稳恒电流的磁场
《稳恒电流的磁场》选择题解答与分析
由毕奥-萨伐尔定律 d B 0 I d l r /(4r 3 ) ，知答案(B)正确。
a d
b I dl
c
选择(A)给出下面的分析：
dq ˆ r 4 0 r 2 0 I d l r 电流元磁场公式： d B 4r 3
点电荷电场公式： d E
比较 d B d B x iˆ d B y ˆ j, d B x
0 I d ly 4r 3
0 I d l
4 ( x y
2 2 3 z2 ) 2
y.
对于所有错误选择，给出下面的资料：
0 I d l r 毕奥-萨伐尔定律： d B ，涉及矢量的叉乘，其基本运算公式： 4r 3 ˆ ˆ ˆa ˆ ˆ ˆ 设： a a1i 2 j a 3 k , b b1i b2 j b3k
对所有错误的选择，进入下一题： 1.1 在阴极射线管的上方放置一根载流直导线，导线平行于射 线管轴线，电流方向如图所示，阴极射线向什么方向偏转？当 电流 I 反向后，结果又将如何？
I
参考解答： 电流产生的磁场在射线管内是指向纸面内的，由 F ev B 知，阴极射线(即电 子束)将向下偏转．当电流反方向时，阴极射线将向上偏转． 进入下一题：
3. 关于磁感应强度方向的定义，以下说法，正确的是 (A) 能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. (B) 不能把磁场作用于运动电荷的力的方向，定义为磁感应强度的方向. 答案：(B) 参考解答： 因为磁力的方向还随电荷运动速度方向而不同，因而在磁场中同一点运动电荷受 力的方向是不确定的．
6
B
3. 如图，一条任意形状的载流导线位于均匀磁场中，试证明 导线 a 到 b 之间的一段上所受的安培力等于载同一电流的直 导线 ab 所受的安培力． 参考解答： 证：由安培定律
大学物理第二十章题解
20-2．如图所示，将一条无限长直导线在某处弯成半径为 R 的半圆形，已知导线中的 电流为 I ，求圆心处的磁感应强度 B ．
解 根据毕-萨定律，两直线段导线的电流在 O 点产生的磁感应强度 B 0 ，半圆环形 导线的电流在 O 点产生的磁感应强度 B 1 0I ．由叠加原理，圆心
2 2R O 处的磁感应强度
B 1 0I 1 0I 1 0I 0I 2 ，方向垂直纸面向里．
2 2 R 2 2 R 2 2R 4 R
*20-4．如图所示，电流 I 均匀地流过宽为 2a 的无限长平面导体薄板 ． P 点到薄板的 垂足 O 点正好在板的中线上，设距离 PO x ，求证 P 点的磁感应强度 B 的大小为
B 0 I arctan a
2a
解 把薄板等分成无限多条宽为 dy 的细长条，
每根细长条的电流 dI I dy ，可视为线电流；无 2a
限长载流薄板可看成由无限多条无限长载流直导线构
成．
y
处的细长条在
P
x
点产生的磁感应强度为
强度为 dB ，二者叠加为沿 Oy 方向的 dB ．所以 P 点的磁感应强度 B 沿 Oy 方向， B 的大
解 在1 4 圆周的圆弧 aAb 上，单位长度弧长的线圈匝数为
N 2N 2 R 4 R
在如图 处， d 角对应弧长 dl 内通过的电流
第二十章 稳恒电流的磁场
20-1．如图所示，将一条无限长载流直导线在某处折成直角， P 点在折线的延长线上， 到折线的距离为 a .（1）设导线所载电流为 I ，求 P 点的 B ．（2）当 I 20A ， a 0.05m ，求 B ．
解
（1）根据毕-萨定律， AB 段直导线电流在 P 点产生的磁场 B 0 ； BC 段是
稳恒电流的磁场的散度和旋度
从而得到
−
d dt
∫ ρdV
V
=
0
表示全空间的总电荷守恒。
毕奥-萨伐尔定律
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J(
x′) r3
×
rK
dV
′
K dB
K K r dB 垂直于JdV ′与
所形成的平面 rK
μ0是真空中的磁导率。
K JdV ′
μ0
=
4π
×107
N A2
磁场的矢势
( ) K
∇
×
⎛ ⎜
⎝
A g
⎞ ⎟ ⎠
),
求电荷分布为ρ(rK)=ρ0e−αr的电势和电场强度， 其中α为常数
=
g
KK
∇× A + A×(∇g )
g2
∇
×
K J(
xK′)
=
r(∇
×
K J(
xK′))
+
JK ( xK′)
×
(∇r
)
r
r2
K J(
xK′)
×
(∇r
)
=
r2
=
K J(
xK′)
×
K r
r3
磁场的矢势
∫ K
B
=
μ0
4π
V
′
K J (x′)
Kr 3
×
K r
dV
′
∫ = μ0 ∇ × J (x′) dV ′
∫V
∇⋅
G JdV
=
−∫V
∂ρ
dV ∂t
∇⋅
K J
+
∂ρ
稳恒电流的磁场
运动点电荷的磁场 r ) r µ 0 qv × r0 可证为： 可证为： B= 2 4πr
求运动点电荷的磁场公式。 例3 求运动点电荷的磁场公式。 r
r
r B
S
r θ qv
r I r µ 0 I d l × r0 r d 由： B = 2 qv 4π r d l = vd t ← dl → d Q nq ⋅ sv d t I= = = nqsv 线元中载流子数 : d N = ns d l dt dt
大学物理
第十五章稳恒电流的 稳恒电流的磁场 稳恒电流的
静磁场（或稳恒磁场） 静磁场（或稳恒磁场）——分布不随时间变化的磁场 分布不随时间变化的磁场 一 真空中的稳恒磁场及其规律 r 拉定律； 萨 拉定律 磁感应强度矢量 B 。 毕—萨—拉定律；磁场的高斯 定理；真空中的安培环路定理。 定理；真空中的安培环路定理。 已知稳恒电流分布 求稳恒磁场的分布的两种方法。 求稳恒磁场的分布的两种方法。 二 磁场对运动电荷及载流导体的作用 洛仑兹力公式； 安培定律。 洛仑兹力公式； 安培定律。 三 介质中的磁场及其规律 r 有介质存在时的安培环路定理。 磁场强度矢量 H 。 有介质存在时的安培环路定理。
r 的方向。 （1）磁感应线上任一点的切线方向∥该点的B 的方向。 ）磁感应线上任一点的切线方向∥ r 的大小。 （2）⊥通过单位面积的磁感应线数数值上等于该处B 的大小。 ）
作法（同电力线） 作法（同电力线） 磁感应线的性质（ 的反映） 磁感应线的性质（实为磁场性质 的反映） （1）磁感应线总是连续的。 ）磁感应线总是连续的。 （2）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。 ）磁感应线为环绕电流的闭合曲线。
大小：当带电粒子的速 大小： Fm ,max 度垂直于该方位时， 度垂直于该方位时，受 B= 定义磁 力最大 Fm,max ，定义磁 q ⋅ V⊥ 感应强度的大小为 感应强度的大小为： r r 指向： 指向：定义 Fm ,max 与 q V ⊥ 的矢v r 量积方向（右手螺旋关系） 量积方向（右手螺旋关系）为 B q V⊥ 的指向 。
第十三章 稳恒电流的磁场
v Idl
L
r
ˆ r
v r v v µ Idl ×r B = ∫ dB= ∫ 3 L L4 π r
四、毕—萨定律应用 萨定律应用 r 1.载流直导线产生的B r r Idl 在P点产生dB,
X I
⊗ B 统一变量： x, α , r三个变量 统一变量： sinα = cos β
2 v Idl α v 方向：垂直版面向里 L r µ Idl sin α dB = 2 x Z 4π r β1 β µ Idxsinα B= ∫ o 2 a L 4 π r
I
θ
R
•
µ0I θ B= 2R 2 π
例：如图，电流I经过半无限长导线Ⅰ，半圆导线(半径为 R)Ⅱ，半无限长导线Ⅲ,求圆心O点的磁感应强度 B 。
微观本质： 微观本质：
1) 电流是电荷运动的结果；
2) 磁铁是环形电流的定向排列——安培分子 电流假说。
s
应用程序
N
v 二、磁感应强度 (B)
与描述电场类似， 与描述电场类似，运动电荷在磁场中受力的性质引入一 个磁感应强度。 个磁感应强度。
r r 运动电荷在磁场中受力最大： 运动电荷在磁场中受力最大：v ⊥ B
ZnCl2 NH3Cl
依靠某种与静电力完全不 同的力——非静电力。提 非静电力。 同的力 非静电力 供非静电力的装置称为电 源。
四、欧姆定律的微分形式
v j
n λ e γ 令： = v 2m v
2
v E
∆ s u∆ t
v u
γ 称为电导率
令：
v v j =γE
1
γ
= ρ称为电阻率
欧姆定律的微分形式
r n
dSn
v j
真空中稳恒电流的磁场
LB dl
高斯定理
安培环路定理
1. 静电场的高斯定理
1. 静电场的环路定理
e
s
E dS
1
0
q内
l E dl 0
2.电介质中的高斯定理
D dS s
q0
s内
2.稳恒磁场的安培环路定理
LB dl I 0 (穿过L) i
3. 磁场的高斯定理
S B dS 0
3.有磁介质时的安培环路定理
B
S N
dS2
磁感应线闭合成环，
无头无尾不存在磁单极子。
dS1
B
13-3 毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律
一. 毕奥 — 萨伐尔-拉普拉斯定律
d.B
I
P
r0 Idl
dB
0
4π
Idl sin
r2
dB
0 Idl r0 4r 2
真空磁导率
0 4 π107 N A2
例:
dB
判断下列各点 磁感强度的方向和大小.
施力于
激发
安培分子电流假说：原子分子中的电子运动形成圆形电流，称为
分子电流，这些分子电流称为基元磁铁。当他们有序排列时宏观
上形成磁性。
13.2 磁感应强度、磁感应线、磁通量 磁场中的高斯定理
一. 磁感应强度
当带电粒子在磁场中垂直于磁场方向运动时
受磁场力最大,且磁场力与带电粒子的电量和
速度从成正比.
B 0 I
2π R
B dl
0 I cos 00 dl
l
2π R
0I
2π R
2 πR
dl
0
0 I
I
B
dl
oR
l
稳恒电流的磁场
将线圈置于磁场中，当磁场发生变化时，线圈中产生感应电流，并 受到磁场的作用力而发生旋转，实现电磁驱动。
霍尔效应实验
将导体置于磁场中，当电流通过导体时，在导体两侧产生电势差， 这种现象称为霍尔效应，可用于测量磁场强度。
电磁感应现象实验
法拉第实验
通过在导线线圈中切割磁感线，发现导线中产生 感应电流，即电磁感应现象。
稳恒电流的磁场
https://
REPORTING
• 磁场和电流的关系 • 稳恒电流产生的磁场 • 磁场对稳恒电流的作用 • 稳恒电流的磁场应用 • 实验与观察
目录
PART 01
磁场和电流的关系
REPORTING
WENKU DESIGN
安培环路定律
安培环路定律是描述磁场和电流之间关系的物理定律，它指出磁场和电流之间的 关系是线性的，即磁场是由电流产生的，并且电流的存在会导致周围空间中磁场 的形成。
电流在磁场中的受力分析
02
根据左手定则，可以判断电流在磁场中受到的力的方向。
电磁感应
03
当导线在磁场中做切割磁感线运动时，导线中会产生感应电动
势，从而产生感应电流。
PART 03
磁场对稳恒电流的作用
REPORTING
WENKU DESIGN
洛伦兹力
定义
洛伦兹力是指带电粒子在磁场中 所受到的力，其大小与带电粒子 的电荷量、速度和磁感应强度有
磁场对电流的作用力
磁场对电流的作用力是指电流在磁场中受到的力，这个力的 大小和方向取决于电流和磁场的相互位置和方向。
磁场对电流的作用力遵循安培定律，其数学表达式为： F=IBLsinθ，其中F表示作用力，I表示电流，B表示磁场强度，L 表示导线长度，θ表示电流和磁场方向的夹角。
稳恒电流的磁场
在一根载流直线上任意取一无限小 的直线，做一个矢量 I d l
Idl
大小：该小直线的长度乘以I
方向：该点直线上电流的方向
r
P
对空间任意点P，从 为 r 产生的磁场为
IddB，l到方P向的满位足置右矢手量
螺旋。
2020/4/1
21
引入电流元矢量 I d l 的物理意义
任意载流回路可设想为是由无限多个首 尾相接的电流元构成，
2020/4/1
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加
原理
E
EiQi r Nhomakorabea4
0
ri3
（分立）
rdQ （连续）
Q 4 0r 3
2、可有
UUEE
U x
Ex
44
典型磁场的磁感应强度
典型电场的场强
电流元
dB
0
4
I
d
l
r
r3
载流长直导线
B
0I 4r
cos1
cos2
无限长载流 长直导线
34
用B-S Low求 B 的两种思路
1.从电流产生磁场的观点 求B
dB
u0
4
Idl r
r3
B dB
r:
从电流元指向场点 （视电流元为一个点）
：视电流元有一定长度
2.从电荷运动产生磁场的 观点求B
Br: 从4u运0 q动vr电3 r荷指向场点
2020/4/1
35
例2.求：直线电流I 的磁场分布。
安培力 磁力矩
2020/4/1
7
本章学习方法
对比
与静电场的研究方法类似 与静电场的研究结论对比
第7章稳恒磁场
o
L
P
x
结论 任意平面载流导线在均匀磁场 中所受的力，与其始点和终点相同的载流 直导线所受的磁场力相同.
42
二 物理学 均匀磁场对载流线圈的作用力矩
将平面载流线圈放入均匀磁场中，
da边受到安培力大小:
Fda
Il
2
B
sin(
2
)
bc边受到安培力大小:
Fbc
Il 2 B
sin(
2
)
o
Fda
d
a
I
l1
qvB m v2 R
m qBR v
70 72 73 74 76
质谱仪的示意图
锗的质谱
30
物理学
霍耳效应
31
物理学
B
霍耳电压 Fm
UH
RH
IB d
b
d
vd+
+ ++
+q
+
- - - - - I
UH
Fe
qEH qvd B I qnvd S qnvdbd
EH vd B U H vd Bb
× ×
××0
粒子做匀速圆周运动
物理学
(3)
0与B成角
// 0 cos
0 sin
R m m0 sin
qB
qB
•
0 //
B
B
T 2R 2m qB
螺距 h ： h //T 0 cos T 2m0 cos
qB
h //
0
q R
物理学
例题1 :请根据磁感应强度的方向规定，给 出下列情况运动电荷的受力方向：
B
c
en
电流的磁场教案5
第十章 稳恒电流的磁场基 本 要 求一、理解磁感应强度、磁通量、磁矩等概念。
二、掌握反映稳恒电流磁场特性的两个基本定律，即高斯定理和安培环路定理。
三、掌握运用毕奥—萨伐尔定律和安培环路定理求载流导体周围磁场的基本方法。
四、掌握洛仑兹公式和安培定律，并能运用它们计算运动电荷和载流导线在磁场中所受的力以及载流线圈在磁场中所受的磁力矩。
五、掌握载流导线和载流线圈在磁场中运动时，磁力做功的计算方法。
内 容 提 要一、磁感应强度B磁感应强度可以用磁场力的三个公式（运动电荷所受的磁场力公式、电流所受的磁场力公式、载流线圈所受的磁力矩公式）定义。
例如从安培力的角度，B 定义为单位电流元在该处所受的最大安培力。
()IdldF B max安=二、磁力线 磁通量磁力线的特征 1. 闭合曲线；2. 与电流相互套连；3. 方向与电流的方向服从右手螺旋定则。
磁通量的定义式S B d d Φm ⋅=⎰⋅=Sm d ΦS B三、磁场的基本规律 1、毕−萨定律24r πId d r l B ⨯=真空磁导率 m /A T 10470⋅⨯=-πμ 磁介质的相对磁导率 r μ磁介质的绝对磁导率（简称磁导率） r μμμ0= 2、叠加原理∑=ii B B ， ⎰=B B d利用毕−萨定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场分布。
3、B 的高斯定理 (磁通连续方程)⎰=⋅Sd 0S B4、安培环路定理真空中∑⎰=⋅内Id Lμl B有磁介质时∑⎰=⋅I d Ll HH B μ=四、几种典型电流的磁感应强度一段载流直导线 ()210c o s c o s 4φφ-=r πIμB 无限长载流直导线 rπIμB 20=无限长均匀载流薄圆筒 rπIμB B 2,00==外内 无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环 0,0==外内B nI μB 圆电流圈的圆心和轴线上 ()23220轴线022/x R πISμB R I μB +==，中心五、磁力公式1、运动电荷所受的磁场力(洛仑兹力) B v f ⨯=q 洛2、电流所受的磁场力（安培力）电流元所受的磁场力 B l F ⨯=Id d 电流L 所受的磁场力 ⎰⨯=LId B l F3、载流线圈的磁矩和载流线圈受受的磁力矩载流线圈的磁矩 S p I m = 载流线圈受的磁力矩 B p M ⨯=m解题方法与例题分析一、运用毕−萨定律和叠加原理，求磁感应强度B解题思路：先将载流导线分割成电流元，任一电流元在空间某点产生的磁感应强度用B d 表示,根据场的叠加原理求得整个导线的磁感应强度⎰=B B d 。
稳恒电流的磁场总结汇总
1.SI J ds =⎰⎰2. 毕奥-萨伐尔定律:34Idl r dB rμπ⨯=034LI r B dl rμπ⨯=⎰3. 有限长载流导线的磁感应强度()()021021sin sin 4cos cos 4 I B z Izμθθπμββπ=-=- !!!zP 1无限长载流导线的磁感应强度 02IB zμπ=!!!4. 载流线圈在轴线上任意一点的磁感应强度()2032222IRB Rzμ=+ !!!圆心处的磁感应强度02IB Rμ=!!!5. 有限长螺线管内部任意一点的磁感应强度()021cos cos 2nIB μθθ=-无限长直螺线管内的磁感应强度 0B n I μ=!!!6. 运动电荷的磁场034q v rB rμπ⨯= 7. 磁偶极子与磁矩磁偶极子：载流线圈（任意形状）。
磁矩：m IS ISn ==其中S Sn = ，n 为面元S 的法线方向单位矢量，与I 的环绕方向成右手螺旋关系。
8. 稳恒磁场的高斯定理 0SB d s =⎰⎰9. 稳恒磁场的安培环路定理0iiLB d l Iμ=∑⎰ 两项注意:(1)虽然B的环量仅与L内的电流有关，但B本身却取决于L 内、外的所有电流。
(2) 当i I 的流动方向与L 的环绕方向成右手螺旋关系时，0i I >，反之0i I <。
10. 无限长载流圆柱体020()2()2Irr R R B Ir R rμπμπ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩11. 无限大载流平面的磁感应强度大小：02B μα=（其中α为面电流线密度）；方向：右手螺线关系。
12. 安培定律－磁场对载流体的作用dF Idl B =⨯13. 在一均匀外磁场中，如果一任意形状的有限平面曲线电流的平面垂直于外磁场，那么平面电流所受到的安培力的大小与由起点到终点连接而成的直线电流所受到的安培力一样，方向垂直于从起点到终点的连线。
推论：处于均匀外磁场中的任意平面闭合载流回路，所受到的安培力=0，但要受到一力矩的作用L m B =⨯处于非均匀外磁场中的闭合载流线圈受到的安培力≠0。
大学物理《稳恒电流的磁场》习题答案
第14章 稳恒电流的磁场 参考答案一、选择题1(B)，2(A)，3(D)，4(C)，5(B)，6(D)，7(B)，8(C)，9(D)，10(A) 二、填空题(1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). πR 2c ； (3). )4/(0a I μ； (4).RIπ40μ ；(5). μ0i ，沿轴线方向朝右. ； (6). )2/(210R rI πμ， 0 ; (7). 4 ; (8).B I R2，沿y 轴正向； (9). ωλB R 3π，在图面中向上； (10). 正，负.三 计算题1. 将通有电流I 的导线在同一平面内弯成如图所示的形状，求D 点的磁感强度B的大小．解：其中3/4圆环在D 处的场 )8/(301a I B μ=AB 段在D 处的磁感强度 )221()]4/([02⋅π=b I B μBC 段在D 处的磁感强度)221()]4/([03⋅π=b I B μ1B、2B 、3B 方向相同，可知D 处总的B 为)223(40baI B +ππ=μ2. 半径为R 的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通过垂直于电流方向的每单位长度的电流为K ．求球心处的磁感强度大小．解：如图θd d d KR s K I ==2/32220])cos ()sin [(2)sin (d d θθθμR R R I B +=32302d sin R KR θθμ=θθμd sin 2120K =⎰π=020d sin 21θθμK B ⎰π-=00d )2cos 1(41θθμK π=K 041μ3. 如图两共轴线圈，半径分别为R 1、R 2，电流为I 1、I 2．电流的方向相反，求轴线上相距中点O 为x 处的P 点的磁感强度． 解：取x 轴向右，那么有2/322112101])([2x b R I R B ++=μ 沿x 轴正方向 2/322222202])([2x b R I R B -+=μ 沿x 轴负方向21B B B -=[2μ=2/32211210])([x b R I R ++μ]])([2/32222220x b R I R -+-μ若B > 0，则B方向为沿x 轴正方向．若B < 0，则B的方向为沿x 轴负方向．4．一无限长圆柱形铜导体(磁导率μ0)，半径为R ，通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m ，宽为2 R )，位置如右图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量．解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小，由安培环路定 律可得： )(220R r rRIB ≤π=μ因而，穿过导体内画斜线部分平面的磁通Φ1为⎰⎰⋅==S B S B d d 1 Φr r RI Rd 2020⎰π=μπ=40Iμ在圆形导体外，与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为)(20R r rIB >π=μ因而，穿过导体外画斜线部分平面的磁通Φ2为⎰⋅=S Bd 2Φr r I R Rd 220⎰π=μ2ln 20π=I μ穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π+I μ5. 一半径为 4.0 cm 的圆环放在磁场中，磁场的方向对环而言是对称发散的，如图所示．圆环所在处的磁感强度的大小为0.10 T ，磁场的方向与环面法向成60°角．求当圆环中通有电流I =15.8 A 时，圆环所受磁力的大小和方向．1 m解：将电流元I d l 处的B分解为平行线圈平面的B 1和垂直线圈平面的B 2两分量，则 ︒=60sin 1B B ； ︒=60cos 2B B分别讨论线圈在B 1磁场和B 2磁场中所受的合力F 1与F 2．电流元受B 1的作用力l IB lB I F d 60sin 90sin d d 11︒=︒=方向平行圆环轴线．因为线圈上每一电流元受力方向相同，所以合力⎰=11d F F ⎰π︒=Rl IB 20d 60sin R IB π⋅︒=260sin = 0.34 N ，方向垂直环面向上．电流元受B 2的作用力l IB lB I F d 60cos 90sin d d 22︒=︒= 方向指向线圈平面中心． 由于轴对称，d F 2对整个线圈的合力为零，即02=F ． 所以圆环所受合力 34.01==F FN ， 方向垂直环面向上．6. 如图所示线框，铜线横截面积S = 2.0 mm 2，其中OA 和DO ＇两段保持水平不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B中，B 的方向竖直向上．已知铜的密度ρ = 8.9×103 kg/m 3，当铜线中的电流I =10 A 时，导线处于平衡状态，AB段和CD 段与竖直方向的夹角α =15°．求磁感强度B的大小．解：在平衡的情况下，必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)． 重力矩 αραρs i n s i n 2121gSa a a gS a M +⋅=αρsin 22g Sa =B 2d l磁力矩ααcos )21sin(222B Ia BIa M =-π=平衡时 21M M = 所以 αρsin 22g Sa αcos 2B Ia = 31035.9/tg 2-⨯≈=I g S B αρT7. 半径为R 的半圆线圈ACD 通有电流I 2，置于电流为I 1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I 1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I 1的磁力．解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 )2/(10r I B π=μ取xOy 坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：θμsin 210R I B π=， 方向垂直纸面向里，式中θ 为场点至圆心的联线与y 轴的夹角．半圆线圈上d l 段线电流所受的力为：l B I B l I F d d d 22=⨯= θθμd sin 2210R R I I π=θsin d d F F y =． 根据对称性知： F y =0d =⎰y F θcos d d F F x = ，⎰π=0x x dF F ππ=2210I I μ2210I I μ=∴半圆线圈受I 1的磁力的大小为： 2210I I F μ=，方向：垂直I 1向右．I 2I 1A DC8. 如图所示．一块半导体样品的体积为a ×b ×c ．沿c 方向有电流I ，沿厚度a 边方向加有均匀外磁场B (B的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a ＝0.10 cm 、b ＝0.35 cm 、c ＝1.0 cm 、I ＝1.0 mA 、B ＝3.0×10-1 T ，沿b 边两侧的电势差U ＝6.65 mV ，上表面电势高．(1) 问这半导体是p 型(正电荷导电)还是n 型(负电荷导电)？(2) 求载流子浓度n 0 (即单位体积内参加导电的带电粒子数)．解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电，则正电荷堆积在上表面，霍耳电场的方向由上指向下，故上表面电势高，可知是p 型半导体。
大学物理习题答案稳恒电流的磁场
第十章 稳恒电流的磁场1、四条相互平行的无限长直载流导线，电流强度均为I ，如图放置，若正方形每边长为2a ，求正方形中心O 点的磁感应强度的大小和方向。
解：43210B B B B B r r r r r +++=无限长载流直导线产生的磁感应强度 rI2B 0πμ=由图中的矢量分析可得a 2I a 2I22B B 0042πμ=πμ=+a I45cos a2I 2B 0000πμ=⋅πμ= 方向水平向左2、把一根无限长直导线弯成图 (a)、(b) 所示形状，通以电流I ，分别求出O 点的磁感应强度B 的大小和方向。
解：（a ）（b ）均可看成由两个半无限长载流直导线1、3和圆弧2组成，且磁感应强度在O 点的方向相同 （a ）方向垂直纸面向外。
)38(R16I43R 4I R 4I R 4I B 00000π+πμ=π⋅πμ+πμ+πμ=（b ）由于O 点在电流1、3的延长线上，所以0B B 31==r r方向垂直纸面向外。
R8I323R I 4B B 0020μ=π⋅πμ==14（a ） I（b ）3、真空中有一边长为l 的正三角形导体框架，另有互相平行并与三角形的bc 边平行的长直导线1和2分别在a 点和b 点与三角形导体框架相连 (如图) 。
已知直导线中的电流为I ，求正三角形中心点O 处的磁感应强度B 。
解：三角形高为 l l360sin h .0==4 它在 θθπμ=θ=d sin R 2Isin dB dB 20x θθπμ−=θ−=d cos R2I cos dB dB 20yRI d sin R2I dB B 20200x x πμ=∫θθπμ∫==π0d cos R2I dB B 020y y =∫∫θθπμ−==π)T (1037.6100.10.5104RI B B 522720x P −−−×=××π××π=πμ==∴轴正方向。
电流与磁场-稳恒电流的磁场
当导体中任意闭合曲面满足上式时，闭合曲面内没有电荷
被积累起来，此时通过导体截面的电流是恒定的——恒定 电流的条件。 1. 稳恒电流的电路必须是闭合的。
2.导体表面电流密度矢量无法向分量。
电阻率 欧姆定律的微分形式
一、电阻率
欧姆（Georg Simom Ohm，1787-1854）
德国物理学家，他从1825年开始研究导电学 问题，他利用电流的磁效应来测定通过导线 的电流，并采用验电器来测定电势差，在 1827年发现了以他名字命名的欧姆定律。 电流和电阻这两个术语也是由欧姆提出的。
2、电阻定律
对于粗细均匀的导体，当导体的材料与温度一定时，导 体的电阻与它的长度l 成正比，与它的横截面积S成反比
R l
S
：电阻率 =1/ ：电导率
3、电阻与温度的关系
R
dl S
2 1 1 T2 T1
叫作电阻的温度系数，单位为K-1，与导体的材料有关。
电阻率的数量级：
4、应用：
纯金属：10-8W .m 合金：10-6W .m 半导体：10-5~10-6W .m 绝缘体：108~1017W .m
dS
dS
dI 1 dU dS
dl
U
dl
U+dU
dI 1 dU
dS dl
dU Edl
j E
j E / E
欧姆定律的微分形式： 通过导体中任一点的电流 密度，等于该点的场强与 导体的电阻率之比值
三、电流的功和功率
稳恒电流的情况下，在相同时间间隔
dt内，通过空间各点的电量 dq相同。
电场力对导线A、B内运动电荷做的功
一点的曲线数密度与该点的电流密 度的大小成正比
三、电流的连续性方程 恒定电流条件
第四章习题 稳恒电流的磁场
第四章习题稳恒电流的磁场第四章稳恒电流的磁场一、判断题1、在安培定律的表达式中，若r21?0，则aF21??。
2、真空中两个电流元之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
意一点都不受力，则该空间不存在磁场。
4、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用?0nI 表示。
5、安培环路定理反映了磁场的有旋性。
?3、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元I0dl放在空间任?6、对于长度为L的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B。
7、当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流，并处在相同的磁场中，导体受到的安培力是相同的。
8、载流导体静止在磁场中于在磁场运动所受到的安培力是相同的。
9、安培环路定理中的磁感应强度只是由闭合环路内的电流激发的。
10、在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。
??CB?dl??0I二、选择题1、把一电流元依次放置在无限长的栽流直导线附近的两点A和B，如果A点和B点到导线的距离相等，电流元所受到的磁力大小（A）一定相等（B）一定不相等（C）不一定相等（D）A、B、C都不正确2、半径为R的圆电流在其环绕的圆内产生的磁场分布是：（A）均匀的（B）中心处比边缘处强（C）边缘处比中心处强（D）距中心1/2处最强。
3、在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的线圈，一个是三角形，另一个是矩形，则两者所受到的（A）磁力相等，最大磁力矩相等（B）磁力不相等，最大磁力矩相等（C）磁力相等，最大磁力矩不相等（D）磁力不相等，最大磁力矩不相等4、一长方形的通电闭合导线回路，电流强度为I，其四条边分别为ab、bc、cd、da如图所示，设B1、B2、B3及B4分别是以上各边中电流单独产生的磁场的磁感应强度，下列各式中正确的是：（A）?（B）?C1B1?dl??0IB1?dl?0C2（C）?B1?B1?dl?0（D）?C1??c?B?B12?B3?B4?dl??0I??I和I设电流IB21单独产生的磁场为1,电流I2单独产生的磁5、两个载流回路，电流分别为1?场为B2,下列各式中正确的是：（A）?C2B1?dl??0?I1?I2??（B）（C）C1B2?dl??0I212 ??B?B??dlC1??0?I1?I2?（D）6、半径为R的均匀导体球壳，内部沿球的直线方向有一载流直导线，电线I从A流向B后，再沿球面返回A点，如图所示下述说法中正确的是：??B?B??dlC212??0?I1?I2??（A）在AB线上的磁感应强度B?0 ?（B）球外的磁感应强度B?0 ?（C）只是在AB线上球内的部分感应强度B?0 ?（D）只是在球心上的感应强度B?07、如图所示，在载流螺线管的外面环绕闭合路径一周积分（A）0（B）?0nI ?LB?dl等于?0nI（C）2 （D）?0I LI8、一电量为q的点电荷在均匀磁场中运动，下列说法正确的是（A）只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就相同。
3稳恒电流的磁场
第五章稳恒电流的磁场一.磁感应强度B 的定义1•从运动电荷受的力（洛仑兹力）:f 洛 qv B2•从电流元受的力（安培力）:d F 安 I dl B3•从磁矩受的力矩:P m ISM P m BB 的物理意义（例如从安培力的角度）：磁力线磁通量 磁力线的特征: 1•闭合曲线 2•与电流相互套连3•方向与电流的方向服从右手螺旋定则 磁通量的定义d m B dSB 也叫磁通密度。
d F安 maxI dl单位电流元在该处 所受的最大安培力。
S=IS ?P mB dS三.磁场的基本规律1•基本实验规律 （1） 毕奥—萨伐尔定律dBo I dl ?42r真空磁导率o410 7T m/A（2）叠加原理BiB iBd B利用毕奥-萨伐尔定律和叠加原理，原则上可以求任意电流 的磁场。
2.基本定理（1） B 的高斯定理（磁通连续方程）：° B ds 0sB 的高斯定理在分析一些问题时很有用。
（2） 安培环路定理：它只适用于稳恒电流。
I 内有正、负，与L 成右手螺旋关系为正。
B 是全空间电流的贡献，但只有I 内对环流°B dl有贡献。
一L般 Bdl o ，说明B 为非保守场（称为涡旋场）。
安培环路定理 L 在计算具有对称性分布的磁场时很有用。
四.B 的计算方法“毕奥-萨伐尔定律 +叠加原理”法例.已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度 B= o nI,试证:管内为均匀磁场，管外无磁场。
【证】先分析B 的方向： 设场点P 处B B r ? B ? B z ?过场点P 作轴对称的圆形环路L （如图所示），由安培环路定理B dl o I 内L有'Bdl > B r dlB dlB z dlLLLL0 B 2 r 00 0所以B = 0。
过场点P ，作一个轴对称的圆柱面为高斯面， 图所示）， 由高斯定律B dS ； B r dSB z dSsssB r dS侧B z 右dSB z 左dS B r 2 rlB z dSB z dS右左B r 2 rl所以 B r = 0HB + d 'c'长为I ,半径为r （如B r radcIFP内=nablB⑺BL因此，B B z ?设管内任一场点P ',过该点作矩形环路a b c d （如上图所示）, 利用安培环路定理-B dlB 轴 ab B P ,ab 0 0 0BP ，B轴 0nl设管外任一场点P ，过该点作矩形环路a b C d '（女吐图所示），有B 轴 ab B P ,,ab0nabl无限长载流直导线 B无限长均匀载流薄圆筒^I 2 r细螺绕环B 内°nl ，B 外 0圆电流圈的圆心和轴线上B_0L B 中心2R BISB 轴线22 3/2 2 R 2x 2B p ,,3.叠加法 如果有几个电流B 轴°nl 0证毕。
(完整版)电磁学(梁灿彬)第五章稳恒电流的磁场
§1 基本磁现象概述 (summary of basic magnetic phenomenon)
一、磁的基本现象
对磁现象的认识很早 最早发现的磁现象：天然磁石吸铁， 我国远在春秋战国时期（公元前六、七世 纪）的古书中已有记载
电磁学讲义
Electromagnetism Teaching materials
CH5 稳恒电流的磁场
2010级物理学专业
前言(Preface)
一、本章的基本内容及研究思路
静止电荷的周围存在着电场 运动电荷周围，不仅有电场，而且还有磁场。 不随时间变化的磁场称为稳恒磁场，有时也 称为“静磁场”。 稳恒电流激发的磁场就是一种稳恒磁场。 运动的电荷（或电流）要产生磁场，磁场又 会对其他的运动电荷（或电流）有作用力。 本章就是从这两个方面来研究磁场的。
大量实验证明，电现象和磁现象存在相互联系。 我们知道，电的作用是“近距”的，磁极或电 流之间的相互作用也是这样的，不过它通过另 外一种场—磁场来传递的。
用磁场的观点，可以把上述关于磁铁和磁铁， 磁铁和电流，以及电流和电流之间相互作用的各 个实验统一起来,概括成这样一个图示：
磁铁 电流
磁场
磁铁 电流
安培认为，任何物质的分子都存在环形电流， 称为分子电流，分子电流产生的磁场在轴线上的 方向可以用右手定则来判断，每一个分子电流相 当于一个小磁体。当物质中的分子电流排列得毫 无规则时，他们的磁场互相抵消，整个物体不显 磁性，但是，在一定条件下，这些分子电流比较 有规则的定向排列起来，他们的磁场互相加强， 整个物体就会显示出磁性。
安培的分子电流的想法基本上是正确的，近 代物理学证实,分子电流是由原子中的各个电子 自旋和电子的轨道运动合成的结果。
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F
运动电荷在磁场中受力
F qv B
v q
+
大小: FqvsBin B 方向: 右手螺旋法则
三、毕奥—萨伐尔定律 (电流元在空间产生的磁场)
dB4π0
Idlsin r2
真空磁导率
04π10 7NA2
dB40 Id lr2r0
Idl
dB
r dB
I
P *rIdl
磁感B 强 度d 叠B 加 原 4 理0 Id lr 2 r0 4 0 Id lr 3 r
例10-2 载流长d直B导方线向的均磁沿场. z 轴的负方向
y
解: dB40 Idyrs2in
D
r a sec
dy r
Iy
o 1 a
dB
2
*P x
z
y a tg sin cos
dyasec2
dB0I cosd 4a
B
0I 4a
12cosd40aI(s
in2sin1)
1）无限长载流长直导线
++ -
+Ek -
非静电 电 场强外 度E k E d k:0 l单 位内 正E 电k荷d 所 l受的内 非E 静k电d力l.
电源电动势大小等于将单位
*+ _ R i *
正电荷从负极经电源内部移至 正极时非静电力所作的功.
正极
负极
电源
10.2 电流的磁场
一、基本磁现象
磁场的本源——运动电荷 磁场的性质——运动电荷在磁场中受到作I 用力
z
受力，此直线方向与电荷无关.
（正电荷——N极）
x
FFmaxF
（2） 当带电粒子在磁场 Fma x qv
中垂直于此特定直线运动 时受力最大.
F max 大小与q,v 无关
qv
Fmax
v q +
磁感强度 B的定义：
大小: B Fmax
qv
B
方向:
F maxv
单位: 特斯拉 1(T)1N/m A
y
D
dy r
Iy
o 1 a
z
1
2
2
2
B 0I 2a
dB 2）半无限长载流长直导线
2
*P x
1 0
2 2
BP
0I 4a
例10-3 求载流圆线圈轴线上的磁场.
（设半径R、 通有电流I ）
Idl
r
dB
o
B
B
R
p
z
解 根据对称性分析知， 磁场仅有z分量
dB 0 Idl
4π r2
dBz 4π0 Isir2ndl
l
dB0 2
R2Indl R2 l2 3/2
l Rcot
dlRcs2cd
R2l2R2cs2c
B
dB
0nI2sind
2 1
02nIco2 sco1s
讨论
B0 2nIco2sco1s
（1）P点位于管内轴线中点 1π2
co1sco2s cos2
l/2
l/22 R2
B0ncIo 2s0 2 nIl2/4 lR 21/2
磁针和磁针
S
N
S
NS
N
磁铁与载流导线的相互作用；
在磁场中运动的电荷受到的磁力； I
I
载流导线与载流导线的相互作用。
二、 磁 场 磁感应强度
运动电荷
磁场
运动电荷
带电粒子在磁场中运动所受的
y
FmaxF
力与运动方向有关.
F0 （1） 实验发现带电粒子在磁场
v +
中沿某一特定直线方向运动时不
+
o v
实用条件 vc
q+ r +v B
q
r
v
B
作圆周运动带电体的等效电流：
2
T
I ——单位时间内通过某个截面的电量
I' q q T 2
圆心的磁感应强度：
B0
0I' 0q 2R 4R
q、T
带电体的磁矩：
PmI'S2 qR21 2 qR 2
10.3 磁场的高斯定理
一、 磁感 应线 规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感
强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感 强度 B 的大小.
I
I
n
B曲此二面曲、的面磁磁的通感磁量线通：数 量通为.过通某过一
+
+
+
+
+
+
I Q t
I en vdS
I
vd 为电子的漂移速度大小
单位: 1A mA10-3A
2、电流密度 方向规定： j 该点正电荷运动方向
大小规定：等于垂直于该点电荷运动方向的单位面 积上的电流强度
d Ijd Sjd S co s
IsjdS
dS
I
j
dI dS
j
二、电流连续性方程 ——流出曲面的电流等于
dS j
曲面内电荷的减少，即
IsjdS ddtq
S
恒 定 电 流： sjdS0
I
三、电源 电动势
非静电力: 能不断分离正负 电荷
R
+ E-
+ +
+
-
使正电荷逆静电场力方向运动.
R
电源：提供非静电力的装置. 定义电动势：单位正电荷绕闭合回
I
+ E-
路运动一周，非静电力所做的功. W qlF'q d lE kdl
2） z 0 B 0 I
2R
3) 一段圆弧
0
B 0 oI 2 2R
B0I0 0Il
4R 4R2
4） zR
B
0IR 2 2z3
0 IR 2z3
2
0 IS 2z3
磁偶极矩
PmISn
B
0Pm 2z3
I S
Pm
n
Pm n
S
I
说明：只有当圆形电流的面积S 很小，或场点 距圆电流很远时，才能把圆电流叫做磁偶极子.
第十章 稳恒电流的磁场
10.1 电流 电源的电动势 10.2 电流的磁场
10.3 磁场的高斯定理 10.4 安培环路定理 10.5 磁场对运动电荷的作用 10.6 磁场对电流的作用 10.7 磁场的功
10.1电流 电源的电动势 dqen vddtS
一、电流与电流密度
S
1、电流 —— 通过截面S 的电荷 随时间的变化率。
若 l R
B0nI
或 1π,20代入公式
(2) 无限长的螺线管
（3）半无限长螺线管
1
π , 2
2
0
B0nI
B
1 2
0nI
1 2
0 nI
B 萨电定 jS 荷律d 的l 磁dB n 场d 4lπS 0v q Idlr3r
j
S
dl
运动dB 电荷4的π0磁n场d Slrq 3v B r ddN B 4π0 qv rd 3N rnd Sl
例10-4 载流直螺线管内部轴线上一点处的磁场
设半径为R、通有电流 I，单位长度有线圈n.
R
1
p*
l 2
dl
+++++++++++++ +
解 由圆形电流磁场公式 B（ 2 z20IRR22）3/2
dB0 2
R2Indl R2 l2 3/2
1
A1 o p 2
A2
++ + + + + + + + + + + + + +
Idl
R
o
r
dB
dBz 4π0 Isir2ndl r2R2z2
z
*p z
sinRr
dBz 40 IRr3dl
B4π0IrR3 02πRdl
0 IR 2r3
2
0IR2 （ 2 z2 R2）32
I
R
o z*
B
z
B
0IR2 （ 2 z2 R2）32
1） z0
B的方向不变(
I和
B成右螺旋关系）