼩公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？15、三个连续⾃然数的最⼩公倍数是360，这三个⾃然数分别是多少？16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。
17、有⼀列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？18、将分母为15的所有最简假分数按由⼩到⼤的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？⼆、整除问题竞赛提⾼题1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。
2、⼀个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最⼤的是多少？3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。
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余数及同余
一、带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：
（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b 的商或完全商
（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商
二、同余的概念
两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个
整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.
同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.
由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整
数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一
类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.
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