第2章 优化设计的数学模型及基本要素

9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 4 x1 + 5 x 2 ≤ 200
2-2 数学模型的三要素及一般形式
无论什么样的优化设计问题，尽管其物理概念不同，但 数学模型一般均由设计变量 、 目标函数和约束条件组成，称其为三要素。 2-2-1 设计变量 （ Design Variable） 1) 设计变量 在机械设计中，一个零件、部件或是一台设备的设计方案，通常是由一组基本参数来 确定和表示的。在设计中，选择哪些参数表示一个设计方案，需要根据各种设计问题的性质 来定。有的可以用几何参数，如零件的外形尺寸、截面尺寸、机构的运动学尺寸等；有的可 用某些物理量，如构件的重量、惯性距、频率、力和力矩等；还有的可用一些代表工作性能 的导出量，如应力、扰度、冲击系数等。总之，这些基本参数是对设计指标性能好坏有直接 影响的量。 在设计中，有些基本参数可以根据设计要求事先给定， 称为设计常数，如弹模、许用 应力等材料特性等。而有些则需要通过在设计过程中进行调整、优选来定，如尺寸等。对于 需要优选的参数，在设计过程中均把它们看作是变化的量，称为设计变量。应注意，设计变 量一定是独立参数 （Variables must be independent） ，任何导出量不能作为设计变量 （如 式i =
T
钢梁的总重量，即目标函数为 V = Vc + Vw 其中， VC -- 梁 C 的体积，立方英寸； VW -- 焊缝的体积，立方英寸。 从图上看，它们的体积分别是
VC = tb( L + l ) 1 VW = 2( h 2l ) = h 2l 2
所以，总重量为
V = tb( L + l ) + h 2l
第2章
优化设计的数学模型及基本要素
Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization 2-1 数学模型的建立 (mathematical modeling)
建立数学模型，就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。数学模型 建立的合适、正确与否，直接影响到优化设计的最终结果。 建立数学模型，通常是根据设计要求，应用相关基础和专业知识，建立若干个相应的 数学表达式。如机械结构的优化设计，主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机 械设备等专业知识来建立数学模型的。 当然，要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。数学模型建 的过于复杂，涉及的因素太多，数学求解时可能会遇到困难；而建的太简单，又不 接近实际 情况，解出来也无多大意义。因此，建立数学模型的原则：抓主要矛盾，尽量使问题合理简 化。Principle：The problem is simplified as much as possible. 由于设计对象千变万化，即使对同一个问题，由于看问题的角度不同 ，数学模型建的 可能也不一样。建立数学模型不可能遵循一个不变的规则， 本课也不准备把大量的时间花在 数学模型的建立上。 仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程， 使学生从中得到一些 启发。 Exp. 2-1 例 2-1 用宽度为 24cm ，长度 100cm 的薄
f =
1 πρ (l + a )( D 2 − d 2 ) ；主轴的限制条件，取它的刚度条件，即外伸端的扰度小于某 4 Fa 2 (l + a} 其中， 3EJ
一规定值 yc ≤ [ y} 及尺寸。 在外力 F 作用下，外伸端的扰度为 y c =
J=
π Fa 2 (l + a} (D 4 − d 4 ) 。 因 此 ， 主 轴 的 刚 度 约 束 为 ≤ [ y] 。 它 的 尺 寸 约 束 为 64 3EJ
其中， E -- 杨氏模量； I = （4）梁的变形 δ ( X )
1 1 3 3 x3 x4 ； α = Gx3 x4 ， G -- 剪切模量 12 3
假定钢梁是长 L 的简支梁，其变形是 δ ( X ) = 上面四种约束，加上尺寸约束表示如下
4 FL3 3 Ex3 x4
g1 ( X ) = τ d − τ ( X ) ≥ 0 g2 ( X ) = σ d − σ ( X ) ≥ 0 g 3 ( X ) = x4 − x1 ≥ 0 g 4 ( X ) = x2 ≥ 0 g 5 ( X ) = x3 ≥ 0 g 6 ( X ) = Pc ( X ) − F ≥ 0 g 7 ( X ) = x1 − 0.125 ≥ 0 g 8 ( X ) = 0.25 − δ ( X ) ≥ 0
z1 中只能取三个量中的二个作为设计变量） 。设计变量有连续变量和离散变量二种形 z2
2) 设计变量的表示 对于一个优化问题，设计变量的个数则称为该问题的维数（Dimension） ，用一数组 X 或向量表示： （n-dimensional vectors）
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。大多数机械优化设计中的设计变量都是连续变 式（Continuous & Dispersive Variable） 量，可以用常规的优化算法来求解。而对于像齿轮的齿数、模数、钢板的厚度等只能在一定 的数集里取值的离散变量的优化设计问题，则需用特殊的优化算法。
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0 <θ <
1 × 高 × （上底边+下底边） 2 其中，上底边= 24 − 2 x ；下底边= 24 − 2 x + 2 x cos θ ；高= x sin θ S=
π , 0 < x < 12 2
1
图 2-2
解： 当主轴的材料选定后，其重量仅与四个量有关。轴的内经 d ，外经 D ，支撑间的跨 距 l 及外伸端 a 。由于机床主轴的内孔是用来通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定， 不能选作设计变量。因此，该问题的设计变量取 l , D, a ；目标函数，即主轴的重量为
→
f ( X ) = x3 x4 ( L + x2 ) + x12 x2
对于焊接钢梁的限制条件 有 （1）焊接应力 τ ( X )
2
焊接应力由二部分组成， τ ( X ) = τ '+ τ '' ，其中， τ ' =
F MR , τ '' = J 2 x1 x2
x2 x +x M -- F 产生的扭矩， M = F [ L + ( x2 / 2)] ； J -- 极惯性矩， J = 2 0.707 x1 x2 [ 2 + ( 3 1 ) 2 ； 12 2 x2 x +x R = 2 + [ 3 1 ]2 4 2
4
图 2-4
当维数大于三时 （n > 3） （transcend space） 。 ， 设计空间就无法用图来表示， 称为超越空间 3) 设计变量的选取 设计空间的维数表示设计的自由度数。设计变量越多，设计自由度就越大，可供选择 的方案就越多，容易得到比较理性的结果。但随着设计变量数目的增多，必然会使问题复杂 化，给寻优带来更大的困难。因此，在满足基本设计要求的前提下，应尽量减少设计变量的 个数，把对目标函数影响较大的那些参数选作设计变量。但也应注意实用性，如为了选择一 种最合适的材料，将材料的某些性能取为设计变量，但这样求得的最优值，从材料供应方面 往往难以实现（ The variables are chosen as a few as possible） 。 2-2-2 目标函数 （ Objective Function） 1）目标函数的表示 在优化设计中用于评价设计方案好坏的衡量标准（Criterion） ，称为目标函数或评价函 数。它是设计变量的函数，记作 f ( X ) = f ( x1 x2 K xn ) 。 在工程实际中，优化设计问题的目标函数有二种形式， 目标函 数的极小化或 极大化， 即 （Maximization & Minimization ）
f ( X ) → min
或
f ( X ) → max
其实，目标函数 f ( X ) 的极大化就等价于 − f ( X ) 的极小化，为了统一优化算法和程序，以 后最优化均指目标函数的极小化。 建立目标函数是整个优化设计中的重要环节。在机械设计中， 目标函数主要根据设计 准则来建立的。 对于机构的优化设计， 这个准则可以是运动学或动力学的特性， 如运动误差、 振动特性等；对于另部件的设计，这个准则可以是重量、体积、效率等；对于产品设计，也 可以将成本、价格、寿命等作为设计追求的目标。 2）单目标和多目标优化问题 （Single- or Multi- Objective Function） 在优化设计中，数学模型中仅包含一项设计准则，即目标函数的称为单目标优化问题。 同时包含若干个设计准则的就是多目标优化问题。一般来说，目标函数越多，对设计的评价 就越周全，设计的综合效果就应该越好，但对问题的求解就会越复杂。本课主要解决单目标 优化问题，在最后介绍一些多目标问题的求解方法。 3） 目标函数等值线（Level Curves, Isoline） 目标函数 f ( X ) 是设计变量 x 的函数。一组设计变量 {x1 x 2 K x n } 就代表一个设计方
Exp. 2-4 例 2-4
值为 60 元；产品 B 每件需用材料 4 kg ，10 个工时和 5kw.h 电，产值为 120 元；若每天可提 供材料 300kg ， 300 个工时和 200kw.h 电，问每天生产 A, B 产品各多少件，获得的总产值 才能最大？ 解： 这是一个生产计划的优化问题。假设每天生产 A 产品 x1 件， B 产品 x 2 件，在材料、
工时和电力供应量的限制下，求 x1 , x 2 的值，使总产值最大。 该优化问题的设计变量为
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某工厂生产 A, B 二种产品。产品 A 每件需用材料 9kg ， 3 个工时和 4kw.h 电，产
x1 和 x2 ；
3
目标函数为 满足限制条件
f = 60 x1 + 120 x2 → max