复变函数与积分变换第四章习题解答
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6 6 10
2!
3!
，
3!
5!
故ez sin z2 =(l+ z2 十号+f+.. J(z2一 号＋呈命+..-) = z2 + z4 +f +...,I zk +oo,
z z 因 e =1+ z+ — -+ —+ ... ,I z I< +oo,
2! 3!
2
3
z =-z-z -z ____ =-L产 I zl<l, —
=
＝早－（于)2 f （）
11=]
一I
干是收敛半径 R=2 。 (2)因
(-1t z-1 "' "
2
+ ... + ( -1 y,-1
(早厂
lz-11<2
l
及
飞(z�2 一言） = z�2 一士 2 = = 1-'� 厂; J- J [ =』 z�2 4 +(:-2i ± + � 2 �
(z+ 1Xz+2)
玉
十
a 1一 幕级数I:nc11z 1 ）的收敛半径为R =1/lim 一 /l�CI) a ll 故以上三个幕级数有相同的收敛半径 。
=
lim
I I�
。
" =1/ I p I ; (n + l)c1 1+L
nc
11 9 设级数fc 收敛，而 忙 I发散，证明fc11z 的收敛半径力l。 " 11=0 11=0 n= O
2 I 十
占= 3 +(:-2) 飞 i+;_z 叶 [1-';气［了）
故平式＝礼－呈沪 =
11 - ) ( -1)";�..-2) -½ta ( 1 ' ¾t
'-· J
I z-21<4
lz-21<3
-2)'--] 飞 (1-于罕－）
飞-
2)"
(3)因卢＝－且）＇及;=故
1
音 1)"(合告）(z-2)",
一II
2) a" =
3) 由于 a" 的实部{ (-1) "} 发散 ， 故 a 发散
4)
(
2)
1
归e)' 又！吧勹勹
2
一i0
II
2
II
=0, 故 a, . 收敛 ， 四皿 a, . =0
由于 a,,=
e 一II冗i /2
5)
故 an 收敛 ， lima11
a11
= - e一ntri/2 = -COS —-1-sin — ，
CJ)
解
土 1 (5) chz; ( 6) e z sinz 2 ; (7) ez-1; (8) sin
l +z
I
3
,
· (2)
(1 +习
; (3) cosz 2 ; (4) sh z;
1 —
( 1)由�== 1-z +z 2 -z 3+·..,I z I < 1, 故 1+z
1
1-z
而收敛半径R=l; (2)因 ——
) + z')
(, + z'r'
-2z
Iz kl,
故
< I, Iz I
4 6 z2 £ (3)因cosz=1-— + -土+... ,lzl < 心， 故 2! 4! 6!
cos z 2 =1-—+— - —+··· 2! 4! 6!
,7, 4
z8
z]2
4
lzk+oo 而其收敛半径 R=+oo;
(4) 因 sh z=
故
2 3 3 ) + ... =z+z +-z3 +... , I z I< l, 故 sin 一一= (z+z +z +...)-- (z+z2 +z +... 1- z 3! 6
2 5
而收敛半径 R=l。
故
2
(6) 因 ez
2
=1 +z2 十三+£+... ,lzk 如 sinz2 =z2 一三十 三 -+... ,I z I< +oo,
－， 故
2
n
上 发散 2 n=I n
cos — "°srn — 2 与工 2 为收敛的交错项实级数， n 11=1 n
n冗 n冗
，
,i=l I:
ro
(6+5i)'1
gn
4)
00 cosin I: 1 。 11=2 2
1
8 i 寸l ） l
仁
n
． ＇
原级数条件收敛；
2)与 1)采用同样的方法，井利用— — 之—(n 2:: 2) ; 3)因
2
3
证明
z l=l处发散， 故I:c11z"的收敛半径 的收敛半 径R �l; 而区忙I发散知I:lc,,z"I在I 11=0 11=0 11 =0 R �l 。 所以Ic,, z"的收敛半径为l。 11=0
由级数Len收敛， 知幕级数LC11 Z 在z = l处收敛， 由Abel定理知I:c11z 11=0 11=0 11 =0
(6
�
:i)"
i) =(亨］ ，而芦厂卢 J收敛，故 芦 <�: " 绝对收 敛
＇
In n
1
n
1
4)因 cos in= cbn,
( 1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 ；
4. 下列说法是否正确？为什么？
而lim—-=1=0,
II�")
chn
2"
故
cosm 2 — " 发散。 11=2 2
00
(2)每一个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
en
I土(p为正整数）； n
n=I
II
p
c2)
oo (n!)2 L ＂ z
,1=)
II
;
-1)";
o) Lo+ir z";
n=O
解
(4) Ie 飞 z'l ; 11=1
00
,ft
(1) R= 1/lim 11-+00
虾门=lim 心-;;=l; 11-+00
2
00 (5) �ch
尺）位
(6)
豆勹" .
ez -e气
2
3
z z (5) ch z = I+ — + — + ... ,lzl<+cx斗
2! 4!
4
z +— z +... ,lzk 知， sh z =z+—
3
') 3 7 73 7 � � z · +— +...,lzk+oo, + ... ,lzk 知， e-z=l-z+ —－二 ,ez =1+z+ —
n=O
数。
解 R
z=3收敛，矛盾。
汹 -21 =2'
CO
00 不 能。因如I:c11 (z-2)" 在z = O收 敛 ， 则 由Abe l 定理其 收 敛 半 径 11=0 而13-2 1 = I< 2即z = 3在其收敛圆口-21<2内，故级数 11=0
Le,, (z-2f 在
6. 求下列幕级数的收敛半径：
z -1
2 3
11=0
，
故正=1- 区 z"+1 +
11=0
上
。
心 z" 守
1
00
1=0
2!
_ 11=0
(L Z
00
11+l
)
3
3!
+ ...=1 _ z _三＿三+···,I zkl,
2! 3!
2
3
(8) 因 sin — =sin(1 + __!:__) =sin1cos__!:__ +cos1 sin
Zo
。 =2
I 一= Z z 2 3 及一 I- + -z +···,I Z I<) 。故 I+z
1 z-1 = 一 = z -1 I (z 1) 言 (z-1 +2) 了 l + 已 2
(6) arctan z, z =0
= 1+1 .
。
吕＝旱 [1- 子十 (T丁-···+(- 1t'(罕）'+
.
2. 证明：
11---+0C>
1 n
=cos — - isin — ， ，、 实部 、 虚部数列均发散 ， 故a" 发散 2 2
荎
n冗
n冗
"
=0
1 n
n冗 2
1 n
n冗 2
知 lim-cos一- = 0,lim-sin- = 0,
1 ,Hoo n
n冗 2
I ,Hoo n
n冗 2
]jma /! =
n�oo "°
II 为
11 因IRec11I s lc11 I, 从而IRe c11llzl sl c11 II z 1 , 故由正项级数的比较判别法LIRec11 II寸也 11 0 00 收敛即I:(Rec,,)z "在lzl<R内绝对收敛，干是其收敛半径2:: R。 11=0
=
8. 证明：如果 lim 2兰 存在 (=1=00), 下列三个幕级数有相同的收敛半径 n---+r:t:> C ＂
1 1-z
z
z — =z+z +z +... = Iz"+1,lzl<J, 1- z
2 3
n动
1-z
I-z
二 1-z
sin
卢= sin {1- 扛- z +...)+cos{z+z ） = sin I+ (cosl)z+(cosl- 卢 sin 1} +(¾cosl-sinl} +···,Iz I< l,
C
区 c1 z
1
11
;
L_s_Z n+1
tt+I
;
Lnc11 z "
一I
o
证明
设 lim S兰 =p, 则幕级数Ic,,z" 的收敛半径为1/ I pl ;
n->a:i C
C a c,, /(n + 1) n +I 斗 =lim =1/lpl; 幕级数区—!!...._z 的收敛半径为 R =1/lim ___.!! 1 II 1400 c I /(n+2) oo a,, n+l 11
1
—== 1-z 3 +z 6 -z 9 + ... +(-1t产＋ 3 1 +z
十
<l, ， Iz I
+z
1
= 1- z + z2 -z 3+.
又因
(1
( 1 1
1 +z 2
1
... +(-1)"产＋ =l-z2 +z-1 +
I=
... , I zkl, 1)"z"+ (，
而R= 1:
1 忙司 1 ' +习＝一百 =l-2z'+3z'-4z'+ ... ,
解 (1)不对。如Iz"在收敛圆lzl < 1内收敛， 但在收敛圆周日=l上井不收敛； (3)不对。如八 z) 三在全平面上连续， 但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 5幕级数LC11 (z-2)" 能否在z=0收敛而在z=3发散？
11=0
(3) 每— 个在z。连续的函数—定可以在z。的邻域内展开成 Taylor 级数。 (2)不对。幕级数的和函数在收敛圆内为解析函数， 不能有奇点；
11=1 ln1n
1 ” a11+1 a n =0 = lim n =lim (2) R=1/lim ; 11 ---'>«> 1---)00 1 II 00 n+ 1 a＂ all+ [
—
II
—
11
(1+ — )
千
(3) R= 1/lim /1---)00
(4) R =ll �
扣厂 lim1/ 11 + i I = 1/忒 ； ---'>
00 = II
恩妇Fra Baidu bibliotek=l;
CS) R=l/
曰勹 =II 酝 ch
1
(6) R=ll�
11
皿聂l =lim I ln in I= oo ; 1 �00
:I 匠)I 三叶三
11
=I;
7 如果I:c11 z 的收敛半径为R, 证明级数I:(Rec11 )才的收敛半径�R。 11=0 1 1=0 证明 对干圆lzl<R内的任意 — 点Z, 由已知Ic11z 绝对收敛即fie、 ,,llzl"收敛，又 11=0 11=0
1. 下列数列{a }是否收敛？如果收敛 ， 求出它们的极限： "
I)
习题四解答
- 11
a,, =
汀
芒，
2)
1 一11 i aII=-e /2
n
解
1)
a,, =(
气），
3)
a,. = (-!)"+
i 4) 二，
,, a,, =,- ,,,,,
5)
aII =- 1 llm 一
． 儿 �。
l+ ni 1 - n2 2n 2n 1-n2 + i, 又lim = -1,lim = =0, 故 a” 收敛 ， a11= 11400 1 + n2 114001 + n2 1 - ni 1 + n2 1 + n2 1+
i'
00
0, 1，
3. 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
2)
不存在 ，
lakl, 囡>l, a=l ， 囡=l,a
;
.
=1=
1.
I 上－；
11=2 ln n
•fl
3)
解 所以
C:,J
1)
• fl
I� 收敛，但 － n n=I n
oo n兀. n冗 — — " +isin , 由 i =cos 2 2 11=1 • 00·11 1 1 II,
11 11
围的闭区域上绝对收敛。 证明
证明它在收敛圆所 10. 如果级数汇 C z"在它的收敛圆的圆周上 一点z处绝对收敛， n=O 由Abel定理知LC牙在其收敛圆内绝对收敛， 再证其在圆周上绝对收敛即 11=0
<J:> 11 oo ro
可。在圆周上任取 —点17' 区IC,,T/ I =区拉，z;I, 知I:c,,, TJ"绝对收敛， 故结论成立。 11=0 11 =0 11=0 1 1. 把下列各函数展开成z的幕级数，井指出它们的收敛半径。
3 2 十卢＋ 2 3
,f
12. 求下列各函数在指定点z。处的 Taylor 展开式，井指出它们的收敛半径：
5
1 (3) 下， z z
解 (5)
z-1 (1)—, z z+l
。 =l
(2) (4)
(1) 因
。 =-1 tan z, z。 ＝ 口 4
z , z (z+1X z+2 ) 1 , 4-3z
2!
3!
2!
3!
3!
5!
2
4
而收敛半径 R=扛'fJ •
而收敛半径 R=+oo;
(7)
z
而收敛半径 R=l 。
cos 土 ==1- 上 (z+z2 + z3 + .. 一上 (z+z2 +z3 + ...r +... =1-2. z2 - z 3 +...' I zI< 1 I 1-z 2 4! 2
= tat.�!:'(z-2)" -t (;,,2 (z -2)'
2!
3!
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2
3
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一I
干是收敛半径 R=2 。 (2)因
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2
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十
a 1一 幕级数I:nc11z 1 ）的收敛半径为R =1/lim 一 /l�CI) a ll 故以上三个幕级数有相同的收敛半径 。
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。
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11 9 设级数fc 收敛，而 忙 I发散，证明fc11z 的收敛半径力l。 " 11=0 11=0 n= O
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(3)因卢＝－且）＇及;=故
1
音 1)"(合告）(z-2)",
一II
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3) 由于 a" 的实部{ (-1) "} 发散 ， 故 a 发散
4)
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2)
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由于 a,,=
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故 an 收敛 ， lima11
a11
= - e一ntri/2 = -COS —-1-sin — ，
CJ)
解
土 1 (5) chz; ( 6) e z sinz 2 ; (7) ez-1; (8) sin
l +z
I
3
,
· (2)
(1 +习
; (3) cosz 2 ; (4) sh z;
1 —
( 1)由�== 1-z +z 2 -z 3+·..,I z I < 1, 故 1+z
1
1-z
而收敛半径R=l; (2)因 ——
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故
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4 6 z2 £ (3)因cosz=1-— + -土+... ,lzl < 心， 故 2! 4! 6!
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4
lzk+oo 而其收敛半径 R=+oo;
(4) 因 sh z=
故
2 3 3 ) + ... =z+z +-z3 +... , I z I< l, 故 sin 一一= (z+z +z +...)-- (z+z2 +z +... 1- z 3! 6
2 5
而收敛半径 R=l。
故
2
(6) 因 ez
2
=1 +z2 十三+£+... ,lzk 如 sinz2 =z2 一三十 三 -+... ,I z I< +oo,
－， 故
2
n
上 发散 2 n=I n
cos — "°srn — 2 与工 2 为收敛的交错项实级数， n 11=1 n
n冗 n冗
，
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00 cosin I: 1 。 11=2 2
1
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n
． ＇
原级数条件收敛；
2)与 1)采用同样的方法，井利用— — 之—(n 2:: 2) ; 3)因
2
3
证明
z l=l处发散， 故I:c11z"的收敛半径 的收敛半 径R �l; 而区忙I发散知I:lc,,z"I在I 11=0 11=0 11 =0 R �l 。 所以Ic,, z"的收敛半径为l。 11=0
由级数Len收敛， 知幕级数LC11 Z 在z = l处收敛， 由Abel定理知I:c11z 11=0 11=0 11 =0
(6
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:i)"
i) =(亨］ ，而芦厂卢 J收敛，故 芦 <�: " 绝对收 敛
＇
In n
1
n
1
4)因 cos in= cbn,
( 1)每一个幕级数在它的收敛圆周上处处收敛 ；
4. 下列说法是否正确？为什么？
而lim—-=1=0,
II�")
chn
2"
故
cosm 2 — " 发散。 11=2 2
00
(2)每一个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
en
I土(p为正整数）； n
n=I
II
p
c2)
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,1=)
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o) Lo+ir z";
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解
(4) Ie 飞 z'l ; 11=1
00
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2
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尺）位
(6)
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2
3
z z (5) ch z = I+ — + — + ... ,lzl<+cx斗
2! 4!
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z +— z +... ,lzk 知， sh z =z+—
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n=O
数。
解 R
z=3收敛，矛盾。
汹 -21 =2'
CO
00 不 能。因如I:c11 (z-2)" 在z = O收 敛 ， 则 由Abe l 定理其 收 敛 半 径 11=0 而13-2 1 = I< 2即z = 3在其收敛圆口-21<2内，故级数 11=0
Le,, (z-2f 在
6. 求下列幕级数的收敛半径：
z -1
2 3
11=0
，
故正=1- 区 z"+1 +
11=0
上
。
心 z" 守
1
00
1=0
2!
_ 11=0
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00
11+l
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3
3!
+ ...=1 _ z _三＿三+···,I zkl,
2! 3!
2
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(8) 因 sin — =sin(1 + __!:__) =sin1cos__!:__ +cos1 sin
Zo
。 =2
I 一= Z z 2 3 及一 I- + -z +···,I Z I<) 。故 I+z
1 z-1 = 一 = z -1 I (z 1) 言 (z-1 +2) 了 l + 已 2
(6) arctan z, z =0
= 1+1 .
。
吕＝旱 [1- 子十 (T丁-···+(- 1t'(罕）'+
.
2. 证明：
11---+0C>
1 n
=cos — - isin — ， ，、 实部 、 虚部数列均发散 ， 故a" 发散 2 2
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n冗
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知 lim-cos一- = 0,lim-sin- = 0,
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=
8. 证明：如果 lim 2兰 存在 (=1=00), 下列三个幕级数有相同的收敛半径 n---+r:t:> C ＂
1 1-z
z
z — =z+z +z +... = Iz"+1,lzl<J, 1- z
2 3
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1-z
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二 1-z
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卢= sin {1- 扛- z +...)+cos{z+z ） = sin I+ (cosl)z+(cosl- 卢 sin 1} +(¾cosl-sinl} +···,Iz I< l,
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1
11
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一I
o
证明
设 lim S兰 =p, 则幕级数Ic,,z" 的收敛半径为1/ I pl ;
n->a:i C
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而R= 1:
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解 (1)不对。如Iz"在收敛圆lzl < 1内收敛， 但在收敛圆周日=l上井不收敛； (3)不对。如八 z) 三在全平面上连续， 但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 5幕级数LC11 (z-2)" 能否在z=0收敛而在z=3发散？
11=0
(3) 每— 个在z。连续的函数—定可以在z。的邻域内展开成 Taylor 级数。 (2)不对。幕级数的和函数在收敛圆内为解析函数， 不能有奇点；
11=1 ln1n
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曰勹 =II 酝 ch
1
(6) R=ll�
11
皿聂l =lim I ln in I= oo ; 1 �00
:I 匠)I 三叶三
11
=I;
7 如果I:c11 z 的收敛半径为R, 证明级数I:(Rec11 )才的收敛半径�R。 11=0 1 1=0 证明 对干圆lzl<R内的任意 — 点Z, 由已知Ic11z 绝对收敛即fie、 ,,llzl"收敛，又 11=0 11=0
1. 下列数列{a }是否收敛？如果收敛 ， 求出它们的极限： "
I)
习题四解答
- 11
a,, =
汀
芒，
2)
1 一11 i aII=-e /2
n
解
1)
a,, =(
气），
3)
a,. = (-!)"+
i 4) 二，
,, a,, =,- ,,,,,
5)
aII =- 1 llm 一
． 儿 �。
l+ ni 1 - n2 2n 2n 1-n2 + i, 又lim = -1,lim = =0, 故 a” 收敛 ， a11= 11400 1 + n2 114001 + n2 1 - ni 1 + n2 1 + n2 1+
i'
00
0, 1，
3. 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
2)
不存在 ，
lakl, 囡>l, a=l ， 囡=l,a
;
.
=1=
1.
I 上－；
11=2 ln n
•fl
3)
解 所以
C:,J
1)
• fl
I� 收敛，但 － n n=I n
oo n兀. n冗 — — " +isin , 由 i =cos 2 2 11=1 • 00·11 1 1 II,
11 11
围的闭区域上绝对收敛。 证明
证明它在收敛圆所 10. 如果级数汇 C z"在它的收敛圆的圆周上 一点z处绝对收敛， n=O 由Abel定理知LC牙在其收敛圆内绝对收敛， 再证其在圆周上绝对收敛即 11=0
<J:> 11 oo ro
可。在圆周上任取 —点17' 区IC,,T/ I =区拉，z;I, 知I:c,,, TJ"绝对收敛， 故结论成立。 11=0 11 =0 11=0 1 1. 把下列各函数展开成z的幕级数，井指出它们的收敛半径。
3 2 十卢＋ 2 3
,f
12. 求下列各函数在指定点z。处的 Taylor 展开式，井指出它们的收敛半径：
5
1 (3) 下， z z
解 (5)
z-1 (1)—, z z+l
。 =l
(2) (4)
(1) 因
。 =-1 tan z, z。 ＝ 口 4
z , z (z+1X z+2 ) 1 , 4-3z
2!
3!
2!
3!
3!
5!
2
4
而收敛半径 R=扛'fJ •
而收敛半径 R=+oo;
(7)
z
而收敛半径 R=l 。
cos 土 ==1- 上 (z+z2 + z3 + .. 一上 (z+z2 +z3 + ...r +... =1-2. z2 - z 3 +...' I zI< 1 I 1-z 2 4! 2
= tat.�!:'(z-2)" -t (;,,2 (z -2)'