(完整版)高数1全套公式

(10) (csc x) (csc x) cot x
(11) (arcsin x)
1 1 x2
(12) (arccosx)
1 1 x2
1 (13) (arctan x) 1 x2
(14) (arccot x)
1 1 x2
基本初等函数的微分公式 (1)、 dc 0 ( c 为常数 )； (2)、 d( x ) x 1dx ( 为任意常数 )；
单增； 0 时在 R
单减．
y 0．
过点 0,1 ．
a 1单增．
0 a 1单减．
am an
am
n
,
a a
m n
am n, am n
am n
对 y log a x
数 a0
R
函 a1 数
y
y=log ax
a>1
O
(1,0)
x
0<a<1 y=log ax
过点 1,0 ．
a 1单增． 0 a 1单减． log a a 1,log a 1 0,
名称 正方体 长方体
圆柱
a－边长
符号
a－长 b－宽 c－高
r－底半径 h－高 C —底面周长 S 底— 底面积
S 侧— 侧面积
S 表— 表面积
立方图形
表面积 S 和体积 V S ＝ 6a2 V ＝ a3 S ＝ 2(ab+ac+bc) V ＝ abc
C＝2πｒ S 底＝πｒ2 S 侧＝Ch S 表＝Ch+2S 底= Ch+2πｒ2 V＝S 底 h ＝πｒ2h
xR x
四、等差数列和等比数列
1. 等差数列
通项公式： an a1 n 1 d
前 n项和公式 Sn 2. 等比数列 GP
n a1 an 2
或 Sn
nn 1
na1
d
2
通项公式 an 前 n项和公式 .
a1 q n 1
an 0， q 0
a1 1 q n
Sn
1q
q1
na1
q1
五、常用几何公式
平面图形
名称 正方形
记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割
即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）
二、一元二次函数、方程和不等式
b 2 4ac
0
0
一元二次函数 y ax 2 bx c(a＞0)
一元二次方程 ax 2 bx c 0
1。
45 2
1
60
2 1
45
30
1 3 诱导公式：
3
函数
角A
sin cos tg ctg
-α 90 °- α 90 °+ α 180 °-α 180 °+α 270 °-α 270 °+α 360 °-α 360 °+α
-sin α cos α -tg α -ctg α cos α sin α ctg α tg α cos α -sin α -ctg α -tg α sin α -cos α -tg α -ctg α -sin α -cos α tg α ctg α -cos α -sin α ctg α tg α -cos α sin α -ctg α -tg α -sin α cos α -tg α -ctg α sin α cos α tg α ctg α
x1
x2
x1.2
有二互异实根 b b 2 4ac
x1, 2 2a
有二相等实根 (有一根 ) b
x1,2 2a
0 无实根
一
元
二
ax 2 bx c＞0
次
不
等
式
ax 2 bx c＜0
( a＞ 0)
(x1＜x2 ) x＜x1或 x＞ x2
x1 x x2
b x
2a x
三、 因式分解与乘法公式
(1)a2 b2 (a b)( a b) (2) a2 2ab b2 (a b) 2 (3)a2 2ab b2 ( a b)2 (4) a3 b3 ( a b)( a2 ab b2) (5)a3 b3 ( a b)( a2 ab b2) (6) a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3 (7) a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)3 (8)a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (a b c)2 (9) an bn ( a b)( an 1 a n 2b L ab n 2 b n 1),( n 2)
R
函
数
余
弦 y cosx
R
函
数
正
切
y tan x x k 2
函
kZ
数
余 切 y cot x
函
数
x k, kZ
反
正
弦 y arcsin x
1,1
函
数
y 1
- /2
O
/2
-1
3 /2
2x
y 1
- /2 O
/2
-1
3 /2 2 x
奇函数． T 2． y 1．
偶函数． T 2． y 1．
y
- /2
O
/2
奇函数．
T．
x
在每个周期
内单增
y
-
O
奇函数．
T．
x
在每个周期
内单减．
y
/2
-1
o
1
x
- /2
奇函数． 单增．
y．
2
2
反
余
1,1
弦 y arccosx
函
数
反
正
切 y arctanx
R
函
数
y
/2
-1
o1
x
单减． 0y ．
y
/2
o
x
- /2
奇函数． 单增．
y．
2
2
反
余
切 y arccot x
R
函
数
y
单减．
/2
0y ．
a 和 b－上、下底长 h－高 m －中位线长
r－半径 d－直径
扇形 圆环
椭圆
r— 扇形半径 a— 圆心角度数
R －外圆半径 r－内圆半径 D －外圆直径 d－内圆直径
D －长轴 d－短轴
C＝ 2(a+b) S ＝ab
S＝ah/2 ＝ab/2 ·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA)
6
型 0
求对数
0
1
7 1 型 通过 lim 1 x x e 或求对数来计算 . x0
二、分段函数： 分段点的极限用左 , 右极限的定义来求解 .
基本初等函数的导数公式
(1) (C) 0 ， C 是常数
(2) (x )
x1
(3) (a x ) ax ln a ，特别地，当 a e 时，（ ex） ex
(3)、 d( ax ) a x ln adx ，特别地，当 a e时， d (ex ) exdx ；
(4)、 d(log a x)
1 dx ，特别地，当 a e 时， d (ln x) 1 dx ；
1.2
y=x1/3
1
0.8
y=x -1
来自百度文库
0.6
0.4
y=x -2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
4.5
4
y=ax
3.5
y y=ax
3
2.5
2
0<a<1
1.5
1
(0,1)
0.5
0
o
x
-0.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
过点 (1，1); 0 时在 R
o
x
极限的计算方法 一、初等函数： 1.lim C C(C是常值函数）
2.若 f x M（即 f x 是有界量），lim （0 即 是无穷小量）， lim f x
0,
特别 : f x C lim C 0
fx
3.若 f x M（即 f x 是有界量） lim
0,
特别 : f x C C 0
lim C 0
a— 边长
符号
C＝ 4a S ＝a 2
周长 C 和面积 S
长方形
a 和 b－边长
三角形
平行四边形 菱形 梯形 圆
a,b,c －三边长 h－ a 边上的高 s－周长的一半 A,B,C －内角 其中 s＝(a+b+c)/2
a,b －边长 h－ a 边的高 α－两边夹角
a－边长 α－夹角 D －长对角线长 d－短对角线长
(4) (log ax)
1 ， 特别地，当 a e 时，（ln x） 1
x ln a
x
(5) (sin x) cosx
(6) (cos x) sin x
(7) (tan x)
1 cos2 x
sec2 x
(8) (cot x)
1
2
sin x
csc2 x
(9) (sec x) (sec x) tan x
一、三角函数
1．公式 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2( α )+cos^2( α );=t1an^2( α )+1=sec^2( α; c）ot^2( α )+1=csc^2( α） ·商的关系： tan α =sin α /cos αcot α =cos α /sin α ·倒数关系： tan α· cot α; =1sin α· csc α; =1cos α· sec α =1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos( α +β )=cos α· c-soisnβα· sin β cos( α-β )=cos α· cos β +sin α· sin β sin( α±β )=sin α· cos β± cos α· sin β tan( α +β )=(tan α +tan β-ta)n/(1α· tan β） tan( α-β )=(tan -αtan β )/(1+tan α· tan β） 倍角公式： sin(2 α )=2sin α· cos α cos(2 α )=cos^2( α-s）in^2( α )=2cos^2( -α1=）1- 2sin^2( α） tan(2 α )=2tan α-/t[a1n^2( α )] ·半角公式： sin^2( α /2)(=1- cos α )/2 cos^2( α /2)=(1+cos α )/2 tan^2( α /2)=(1-cos α )/(1+cos α） tan( α /2)=sin α /(1+cos α-c)o=s(1α )/sin α ·万能公式： sin α =2tan( α /2)/[1+tan^2( α /2)] cos α =[1-tan^2( α /2)]/[1+tan^2( α /2)] tan α =2tan( α /2)/-[t1an^2( α /2)] ·积化和差公式： sin α· cos β =(1/2)[sin( α +β-)β+s)i]n( α cos α· sin β =(1/2)[sin( - sαin(+βα- β）)] cos α· cos β =(1/2)[cos( α +β )+-cβos)]( α sin α· sin-β(1/＝2)[cos( α +-βco）s( α-β )] ·和差化积公式： sin α +sin β =2sin[( α +β )/2]c-oβs[()/2] α sin α-sin β =2cos[( α +β )/2]sin-[β( )/2α] cos α +cos β =2cos[( α +β )/2]cos-[β( )/2α] cos α-cos β＝-2sin[( α +β )/2]sin[-(β )/2α]
2．特殊角的三角函数值
f( ) cos sin tan cot
0 (0 )
1 0 0 不存在
6
(30 ) 3/ 2 1/ 2
1/ 3 3
4
( 45 ) 2 /2 2 /2
1 1
3
( 60 ) 1/ 2 3/ 2
3 1/ 3
2
( 90 )
0 1 不存在 0
只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值
圆锥 球
r－底半径 h－高
r－半径 d－直径
V ＝πｒ2h/3
V ＝ 4/3 πｒ3 ＝ πｄ3/6
S= 4πｒ2 ＝ πｄ2
基本初等函数
名
表达式
称
常
数
yC
函
数
幂
yx
函
数
指
y ax
数 a0 函 a1 数
定义域
图形
特性
y C
R
随 而异， 但在 R 上 均有定义
R
0
x
1.8
1.6
y=x 3 y=x
1.4
S ＝ah ＝ absin α
S ＝Dd/2 ＝ a2 sin α
S ＝(a+b)h/2 ＝ mh
C＝ πｄ＝ 2πｒ S ＝πｒ2 ＝ πｄ2 /4 C＝ 2r ＋ 2π r × (a/360) S ＝πｒ2×(a/360) S ＝π (R2 -r2 ) ＝ π (D2-d 2)/4
S ＝π Dd/4
M,N 0
log a MN log a M log a N ,
M log a
N log a M p
log a M log a N , P loga M ,
log a b log c b c 0, 1 , log c a
x
log a a x( x 0) aloga x x( x 0)
正
弦
y sin x
gx
2型
A.忽略掉分子 , 分母中可以忽略掉的较低阶的无穷大 , 保留最高阶的无穷大
B.分子 , 分母同除以最高阶无穷大后 , 再化简计算 .
C.洛必达法则 .
3
型
通过分式通分或无理函 数有理化 , 转化为 " 0 " 型或 " " 型 0
, 再化简计算
1 4 0 转化为 0
00 10
5 00 型 求对数 0
C 4.lim
0
C0 C0
5.未定式
1 0型 0
A.分子 , 分母含有相同的零因式 , 消去零因式 B.等价无穷小替换 (常用 sin x ~ x, ex 1 ~ x,ln x
1 ~ x)
fx
fx
C.洛必达法则 ：要求 f x , g x 存在 , 且 lim
存在 , 此时 , lim
gx
gx
fx lim