勾股定理的证明及应用

印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花 问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，
请用学过的数学知识回答这个问题C。 2
B
Байду номын сангаас
X X+0.5 A
折叠问题
勾股定理
如图，小颍同学折叠一个直角三角形
D C
8
A 30°
B
平面展开问题
勾股定理
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高 分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个 台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点 出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A A
B
C
B
平面展开问题
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B D
A
C
E
面积法求三角形的高
勾股定理
等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm, 求△ABC的面积和AC边上的高。
A
13
13
H
B 10 D C
求三角形的边长
勾股定理
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
H G
B F
D
A
C
平面展开问题
有一个圆柱,它的高 等于12厘米,底面半 径等于3厘米,在圆柱 下底面上的A点有一 只蚂蚁,它想从点A爬 到点B , 蚂蚁沿着圆
我怎 么走
会最 近呢?
柱侧面爬行的最短路
程是多少? (π的值取3)
A
勾股定理
B
B
9cm B
高 12cm
勾股定理
A
A 长18cm (π的值取3)
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1： 1： ，试2判断△ABC的形状
解三角形：设未知数求长度
勾股定理
郑凯想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端 拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能 帮他算出来吗？
A
x米 (X+1)米
C 5米
B
荷花问题
勾股定理
3．21①．.已在若下不知Ra列=是一t△5各R个，A组tR△Bb数t△的=C中1中的是2，两（，，以边Ａ∠则a长，Cc=）分=b_，9别_0_c为１°为__3边，３_和_的_4_，三__角；形 ②若则A、第a=a三=11边5.，5长，c的=b平=225方,，c是=则3（bBＤ=、_２_a）_=０_7_,b_=__2_4_,c_=；25
AC、、2a5=6,b=B8、,c1=410 C、D、7 a=3,bD=4、,c7=或525
③若c=61，b=60，则a=_１___１______；
④若则aR∶t△b=A3B∶C4的，面c积=1为0，_２__４_____。
基础练习
勾股定理
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b） （a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。
常见勾股数
勾股定理
3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113
8，15，17
9, 12, 15 12，35，37 20，21，29 20，99，101 48，55，73 60，91，109
基础练习
勾股定理
勾股定理
如图所示，现在已测得长方体木块的长3厘米， 宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一 个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相 对的顶点B处。
H G
B F
D
A
C
勾股定理
如图所示，现在已测得长方体木块的 长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘 蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇 在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。
∵ AB2=92+122=81+144=225=152
∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.