实际问题与二次函数第二课时

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《实际问题与二次函数》第二课时利润问题教案

人教版数学九年级上22.3.2实际问题与二次函数第二课时教学设计课题22.3.2实际问题与二次函数单元第二十二章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标通过对生活中实际问题的探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.能力目标1.通过对商品涨价与降价的分析，感受函数知识在生活中的应用；2.在探究活动中，学会与他人合作并能与他人交流思维过程和探究结果．知识目标 1.将实际问题抽象成数学问题，经历函数建模的过程；2.会用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值.重点用二次函数知识解决商品利润问题。

难点能够正确分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并求出最大(小）值。

学法自主探究、分组探究、合作交流教法引导发现法启发探究法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、情境导入设疑：观看商场的促销广告、电商广告页面，商家做广告的目的是什么？如果你是商场经理，你该如何定价才能获得最大利润？揭示课题：商品利润问题教师出示各种促销图片，设疑，激发学生探究的欲望，进而揭示课题。

从身边常见的生活实际情境入手，创设问题情境，激发学生的求知欲。

讲授新课二、探究新知问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_____元，销售利润______元.涉及到的数量关系：（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）降价：①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元随之变化：建立函数关系式：②自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润y最大，是多少？（2）涨价：①设每件涨价n元，则每星期售出商品的利润m元随之变化：建立函数关系式：②自变量n的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润m最大，是多少？学生分小组合作探究,教师提供题干中涉及到的“数量关系”引导学生分步探究。

《实际问题与二次函数》第二课时利润问题-练习

22.3.2实际问题与二次函数商品利润问题一．选择题1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（）A．5000元 B．8000元 C．9000元D．10000元2．一件工艺品进价为100元，按标价135元售出，每天可售出100件．若每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价（）元．A．5 B．10 C．0 D．153．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高（）A．4元或6元 B．4元 C．6元 D．8元4．某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为（）A．3元 B．4元 C．5元 D．8元二．填空题5．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：（1）月销量y（件）与售价x（元）的关系满足：y=﹣2x+400；（2）工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）6．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为元．7．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．（1）确定这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；（2）“五•一”之前，月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润是元．8．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为．三．解答题9．（2017•本溪二模）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．10．（2017•青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数10 0日总收入（元）24000 40000（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？11．（2017•扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）30 35 40 45 50日销售量p（千克）600 450 300 150 0（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）12．某旅行社的一则广告如图：（1）当x满足什么条件时，参游人员人均旅游费用为500元．（2）设某公司参游人数为x人，旅游总费用为y元，就不同情况，分别写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）甲公司计划用28000元组织一批员工旅游，问：最多可以安排多少人参加？（4）乙公司有55人参加旅游，老板付给领队小李30000元作为旅游费用，小李说：“费用不够，参游人数需减少”．老板说：“费用足够，人员还可增加”．请问小李、老板的话是否有道理？请说明理由．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．C．4．B．二．填空题5．①②③．6．40．7．四，10.5．8．0＜a＜6．三．解答题9．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．10．【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，，解得，，∴x+x=600+=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=42025，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．11．【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得：k=﹣30，b=1500，∴p=﹣30x+1500，检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）即w=﹣30x2+2400x﹣45000，∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），对称轴为x=﹣=40+a，①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；②若a＜10，则当x=40+a时，w有最大值，将x=40+a代入，可得w=30（a2﹣10a+100），当w=2430时，2430=30（a2﹣10a+100），解得a1=2，a2=38（舍去），综上所述，a的值为2．12．【解答】解：（1）根据题意，800﹣10（x﹣30）=500，解得x=60；（2）0≤x≤30时，y=800x，30＜x≤60时，y=x[800﹣10（x﹣30）]=﹣10x2+1100x，x＞60时，y=500x，所以，y=；（3）0≤x≤30时，800x=28000，解得x=35，不符合题意，舍去，30＜x≤60时，﹣10x2+1100x=28000，整理得，x2﹣110x+2800=0，解得x1=40（舍去），x2=70，x＞60时，500x=28000，解得x=56（不符合题意，舍去），综上所述，最多可以安排40人参加；（3）∵旅游费用为30000元，∴﹣10x2+1100x=30000，整理得，x2﹣110x+3000=0，解得x1=50，x2=60，所以，50人参加旅游与60人参加旅游的费用相同，都是30000元，故，老板的话有道理．。

人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第二课时课件

500. (1)李明在开始创业的第1个月将销售单价定为20元，那么政府
这个月为他承担的总差价为多少元？ (2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每月
可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如
果李明想要每月获得的利润不低于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？
7．(12分)在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29 元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件) 与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．
C．y＝a(1－x)2
D．y＝a(1＋x)2
2．(4分)一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x2)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
3．(4分)喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元 (x为正整数)，每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数关系式为(A )
资，则 5 年所获利润的最大值是 205万元．
9．出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出(6－x)个，则
当 x＝__3__元时，一天出售该种文具盒的总利润最大．
二、解答题(共48分) 10．(14分)某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件． (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

《实际问题与二次函数(第2课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数教学设计第2课时一、教学目标1．学会将利润问题转化为利润问题．2．掌握用二次函数的知识解决有关的利润问题．二、教学重点及难点重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：从现实问题中建立二次函数模型．三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《市场调查》动画。

五、教学过程【创设情景，揭示课题】问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【合作探究，形成新知】（1）题目中有几种调整价格的方法？师生活动：教师提出问题，学生回答．小结：调整价格包括涨价和降价两种情况．（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪一个量随自变量的变化而变化？哪个量是函数？师生活动：小组合作交流，教师引导学生根据题意设未知数，找出各个量的关系．小结：题目涉及涨价（或降价）与利润两个变量，其中涨价（或降价）是自变量；设每件涨价（或降价）x元，则每星期售出商品的利润y随之变化而变化；y是x的函数．（3）当每件涨价1元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？设每件涨价x元，销售额是多少？利润呢？最多能涨多少钱呢？师生活动：一学生回答，全班订正．教师边聆听边板演，不足地方补充总结．小结：当每件涨价1元时，售价是60＋1=61元；每星期销售量是300－10=290件，成本是40元；设涨价x元，销售额是(60＋x)(300－10x)元，利润是y=（60＋x）(300－10x)－40(300－10x)元，即y=－10x2＋100x＋6 000，其中，0≤x≤30，最多能涨30元．（4）当每件降x元时，售价是多少？每星期的销售量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润y呢？师生活动：师生一起完成解答．设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元．因此，所得利润y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)．（5）由以上四个问题，你能解决问题了吗？请试试看．解：设每件涨价x元，则每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润为y=(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y=－10x2＋100x＋6000，其中，0≤x≤30．当定价为60＋5=65元时，y有最大值6 250元．设每件降价x元时，利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300＋18x)件，销售额为(60－x)(300＋18x)元，买进商品需付40(300＋18x)元，因此，所得利润y=(60－x)(300＋18x)－40(300＋18x)，即y=－18x2＋60x＋6 000，其中0≤x≤20．当定价为x=51605833-=元时，y有最大值6 050元．故要使利润最大，应每件定价为65元．设计意图：通过层层设问，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．【例题分析，深化提高】例一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．市场调查发现：一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )．A．5元B．10元C．0元D．36元【解析】设每件降价的钱数为x元，每天获利y元，则y=(135－x－100)(100＋4x)，即y=－4(x－5)2＋3600．∵－4＜0，∴当x=5时，每天获得的利润最大．故选A．【练习巩固，综合应用】1．出售某种手工艺品，若每个手工艺品获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x=元时，一天的利润最大．2．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，应如何定价才能使利润最大？3．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，每天可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，每天未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车时，日收益为y元．(日收益=日租金收入－平均每日各项支出)（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元(用含x的代数式表示)；（2）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？参考答案1．4 2．每件65元3．（1）400＋50(20－x )=1 400－50x (0＜x ≤20)．答案：1 400－50x (0＜x ≤20)．（2）根据题意，得y =x (－50x ＋1 400)－4 800=－50x 2＋1 400x －4 800=－50(x －14)2＋5 000．当x =14时，y 有最大值5 000．∴当每日租出14辆车时，租赁公司的日收益最大，最大值为5 000元．（3）要使租赁公司的日收益不盈也不亏，即y =0．也就是－50(x －14)2＋5 000=0．解得x 1=24，x 2=4．∵x =24不合题意，应舍去．∴当每日租出4辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏．设计意图：通过练习，及时反馈学生的学习情况，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，并使学生从中获得成功的体验．六、课堂小结1．一般地，当a ＞0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最小值244ac b a -．当a ＜0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值244ac b a -． 2．解决二次函数最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．七、板书设计22.3 实际问题与二次函数（2）1．用二次函数的知识解决利润问题。

26.3实际问题与二次函数教案(第2课时)

关键词：26.3 实际问题二次函数第3课时教案教学设计26.3实际问题与二次函数（第2课时）教学目标1、知识与技能能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案。

2、过程与方法通过探索“计算机中的二次函数问题”过程，体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型，并获得解决问题的经验。

3、情感态度与价值观在活动与交流中体会小组合作共有利于探究数学知识，能熟练利用二次函数知识求解计算机中磁盘的最大存储量等问题。

教学重点难点1、重点几何关系的分析，体会二次函数这一模型的意义。

2、难点如何建二次函数模型，利用它解决实际问题。

教与学设计（一）创设情境导入新课导语一在周长为一定值（6米）情况下，如何设计窗户，使其面积最大？引入即可。

导语二出示磁盘，介绍磁盘，磁盘的容量怎样设计最大最合理呢？导语三我们可以利用二次函数来解决最大利润问题，了解到二次函数的意义，它还可以解决哪些问题呢？（二）合作交流解读探究[探究]（教材P24探究2）[学生自主探究]阅读教材、思考教材中3个问题，相与交流，探讨答案。

[师生共同解答]（1）磁盘最内磁道的周长为2πm mr，它上面的存储单元的个数不超过20.015r．理由：周长不是弧长O 015 mm ．的整数倍。

(2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3 mm ，所以这张磁盘最多有450.3r- 条蠢越(观察磁道的位置可理解)(3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，设磁盘每面存储量为y ，则45450.30.3r ry --=⨯，即()22π450450.00445y r r r =-<<（）。

当452r =时，225000πy =最大值。

也就是说当45mm 2r =时，磁盘的存储量最大．【点评】此问题实质是一个几何问题，周长与弧长间，圆周的个数与半径之问的关系。

最后才利用二次函数求其最大值问题． (三) 应用迁移巩固提高类型之一几何图形的面积与二次函数例1某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形。

初三五班22.3实际问题与二次函数(第二课时) (1)

➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段, 每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件) 之间的关系如下表：
x（元） 130 150 165 y（件） 70 50 35
若销售量y是销售价格x的一次函数.
(1)则y与x的函数关系式为
4a
2、图中所示的二次函数图像的
解析式为：y 2x2 8x 13
y
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为
（ 55 ）、（ 5 ）。
⑵又若0≤x≤3，该
函数的最大值、最
6
小值分别为
4
（ 55 ）、（ 13）。 2
求函数的最值问题，应注意什么? 0
x
-4 -2
2
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
问题2.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
基础巩固
1.如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂直,AC+BD=10, 当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大？
解：设AC＝x,四边形ABCD面积为y,

22.3 实际问题与二次函数(第二课时)

22．3 实际问题与二次函数第二课时一、教学目标1．经历根据具体问题的数量关系，探索建立二次函数的模型，求解抛物线型的建筑物的解析式的过程，培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．2．经历用待定系数法求二次函数的解析式的过程，进一步培养学生观察、分析、概括和转化的能力以及准确而迅速的运算能力．二、教学重难点重点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的解析式．难点：根据不同条件选择不同的方法求二次函数的解析式，建立函数模型．教学过程（教学案）一、复习引入我们最近都在学习和研究二次函数，让我们一起回忆有关二次函数的知识：(1)二次函数的概念．(2)二次函数的一般式．(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点，对称轴.(4)y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2＋k 之间的关系：(5)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中各系数的作用：(6)建立函数模型解决实际问题的步骤过渡：我们一起来试一试能否应用所学的抛物线知识解决下列问题．二、互动新授1.教学P50“探究2”（1）出示“探究2”（2）师生共同分析题意，得出：调整价格包括涨价和降价两种情况.①师生共同解答涨价后的情况.②学生参考①的过程，自主探究降价后的情况：．【解】设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元．则所得利润y ＝－20x 2＋100x ＋6000，其中，0≤x ≤60.因此，当x ＝2.5时，函数取得最大值，最大值y ＝6125.所以将这种商品的售价降低2.5元时，能使销售利润最大，最大利润是6125元．（3）提出问题：由①②的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生自主探究：应定价65元，使利润最大．2.教学P51“探究3”（1）教师启发学生思考：这是一个抛物线的模型，如何建立平面直角坐标系呢？回忆建立平面直角坐标系的原则是什么？（2）教师分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系(教材图22.3－3)．（3）教师说明：如下图所示，根据已知条件，要求AB 的宽，只要求出CB 的长度．CB 的长度在二次函数的模型中相当于什么？（4）学生讨论后发现：只要求出点B 的横坐标，就可以求出CB 的长度．因为点B 在抛物线上，又由已知条件可知点B 的纵坐标，所以利用抛物线的函数解析式可以进一步算出点B 的横坐标．（5）分析后教师让学生先自己完成解答，教师巡视指导，分析存在的问题，最后再板书解答过程．【解】以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系．(如图)设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2.则FD ＝ED2＝2m ，故点D 的坐标是(2，－2)．可得a ＝－12.即这条抛物线表示的二次函数为y ＝－12x 2. 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为－3.设点B 坐标为(x ，－3)，可得x ＝± 6.因为x ＝－6不符合假设，舍去，所以x ＝ 6.AB ＝2CB ＝26m.则AB －CD ＝(46－4)m.因此，当水面下降1m ，水面宽度增加(46－4)m.（6）教师提示：注意：遇到生活中的具体实例，我们往往要先合理地建立平面直角坐标系后，建立二次函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些数据相对应．这个时候要特别注意模型中数据的符号．比如本题，点的纵坐标就是负数．同学们往往会忽略了，从而引起错误．三、课堂小结五、教学反思本节课内容主要包括二次函数在实际生活中的应用和二次函数与一元二次方程之间的联系，这两个部分都是本章的难点．二次函数与一元二次方程之间的联系是数形结合思想的应用．方程好比一台照相机，记录的是一变化过程的瞬间，函数好比一台摄像机，记录的是整个变化的过程，但用函数思想求极值问题时，还是变化过程的瞬间．二次函数的应用一定要注意在建立平面直角坐标系之后，点的坐标不能写错，二要注意自变量的取值范围．教学中教师应多加强调．导学案一、学法点津建立函数模型时，要合理地建立平面直角坐标系．然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些数据相对应．这个时候要特别注意模型中数据的符号，有时点的坐标可能是负数．二、学点归纳总结1.知识要点总结建立适当的直角坐标系，建立二次函数模型，解决相关问题．2.规律方法总结合理建立直角坐标系：一般说来，把最值点定为坐标原点，得到的函数解析式较为简单．课时作业设计解答题1．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，经市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？2．如右图是抛物线形的拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？3．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y ＝－10x ＋500.(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？1.解：（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]＝800（元）；（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元.由题意，得y ＝（x －20）[105－5（x －25）]＝－5x 2＋330x －4600＝－5（x －33）2＋845当x ＝33时，y 的最大值是845.故当售价定为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元.2.解：以AB 的中点为原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.设函数解析式为y ＝a （x ＋26）（x －26），因为点D （23，3）在抛物线上，可得a ＝－0.25，则y ＝－0.25（x ＋26）（x －26）＝－0.25x 2＋6，顶点为（0，6）.因为6－30.25＝12，所以水过警戒线后12小时淹到拱桥顶.3.解：（1）当x ＝20时，y ＝－10x ＋500＝－10×20＋500＝300，300×（12－10）＝300×2＝600，即政府这个月为他承担的总差价为600元.（2）依题意，得W ＝（x －10）（－10x ＋500）＝－10x 2＋600x －5000＝－10（x －30）2＋4000元.因为a ＝－10＜0，所以当x ＝30时，W 有最大值4000.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元.（3）由题意，得－10x 2＋600x －5000＝3000，解得x 1＝20，x 2＝40.因为a ＝－10＜0，抛物线开口向下，结合图象可知，当20≤x ≤40时，W ≥3000.又因为x ≤25，所以当20≤x ≤25时，W ≥3000.设政府每个月为他承担的总差价为P 元，则P ＝（12－10）×（－10x ＋500）＝－20x ＋1000.因为k ＝－20＜0.所以P 随x 的增大而减小，所以当x ＝25时，P 有最小值500.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.。

22.3实际问题与二次函数(第二课时)教案

22.3实际问题与二次函数第二课时二次函数与最大利润问题一、教学目标知识与技能：通过探究实际问题与二次函数的关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法。

过程与方法：通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想；通过学习和探究“销售利润”问题，渗透转化及分类的数学思想方法。

情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。

二、教学重点及难点教学重点：用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题。

教学难点：通过问题中的数量变化关系列出函数解析式。

三、学情分析我班学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，在此之前也学习了列代数式、列方程解应用题，所以学生具备了一定的建模能力，但我班学生的理解能力较弱，对应用题具有恐惧感，然而应用二次函数的知识解决实际问题需要很强的灵活应用能力，对学生而言建模难度很大。

三、教学过程（一）复习引入 (1)商家进了一批杯子，进货价是10元/个，以a 元/个的价格售出，则商家所获利润为()10a -元。

（2）某种商品的进价是400元，标价为600元，卖出3x 件，为了减少库存，商家采取打八折促销，卖出了(65)x +件，则商家所获利润为(1080400)x +元。

利润问题主要用到的关系式是：利润=售价-进价总利润=单件利润 ⨯ 销售数量(二)创设情境问题（合作交流）童装的进价40元/件，售价60元/件，每星期可卖出300件。

如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。

要想获得7200元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 6000 元；设销售单价上调了x 元，那么每件商品的利润可表示为 (60-40+x ) 元，每周的销售量可表示为(300-10x ) 件，一周的利润可表示为(60-40+x )(300-10x )元，要想获得6090元利润可列方程 (60-40+x)(300-10x)=7200 。

人教版数学九年级22.3 实际问题与二次函数(第2课时)

22.3 实际问题与二次函数（第2课时）学习目标1、会建立二次函数模型解决实际问题（主要利用抛物线的最大值或最小值）；2、能分析实际问题中的数量关系，利用二次函数选择最佳方案，会做二次函数的综合题。

学习过程1、教材“探究2”学习：题目问题“如何定价才能使利润最大？”它不像上面的“问题”那样简单，只考虑二次函数的最值可解决；它涉及两个方面：涨价与降价。

显然，应分两种情况讨论，分别建立二次函数找最值，作比较就可以得出答案。

设每件涨价x元，由题意，每星期就比原来少卖10x件，实际卖出（300-10x）件，销售额是（60+x）(300-10x)元，买进商品需40（300-10x）元。

利润y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)，整理：y=-10x2+100x+6000.(0≤x≤30)。

当x取______时，该函数有最大值，是________；再设每件降价n元，据题意，每星期就比原来多卖20n件，实际卖出（300+20n）件，销售额是(60-n)(300+20n)，买进商品需40(300+20n）元。

利润m=(60-n)(300+20n)-40(300+20n)，整理：m=-20n2+100n+6000. 当n取______时，该函数有最大值，是________；最后，作比较得结论，结论是_____________________________。

2、教材“探究3”学习：虽然是实际问题的应用题，但经过抽象建模（略去实际意义）为二次函数，于是建立图示坐标系，因它的图象是过坐标原点的抛物线，所以可设y=ax2,再由图象经过的点A或B的坐标（-2，-2）或（2，-2）（思考：如何确定的？）用待定系数法就可求得它的解析式；“水面下降1 m”时，水面的纵坐标（点C或D）是_________。

根据解析式就能求出C、D的坐标；这样线段CD的长就可求得是________，同样用A、B的坐标求得AB的长是_______；最后用_____的长减去______的长，就是“水面增加的宽度”，是______m。

3 实际问题与二次函数(第二课时)(教学设计)-九年级数学上册同步备课系列(人教版)

22.3实际问题与二次函数（第二课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3实际问题与二次函数（第二课时），内容包括：利用二次函数解决利润最值问题与拱桥最值．2.内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；(3)确定函数解析式；(4)确定二次函数的最值；(5)检验、解决实际问题。

特别需要注意，解答此类型问题要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。

既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。

在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。

以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．2.目标解析达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x ＝－2b a 时，函数有最小(大)值244ac b a－．达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．四、教学过程设计（一）复习巩固[问题]简述用二次函数解决实际问题的一般步骤？师生活动：教师提出问题，学生回答．【设计意图】复习回顾用二次函数解决实际问题的一般步骤，为本节课学习利用二次函数解决利润最值问题与拱桥问题进行铺垫．（二）探究新知【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。

人教版数学九年级上册实际问题与二次函数(第2课时)

当51≤x≤59时，Q≥1218.
Q 1250 1218
因此若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.
0
51 55 59
x
探究新知
（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款
不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是
多少元？
解：由题意得
51≤x≤59,
此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
x
2
100 (10)
5
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
探究新知
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？降价销售
22.3 实际问题与二次函数（第2课时）
导入新知在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际
问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
【思考】如果你去买商品，你会选哪一家店呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
素养目标
2. 弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 1. 能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
由例3可知：
若40≤x≤50，则当x=50时，Q最大= 1200, 若50≤x≤70，则当x=55时，Q最大= 1250. ∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.

223 实际问题与二次函数第2课时课件人教版数学九年级上册

第 19 页
(3)W－150＝－10x2＋1 000x－21 000－150＝3 600，－10(x－50)2＝－250，x－50＝±5， x1＝55，x2＝45，
第 20 页
如图所示，由图象，得当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3 600元．
第 21 页
谢谢
第 22 页
第 15 页
解：(1)y＝－2x2＋60x＋2 000.
(2)依题意得－2x2＋60x＋2 000＝2 250，整理得x2－30x＋125＝0，解得x1＝25，x2＝5，即第5天或第25天时，日销售利润为2 250元．
第 16 页
(3)由y＝－2x2＋60x＋2 000 ＝－2(x－15)2＋2 450，即当x＝15时，日销售利润有最大值为2 450元，此时，售价应为15＋40＝55(元)．答：当售价为55元时，日销售利润最大，最大利润为2 450元．
第 17 页
7．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y (单位：件)与销售单价x(单位：元)之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主决定从每天的销售利润中捐出150元给养老院，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3 600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．
第7页
2．(贺州中考)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以
每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖商品的售价应为 25
元．
第8页
3．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)满足一次函数关系，且当x ＝15时，y＝50；当x＝17时，y＝30. (1)y与x之间的函数关系式为 y＝－10x＋200 ； (2)这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？

数学人教九年级上册(2014年新编)22-3 实际问题与二次函数(第二课时)(教学设计)

22.3 实际问题与二次函数(第2课时：销售问题与拱桥问题)教学过程师：如何求出y=ax2+bx+c(a≠0)的最值？生：师：根据提示，解决上述问题。

生1：1）涨价和降价生2：2）利润=每件产品利润×销售数量生3：3）①设每件涨价x元，则此时每星期少卖10x件，实际卖出300-10x（0＜x≤30）件，此时每件产品的销售价为60+x元，每周产品的销售额（60+x）(300-10x)元，此时每周产品的成本40*(300-10x)元，因此周利润合计为:y=（60+x）(300-10x)-40*(300-10x)=-10(x-5)2+6250师：根据刚才同学的回答内容可知，当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。

②设每件降价x元，则此时每星期多卖20x件，实际卖出300+20x（0≤x≤20）件，此时每件产品的销售价为60-x元，每周产品的销售额（60-x）(300+20x)元，此时每周产品的成本40*(300+20x)元，因此周利润合计为:y=（60-x）(300+20x)-40*(300+20x)=-20(x-2.5)2+6150师：根据刚才同学的回答内容可知，当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元。

师：综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元。

【师生互动】教师通过多媒体引导学生分情况讨论涨价和降价后的成本和销量情况，通过利润公式，列二次函数，求得最大值。

师：下面我们通过配套例题加深理解。

[多媒体展示]例题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元．1）设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；3）问如何定价才能使利润最大？生：解：1）y1=（60+x-40）（300-8x） =-8x2+140x+6000 = -8（x-8.75）2 + 6612.5 ，2）y2=（60-x-40）（300+12x）=-12x2-60x+6000 =-12（x+2.5）2+ 6075 ，3）当售价定为68.75时，利润才能达到最大值6612.5．[多媒体展示]例题二某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：已知日销售量y是售价x的一次函数．1）直接写出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；2）要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时的日销售利润是多少？3）若日销售利润不低于125元，请直接写出售价的取值范围．生：[多媒体展示]例题三某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．1）求出y与x的函数关系式；2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？生：【师生互动】先让学生做题，然后教师通过多媒体展示结果和解题思路过程，加深理解。

人教版九年级数学上册 (实际问题与二次函数)二次函数教育教学课件(第2课时)

2
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣12a2．
2.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为 xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2． (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值．
y 1 x(10 x) 1 ( x 5)2 25 .
2
2
2
当x＝5时, y有最大值 25 .
2
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
4.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
解：设BC=xm，
∴S=
1 2
x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250，
（3）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
解：设AD=xm，
∴S=
1 2
x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大；当x=a时，S的最大值为50a﹣1 a2，
积为y，则DG=1-x.
y
12
4
1 2
x(1
x)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x
12时,
y有最小值
1 2
.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.

人教版九年级数学上册 (实际问题与二次函数)二次函数教学课件(第2课时)

【内化导行】
课堂小结：（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？本节课还有
哪些疑惑？说一说！（2）知识网络：
【内化导行】
布置作业：教材第51页习题22.3第2，8题
第二十二章二次函数
实际问题与二次函数
第3课时
【情感预热】
问题1 （1）欣赏一组石拱桥的图片（如图22－3－26），观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中，桥拱的形状和抛物线像吗？有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗？
[解]设单价提高x元，利润为y元．根据题意，列函数解析式为 y＝(30＋x－20)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000(0≤x≤20)．所以当x＝5时，y有最大值为4500元．
【合作互动】
问题2 例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元．市场调查发现，若每箱以45元的价格销售，则平均每天销售105箱；若每箱以50元的价格销售，则平均每天销售90箱，假定每天的销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间满足一次函数关系．
如图.根据图象的特殊性，设抛物线的解析式为y＝ax2，
由抛物线经过点A（－2，－2），可得a＝－ 1
2
所以抛物线的解析式为y＝－ 1
2
x2.
把y＝－3代入函数解析式，得x＝± 6 ，
所以CD－AB＝（2 6 －4）米，
所以水面宽度将增加（2 6 －4）米.
【合作互动】
问题2 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？建立平面直角坐标系利用二次函数解决实际问题一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②根据题意找出题目中的点的坐标； ③求出抛物线的解析式； ④直接利用图象解决实际问题.