第七章最小二乘问题解析

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最小二乘法求最值问题的一种简便证明

最小二乘法求最值问题的一种简便证明1. 引言最小二乘法是一种常用的数学工具，用于拟合数据或解决最值问题。

其中，最小二乘法求最值问题是一种常见的数学问题，其简便证明对于理解和应用最小二乘法都有着重要意义。

2. 问题描述最值问题是数学中常见的问题类型，在实际应用中也有着广泛的应用。

最小二乘法求最值问题指的是在一组数据中，通过最小化误差平方和来确定最优拟合曲线或最优参数。

其数学表达式为：对于给定的数据点(xi, yi)，拟合曲线为y = a + bx，其中a和b为待定参数。

最小二乘法的目标是找到最优的参数a和b，使得误差平方和最小。

3. 证明思路为了简便证明最小二乘法求最值问题，我们可以从最小化误差平方和的数学表达式入手，利用数学推导和分析来得到最优参数a和b的表达式。

4. 证明过程我们可以建立误差平方和的数学表达式：E = ∑(yi - (a + bxi))^2通过对参数a和b分别求偏导数，让偏导数等于0，得到参数a和b 的表达式：∂E/∂a = -2∑(yi - (a + bxi)) = 0∂E/∂b = -2∑xi(y i - (a + bxi)) = 0进一步求解上述方程组，可以得到参数a和b的表达式：a = (Σyi - bΣxi) / nb = (nΣxiyi - ΣxiΣyi) / (nΣxi^2 - (Σxi)^2)通过上述推导，我们得到了最小二乘法求最值的简便证明，也得到了参数a和b的最优表达式。

5. 总结和回顾通过对最小二乘法求最值问题的简便证明，我们在数学推导和分析的基础上，得到了最优参数a和b的表达式。

这个证明方法可以帮助我们更全面、深刻地理解最小二乘法的原理和应用，对于实际问题的解决也具有重要意义。

6. 个人观点最小二乘法是一种常用的数学工具，在实际应用中有着广泛的用途。

通过简便的证明方法，我们能够更容易地理解和应用最小二乘法，为相关问题的解决提供了重要的思路和方法。

以上是对最小二乘法求最值问题的一种简便证明的文章撰写，希望能够帮助你更深入地理解这个主题。

最小二乘法知识

最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。

它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。

最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。

对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。

那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。

最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。

对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。

我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。

然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。

在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。

一种常用的迭代方法是梯度下降法。

梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。

具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。

迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。

学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。

最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。

在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。

同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。

除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。

的最小二乘解

的最小二乘解最小二乘解（Least squares solution）是一种线性方程组求解方法，它的目标是找到一个向量，使得这个向量和实际数据点间的误差平方和最小，因此也被称为“最小平方拟合”或者“最小误差平方和解”。

最小二乘解在多个领域中都有广泛的应用，如经济学、物理学、信号处理等。

一个线性方程组可以用矩阵和向量的乘积来表示，即 Ax = b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b都是n维列向量。

如果A的行向量线性无关（也就是说没有冗余的等式），则称A为列满秩。

如果A的行向量不满秩，则Ax = b可能没有解，也可能有无限个解。

如果A的列向量是满秩的，则称A为行满秩，那么Ax = b只有一个解。

如果A既不是行满秩也不是列满秩，则称A为奇异的（singular）。

当A的列向量不满秩时，我们通常无法找到一个x，使得Ax = b。

但是在很多情况下，我们希望找到一个最接近的x，使得Ax与b之间的误差尽量小。

这就是最小二乘解的目标。

我们定义误差向量e = Ax - b，我们希望找到一个x，使得e的范数（也就是长度）最小。

因此，我们需要解决以下最小化问题：$$\min_{x} ||Ax-b||^{2}$$其中，$||\cdot||$表示向量的范数。

上述问题是一个无约束的最小二乘问题。

它的解为：$$x = (A^TA)^{-1}A^Tb$$这个解也被称为正规方程组（normal equations）的解。

正规方程组是一个n×n的矩阵，当A的列向量是满秩的时候，它是一个可逆矩阵，因此解存在且唯一。

但是如果A的列向量是线性相关的，那么正规方程组将不可逆，且解不唯一。

在这种情况下，我们需要使用其他的方法求解最小二乘解。

另一种求解最小二乘解的方法是QR分解（QR decomposition）。

QR分解将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A = QR。

正交矩阵Q的每一列都是单位向量，因此Q的转置和逆相等。

最小二乘法

第七章最小二乘法最小二乘法是实验数据处理的一种基本方法。

它给出了数据处理的一条准则，即在最小二乘以一下获得的最佳结果（或最可信赖值）应使残差平方和最小。

基于这一准则所建立的一整套的理论和方法，为随机数据的处理提供了行之有效的手段，成为实验数据处理中应用十分广泛的基础内容之一。

自1805年勒让得（Legendre ）提出最小二乘法以来，这一方法得到了迅速发展，并不断完善，成为回归分析、数理统计等方面的理论基础之一，广泛地应用于天文测量，大地测量及其他科学实验的数据处理中。

现代，矩阵理论的发展及电子计算机的广泛应用，为这一方法提供了新的理论工具和得力的数据处理手段。

随着计量技术及其他现代科学技术的迅速发展，最小二乘法在各学科领域将获得更为广泛的应用。

本章仅涉及独立的测量数据的最小二乘法处理。

以等精度线性参数的最小二乘法为中心，叙述最小二乘法原理，正规方程和正规方程的解，以及最小二乘估计的精度估计。

最后给出测量数据最小二乘法处理的几个例子。

7 .1 最小二乘法原理县考察下面的例子。

设有一金属尺，在温度()C t ︒条件下的长度可表示)1(0t y y t α+=式中 y 0——温度为0°C 时的金属尺的长度；α——金属材料的线膨胀系数； t ——测量尺长时的温度。

现要求给出y 0与α的数值。

为此，可在t 1与t 2两个温度条件下分别测得尺的长度l 1与l 2，得方程组()()⎭⎬⎫+=+=20210111t y l t y l αα由此可解得y 0与α。

事实上，由于测量结果l 1与l 2含有测量误差，所得到的y 0与α的值也含有误差。

显而易见，为减小所得y 0与α值的误差，应增加y t 的测量次数，以便利用抵偿性减小测量误差的影响。

设在n t t t ,,,21 温度条件下分别测得金属尺的长度n l l l ,,,21 共n 个结果，可列出方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=+=)1()1()1(0202101n n t y l t y l t y l ααα)1(0t y y t α+=但由于方程式的数目n 多于待求量的数目，所以无法直接利用代数法求解上述方程组。

第七章受限OLS

Q : 3120个家庭中任一家庭所需要的住房面积 P : 家庭所在地住房的单位价格 Y : 家庭收入
该回归模型的估计为: 该回归模型的估计为
log Q = 4.17 0.247 log p + 0.96 log Y
SE :
(0.11) (0.017) (0.026)
^
（模型1）模型）
R 2 = 0.371
线性约束最小二乘估计(受限最小二乘受限最小二乘) 第七章线性约束最小二乘估计受限最小二乘
一、多个回归系数的联合检验 R2和F检验提供了对所有回归系数为零的原假设检验提供了对所有回归系数为零的原假设的检验，的检验，但有时我们会想对部分回归系数所组成的子集是否显著进行联合检验。集是否显著进行联合检验。考虑多元回归模型：考虑多元回归模型：
三、有关不同回归模型的系数是否相等的检验有时我们对是否应当将一个模型应用于两个不同的数据集没有把握，的数据集没有把握，可以从两个回归方程是相同的原假设开始进行检验，称为Chow检验。考虑回归模型：检验。假设开始进行检验，称为检验考虑回归模型：
Yi = β1 + β2 X2i +βk Xki + ui (i =1N)
log Q D log Y 模型3）（模型） = β1 + α1 D + β 2 log p + α 2 D log p + β 3 (log Y D log Y ) + u
估计得R 估计得 2=0.3785
相对于模型3，模型2为无条件模型模型3的为无条件模型，相对于模型，模型为无条件模型，模型的约束条件个数为1，则相应的F统计量为统计量为：约束条件个数为，则相应的统计量为：

最小二乘法相关习题答案

最小二乘法相关习题答案最小二乘法是数学中一种常见的优化方法，广泛应用于数据拟合、回归分析等领域。

在这篇文章中，我们将探讨一些与最小二乘法相关的习题，并给出详细的答案解析。

1. 问题描述：已知一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，要求通过这些数据点找到一条直线y = ax + b，使得这条直线与数据点的拟合误差最小。

解答：根据最小二乘法的原理，我们需要最小化误差函数E = Σ(yi - (axi + b))^2。

为了求得最优解，我们需要对E分别对a和b求偏导，并令其为0。

对于a，我们有∂E/∂a = -2Σxi(yi - (axi + b)) = 0，整理得到a = (Σxiyi - nxb) / (Σxi^2 - nxa)。

对于b，我们有∂E/∂b = -2Σ(yi - (axi + b)) = 0，整理得到b = (Σyi - naxi) / n。

所以，最小二乘法的解为a = (Σxiyi - nxb) / (Σxi^2 - nxa)，b = (Σyi - naxi) / n。

2. 问题描述：已知一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，要求通过这些数据点找到一个二次曲线y = ax^2 + bx + c，使得这个二次曲线与数据点的拟合误差最小。

解答：与问题1类似，我们可以构建误差函数E = Σ(yi - (axi^2 + bxi + c))^2，并对E分别对a、b和c求偏导，并令其为0。

对于a，我们有∂E/∂a = -2Σxi^2(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到a =(Σxi^2yi - bxΣxi - cΣxi^2) / (Σxi^4 - aΣxi^3 - bΣxi^2).对于b，我们有∂E/∂b = -2Σxi(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到b = (Σxiyi- axiΣxi^2 - cΣxi) / (Σxi^3 - aΣxi^2 - bΣxi).对于c，我们有∂E/∂c = -2Σ(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到c = (Σyi -axi^2Σxi - bxiΣxi) / n。

正规方程最小二乘法

正规方程最小二乘法正规方程最小二乘法是一种经典的线性回归分析方法，其基本思想是通过最小化残差平方和来求得解析解。

该方法具有较高的精度和稳定性，在实际应用中被广泛采用。

下面是关于正规方程最小二乘法的详细介绍和说明。

一、正规方程最小二乘法的基本原理1.1 残差平方和在线性回归分析中，我们假设因变量 Y 与自变量 X 之间存在一定的线性关系，即 Y=b0+b1*X+e，其中 b0 和 b1 是常数，e 是误差，表示模型无法完全解释的因素。

我们的目标是通过观测数据来求出 b0 和 b1，使得模型的拟合程度最好，也就是误差最小化。

为了度量模型的拟合程度，我们引入残差平方和：$$SSR=\sum\limits_{i=1}^{n} e_i^2$$其中，n 是样本容量，e_i 是第 i 个观测值的误差。

1.2 最小二乘法最小二乘法的基本思想是通过最小化残差平方和来求解 b0 和 b1。

具体而言，我们希望找到一组 b0 和 b1，使得 SSR 达到最小值。

这个问题可以归纳为以下等价形式：$$ X'X b = X'Y $$其中，X 是一个 n×2 的自变量矩阵，第一列是常数项，第二列是自变量 X；Y 是一个 n×1 的因变量向量；b 是一个 2×1 的系数向量，第一个元素是常数项 b0，第二个元素是斜率 b1。

假设我们已经得到了 X'X 的逆矩阵 (X'X)^{-1}，那么正规方程的解析解就是：$$ b = (X'X)^{-1} X'Y $$通过这个公式，我们可以直接求解出 b0 和 b1 的估计值，从而得到线性回归模型的解析式。

二、正规方程最小二乘法的优缺点2.1 优点正规方程最小二乘法具有以下优点：（1）精度高：由于采用了解析解的方法，正规方程最小二乘法可以求得最优解，具有高精度和稳定性。

（2）简单易懂：该方法的公式简单易懂，容易被掌握和应用。

线性方程组的最小二乘解

线性方程组的最小二乘解在数学中，线性方程组是一个或多个线性方程的集合。

解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。

然而，在现实世界的许多情况下，由于数据存在误差或方程组不完全满足，我们无法找到一个精确的解。

因此，在这种情况下，我们借助最小二乘法来寻找一个近似解。

最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来估计未知参数的统计方法。

它的基本思想是将线性方程组的解转化为一个优化问题，使误差最小化。

这样做的原因是测量误差在实际问题中是不可避免的，而最小二乘法能够有效地减小误差对解的影响。

现在，我们考虑一个具体的线性方程组：\[Ax = b\]其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的向量，b是一个m×1的向量。

通常情况下，该方程组无法找到一个完全满足的解。

我们将通过最小二乘法来确定一个最接近的解。

为了得到最小二乘解，我们需要定义一个误差函数，即残差：\[r = Ax - b\]我们的目标是使残差的范数最小化。

这里我们选择残差的欧几里得范数：\[||r||_2 = \sqrt{r^Tr}\]最小二乘解x可以通过求解下面的优化问题得到：\[x_{LS} = \arg\min_x ||Ax - b||_2^2\]为了求解上述优化问题，我们可以使用求导的方法。

令误差函数对x的导数为零，可以得到如下的正规方程：\[A^TAx = A^Tb\]解这个正规方程可以得到最小二乘解x的闭式表达式。

然而，这种方法在矩阵A的条件数较高时可能会导致数值不稳定的结果。

为了解决这个问题，我们可以使用QR分解方法。

QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的方法。

通过QR分解，我们可以将正规方程重新表示为：\[Rx = Q^Tb\]然后，通过反向代入法，可以求解最小二乘解x。

除了使用QR分解法，其他方法，如SVD分解、正交投影等，也可以用于求解线性方程组的最小二乘解。

最后，应该注意的是，最小二乘解不一定是唯一的。

最小二乘法高斯牛顿法求解

最小二乘法高斯牛顿法求解最小二乘法和高斯-牛顿法是两种常用的优化技术，用于求解线性回归问题。

最小二乘法是一种简单且广泛使用的优化技术，用于拟合线性模型。

高斯-牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性最小二乘问题。

最小二乘法是一种简单且广泛使用的线性回归方法。

它的基本思想是通过最小化预测值与实际观测值之间的平方误差来拟合一个线性模型。

在最小二乘法中，我们通常使用矩阵表示法来描述问题。

设 (X) 为 (n \times p) 的设计矩阵，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个特征。

设 (y) 为 (n \times 1) 的响应向量。

线性回归模型可以表示为 (y = X\beta + \epsilon)，其中 (\beta) 是 (p \times 1) 的参数向量，(\epsilon) 是误差项。

最小二乘法的目标是最小化 (||X\beta - y||^2)，即最小化预测值与实际观测值之间的平方误差。

高斯-牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性最小二乘问题。

它是一种基于雅可比矩阵的优化方法，通过迭代更新参数向量来逼近最优解。

高斯-牛顿法的每一次迭代包括以下步骤：计算雅可比矩阵 (J(\beta)) 和海森矩阵 (H(\beta))。

计算负海森矩阵 (H(\beta)) 的逆矩阵 (H^{-1}(\beta))。

计算参数向量的更新值 (\Delta\beta = -H^{-1}(\beta) J(\beta))。

更新参数向量 (\beta = \beta + \Delta\beta)。

重复步骤 1-4，直到参数向量收敛。

高斯-牛顿法的优点是可以处理非线性问题，并且收敛速度快。

但是，它需要计算海森矩阵和其逆矩阵，这可能在计算上比较昂贵。

因此，对于大规模问题，可能需要使用其他优化技术，如梯度下降法或拟牛顿法。

第七章联立方程估计

的其他g1 1个内生变量的观测值构成的T (g1 1)矩阵，用Y12表示在该方
程中未出现的内生变量观测值构成的矩阵，
用X
11和X
2分别表示
1
在这个
方
程中出现的和未出现的前定变量的观测值所构成的T K1矩阵T (K K1)
矩阵，
那么Y和X分别由分块矩阵Y
[Y1Y11Y12 ]和X
[
X
1 1
由于方程中这度识别的，因此不在该方程中的模型疥定变量的个数一定
大于该方程中所包含的内生解释变量的个数g1 1。我们在该方程中没有
出现的前定变量中，选择g1 1与这些内生变量相关性较强的变量，它们
的观测值构成T
(g1
1)矩阵X
0。X
1
10与X 1构成T
(g1
K1
1)分块矩阵
[
X
0 1
X
1
x1t y2t 12
x3t y2t 12
x1t y1t 23
x3t y1t 23
x1t x3t，
即20
1012
x32t
20 3012 1023
解之得12 2，23 4
如以x2为工具变量，则正规方程组为
x2t y2t 12
x2t y1t 23
x2t x3t，
14
在模型y2t 21 y1t 23x3t中，[Y20 X 2 ] [zx3 ],
z x1 4x2 3x3,Y2 y2
12
则
11
([Y20 X 2 ]'[Y20 X 2 ])1[Y20 X 2 ]'Y2
180
30
12
301 120
10
20

最小二乘法基本原理

最小二乘法基本原理最小二乘法是一种常见的数学拟合方法，它可以用来求解线性回归、非线性回归等问题。

在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于数据拟合、参数估计等领域。

本文将介绍最小二乘法的基本原理，帮助读者更好地理解和应用这一方法。

首先，我们来看看最小二乘法的核心思想。

最小二乘法的目标是找到一条曲线或者一个函数，使得这条曲线或者函数与实际数据的残差平方和最小。

残差即实际观测值与拟合值之间的差距，残差平方和的最小化可以保证拟合效果更好。

在线性回归问题中，我们通常假设模型为y = β0 + β1x + ε，其中β0和β1为待估参数，ε为误差项。

我们的目标是找到最优的参数估计值β0和β1，使得模型的拟合效果最好。

最小二乘法通过最小化残差平方和来实现这一目标。

具体来说，对于给定的数据集{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们可以通过最小二乘法求解出最优的参数估计值β0和β1。

首先，我们需要构建损失函数，通常选择残差平方和作为损失函数。

然后，通过对损失函数进行求导，可以得到最优参数的闭式解。

最终，我们就可以得到最优的参数估计值，从而得到最佳拟合曲线。

除了线性回归，最小二乘法还可以应用于非线性回归问题。

在非线性回归问题中，我们的模型可能是非线性的，例如y = β0 + β1x + β2x^2 + ε。

此时，我们可以借助最小二乘法来求解最优的参数估计值β0、β1和β2，从而得到最佳拟合曲线。

最小二乘法的优点在于它具有良好的数学性质和稳定的数值计算方法。

通过最小二乘法，我们可以得到最优的参数估计值，从而使得拟合效果更好。

此外，最小二乘法还可以通过统计检验来评估模型的拟合效果，从而帮助我们判断模型的可靠性。

总之，最小二乘法是一种常见且实用的数学拟合方法，它可以用来求解线性回归、非线性回归等问题。

通过最小二乘法，我们可以得到最优的参数估计值，从而使得拟合效果更好。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用最小二乘法，从而在实际问题中取得更好的效果。

计算方法引论-第七章

计算方法引论：数值代数⏹解线性方程组的直接法⏹解线性方程组最小二乘问题⏹解线性方程组的迭代法⏹矩阵特征值和特征向量的计算⏹非线性方程及非线性方程组解法第七章线性方程组最小二乘问题•线性最小二乘问题•满秩分解•广义逆矩阵•Gram-Schmidt方法•Householder变换•Givens变换•奇异值分解线性最小二乘问题•线性代数方程组Ax=b(1)–相容:有解, 可能有无穷多解(欠定).–不相容(矛盾,超定):无解.–广义解:最小二乘解.总存在,可能有无穷多.•最小二乘解–求剩余平方和║Ax -b ║2的最小值点–求正规方程(法方程)A T Ax =A T b (通常意义)的解–二者等价:象数据拟合法那样用微分法可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111满秩分解与广义逆矩阵•满秩矩阵:A,rank(A)=min{m,n}m×n–行满秩:A,rank(A)=mm×n–列满秩:A,rank(A)=nm×n•满秩分解A= B m×r A r×n,rank(A)=rm×n–(不惟一)可取A的线性无关列为B,它们表出A各列的系数对应为C•广义逆矩阵(惟一)–A+=C T(CC T)-1(B T B)-1B T•注:广义逆矩阵可多个方式定义并确认其惟一性.似乎用奇异值分解更简明实用A+计算•满秩矩阵–行满秩: A+=A T(AA T)-1–列满秩: A+=(A T A)-1A T •非零向量–行向量:x=(x1,x2 ,…,x n)x +=x T/(x12+…+x n2)–列向量x=(x1, x2,…,x n) Tx +=x T/ (x12+…+x n2) •例[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21211012151112111212211AA +计算又例•A 作满秩分解消元所有列都用1、3列表出131042611713013⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 0.0535710.0178570.0714290.160710.0535710.214290.369050.0119050.380950.422620.0297620.452380.208330.0416670.16667+-⎛⎫⎪- ⎪⎪=-- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 消元矩阵解释•求A +–·–·1–·1131040011100000⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎝⎭131040011100111⎛⎫⎪-- ⎪⎪--⎝⎭ ③–②·1 ②–①·2 ③–①·1 1113013210011110⎛⎫⎛⎫⎪=⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭A 100131042100011111100*********4210011111⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎝⎭AA+性质•X=A+满足Penrose方程–AXA=A(P1)–XAX=X(P2)–(AX)T=(AX)(P3)–(XA)T=(XA)(P4)•性质–A可逆A+=A-1–(A T)+= (A+)T–(A T A)+=A+(A T)+–(A+A)2=A+A,(AA+)2=AA+•注:不具有逆的某些性质[][]2222))(())((乃知)(1141))(()()()(故2/1)()(,1)(1121)()()(1)(,1121)(,01,11++++++++++++++≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≠==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xyxyxyxyxyyxyxyxyxxyxyyxyx方程组(1)的解•方程组(1)有解iff AA+b=b–充分性:AA+b=b,则x=A+b满足(1)–必要性:有Ax=b即有AA+(Ax)=b, AA+b=b •(1)有解则其通解为(2)x=A+b+(I-A+A)z, z任意n维向量–(1)有解则A+b是解而A(I-A+A)=A-AA+A=O–设y是解.令z=y-A+b则Az=o.于是z=(I-A+A)z,从而y=A+b+z=A+b+(I-A+A)z.方程组(1)的解(续)•(1)有解时A+b为其通解(2)中惟一2-范数最小者.一般情况下(1)的最小二乘解通解亦(2), A+b仍为其通解中惟一2-范数最小者–(1)有解通解是(2).由于(A+)T(I-A+A)=(A+)T (A+A)T(I-A+A)=(A+)T (A+A-A+A)=O.得║x ║2 = ║A+b║2+║(I-A+A)z║2 +(A+b)T(I-A+A)z= ║A+b║2+║(I-A+A)z║2>0,当(I-A+A)z≠o–一般情况下.令b=c+d, c=AA+b,d=(I-AA+)b,则c T d=0,A T d=o,Ax=c有解y=A+c+(I-A+A)z=A+b+(I-A+A)z,且║b-Ax║2=║c+d-Ax║2 =║c-Ax║2 +║d║2 > ║d║2 ,当Ax≠c.乃证得(1)的最小二乘解通解亦(2).其中A+b为惟一2-范数最小者前己证得.Gram-Schmidt 正交化•G-S 方法可将线性无关的向量组正交化–β1=α1, r 11=║β1║,q 1=β1/r 11–β2=α2-r 12q 1, r 12=(α2, q 1), r 22=║β2║,q 2=β2/r 22–βk =αk -r 1k q 1 -r 2k q 2 -…-r k-1,,k q k , r ik =(αk , q i ), i =1,2, …,k -1, r kk =║βk ║, q k =βk /r kk , k =3, …,n•矩阵表示–A=QR–(α1α2 …αn )=(q 1q 2…q n )⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n r r r r r r22211111•G-S 方法•修改的G-S 方法–后一算法改变原算法:算出后立即修改使之皆与正交,以后对它们逐个作类似处理.–二算法主要运算量是乘法和加法运算各mn 2次1112/||||=βααfor j = 2:nT T T 112211j j j j j j j --=----βαβαββαββαβ 2/||||j j j =βββ endfor j = 1:n2/||||j j j =βαα for k = j +1:nT k k j k j =-ααβαβ endend1β211,,,n j j j =-：ααααβαβ211,,,2,3,,.n j j j j n =-=：ααααβαβT 211,,,2n j j j j =-=：ααααβαβ1β•A =QR•各列正交化过程5251103202230012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.07647200.397360.91766-⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭Q 5.0990 1.9612 5.49130.588350 2.0381 1.5852 2.528800 2.5166 3.267200.76472---⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪⎝⎭R T T 22121(0.076923,0.38462,2,0)=-=-βαβαβ22|||| 2.0381=βT 2(0.037743,0.18871,0.98131,0)=-βT T13235.4913, 1.5852=-=βαβαT T T33131232(0.44444,2.2222,0.44444,1)=--=-βαβαββαβ32|||| 2.5166=βT3(0.17660,0.88302,0.17660,0.39736)=-β-3.2672T4(0.058480,0.29240,0.058480,0.70175)=---β42||||0.76472=βT4(0.076472,0.38236,0.076472,0.91766)=--β12|||| 5.0990=αT1(0.98058,0.19612,0,0)=βT 12 1.9612=-βαT T T 1424340.58835, 2.5288,0.32672=-=-=-βαβαβαHouseholder 变换•定义–H =I -2ww T , ║ w ║ =1•性质–H T =H–H T H =H 2=I–任一x ,║Hx ║=║x ║–任给x 及y ,║y ║=║x ║≠0,总有H 使Hx=y , 不难验证:取w =(x-y )/ ║x-y ║即可.–y 常取坐标轴方向,如y = -sign(x 1 )║x ║ e 1v =x +sign(x 1)║x ║ e 1(w =v / ║v ║)H =I -βvv T ,β=2/v T v用此变换可将矩阵化成上三角(消元)Household变换:算法•变换Hx= -αe1:计算v(存入x)及α=sign(x1)║x║,β–η=max{|xi|}计算v及β时引入的比例因子–xi=x i/η, 1≤i≤n–α= sign(x1)║x║–x1=x1+α, β =(αx1)-1, α= ηα•计算A=HA(H由β,v给出)–设A=(a1… aq)则HA=A-βvv T A=(…a j -βvv T a j…)–算法:对j=1,2,…,qσ=v T aja j =a j -σβv•由此不难导出化上三角的算法Household 正交化•Householder 变换可实现QR 分解–A =QR , Q m ×m 正交阵, R m ×n 上三角阵–实现:作Q p …Q 2Q 1A=R , Q k 是H-变换.p =min{m -1,n }, 即得A =QR , Q =Q 1Q 2…Q p -1•典型步(对照右边矩阵表示)–象消元法那样将右下角矩阵第一列对角元下全变成零(己是则免,H =I )–Ĥ=I -βvv T ,β=2/v T v同前,H =diag(I Ĥ)也是H-变换T⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡v o v o I H A o r A H A O R H I β•Householder 正交化(QR 分解)算法1．输入m n ⨯∈A R ，置1,min(1,).k p m n ==- 2．max(||,,1,,).ik a i k k m η==+ 3．若0η=，则0,0k kk d r ==，否则221/,,,sign()(),1,,,,,,1,,ik ik kk kkmkkk kk k kk kk m j ik ij k i k ij ij j ik a a i k ma a a a a d a r a a d j k n a a a i k m j k n ηαααηαττ-====++=+==-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭=-==+∑ 4．若k <p ，则k = k +1，转步骤2；否则，结束. 11213111(1)(2)2223222(1)(2)(3)333333(1)(2)(3)444,,r r r r r r βββ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭A r d v v v v v v v v v (1)11213(1)(2)2223(1)(2)(3)333(1)(2)(3)444,r r r ⎛⎫ ⎪⎛ ⎪==⎪⎪⎝ ⎪⎝⎭A r v v v v v v v v v 运算量:乘、加各次求Q=H 1…H P I 另需乘、加次数各存储方式: 2313mn n -22312()3m n mn n -+2.0198 1.9612 5.49130.588350.20.39223 1.9652 2.157302230012⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭•A =QR•正交化过程k = 1525110320223012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 5.0990 1.9612 5.49130.588350 2.0381 1.5852 2.528800 2.51663.2672000.76472-⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-⎪-⎝⎭R 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.076472000.397360.91766---⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪---⎪-⎝⎭Q a 1 = (5,1,0,0)T ,5η= 1.0198α=T11(2.0198,0.2,0,0)==a v 11110.48548, 5.0990d r β===-a 1 = (1,0.2,0,0)T ,a 11 =1+1.098= 2.019 8用以变换A 的后三列得到1Household 正交化算例(续)•正交化过程k = 2•正交化过程k = 3T2(0.39223,2,0),2η==a 220.19612 1.0190 1.2152a =+=T22(1.2152,1,0)==a v 22220.80755, 2.0381d r β===-2.0198 1.9612 5.49130.588350.2 1.2152 1.5852 2.528801 2.3094 2.6943012⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-⎝⎭用以变换A 的最后一列得到用以变换A 的后二列得到T3(2.3094,1), 2.3094η==a T3(1,0.43301)=a 1.0897α=T33(2.0897,0.43301)==a v 33330.43913, 2.5166d r β===-2.01981.9612 5.49130.588350.21.2152 1.58522.528801 2.08973.2672000.433010.76472⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭T2(0.19612,1,0), 1.0190α==a T 11T 22T330.48548,(2.0198,0.2,0,0)0.80755,(1.2152,1,0)0.43913,(2.0897,0.43301)βββ======v v v R 如前，Q 可由下面的信息生成Givens 变换•定义–G =G (i ,k ,θ)=I +s (e i e k T -e k e i T )+c (e i e i T +e k e k T )•性质–G T G =I–任给x 可使y =G x 的k 分量为零:r =(x i 2+x k 2)1/2 ≠0c =x i /r ,s =x k /r•可用以化上三角形一如消元过程⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11),,(c s s c k i G θendend ,11, else ,11, if else 0,1 0 if 22cts tc x x t stc ts x x t x x s c x i k k i ik k =+===+==≥===Givens 正交化算例•算例•过程525110320223012---⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 0.980580.0377430.176600.0764720.196120.188710.883020.3823600.981310.176600.076472000.397360.91766--⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎝⎭Q 5.09901.9612 5.49130.5883502.0381 1.5852 2.528800 2.51663.267200.76472---⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭R (2,1)元变为零，t = 0.2, c = 0.980 58, s = 0.196 12.一行：5.099 0 –1.961 2 –5.491 3 –0.588 35二行：0 0.392 23 –1.961 2 2.157 3(3,2)元变零，t = 0.196 12, c = 0.192 45, s = 0.981 31.二行：0 2.038 1 1.585 2 –2.528 8三行：0 0 2.309 4 –2.694 3(4,3)元变零，t = 0.433 01, c = 0.917 66, s = 0.397 36.QR 分解定理•定理设A 是m ×n (m ≥ n ) 矩阵,则A 有QR 分解, 其中Q 是m ×n 的正交矩阵,R 是具有非负对角元的上三角矩阵;而且当m = n 且A 非奇异时R 的对角元皆正上述分解还是唯一的•证⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 于是，有T 12T11||||⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭Q A A v α 1 n –1对(1)(1)m n -⨯-矩阵A 1应用数学归纳法假定，得 212⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 其中，Q 2是(m –1)×(m –1)正交矩阵，R 2是具有非负对角元的(1)(1)n n -⨯-上三角矩阵. 这样，令T 121221||||,⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q Q R Q R αv 000 则Q 和R 满足定理的要求. 存在性得证.再证唯一性. 设m = n 且A 非奇异，易知R 对角元皆正，假定==A QR QR ，其中，Q , Q 是m m ⨯正交矩阵，R , R 是具有正对角元的上三角矩阵. A 非奇异蕴含着R , R 的对角元均为正数，因此，有 T 1-=Q Q RR 既是正交矩阵又是对角元均为正数的上三角矩阵，只能是单位矩阵. 从而，必有=Q Q ，=R R 即分解是唯一的先证存在性，用数学归纳法. 当n = 1时，定理显然成立. 现假定已经对所有p ×(n –1)矩阵成立，这里假设(1)p n ≥-，设m n ⨯矩阵A 的第一列为1α(可为零向量)，则由定理7.5知，存在m m ⨯正交矩阵Q 1，使得T 11121||||=Q e αα于是，有T 12T11||||⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭0Q A A v α 1 n –1 对(1)(1)m n -⨯-矩阵A 1应用数学归纳法假定，得212⎛⎫= ⎪⎝⎭R A Q O 1m –1最小二乘解:列满秩•列满秩时求(1)的最小二乘解–形成正规方程A T Ax=A T b(n阶)(乘法和加法各mn2/2次) 用平方根法(乘法和加法各n3/6次)用G-S作A=QR:R T Rx=R T Q T b,Rx=Q T b(各mn2次) –用Householder变换或Givens变换作QR分解║Ax-b║2 =║Q T Ax-Q T b║2==║Rx-c1║2+║c2║2,解x=R-1c1,最小值║c2║2注: 若记Qm×m =(Q1 Q2), Q1是m×n阵则有c1=Q1b,c2=Q2b⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡21ccxOR最小二乘解:列满秩算例•求最小二乘解•求最小二乘解L123525110320223012x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭⎝⎭12326102831081442814399x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭正规方程5.0190001.9912 2.038105.4913 1.58522.5166⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭T( 1.6023,0.23099, 1.2982)=---x 5.09901.9612 5.49130.5883502.0381 1.5852 2.528800 2.51663.26720000.76472-⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭R 5251103202230012---⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A 方程H-正交化增广矩阵T ( 1.6023,0.23099, 1.2982)=---x 剩余是0.764 721.9612奇异值分解(SVD)•矩阵奇异值–A m ×n 的奇异值σ1≥σ2≥…≥σr >σr+1=…=σn =0是A T A 的特征值λ1, …,λn 的平方根•奇异值分解定理),,diag(正交阵,1Tr n n m m σσΣV U V O O O ΣU A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯形式阵即得矩,,1,连同,得,,,1由),,,(阵正交增.则,,1,/令,,),,,(证.取TTT21T TT21分解補成r k u Av o Av o Av A v o Av A n r k u u u U u u r k Av u v Av A I V V v v v V k k k k k kk m kj j k k k k k k k n =====+========σδσλ奇异值分解(续)•推论(记号同前)–分解形式A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σr u r v r TA=ÛΣŴT, Û=(u1u2…u r),Ŵ =(v1v2…v r)–空间关系R(A)=Span{u1,u2,…,u r}N(A)=Span{v r+1,v r+2,…,v n}R(A T)=Span{v1,v2,…,v r}N(A T)=Span{u r+1,u r+2,…,u m}R(A)=N(A T)⊥, R(A T)=N(A)⊥SVD 与A+•X =A +满足Penrose 方程–AXA =A (P1)–XAX =X (P2)–(AX )T =(AX )(P3)–(XA )T =(XA )(P4)•由SVD 解出X =A +T T 111T111rr ru v u v UO O O ΣV A σσ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+T 11T:乃得唯一解得(P4)代入得(P3)代入得(P2)代入得(P1)代入对应分块SVD 解.取U O OO ΣV X O L O K K L ΣM ΣS U M L K S V X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--图示A与A+•SVD绐出A与A+在标准正交基下向量对应关系V1= Span{v,v2,…,v r}, V2= Span{v r+1,v r+2,…,v n},1U1= Span{u,u2,…,u r}, U2=Span{u r+1,u r+2,…,u m}1最小二乘解•(1)的最小二乘解–推导:按前述标准正交基分解,再求║Ax-b║2最小x=c1v1+c2v2+…+c n v nA x=c1σ1u1+c2σ2u2+…+c rσr u rb=u1T b u1+u2T b u2+…+u m T bu m║Ax-b║2最小:c=u k T b/σk,k≤r,其余任意k–最小二乘解通解x=1/σ1u1T b v1+1/σ2u2T b v2+…+1/σr u r T b v r+ v r +…+c n v n, c r+1, …, c n任意c r+1–最小2-范数最小二乘解y=1/σ1u1T b v1+1/σ2u2T b v2+…+1/σr u r T b v rSVD与最小二乘解•上述结果亦可借助SVD得到–A, A+代入通解(2)x=A+b+(I-A+A)z(z任意n维向量)2-范数最小A+b=(1/σ1v1u1T+…+1/σr v r u r T)b(I-A+A)z=(I-(v1v1T+v2v2T+…+v r v r T) )z=(v r+1v r+1T+…+v n v n T)z =c r+1v r+…+c n v n –由SVD直接推出最小二乘解║Ax-b║2=║UΛV T x-b║2=║ΛV T x-U T b║2=║Λc-U T b║2 ,这里Λ=diag(ΣO),c=V T x的i,U T b的i分量u i T b.从而可得结果.分量ci代入正规方程A T Ax=A T b关于A +的定义•A +有多个等价定义–由满秩分解:C T (CC T )-1(B T B )-1B T–由Penrose 方程.–由SVD:–由最小二乘解:(1)中任一b 对应唯一最小2-范数最小二乘解x 所确定的矩阵.–由线性算子确定的矩阵.线性算子f :R m →R nf (y )=x ,当y ∈R (A ), Ax =y f (y )=o ,当y ⊥R (A )•注.一个或几个Penrose 方程可定义多种广义逆T1V O O O ΣU ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-。

最小二乘解

关于线性方程组的解析解线性方程组分为齐次线性方程组Ax=0和非齐次线性方程组Ax=b，其区别在于常数项是否为0向量。

此处x是n 维向量。

对于非齐次线性方程组，是否有解析解取决于A的增广矩阵(A|b)的秩。

分为以下几种情况：.如果r(A)=r(A|b)=n，有唯一解。

这种情况下线性无关方程个数与未知数个数相同。

.如果r(A)=r(A|b)<n，有无穷多解。

这种情况下约束不够，线性无关方程个数小于未知数个数，因此有无穷多解。

.如果r(A)<r(A|b)，无解。

这种情况指没有向量x 能够同时满足Ax=b，因此通常只能求解最小二乘近似解，且前提是r(A)=n。

对于齐次线性方程组，是否有解析解直接取决于A 的秩。

分为以下几种情况：.r(A)=n，且A为n*n 的方阵或线性无关方程个数与未知数个数相同，此时有且只有零解。

.r(A)<n，此时要么矩阵A 的行小于列，要么行向量线性相关，这种情况下约束不够，有无穷解。

.r(A)=n，且A为m行n列的矩阵，其中m>n（线性无关方程个数大于未知数个数），此时解析解也只有零解。

而通常这种情况我们想要求解其非零解，也只能通过最小二乘求解近似解。

事实上，我们在解决许多实际问题时，解析解只有零解或者无解，但我们又不得不求非零解时(尽管它不是完全准确)，我们就需要用到最小二乘法。

最小二乘求非齐次线性方程组最小二乘估计，旨在求解误差平方和最小的非零解。

其原理在我的另一篇专栏里有专门介绍：地主：从零认识最小二乘法，这里直接抛出线性最小二乘法的公式：x=(ATA)−1ATb该公式针对非齐次线性方程组，可直接对ATA求逆，再右乘ATb得到x的最小二乘解。

当然此处ATA是否可逆取决于该方阵是否是满秩矩阵，即要求A满秩。

如果不是满秩矩阵，说明约束不够，仍无法得到可靠的最小二乘近似。

最小二乘求齐次线性方程组然而，对于齐次线性方程组Ax=0的情况，由于b=0向量，我们无法直接通过线性最小二乘公式求解x的非零解。

最小二乘法原理的几何解释

(2)
a1 a2
得到(3)式。
从列的方向看矩阵，可以看到 a1 a2 b 三个列向量，这样看还不是很明显，干脆把(2)式再拆开，
Macer
MCR
1 1 3 -1 x1 1 x2 1 a1 x1 a2 x2 b
一但化成列的形式，我们就很自然想到把向量 a1 a2和b 画到图上。
Macer
MCR4Βιβλιοθήκη ba1a2
图 4
要找到解，就要找到 a1和 a2 的一个线性组合，使得组合后的向量刚好等于 b 。可惜的是任何的只可能出现在 a1和 a2 所在的平面 S 上（这个平面 S 就是传说中的向量空间）， a1和 a2 线性组合，但是向量 b 不在平面 S 上，如图 5。不可能找到解，怎么办呢？
4
3
y = 0.5x + 1.8333
2
1
0
0
1
图 8
2
3
Macer
MCR
7
图 8 既不是行的角度，也不是列的角度，它只是问题的来源，那如果从行的角度看方程(4)，是什么样子的，方程的每一行都是一条直线，三条直线不相交于一点，我们的解是图 9 中的圆点，是中间三角形的重心？质心？不知道呀看起来有点像。
AT e 0
(6)
ˆ AT b ，这就是传说的超 ˆ 0 ，化简一下就是 AT Ax 把(5)带入(6)中，结果出来了， AT b Ax
ˆ AT A AT b 。定方程的解法，这么简单就推出来了！所以最佳的近似解就是 x
1
这里你是否担心 AT A 不可逆？不会的，只要 A 的每一列是线性无关的，那么 AT A 就是一个可逆的对称的方阵。这样，按公式解出的

最小二乘法原理

最小二乘法原理最小二乘法原理最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合曲线或平面。

该方法的应用非常广泛，可以用于线性回归、曲线拟合、数据平滑等问题。

最小二乘法的原理可以简单概括为：在给定的数据集中，找到一条曲线或平面，使得该曲线或平面到各个数据点的距离的平方和最小。

具体而言，最小二乘法通过以下几个步骤来实现：1. 建立模型：首先需要确定拟合模型的形式，例如线性模型、多项式模型、指数模型等。

模型的选择要基于对数据的理解和背景知识。

2. 确定目标函数：目标函数是衡量拟合曲线与数据之间误差的度量。

常用的目标函数是误差的平方和，即将每个数据点到拟合曲线的距离平方求和。

3. 最小化目标函数：通过对目标函数求导，并使导数等于零，得到目标函数的最小值点。

这个最小值点就对应着最佳的拟合曲线或平面。

4. 求解参数：根据最小化目标函数的结果，求解拟合模型中的参数。

不同的模型有不同的参数，求解方法也不同。

最小二乘法的优点在于可以得到解析解，即可以用数学公式直接求解出最佳拟合曲线或平面的参数。

这使得最小二乘法非常高效，适用于大规模数据集。

最小二乘法的应用非常广泛。

在线性回归中，可以用最小二乘法来拟合一个线性模型，从而预测因变量与自变量之间的关系。

在曲线拟合中，可以用最小二乘法来拟合一个多项式模型，从而找到最佳拟合曲线。

在数据平滑中，可以用最小二乘法来拟合一个平滑曲线，从而去除数据中的噪声。

最小二乘法也有一些限制。

首先，最小二乘法要求拟合模型是线性的，对于非线性问题可能不适用。

其次，最小二乘法对异常值比较敏感，一个异常值可能会对拟合结果产生较大影响。

此外，最小二乘法假设误差服从正态分布，如果数据不满足这个假设，拟合结果可能不准确。

为了解决这些问题，可以使用其他的拟合方法，例如非线性最小二乘法、加权最小二乘法等。

这些方法在最小二乘法的基础上进行了改进，可以适用于更复杂的拟合问题。

最小二乘法是一种简单而有效的数据拟合方法。

最小二乘算法原理

最小二乘算法原理最小二乘算法是一种用于拟合数据的统计方法。

该方法通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离，来确定拟合曲线的系数。

最小二乘方法可以应用于线性以及非线性拟合问题。

该方法广泛应用于工程、经济学、金融和科学领域中的数据分析问题。

本文将介绍最小二乘算法的原理，应用场景以及实现方式等相关内容。

一、最小二乘算法原理最小二乘算法的原理是，选择一个最优的函数模型来拟合实验数据。

该函数模型是一个线性方程，其中依变量与自变量之间存在线性关系。

在最小二乘算法中，我们假设误差服从正态分布，这意味着我们能够计算出被拟合的曲线与实际数据点之间的误差。

最小二乘算法的目标是使这些误差的平方和最小化。

该过程可以用如下的数学公式来表示:\sum_{i=1}^n(y_i - f(x_i))^2其中，y_i 为实际数据点的观测值，f(x_i) 是对应的理论值，n 为数据点的数量。

最小二乘算法的目标是找到使误差平方和最小的函数参数，该函数参数通过线性回归方法来确定。

线性回归是用于估计线性关系的统计方法。

二、应用场景最小二乘算法可以应用于多种实际问题中。

以下是最小二乘算法适用的场景：1. 线性回归最小二乘算法可以用于线性回归分析。

线性回归是分析两个或多个变量之间线性关系的方法。

最小二乘算法能够找到最佳的线性拟合曲线，该曲线使得数据点与直线之间的距离之和最小。

2. 曲线拟合最小二乘算法可以用于曲线拟合。

该方法可以找到最佳的曲线来拟合实验数据。

这些数据可以是任意形状的，包括二次曲线、三次曲线或任意的高次多项式。

3. 时间序列分析最小二乘算法可以用于时间序列分析。

时间序列分析是对时间序列数据进行建模和预测的方法。

最小二乘算法可以用于建立预测模型，并预测未来数据点的值。

4. 数字信号处理最小二乘算法可以用于数字信号处理。

该方法可以用于给定一组信号来提取其特征。

这些特征可以包括频率、相位和幅度等。

三、最小二乘算法步骤最小二乘算法的实现步骤如下所示：1. 确定函数形式首先，我们需要确定要拟合的函数形式。

一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)

一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）要解决的问题在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。

比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+bf(x)=kx+b这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。

类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。

但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。

比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。

于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。

那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。

为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。

后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。

证明这个理论并不难。

我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。

相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。

小二乘法线性详细说明

差为 =0.06
而且:
s
b1.990 3.006
第二节二元线性回归
yab 1 已x1 知函b 数2 形x 式2 (或判断经验公式的函数形
式)为
○ 式中，均为独立变量，故是二元线性回归。
若有实验数据：
x 1 x 11 , x 12 ,......... . x 1n x 2 x 21 , x 22 ,......... . x 2 n
最
第一章
详细说明
小二乘法线
性
在处理数据时，常要把实验获得的一系列数据点描成曲线表反映物理量间的关系。为了使曲线能代替数据点的分布规律，则要求所描曲线是平滑的，既要尽可能使各数据点对称且均匀分布在曲线两侧。由于目测有误差，所以，同一组数据点不同的实验者可能描成几条不同的曲线(或直线)，而且似乎都满足上述平滑的条件。那么，究竟哪一条是最曲线呢？这一问题就是“曲线拟合”问题。一般来说， “曲线拟合”的任务有两个：
3.回归方程的精度和相关系数
为了估计回归方程的精度，进一步计算数据
点
偏离最佳直线y=a+bx的大小，我
们引入概念——剩余标准差，它反映着
回归方程与各数据点的拟合程度。
总结经验公式时，我们初步分析判断所假定的函数关系是正确，为了解决这些问题，就需要讨论回归方程的精度和相关性。
用最小二乘法确定a, b存在误差。
如果测量时，使x较之y的偏差很小，以致可以忽略（即 Δxi很小）时，我们可以认为x的测量是准确的，而数据的偏差，主要是y的偏差，因而有：
yi2 x
我们的目的是根据数据点确定回归常数a和b，并且希望确定的a和b能使数据点尽量靠近直线能使v尽量的小。由于偏差v大小不一，有正有负，所以实际上只能希望总的偏差（）最小。

最小二乘解唯一的充要条件

最小二乘解唯一的充要条件
最小二乘解是线性最小二乘问题中的一种解法，用于求解形如Ax=b 的线性方程组，其中A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。

最小二乘解的特点是使得||Ax-b||^2达到最小，即最小化残差的平方和。

在线性最小二乘问题中，充要条件是使得矩阵A的秩等于n，即rank(A)=n。

这个条件确保了最小二乘解的存在性和唯一性。

假设存在两个不同的最小二乘解x1和x2，那么有Ax1=b和Ax2=b。

我们将这两个方程相减，得到A(x1-x2)=0。

由于矩阵A的列向量线性无关，所以只有当x1-x2=0时，方程才有解。

因此，最小二乘解是唯一的。

另一方面，如果矩阵A的秩小于n，即rank(A)<n，那么矩阵A的列向量线性相关。

这意味着方程组中存在冗余的信息，可以通过线性组合来表示出某些变量。

在这种情况下，方程组可能有无穷多个解，因此最小二乘解就不存在唯一性。

最小二乘解的唯一性对于实际问题的应用非常重要。

例如，在数据拟合问题中，我们常常使用最小二乘法来拟合一个数学模型到一组观测数据上。

如果最小二乘解不唯一，那么我们就无法确定一个唯一的拟合结果，这会给数据分析和模型建立带来困难。

总结起来，最小二乘解的唯一性的充要条件是矩阵A的秩等于n，即rank(A)=n。

这个条件保证了方程组中的变量能够被唯一地确定，从而确保了最小二乘解的存在性和唯一性。

在实际应用中，我们需要注意检查矩阵A的秩，以确保最小二乘解的唯一性。

最小二乘估计原理

最小二乘估计原理一、最小二乘估计的基本原理1.建模假设：假设观测值中的噪声服从零均值的高斯分布。

2.线性假设：假设模型是线性的，即观测值与参数之间的关系可以用线性方程来表示。

3.误差假设：假设观测值中的噪声是相互独立的。

在最小二乘估计中，我们假设观测值y可以由一个线性方程表达，即：y=Xβ+ε其中，y是一个n维列向量，表示观测值；X是一个n×m维矩阵，表示观测值与参数之间的线性关系；β是一个m维列向量，表示参数；ε是一个n维列向量，表示噪声。

我们的目标是通过最小化观测值与估计值之间的误差平方和来求解参数的最优解。

即，我们要找到估计参数β使得下式最小：∑(y-Xβ)²二、最小二乘估计的问题建模在实际应用中，我们往往通过收集大量的观测数据来进行参数估计。

假设我们收集了n组观测数据，可以用一个矩阵形式来表示，即：Y=Xβ+ε其中，Y是一个n×1维矩阵，表示观测值；X是一个n×m维矩阵，表示观测值与参数之间的线性关系；β是一个m×1维矩阵，表示参数；ε是一个n×1维矩阵，表示噪声。

根据最小二乘估计的原理，我们需要求解出参数估计值β。

为了简化问题，我们可以通过最小化误差平方和来得到β的解析解。

误差平方和可以表示为：∑(Y-Xβ)²对该函数进行求导，令其导数为零，我们可以得到参数估计值的解析表达式：β=(X^TX)^(-1)X^TY三、最小二乘估计的求解方法在实际应用中，我们可以使用多种方法来求解最小二乘估计的参数。

1.解析解法：通过求解误差平方和的导数为零的方程，可以得到参数的解析解表达式。

2.矩阵分解法：通过将矩阵X进行分解，如QR分解、奇异值分解等，可以简化计算过程。

3.数值优化法：通过使用优化算法，如梯度下降法、牛顿法等，可以求解参数的数值近似解。

四、最小二乘估计的应用1.回归分析：最小二乘估计可用于拟合数据点并得到回归模型的参数，如线性回归、多项式回归等。